Пример 4. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр. Поэтому общее число возможных элементарных исходов 10. Эти исходы равновозможные (цифра набрана наудачу) и образуют полную группу (хотя бы одна цифра обязательно будет набрана), то есть . Нужная цифра всего одна. Поэтому для события А А .

Пример 5. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что они различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Обозначим через В событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько пар различных цифр, сколько может быть составлено размещений из 10 цифр по 2, то есть . Поэтому общее число равновозможных элементарных исходов . Нужное сочетание двух цифр всего одно. Поэтому для события А благоприятен всего один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятных событию А к числу всех элементарных исходов: .

Пример 6. В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей, ровно 4 стандартных.

Решение. Пусть событие А – среди 6 взятых деталей ровно 4 стандартных. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, то есть числу сочетаний из 10 элементов по 6 (). Подсчитаем число исходов, благоприятных событию А : 4 стандартные детали можно взять из 7 стандартных деталей способами. При этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными. Их можно взять из 10-7=3 нестандартных деталей способами. Следовательно, число благоприятных исходов . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятных событию А , к числу всех элементарных исходов.

В урне пять шаров разного размера. Какова вероятность вытянуть все шары по возрастанию, если известно, что одинаковых шаров нет?

Решение. Общее число возможных элементарных исходов опыта равно числу перестановок из пяти элементов , а число исходов, благоприятствующих событию, равно единице.

Искомая вероятность:

.

Задача 17.

Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры, и помня что они различны, набрал их на удачу. Какова вероятность того, что он набрал нужный номер?

Решение. Общее число возможных исходов опыта равно числу размещений из 10 по 2, т. е. . Число исходов, благоприятствующих событию, равно единице.

Искомая вероятность:

.

Задача 18.

В ящике стола имеется 15 тетрадей, 8 из них в клеточку.Наудачу взяли три тетради. Найти вероятность того, что все три взятые тетради окажутся высшего качества.

Решение. Так как порядок здесь роли не играет, то общее число всевозможных исходов будет равно числу сочетаний из 15 по 3, т. е. , а число благоприятствующих событию равно тоже числу сочетаний из 8 по 3.

Искомая вероятность:

.

Задача 19.

В группе 15 студентов, 8 из которых отличники. Наудачу (по списку) вызвали 6 студентов. Найти вероятность того, что 4 студента из вызванных окажутся отличниками.

Решение. Число всевозможных исходов опыта здесь равно числу сочетаний из 15 по 6, .

Благоприятной считаем такую комбинацию, в которой 4 студента-отличника, а 2 - нет. 4 отличника можно выбрать из 8 отличников способами, при этом остальные 6-4=2 студента (не отличники) выбираем из 15-8=7 студентов способами.

Если к каждой четверке отличников присоединить одну из пар

студентов, не отличников, то получим “благоприятные” группы из 6 человек. Их число равно m =.

Искомая вероятность:

Задача 20.

Первая трудность, которую преодолел Паскаль в своей переписке с шевалье де Маре, связана с точным подсчетом случаев. Речь шла об игре, при которой бросают три кости, и один из игроков заключает пари, что сумма на выброшенных гранях будет больше чем 10, а другой - что она будет равна или меньше 10. Легко видеть, что шансы обоих игроков равны. Но трудность была в следующем. Терпеливый учет очень большого числа партий показал шевалье де Маре, что тот кто ставит на сумму, большую 10, чаще выигрывает с 11,чем с12 очками. Однако, возражал Мере,11 очков можно получить шестью различными способами (6-4-1; 6-3-2; 5-5-1; 5-4-2; 5-3-3; 4-4-3), и 12 очков тоже можно получить шестью способами (6-5-1; 6-4-2; 6-3-3; 5-5-2; 5-4-3; 4-4-4). Ответ Паскаля очень прост: сочетание 6-4-1 не является простым, а шестикратным, так как, если пронумеровать кости или если каждую из трех костей окрасить по разному, чтобы можно было их различить, значение 6 может быть получено на каждой из трех костей, а значение 4 - на каждой из двух остающихся, что уже составляет шесть комбинаций. Напротив, такое сочетание, как 5-5-1, может быть получено только тремя различными способами, а сочетание 4-4-4 - единственным способом.

Следовательно, если желательно узнать действительное число различных способов получить 11 или получить 12 очков, то надо для каждого из этих случаев составлять сумму тех шести чисел, которые соответствуют сочетаниям,

тогда как для случая 12 очков мы имеем

Отсюда заключаем, что в среднем мы получаем 11 очков 27 раз, тогда как 12 очков мы получаем 25 раз, и этот результат отлично сошелся с наблюдениями шевалье де Мере.

Примеры непосредственного вычисления вероятностей

Пример 1.34 . Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наугад. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение . Обозначим через А событие - набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует собы­тию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая веро­ятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих со­бытию, к числу всех элементарных исходов:

Р (А) = 1/10.

Пример 1.35. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры "различны, набрал их на­угад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение . Обозначим через В событие - набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т. е. Таким образом, общее число возможных элементар­ных исходов равно 90. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благо­приятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: Р (В) = 1/90.

Пример 1.36. Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А).

Решение . Общее число равновозможных исходов испытания равно 6∙6 = 36 (каждое число выпавших очков на одном кубике может сочетаться со всеми числами очков другого кубика). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода: (I; 3), (3; I), (2; 2) (в скобках указаны числа выпавших очков). Следовательно, искомая вероятность

Р (А) = 3/36 =1/12.

Пример 1.37. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероят­ность того, что среди шести взятых наугад деталей 4 стандартных.

Решение . Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов ().

Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А (среди шести взятых деталей 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей спо­собами; при этом остальные 6 - 4 = 2 детали должны быть нестан­дартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 - 7 = 3 нестандарт­ных деталей можно способами. Следовательно, число благоприя­тствующих исходов равно