Муниципальное образовательное учреждение.
Вознесенская средне образовательная школа.
Реферат по математике
на тему «Аксиоматика и аксиоматический метод»
ученика 7 класса Каера Евгения Викторовича.
Руководитель Пузикова Н. В.
с. Вознесенка, 2007 г.
изучение аксиоматического метода и его применений в различных областях знаний.
· Выяснить, что такое аксиоматика.
· Рассмотреть применения аксиоматического метода в геометрии
· Научиться применять аксиоматический метод.
1. Введение. Что такое аксиоматика.
2. Аксиоматический метод - важнейший научный метод.
3. Аксиоматический метод в геометрии.
4. Исследовательская работа. Применение аксиоматического метода в шахматном турнире.
6. Литература.
1. Введение. Что такое аксиоматика.
Аксиома-это некоторые утверждения о свойствах вещей, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых далее доказываются теоремы и, вообще, строится вся теория.
Аксиоматика – система аксиом той или иной науки. Например, аксиоматика элементарной геометрии содержит около двух десятков аксиом. аксиоматика числового поля-9 аксиом. Наряду с ними важнейшую роль в современной математике играет аксиоматика группы, аксиоматика метрического и векторного пространств и др.
Советским математикам С. Н. Бернштейну и А. Н. Колмогорову принадлежит заслуга аксиоматического описания теории вероятностей. Десятки других направлений современной математики также развиваются на аксиоматической основе, т.е. на базе соответствующей системы аксиом.
2. Аксиоматический метод – важнейший научный метод
Аксиоматический метод - важный научный инструмент познания мира. Большинство правлений современной математики, теоретическая механика и ряд разделов современной физики строится на основе аксиоматического метода. В самой математике аксиоматический метод дает законченное, логически стройное построение научной теории. Не меньшее значение имеет и то, что математическая теория, построенная аксиоматически, находит многократные приложения и в естествознании.
Современная точка зрения на аксиоматическое построение какой-либо области знаний заключается в следующем:
1. Перечисляются первоначальные (неопределяемые) понятия;
2. Указывается список аксиом, в которых устанавливаются некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями;
3. С помощью определений вводятся дальнейшие понятия;
4. Исходя из первоначальных фактов, содержащихся в аксиомах, выводятся, доказываются с помощью некоторой логической системы дальнейшие факты – теоремы.
Первоначальные понятия и аксиомы заимствованы из опыта. Поэтому очевидно, что все последующие факты, выводимые в аксиоматической теории, хотя их получают на основе аксиом чисто умозрительным, дедуктивным путем, имеют тесную связь с жизнью и могут быть применены в практической деятельности человека.
Важнейшим требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, которую можно понимать так: сколько бы мы ни выводили теорем из этих аксиом, среди них не будет двух теорем, противоречащих друг другу. Противоречивая аксиоматика не может служить основой построения содержательной теории.
Развив ту или иную аксиоматическую теорию, мы можем, не проводя повторных рассуждений, утверждать, что ее выводы имеют место в каждом случае, когда справедливы рассматриваемые аксиомы. Таким образом, аксиоматический метод позволяет целые аксиоматически развитые теории применять в различных областях знаний. В этом состоит сила аксиоматического метода.
3. Аксиоматический метод в геометрии
При изучении геометрии мы опирались на ряд аксиом. Напомним, что аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных. Вместе с так называемыми основными понятиями они образуют фундамент для построения геометрии. Первые основные понятия, с которыми мы познакомились, были понятия точки и прямой. Определения основных понятий не даются, а их свойства выражаются в аксиомах. Используя основные понятия и аксиомы, мы даем определения новых понятий, формулируем и доказываем теоремы и таким образом изучаем свойства геометрических фигур.
Для примера рассмотрим аксиому параллельных прямых:
через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом называются следствиями. Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых.
1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
4.Исследовательская работа. Применение аксиоматического метода в шахматном турнире.
Чтобы объяснить подробнее, как применяется аксиоматический метод, приведем пример. Допустим, несколько школьников решили организовать шахматный турнир по упрощенной схеме: каждый должен сыграть ровно четыре партии с кем-либо из остальных участников (а белыми или черными фигурами –по жребию).Чтобы составить расписание турнира, нужно сформулировать требования, которые ученики предъявили к турниру, в виде аксиом. Для этого потребовалось ввести три первоначальных (неопределяемых) понятия: «игрок», «партия», «участие игрока в партии». Аксиом получилось четыре:
Аксиома 1. Число игроков нечетно.
Аксиома 2. Каждый игрок участвует в четырех партиях .
Аксиома 3. В каждой партии участвуют два игрока .
Аксиома 4. Для каждых двух игроков имеется не более одной партии, в которой они оба участвуют.
Из этих аксиом можно вывести ряд теорем.
Теорема 1.Число игроков не меньше пяти .
Доказательство. Так как нуль- четное число, то по аксиоме 1 число игроков не равно нулю, т.е. существует хотя бы один игрок А. Этот игрок в силу аксиомы 2 участвует в четырех партиях, причем в каждой из этих партий, кроме А, участвует еще один игрок (аксиома 3). Пусть В,С,Д,Е - игроки, отличные от А, которые участвуют в этих партиях. По аксиоме 4 все игроки В,С,Д,Е различны (если бы, например, было В=С, то оказалось бы, что имеются две партии, в которых участвуют игрок А и игрок В=С).Итак, мы нашли уже пятерых игроков: А,В,С,Д,Е. Но тогда по аксиоме 1 число игроков не меньше пяти.
Теорема.2. Число всех выступлений игроков четно .
q- некоторая партия, введем новое понятие - (q,А)- выступление игрока.
Доказательство. Каждая партия дает два выступления игроков (q,А),(q,В),(по аксиоме 3), число всех выступлений 2n, где n число игроков (А 4). Следовательно, число всех выступлений игроков кратно 2, т.е. четно.
Теорема3.Число выигрышей в турнире не превышает число игроков.
Доказательство. Пусть п - число игроков, тогда 2п - число выступлений игроков (А), п - число сыгранных партий(А3). Рассмотрим два случая:
1. Во всех партиях были победитель и проигравший. Тогда число выигрышей будет равно числу партий, т.е. п.
2. Некоторые партии закончились вничью, пусть таких партий будет к. Тогда в оставшихся п - к партиях был выявлен победитель, т.е. число выигрышей не превышает число партий. Теорема доказана.
Прочитав литературу, я узнал, что такое аксиома, что такое аксиоматический метод и, как он применяется в геометрии. Изучив аксиоматический метод я применил его к исследованию шахматного турнира.
Литература.
Энциклопедический словарь юного математика
/Сост. Э- 68 А.П. Савин.- М.: Педагогика, 1989.
Геометрия, 7-9: Учеб. Для общеобразоват. Учереждений /Л.С. Атанасян и др. Просвещение, 2004.
способ построения теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения - аксиомы или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путем.
Отличное определение
Неполное определение ↓
Аксиоматический метод
от греч. axioma – принятое положение) – способ построения научной теории, в качестве ее основы априори принимающий положения, из которых все остальные утверждения теории выводятся логическим путем. Полная аксиоматизация теорий невозможна (К.Гедель, 1931).
Отличное определение
Неполное определение ↓
Аксиоматический метод
от греч. axi?ma - принятое положение) - способ построения теории, основанный на принятых (или доказанных ранее) исходных положениях (аксиомах и постулатах), из которых логическим путем, посредством доказательств выводятся остальные знания. Философскую интерпретацию аксиоматический метод как применение дедукции получил в учении Р. Декарта. В той или иной степени аксиоматический метод был использован в различных науках - в философии (Б. Спиноза), социологии (Дж. Вико), биологии (Дж. Вуджер) и др. Однако основной сферой его применения остаются математика и символическая логика, а также ряд областей физики (механика, термодинамика, электродинамика и др.).
Отличное определение
Неполное определение ↓
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
способ построения научной теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения (аксиомы), или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путем посредством доказательства. Построение науки на основе аксиоматического метода обычно называют дедуктивным. Этот метод начали использовать при построении геометрии в Древней Греции. Наиболее успешно он реализуется для организации математического знания, где огромный вес в познании принадлежит конструктивно-созидательной деятельности разума. В естествознании, социально-гуманитарных и инженерно-технических науках этот метод занимает подчиненное положение по сравнению с другими когнитивными методами.
Отличное определение
Неполное определение ↓
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
способ организации научного (в особенности, теоретического) знания, сущность которого состоит в выделении среди всего множества истинных высказываний об определенной предметной области такого его подмножества (аксиом), из которого логически следовали бы все остальные истинные высказывания (теоремы и единичные истинные высказывания). Идеал аксиоматического построения научного знания, начало реализации которого было положено построением геометрии в Древней Греции (VII - IV вв. до н. э.), оказался наиболее подходящим для организации систем математического знания, где огромный вес в познании принадлежит не только эмпирически-абстрагирующей деятельности рассудка, но и конструктивно-созидательной деятельности разума. В естествознании, социально-гуманитарных и инженерно-технических науках аксиоматический метод организации знания занимает подчиненное положение по сравнению с другими формами когнитивной организации. (См. доказательство, дедукция, теория, метод).
Отличное определение
Неполное определение ↓
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
способ построения науч. теории, при к-ром в ее основе лежат нек-рые исходные положения (суждения) - аксиомы, или постулаты, из к-рых все остальные утверждения этой науки (теоремы) должны выводиться логич. путем, посредством доказательства. Назначение А.м. состоит в ограничении произвола при принятии науч. суждений в кач-ве истин данной теории. Построение науки на основе А.м. обычно называется дедуктивным (см. Дедукция). Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих (или разъясняющих) их через ранее введенные понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для А.м., применяются во мн. науках. Но несмотря на попытки систематич. применения А.м. в философии (Спиноза), социологии (Вико), политэкономии (Родбертус-Ягецов), биологии (Вуджер) и др. науках, гл. обл. его приложения остаются математика и символич. логика, а также нек-рые разделы физики (механика, термодинамика, электродинамика и др.). Одним из первых примеров применения А.м. явл. «Начала» Евклида (около 300 г. до н.э.). Б.Н.Махутов
Отличное определение
Неполное определение ↓
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательств. Положения, доказываемые на основе аксиом, называются теоремами.
А. м. - особый способ определения объектов и отношений между ними (см.: Аксиоматическое определение). А. м. используется в математике, логике, а также в отдельных разделах физики, биологии и др.
А. м. зародился еще в античности и приобрел большую известность благодаря "Началам" Евклида, появившимся около 330 - 320 гг. до н. э. Евклиду не удалось, однако, описать в его "аксиомах и постулатах" все свойства геометрических объектов, используемые им в действительности; его доказательства сопровождались многочисленными чертежами. "Скрытые" допущения геометрии Евклида были выявлены только в новейшее время Д. Гильбертом (1862-1943), рассматривавшим аксиоматическую теорию как формальную теорию, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, удовлетворяющих ей. Сейчас аксиоматические теории нередко формулируются как формализованные системы, содержащие точное описание логических средств вывода теорем из аксиом. Доказательство в такой теории представляет собой последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул последовательности по одному из принятых правил вывода.
К аксиоматической формальной системе предъявляются требования непротиворечивости, полноты, независимости системы аксиом и т. д.
A.M. является лишь одним из методов построения научного знания. Он имеет ограниченное применение, поскольку требует высокого уровня развития аксиоматизируемой содержательной теории.
Как показал известный математик и логик К. Гедель, достаточно богатые научные теории (напр., арифметика натуральных чисел) не допускают полной аксиоматизации. Это свидетельствует об ограниченности A.M. и невозможности полной формализации научного знания (см.: Геделя теорема).
Отличное определение
Неполное определение ↓
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
способ построения науч. теории, при к-ром в ее основу кладутся нек-рые исходные положения (суждения) - аксиомы, или постулаты, из к-рых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логич. путем, посредством доказательств. Построение науки на основе А. м. обычно наз. дедуктивным (см. Дедукция). Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих их через ранее введенные понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для А. м., применяются во мн. науках, однако гл. область его приложения - математика, логика, а также нек-рые разделы физики.
Идея А. м. впервые была высказана в связи с построением геометрии в Др. Греции (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид). Для совр. стадии развития А. м. характерна выдвинутая Гильбертом концепция формального А. м., к-рая ставит задачу точного описания логич. средств вывода теорем из аксиом. Осн. идея Гильберта - полная формализация языка науки, при к-рой ее суждения рассматриваются как последовательности знаков (формулы), приобретающие смысл лишь при нек-рой конкретной интерпретации. Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются спец. правила вывода. Доказательство в такой теории (исчислении, или формальной системе) - это нек-рая последовательность формул, каждая из к-рых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по к.-л. правилу вывода. В отличие от таких формальных доказательств, свойства самой формальной системы в целом изучаются содержат. средствами метатеории. Осн. требования, предъявляемые к аксиоматич. формальным системам - непротиворечивость, полнота, независимость аксиом. Гильбертовская программа, предполагавшая возможность доказать непротиворечивость и полноту всей классич. математики, в целом оказалась невыполнимой. В 1931 Геделъ доказал невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых науч. теорий (напр., арифметики натуральных чисел), что свидетельствовало об ограниченности А. м. Осн. принципы А. м. были подвергнуты критике сторонниками интуиционизма и конструктивного направления. См. также Формализм в математике и логике, Теория.
Отличное определение
Неполное определение ↓
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
один из способов дедуктивного построения научных теорий, при к-ром: 1) выбирается нек-рое множество принимаемых без доказательства предложений определенной теории (аксиом); 2) входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории; 3) фиксируются правила определения и правила вывода данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других; 4) все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из (1) на основе (3). Первые представления об А. м. возникли в Древн. Греции (Элеаты, Платон. Аристотель, Евклид). В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных разделов философии и науки (Спиноза, Ньютон и др) Для этих исследований было характерно содержательное аксиоматическое построение определенной теории (и только ее одной), при этом осн внимание уделялось определению и выбору интуитивно очевидных аксиом Начиная со второй половины 19 в, в связи с интенсивной разработкой проблем обоснования математики и математической логики, аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную (а с 20-30-х гг. 20 в - как формализованную) систему, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, к-рые ей удовлетворяют. При этом осн. внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее полноты, независимости системы аксиом и т д В связи с тем что знаковые системы могут рассматриваться или вне зависимости от содержания, к-рое может быть в них представлено, или с его учетом, различаются синтаксические и семантические аксиоматические системы (лишь вторые представляют собой собственно научные знания) Это различение вызвало необходимость формулирования осн. требований, предъявляемых к ним, в двух планах синтаксическом и семантическом (синтаксическая и семантическая непротиворечивость, полнота, независимость аксиом и т д) Анализ формализованных аксиоматических систем привел к установлению их принципиальных ограниченностей, гл из к-рых является доказанная Геделем невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (напр, арифметики натуральных чисел), откуда следует невозможность полной формализации научного знания Аксиоматизация является лишь одним из методов построения научного знания, но ее использование в качестве средства научного открытия весьма ограниченно. Аксиоматизация осуществляется обычно после того, как содержательно теория уже в достаточной мере построена, и служит целям более точного ее представления, в частности строгого выведения всех следствий из принятых посылок В последние 30-40 лет большое внимание уделяется аксиоматизации не только математических дисциплин, но и определенных разделов физики, биологии, психологии, экономики, лингвистики и др, включая теории структуры и динамики научного знания. При исследовании естественнонаучного (вообще любого нематематического) знания А. м. выступает в форме гипотетико-дедуктивно-го метода (см. также Формализация)
Отличное определение
Неполное определение ↓
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
греч. axioma - значимое, принятое положение) - способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) этой теории. Научная значимость A.M. была обоснована еще Аристотелем, который первым разделил все множество истинных высказываний на основные ("принципы") и требующие доказательства ("доказываемые"). В своем развитии A.M. прошел три этапа. На первом этапе A.M. был содержательным, аксиомы принимались на основании их очевидности. Примером такого дедуктивного построения теории служат "Начала" Евклида. На втором этапе Д. Гильберт внес формальный критерий применения A.M. - требование непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом. На третьем этапе A.M. становится формализованным. Соответственно, изменилось и понятие "аксиома". Если на первом этапе развития A.M. она понималась не только как отправной пункт доказательств, но и как истинное положение, не нуждающееся в силу своей очевидности в доказательстве, то в настоящее время аксиома обосновывается в качестве необходимого элемента теории, когда подтверждение последней рассматривается одновременно как подтверждение ее аксиоматических оснований как исходного пункта построения. Помимо основных и вводимых утверждений в A.M. стал выделяться также уровень специальных правил вывода. Таким образом наравне с аксиомами и теоремами как множеством всех истинных утверждений данной теории формулируются аксиомы и теоремы для правил вывода - метааксиомы и метатеоремы. К. Геделем в 1931 была доказана теорема о принципиальной неполноте любой формальной системы, ибо в ней содержатся неразрешимые предложения, которые одновременно недоказуемы и неопровержимы. Учитывая накладываемые на него ограничения, А. М. рассматривается как один из основных методов построения развитой формализованной (а не только содержательной) теории наряду с гипотетико-дедуктивным методом (который иногда трактуется как "полуаксиоматический") и методом математической гипотезы. Гипотетико-дедуктивный метод, в отличие от A.M., предполагает построение иерархии гипотез, в которой более слабые гипотезы выводятся из более сильных в рамках единой дедуктивной системы, где сила гипотезы увеличивается по мере удаления от эмпирического базиса науки. Это позволяет ослабить силу ограничений A.M.: преодолеть замкнутость аксиоматической системы за счет возможности введения дополнительных гипотез, жестко не связанных исходными положениями теории; вводить абстрактные объекты разных уровней организации реальности, т.е. снять ограничение на справедливость аксиоматики "во всех мирах"; снять требование равноправности аксиом. С другой стороны, A.M., в отличие от метода математической гипотезы, акцентирующего внимание на самих правилах построения математических гипотез, относящихся к неисследованным явлениям, позволяет апеллировать к определенным содержательным предметным областям.
Отличное определение
Неполное определение ↓
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
метод построения теорий, в соответствии с которым разрешается пользоваться в доказательствах лишь аксиомами и ранее выведенными из них утверждениями. Основания для применения аксиоматического метода могут быть разными, что обычно приводит к различению аксиом не только по их формулировкам, но и по их методологическим (прагматическим) статусам. Например, аксиома может иметь статус утверждения, или статус предположения, или статус лингвистического соглашения о желаемом употреблении терминов. Иногда это различие в статусах отражается в названиях аксиом (в современных аксиоматиках для эмпирических теорий среди всех аксиом выделяют часто т. и. постулаты значения, выражающие лингвистические соглашения, а древние греки делили геометрические аксиомы на общие понятия и постулаты, полагая, что первые описывают, вторые строят). Вообще говоря, учет статусов аксиом обязателен, так как можно, например, изменить содержание аксиоматической теории, не изменив при этом ни формулировку, ни семантику аксиом, а поменяв лишь их статус, объявив, скажем, одну из них новым постулатом значения. Аксиоматический метод был впервые продемонстрирован Евклидом в его «Началах», хотя понятия аксиомы, постулата и определения рассматривались уже Аристотелем. В частности, к нему восходит толкование аксиом как необходимых общих начал доказательства. Понимание аксиом как истин самоочевидных сложилось позднее, став основным с появлением школьной логики Пор-Рояяя, для авторов которой очевидность означает особую способность души осознавать некоторые истины непосредственно (в чистом созерцании, или интуиции). Между прочим, убеждение Канта в априорном синтетическом характере геометрии Евклида зависит от этой традиции не считать аксиомы лингвистическими соглашениями или предположениями. Открытие неевклидовой геометрии (Гаусс, Лобачевский, Бойяи); появление в абстрактной алгебре новых числовых систем, причем сразу целых их семейств (напр., /»-адические числа); появление переменных структур вроде групп; наконец, обсуждение вопросов типа «какая геометрия истинна?» - все это способствовало осознанию двух новых, по сравнению с античным, статусов аксиом: аксиом как описаний (классов возможных универсумов рассуждений) и аксиом как предположений, а не самоочевидных утверждений. Так сформировались основы современного понимания аксиоматического метода. Это развитие аксиоматического метода становится особенно наглядным при сопоставлении «Начал» Евклида с «Основаниями геометрии» Д. Гильберта-новой аксиоматики геометрии, базирующейся на высших достижениях математики 19 в. К концу того же века Дж. Пеано дал аксиоматику натуральных чисел. Далее аксиоматический метод был использован для спасения теории множеств после нахождения парадоксов. При этом аксиоматический метод был обобщен и на логику. Гильберт сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а П. Бернайс -логики предикатов. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий. В последние десятилетия по мере развития моделей теории аксиоматический метод стал в почти обязательном порядке дополняться теоретико-модельным.
Отличное определение
Неполное определение ↓
аксиоматический метод
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (от греч. axioma) - принятое положение - способ построения научной теории, при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами, постулатами и ранее выведенными из них утверждениями. Впервые ярко продемонстрирован Евклидом в его «Началах», хотя понятия аксиомы и постулата упоминаются уже Аристотелем. У древних греков аксиомой называлось ясно сформулированное положение, настолько самоочевидное, что его не доказывают и кладут в основу других доказательств. Постулат - утверждение о возможности выполнить некоторое построение. Поэтому «Целое больше части» - аксиома, а «Из данной точки данным радиусом можно описать окружность» - постулат. В дальнейшем понятие аксиомы поглотило понятие постулата, поскольку не были осознаны понятия дескриптивности и конструктивности (аксиома описывает, постулат строит). Почти все аксиомы эллинской геометрии были сформулированы настолько четко и удачно, что не вызывали сомнений. Однако одно из положений Евклида, а именно пятый постулат, эквивалентный утверждению «Через точку, лежащую вне прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну», с самого начала вызывало сомнения. Более того, до Евклида эллины исследовали все три возможные гипотезы: 1) нельзя провести ни одной параллельной прямой, 2) можно провести больше одной и 3) можно провести лишь одну параллельную прямую; но Евклид осознанно выбрал одну формулировку, поскольку лишь в таком случае существовал квадрат и понятие подобия фигур. В дальнейшем наличие альтернатив было забыто, и пятый постулат неоднократно пытались доказать. Вплоть до 17 в. А. м. мало развивался. Евклид и Архимед сформулировали аксиомы статики и оптики, а в дальнейшем, в связи с общей тенденцией к комментаторству и канонизации, исследования перелагали, либо, в лучшем случае, анализировали старые системы аксиом. Неудивительно, что новая математика начала с отказа от А. м., и анализ бесконечно малых развивался как неформализованная теория. Была понята сомнительность аксиомы «Целое меньше части», поскольку Николай Кузанский и вслед за ним Галилей показали, что для бесконечных совокупностей целое может быть изоморфно части. Но это открытие было недооценено, потому что слишком хорошо согласовывалось с христианской религией (с концепциями различных ипостасей бесконечного Бога). Далее, неудача Спинозы в попытках вывести геометрическим, чисто рассудочным методом систему этики и метафизики показала неприменимость существующего А. м. к гуманитарным понятиям. Возвращение к А. м. произошло в 19 в. Оно базировалось на двух открытиях - неевклидовой геометрии (переоткрывшей то, что было известно до Евклида, но потом напрочь забыто), и абстрактной алгебре. В неевклидовой геометрии (Г а у с с, Лобачевский, Бойяи) было показано, что одно из отрицаний пятого постулата - а именно то, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые, параллельные данной - совместимо с остальными аксиомами геометрии. Таким образом, те аксиомы и постулаты, которые создавались, чтобы описать «единственно истинное» пространство, на самом деле описывают целый класс различных пространств. В абстрактной алгебре появились новые числовые системы, причем сразу целые их семейства (напр., р-адические числа) и переменные структуры типа групп. Свойства переменных структур естественно было описывать при помощи аксиом, но теперь уже никто не настаивал на их самоочевидности, а рассматривали их просто как способ описания класса математических объектов. Напр., полугруппа определяется единственной аксиомой - ассоциативности умножения: а° (Ь о с) = (а о Ь) о С. В самой геометрии наступил черед критического переосмысления классических аксиом. Э. Паш показал, что Евклид не усмотрел еще один постулат, столь же интуитивно очевидный, как и описанные им: «Если прямая пересекает одну из сторон треугольника, то она пересечет и другую». Далее было показано, что один из признаков равенства треугольников нужно принять в качестве аксиомы, иначе теряется строгость доказательств, поскольку из остальных аксиом не следует возможность перемещения фигур. Была отброшена аксиома «Целое меньше части», как не имеющая смысла с точки зрения новой математики, и заменена на несколько положений о соотношении мер фигур. И, наконец, Д. Гильберт сформулировал новую аксиоматику геометрии, базирующуюся на высших достижениях математики 19 в. В эллинские времена и позже понятие числа не описывалось аксиоматически. Только в конце 19 в. Дж. Пеано (Италия) дал аксиоматику натуральных чисел. Аксиоматики Пеано и Гильберта содержат по одному принципу высшего порядка, говорящему не о фиксированных понятиях, а о произвольных понятиях либо совокупностях. Напр., в арифметике - это принцип математической индукции. Без принципов высших порядков однозначное описание стандартных математических структур невозможно. А. м. был использован для спасения теории множеств после нахождения связанных с нею парадоксов. Спасение само по себе производилось не лучшим способом - латанием парадигмы. Те из принципов теории множеств, которые казались не приводящими к парадоксам и обеспечивали необходимые для математики построения, были приняты в качестве аксиом. Но при этом А. м. был обобщен на логику. Д. Гильберт явно сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а П. Бернайс - логики предикатов. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий. Современный А. м. отличается от традиционного тем, что явно задаются не только аксиомы, но и язык, а в логике - еще и правила вывода описываемой теории либо системы. Пересмотренный и усиленный А. м. стал мощным оружием в таких новых областях знания, как когнитивная наука и математическая лингвистика. Он позволяет низводить семантические проблемы на уровень синтаксических и тем самым помогать их решению. В последние десятилетия по мере развития теории моделей А. м. стал в обязательном порядке дополняться теоретико-модельным. Формулируя аксиоматическую систему, нужно описать и совокупность ее моделей. Минимально необходимым обоснованием системы аксиом служит ее корректность и полнота на заданном классе моделей. Но для применений недостаточно такого формального обоснования - нужно также показать содержательный смысл построенной системы и ее выразительные возможности. Основным математическим ограничением А. м. служит то, что логика высших порядков неформализуема и неполна, а без нее описать стандартные математические структуры нельзя. Поэтому в тех областях, где есть конкретные числовые оценки, А. м. не может быть применен к полному математическому языку. В таких областях возможна лишь неполная и непоследовательная, так называемая частичная либо содержательная, аксиоматизация. Неформализуемость понятий сама по себе, как ни странно, не препятствует применению А. м. к данным понятиям. Все равно при работе в фиксированной обстановке есть смысл переходить к гораздо более эффективным формальным моделям. В данном случае положительной чертой формализмов часто может являться их несоответствие реальной ситуации. Формализмы не могут полностью соответствовать содержанию понятий, но если эти несоответствия спрятаны, то формализмами часто продолжают пользоваться и после того, как обстановка перестала быть подходящей для их применения, и даже в ситуации, с самого начала не подходящей для их использования. Подобные опасности существуют и для частичных формализации. Я Н. Непейвода
Отличное определение
Неполное определение ↓
Введение
Учебное пособие предназначено для студентов гуманитарных специальностей, изучающих математику по технологии индивидуализированного обучения. Оно содержит в полном объеме предназначенный для изучения теоретический материал в соответствии с Государственным образовательным стандартом и рабочей программой, задачи для самостоятельного решения, вопросы к экзамену (зачету), темы рефератов, памятку для студентов, задания контрольной работы для студентов заочного отделения, примерный вариант решения этой контрольной работы и список дополнительной литературы.
Теоретический материал был отобран из учебников по математике для гуманитарных специальностей, научно-популярной литературы, методически обработан для самостоятельного изучения и содержит большое количество примеров, поясняющих теорию и помогающих в дальнейшем в решении задач.
Задачи для самостоятельного решения разбиты на два уровня сложности: основной и повышенный. Задачи основного уровня сложности составлены по аналогии с примерами, имеющимися в теоретическом материале соответствующей темы. В задачах повышенного уровня сложности требуется предварительный анализ по распознаванию задачи и приведению ее к стандартному виду. Задачи сгруппированы по темам и по типам. Это позволяет преподавателю составлять не менее 10 вариантов карточек для самостоятельной работы основного уровня и не менее 5 вариантов повышенного уровня по каждой теме.
Перед началом работы с пособием студенту необходимо внимательно ознакомиться с памяткой. В ней указан алгоритм изучения каждой темы. Темы можно изучать в произвольном порядке, кроме тем «Элементы комбинаторики» и «Элементы теории вероятностей». Вторая тема изучается после первой, так как использует формулы и определения, сформулированные в теме «Элементы комбинаторики».
ПАМЯТКА СТУДЕНТУ
Я слышу – и забываю,
Я вижу – и запоминаю,
Я делаю – и понимаю.
Конфуций
Весь теоретический материал курса разбит на порции по темам и сопровождается задачами двух уровней сложности. Работа по усвоению нового учебного материала осуществляется следующим образом. Студент читает материал, берет карточку с заданием. Выполнив задание, дает решение на проверку преподавателю. Если задание выполнено верно, то он берет новое задание и так далее до тех пор, пока не выполнит все задания, относящиеся к изученной порции материала. Если студент затрудняется в выполнении задания, он должен еще раз обратиться к учебным материалам, можно также обратиться за консультацией к преподавателю.
Каждый студент имеет возможность работать в индивидуальном режиме и изучать темы в произвольном порядке. Уровень трудности студент выбирает сам (первый либо второй), причем он в любое время может перейти от одного уровня сложности к другому. При выборе первого уровня сложности должны быть пройдены следующие этапы:
2 Решить задачи для самостоятельной работы (по выбору преподавателя).
3 Сдать зачет по теории (ответить на три вопроса из списка по выбору преподавателя).
4 Выполнить контрольную работу.
Выбрав второй уровень сложности, студент освобождается от теоретических вопросов по данной теме (3 этап).
Если тема содержит только теоретический материал, то сдается только зачет по теории (3 этап). Зачет по теории в этом случае также можно получить, выполнив и защитив реферат по данной теме (темы рефератов указаны в приложении).
На экзамен (зачет) выносятся те темы, по которым студент не успел отчитаться в установленные сроки.
Студент, отчитавшийся в установленные сроки по всем темам, освобождается от сдачи экзамена (зачета). В этом случае оценка за экзамен выставляется по результатам балльно-рейтингового контроля.
В таблице 2 представлены показатели балльно-рейтинговой системы для выставления итоговой оценки по дисциплине.
| № | Раздел (тема) | Кол-во недель (часов) | форма контроля |
| Аксиоматический метод | 1 (4) | зачет по теории | |
| Элементы теории множеств | 2 (8) | ||
| Элементы математической логики | 2 (8) | зачет по теории + контрольная работа | |
| Элементы комбинаторики | 2 (8) | зачет по теории + контрольная работа | |
| Элементы теории вероятности | 3 (12) | зачет по теории + контрольная работа | |
| Элементы математической статистики | 3 (12) | зачет по теории + контрольная работа | |
| Элементы математического моделирования | 3 (12) | зачет по теории | |
| История математики | 1 (4) | зачет по теории | |
| Резерв: | 1 (4) |
| Номер и название темы | Название показателя | Количество баллов |
| 1 Аксиоматический метод 7 Элементы математического моделирования 8 История математики | 1 чтение ответов на вопросы 2 самостоятельное воспроизведение ответов | 7-8 9-10 |
| 2 Элементы теории множеств 3 Элементы математической логики 4 Элементы комбинаторики 5 Элементы теории вероятности 6 Элементы математической статистики | 1 решены все задачи базового уровня + прочитаны ответы на 3 вопроса по теории + контрольная работа решена на «2+» 2 решены все задачи базового уровня + прочитаны ответы на 3 вопроса по теории + контрольная работа решена на «3» 3 решены все задачи базового уровня + ответы на вопросы по теории даны самостоятельно + контрольная работа решена на «2+» 4 решены все задачи базового уровня + ответы на вопросы по теории даны самостоятельно + контрольная работа решена на «3» 5 решены все задачи базового уровня + решены все задачи повышенного уровня (самостоятельно даны ответы на вопросы по теории) + контрольная работа решена на «3+» 6 контрольная работа решена на «4-5» | |
| Минимальная сумма баллов | ||
| Максимальная сумма баллов | ||
| Дополнительные бонусные баллы | 1 контрольная работа решена на «4-5» 2 выполнено задание исследовательского характера 3 досрочная сдача всех тем | 3-5 3-20 |
Для получения зачета нужно набрать не менее 61 балла.
Для получения допуска на экзамен нужно набрать не менее 51 балла
Оценка «3 (посредственно)» выставляется, если набрано 61-67 баллов.
Оценка «3 (удовлетворительно)» выставляется, если набрано 68-73 балла.
Оценка «4 (хорошо)» выставляется, если набрано 74-83 балла.
Оценка «4 (очень хорошо)» выставляется, если набрано 84-90 баллов.
Оценка «5 (отлично)» выставляется, если набрано 91-100 баллов.
Тема 1: Аксиоматический метод
Математика - это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлеченными понятиями любого вида, и в этой области нет предела ее могуществу.
П.Дирак
Если теорему так и не смогли доказать – она становится аксиомой.
Евклид
Сущность аксиоматического метода
Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Определить математическое понятие – это значит указать его характерные признаки или свойства, которые выделяют это понятие среди остальных. Обычный способ определения математического понятия заключается в указании: 1) ближнего рода, то есть более общего понятия, к которому относится определяемое понятие; 2) видового отличия, то есть тех характерных признаков или свойств, которые присущи именно этому понятию.
Пример 1. Определение: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны». Ближайшим родом, то есть более общим понятием является понятие прямоугольника, а видовым отличием будет указание, что у квадрата все стороны равны. В свою очередь для прямоугольника более общим понятием является понятие параллелограмма, для параллелограмма - понятие четырехугольника, для четырехугольника - понятие многоугольника и так далее. Но указанная цепочка не является бесконечной.
Существуют понятия, которые нельзя определить через другие, более общие понятия. Их в математике называют основными неопределяемыми понятиями . Примерами основных понятий являются точка, прямая, плоскость, расстояние, множество и так далее.
Связи и отношения между основными понятиями формулируются с помощью аксиом.
Аксиома - это математическое предложение, принимаемое в данной теории без доказательств.
К системе аксиом, на которой строится та или иная математическая теория, предъявляются требования непротиворечивости, независимости, полноты.
Система аксиом называется непротиворечивой , если из нее нельзя одновременно вывести два взаимоисключающих друг друга предложения: А , неА .
Система аксиом называется независимой , если ни одна из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.
Система аксиом называется полной , если в ней доказуемо обязательно одно из двух: либо утверждение А , либо неА.
Предложение, которого нет в списке аксиом, должно быть доказано. Такое предложение называется теоремой .
Теорема - это математическое предложение, истинность которого устанавливается в процессе рассуждения, называемого доказательством.
Пример 2.
Аксиома: «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки, не принадлежащие ей».
Теорема: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм».
Одним из основных методов современной математики является аксиоматический метод . Сущность его состоит в следующем:
1) перечисляются основные неопределяемые понятия и отношения строящейся теории (примеры отношений: следовать за..., лежать между...);
2) формулируются аксиомы, принимаемые в данной теории без доказательства, которые выражают связь между основными понятиями и их отношениями;
3) предложения, которых нет среди основных понятий и основных отношений, должны быть определены;
4) предложения, которых нет в списке аксиом, должны быть доказаны на основе этих аксиом и ранее доказанных предложений.
1.2 Геометрия Евклида – первая естественно научная теория
Исторический обзор обоснования геометрии. Геометрия, прежде чем стать аксиоматической теорией, прошла долгий путь эмпирического развития.
Первые сведения о геометрии были получены цивилизациями Древнего Востока (Египет, Китай, Индия) в связи с развитием земледелия, ограниченностью плодородных земель и др. В этих странах геометрия носила эмпирический характер и представляла собой набор отдельных «рецептов-правил» для решения конкретных задач. Уже во II тысячелетии до н.э. египтяне умели точно вычислить площадь треугольника, объем усеченной пирамиды, площадь круга, а вавилоняне знали теорему Пифагора. Заметим, что доказательств не было, а указывались правила для вычислений.
Греческий период развития геометрии начался в VII-VI вв. до н.э. под влиянием египтян. Отцом греческой математики считается знаменитый философ Фалес (640-548 гг. до н.э.). Фалесу, точнее, его математической школе принадлежат доказательства свойств равнобедренного треугольника, вертикальных углов. В дальнейшем геометром Древней Греции были получены результаты, охватывающие почти все содержание современного школьного курса геометрии.
Философская школа Пифагора (570-471 гг. до н.э.) открыла теорему о сумме углов треугольника, доказала теорему Пифагора, установила существование пяти типов правильных многогранников и несоизмеримых отрезков. Демокрит (470-370 гг. до н.э.) открыл теоремы об объемах пирамиды и конуса. Евдокс (410-356 гг. до н.э.) создал геометрическую теорию пропорций (т.е. теорию пропорциональных чисел).
Менехм и Аполлоний изучили конические сечения. Архимед (289-212 гг. до н.э.) открыл правила вычисления площади поверхности и объема шара и других фигур. Он же нашел приближенное значение числа π.
Особая заслуга древнегреческих ученых состоит в том, что они первыми поставили задачу строгого построения геометрических знаний и решили ее в первом приближении. Проблему поставил Платон (428-348 гг. до н.э.). Аристотелю (384-322 гг. до н.э.) – крупнейшему философу, основателю формальной логики – принадлежит четкое оформление идеи построения геометрии в виде цепи предложений, которые вытекают одно из другого на основе лишь правил логики. Эту задачу пытались решить многие греческие ученые (Гиппократ, Федий).
Евклид (330-275 гг. до н. э.) – крупнейший геометр древности, воспитанник школы Платона, жил в Египте (в Александрии). Составленные им «Начала» дают систематическое изложение начал геометрии, выполненное на таком научном уровне, что многие века преподавание геометрии велось по его сочинению. «Начала» состоят из 13 книг (глав):
I-VI – планиметрия;
VII-IХ – арифметика в геометрическом изложении;
X – несоизмеримые отрезки;
ХI-ХII – стереометрия.
В «Начала» были включены не все сведения, известные в геометрии. Например, в эти книги не вошли: теория конических сечений, кривые высших порядков.
Каждая книга начинается с определения тех понятий, которые в ней встречаются. Например, в книге I даны 23 определения. Приведем определения первых четырех понятий:
1 Точка есть то, что не имеет частей.
2 Линия есть длина без ширины.
3 Границы линии суть точки.
Евклид приводит предложения, принимаемые без доказательства, разделяя их на постулаты и аксиомы. Постулатов у него пять, а аксиом – семь. Вот некоторые из них:
IV И чтобы все прямые углы были равны.
V И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Аксиомы
I Равные порознь третьему равны между собой.
II И если к равным прибавить равные, то получим равные.
VII И совмещающиеся равны.
Евклид не указал, в чем заключается различие между постулатами и аксиомами. До сих пор нет окончательного решения этого вопроса.
Евклид излагает теорию геометрии так, как требовали греческие ученые, особенно Аристотель, т.е. теоремы расположены так, что каждая следующая доказывается только на основе предыдущих. Иначе говоря, Евклид развивает геометрическую теорию строго логическим путем. В этом и заключается историческая заслуга Евклида перед наукой.
«Начала» Евклида сыграли огромную роль в истории математики и всей человеческой культуры. Эти книги переведены на все основные языки мира, после 1482 г. они выдержали около 500 изданий.
Недостатки системы Евклида. С точки зрения современной математики изложение «Начал» следует признать несовершенным. Назовем основные недостатки этой системы:
1) многие понятия включают такие, которые в свою очередь должны быть определены (например, в определениях 1-4 главы 1 используются понятия ширины, длины, границы, которые также должны быть определены);
2) список аксиом и постулатов недостаточен для построения геометрии строго логическим путем. Например, в этом списке нет аксиом порядка, без которых нельзя доказать многие теоремы геометрии; заметим, что на это обстоятельство обратил внимание Гаусс. В указанном списке отсутствуют также определения понятия движения (совмещения) и свойств движения, т.е. аксиом движения. В списке не хватает также аксиомы Архимеда (одной из двух аксиом непрерывности), которая играет важную роль в теории измерений длин отрезков, площадей фигур и объектов тел. Заметим, что на это обратил внимание современник Евклида Архимед;
3) постулат IV явно лишний, его можно доказать как теорему. Особо отметим пятый постулат. В книге I «Начал» первые 28 предложений доказаны без ссылок на пятый постулат. Попытка минимизировать список аксиом и постулатов, в частности доказать постулат V как теорему, проводилась со времен самого Евклида. Прокл (V в. н. э.), Омар Хайям (1048-1123 гг.), Валлис (XVII в.), Саккери и Ламберт (XVIII в.), Лежандр (1752-1833 гг.) также пытались доказать постулат V как теорему. Их доказательства были ошибочными, но они привели к положительным результатам – к рождению еще двух геометрий (Римана и Лобачевского).
Неевклидовы геометрические системы. Н.Лобачевский (1792-1856 гг.), который открыл новую геометрию – геометрию Лобачевского, также начал с попытки доказательства постулата V.
Николай Иванович развил свою систему до объема «Начал» в надежде получить противоречие. Не получил, но сделал в 1826 г. правильный вывод: существует геометрия, отличная от геометрии Евклида.
На первый взгляд этот вывод кажется недостаточно обоснованным: может быть, развивая его дальше, можно прийти к противоречию. Но этот же вопрос относится и к геометрии Евклида. Иначе говоря, обе геометрии равноправны перед вопросом о логической непротиворечивости. Дальнейшие исследования показали, что из непротиворечивости одной следует непротиворечивость другой геометрии, т.е. имеет место равноправие логических систем.
Лобачевский был первым, но не единственным, кто сделал вывод о существовании другой геометрии. Гаусс (1777-1855 гг.) высказал эту идею еще в 1816 г. в частных письмах, но в официальных публикациях заявление не сделал.
Три года спустя после публикации результатов Лобачевского (в 1829 г.), т.е. в 1832 г., вышла работа венгра Я. Бойяи (1802-1860 гг.), который в 1823 г. пришел к выводу о существовании другой геометрии, но опубликовал позже и в менее развитом, чем у Лобачевского, виде. Поэтому справедливо, что эта геометрия носит имя Лобачевского.
Общему признанию геометрии Лобачевского в значительной степени способствовали работы геометров после Лобачевского. В 1868 г. итальянский математик Э.Бельтрами (1825-1900 гг.) доказал, что на поверхности постоянной отрицательной кривизны (так называемая псевдосфера) имеет место геометрия Лобачевского. Уязвимым местом доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского, основанного на интерпретации Бельтрами, было то, что, как показал Д.Гильберт (1862-1943 гг.), в евклидовом пространстве не существует полной поверхности постоянной отрицательной кривизны без особенностей. Поэтому на поверхности постоянной отрицательной кривизны можно интерпретировать только часть плоской геометрии Лобачевского. Этот недостаток был устранен А.Пуанкаре (1854-1912 гг.) и Ф.Клейном (1849-1925 гг.).
Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского было вместе с тем и доказательством независимости пятого постулата от остальных. Действительно, в случае зависимости геометрия Лобачевского была бы противоречивой, так как она содержала бы два взаимно исключающих утверждения.
Дальнейшие исследования евклидовой геометрии показали неполноту системы аксиом и постулатов Евклида. Исследование аксиоматики Евклида завершил в 1899 г. Гильберт.
Аксиоматика Гильберта состоит из пяти групп:
Аксиомы связи (принадлежности);
Аксиомы порядка;
Аксиомы конгруэнтности (равенства, совпадения);
Аксиомы непрерывности;
Аксиома параллельности.
Эти аксиомы (всего их 20) относятся к объектам трех родов: точек, прямых, плоскостей, а также к трем отношениям между ними: «принадлежит», «лежит между», «конгруэнтен». Конкретный смысл точек, прямых, плоскостей и отношений не указан. Они косвенно определены через аксиомы. Благодаря этому построенная на основе аксиом Гильберта геометрия допускает различные конкретные реализации.
Геометрическая система, построенная на перечисленных аксиомах, называется евклидовой геометрией, так как совпадает с геометрией, изложенной Евклидом в «Началах».
Геометрические системы, отличные от евклидовой, называются неевклидовыми геометриями. Согласно общей теории относительности, в пространстве ни та, ни другая не являются абсолютно точными, однако в малых масштабах (земные масштабы являются также достаточно «малыми») они вполне пригодны для описания пространства. Причиной того, что на практике применяются евклидовы формулы, является их простота.
Гильберт всесторонне исследовал свою систему аксиом, показал, что она непротиворечива, если не противоречива арифметика (т.е. на самом деле доказана содержательная или так называемая внешняя непротиворечивость). Он завершил многовековые исследования геометров по обоснованию геометрии. Эта работа была высоко оценена и в 1903 г. отмечена премией имени Лобачевского.
В современном аксиоматическом изложении геометрии Евклида не всегда пользуются аксиомами Гильберта: учебники по геометрии построены на различных модификациях этой системы аксиом.
В XX в. было обнаружено, что геометрия Лобачевского не только имеет важное значение для абстрактной математики как одна из возможных геометрий, но и непосредственно связана с приложениями математики. Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, открытая А.Эйнштейном и другими учеными в рамках специальной теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского.
Предмет математики
Предмет математики нельзя ни подменять формальными логическими схемами, ни низводить до уровня коллекции разрозненных фактов. Математика есть учение об общих формах, свойственных реальному бытию, она создает постоянно развивающиеся теории, пригодные для самых различных запросов естествознания и техники. Именно это позволяет применять математические методы, разработанные при решении задач одной области науки, к совершенно непохожим на них задачам, относящимся к совсем иным областям знания.
Известны два подхода к определению предмета математики. Одно определение дано Ф.Энгельсом, другое – коллективом французских математиков под общим псевдонимом Н.Бурбаки.
Согласно Ф. Энгельсу, «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть, – весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевывать его происхождение из внешнего мира». Хотя это предложение нельзя считать полным определением математики, поскольку оно не указывает метод, цели изучения математики, но отражает то, что объект изучения создан умом человека не произвольно, а в связи с реальным миром.
Второй подход отражает методологические установки Н. Бурбаки, которые также определяют не математику, а только объекты, которые она исследует. Прежде чем привести их определение, отметим, что новый подход к объектам исследования в математике связан с «революцией в аксиоматике». Суть ее состоит в переходе от конкретной содержательной аксиоматики к аксиоматике сначала абстрактной, а затем полностью формализованной.
В конкретной содержательной аксиоматике, подобной аксиоматике Евклида, исходные понятия и аксиомы в качестве интерпретации имеют единственную систему хотя и идеализированных, но конкретных объектов. В противоположность этому абстрактная аксиоматика допускает бесчисленное множество интерпретаций. Формализованная аксиоматика возникает на основе абстрактной и отличается, во-первых, точным заданием правил вывода, во-вторых, вместо содержательных рассуждений использует язык символов и формул, в результате чего содержательные рассуждения сводятся к преобразованию одних формул в другие, т. е. к особого рода исчислениям. В соответствии с этим одни и те же аксиомы могут описывать свойства и отношения различных по своему конкретному содержанию объектов.
Эта фундаментальная идея лежит в основе понятия абстрактной структуры. Н.Бурбаки выделяют три основных типа структур, которые играют важную роль при построении ими современной математики.
Алгебраические структуры. Примерами таких структур являются группы, кольца и поля. Основные характеристики алгебраической структуры: задание на некотором множестве А конечного числа операций с соответствующими свойствами, описываемых системой аксиом. В качестве элементов множества А могут выступать как математические объекты (числа, матрицы, перемещения, векторы), так и нематематические.
Структуры порядка характеризуются тем, что на рассматриваемом множестве задается отношение порядка (сравнение на числовых множествах), для которого выполняются следующие свойства: рефлексивность, симметричность, транзитивность.
Топологические структуры. Множество М обладает топологической структурой, если каждому его элементу тем или иным способом отнесено семейство подмножеств из М, называемых окрестностями этого элемента, причем эти окрестности должны удовлетворять определенным аксиомам (аксиомам топологических структур). С помощью топологических структур точно определяются такие понятия, как «окрестность», «предел», «непрерывность».
Кроме основных трех типов структур (порождающих), в математике приходится рассматривать сложные структуры, где порождающие структуры органически связываются с помощью объединяющей системы аксиом. Например, множество действительных чисел является сложной структурой, в которую одновременно входят три основные порождающие структуры.
Общей чертой различных понятий, объединенных родовым названием «математическая структура», является то, что они применимы ко множеству элементов, природа которых не определена. Построить аксиоматическую теорию структуры – значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предложений относительно рассматриваемых элементов, от всяких гипотез относительно их «природы».
На основе сказанного Н.Бурбаки делают вывод: «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм – математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм».
Итак, по Н.Бурбаки, математика – это «скопление математических структур», не имеющих к действительности никакого отношения. Следует сказать, что этот взгляд на математику разделялся многими учеными, которые считали, что определение Ф. Энгельса устарело.
Накопленный в XVII и XVIII вв. огромный фактический материал привел к необходимости углубленного логического анализа и объединения его с новых точек зрения. Связь математики с естествознанием приобретает все более сложные формы. Новые теории стали возникать не только в результате непосредственных запросов практики, естествознания и техники, но также из внутренних потребностей самой математики. Наиболее важные из них: развитие теории функций, теории групп, связанной с исследованием проблемы разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, создание неевклидовых геометрий.
Вторая особенность этого периода развития математики связана со значительным расширением области ее приложений. Если до этого математика применялась в таких разделах физики, как механика и оптика, то теперь ее результаты находят приложение в электродинамике, теории магнетизма, термодинамике. Резко возросли потребности техники в математике: баллистика, машиностроение и др.
Третья особенность математики XIX в. обусловлена усиленным вниманием к вопросам обоснования, критического пересмотра исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, а также к критическому рассмотрению логических приемов, употребляемых при этих доказательствах. Г. Рузавин так пишет о математике этого периода: «Если раньше основным предметом ее изучения были метрические количественные отношения между величинами и пространственными формами, то, начиная с середины XIX в. она все больше и больше обращается к анализу взаимосвязей неметрической природы». Такое расширение области исследования математики сопровождалось возрастанием абстрактности ее понятий и теорий.
Революционный переворот во взглядах на математику был связан как раз с ее обоснованием, новым пониманием аксиоматического метода. Открытие в 1826 г. Н.Лобачевским того, что замена пятого постулата Евклида о параллельных его отрицанием («Через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную»), и выводы из системы аксиом абсолютной геометрии (где выполняются все аксиомы Евклида, кроме аксиомы параллельности) и аксиомы параллельности Лобачевского не привели к логическим погрешностям.
Это развило столь же стройную и богатую содержанием геометрию, как и геометрия Евклида, послужило толчком в изменении взглядов на математику. Сразу встал вопрос о необходимости обоснования новой геометрии, исследовании ее непротиворечивости (из данной системы аксиом нельзя получить двух взаимоисключающих выводов). В этой связи получает дальнейшее развитие аксиоматический метод: 1) решается проблема непротиворечивости, полноты и независимости системы аксиом; 2) появляется новый взгляд на аксиоматическую теорию как бессодержательную, формально-логическую систему. Решение этих проблем было предложено Д. Гильбертом.
Новый взгляд на аксиоматический метод в корне изменил прежние представления о геометрии как полуэмпирической науке. Из открытий неевклидовых геометрий и построения их интерпретаций следовало, что евклидова и неевклидовы геометрии не представляют непосредственное описание эмпирических свойств реального физического пространства, а являются абстрактными системами утверждений, истинность которых может быть проверена после соответствующей конкретной интерпретации.
Таким образом, подход Н.Бурбаки к определению математики как «скоплению абстрактных, бессодержательных, математических структур» был предопределен новым пониманием аксиоматического метода.
Однако подход Н.Бурбаки встретил и негативное отношение, поскольку они не считали нужным выяснять отношение рассматриваемых структур к действительному миру. Не имея возможности описать различные оценки философов и математиков и позиции Н.Бурбаки, остановимся на точке зрения ведущих отечественных математиков – А.Колмогорова, А.Александрова, В.Гнеденко. Они считают, что во времена Энгельса математика изучала количественные отношения между величинами и пространственными формами. Теперь она поднялась до изучения абстрактных структур и категорий. Но на этом основании нельзя считать, что объект изучения математики стал иным, что вместо количественного аспекта действительного мира математика стала исследовать нечто принципиально иное, что современный этап ее развития не связан с предшествующими этапами.
В действительности дело заключается в том, что качественные изменения, происшедшие в математике, дают ей возможность исследовать количественные отношения глубже и шире. А.Колмогоров приходит к выводу, что круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, чрезвычайно расширяется: в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т.п. При таком широком понимании терминов «количественные отношения» и «пространственные формы» определение математики как науки о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира применимо и на современном этапе ее развития.
Эту позицию разделяет и А.Александров: в математике рассматриваются не только формы и отношения, непосредственно абстрагированные из действительности, но и логически возможные, определяемые на основе уже известных форм и отношений. Б. Гнеденко обращает внимание на то, что, хотя любая ветвь современной математики действительно изучает математические структуры, данное Н.Бурбаки определение отнюдь не находится в антагонистических отношениях с определением Ф.Энгельса, а лишь с определенных позиций его дополняет.
Подводя итог сказанному, можно заключить, что подход к определению математики через математические структуры представляет собой выражение определенного этапа математического познания. Математика была и остается определенным «инструментом» познания мира, его пространственных форм и количественных отношений. В настоящее время, как уже отмечалось, этот «инструмент» проникает в изучение все более сложных процессов и явлений, в том числе и неметрической природы. Без осознания этого фундаментального философского, методологического положения не может быть сформировано целостное представление об общей картине мира.
Математика претендует на статус «особой» науки, изначально превышающей все прочие по уровню точности, истинности и непротиворечивости своих фундаментальных положений. В сфере конечных величин математика действительно относительно точна и непротиворечива; этого достаточно для более или менее адекватного количественного моделирования самых различных конечных по размерности предметных областей. Что же касается сферы бесконечного, то здесь у современной математики есть свои противоречия, которые могут быть преодолены лишь совместными усилиями математиков, философов и логиков.
Аксиоматический метод – способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, которые называют аксиомами теории, а все остальные положения теории вытекают как логические следствия аксиом. Большинство направлений современной математики, теоретическая механика, ряд разделов физики построены на основе аксиоматического метода. В математике аксиоматический метод дает возможность создания законченных, логичнозавершиних научных теорий. Не меньшее значение имеет и то, что математическая теория, построенная аксиоматически, часто находит применение в других науках.
В математике аксиоматический метод зародился в работах древнегреческих геометров. Блестящим образцом его применения вплоть до XIX в. была геометрическая система, известная под названием «Начала» Евклида (ок. 300 до н.э.). Хотя в то время не стоял еще вопрос об описании логических средств, применяемых для получения содержательных последствий из аксиом, в системе Евклида уже достаточно четко прослеживается идея получения всего основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем, с определенного, относительно небольшого, числа утверждений – аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной.
Открытие в начале XIX в. неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским и Я. Бойяи стало толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода. Они установили, что, заменив привычный и, казалось бы, единственно «объективно истинный» V постулат Евклида о параллельных прямых его отрицанием, можно развивать чисто логическим путем геометрическую теорию, столь же стройную и богатую содержанием, как и геометрия Евклида. Этот факт заставил математиков XIX в. обратить особое внимание на дедуктивный способ построения математических теорий, что привело к возникновению связанной с самим понятием аксиоматического метода и формальной (аксиоматической) математической теории новой проблематики, на основе которой выросла так называемая теория доказательств как основной раздел современной математической логики.
Понимание необходимости обоснования математики и конкретные задачи в этой области зародились в более или менее отчетливой форме уже в XIX в. Уточнение основных понятий анализа и сведения сложных понятий к простейшему на точной и логически все более прочной основе, а также открытие неевклидовых геометрий стимулировали развитие аксиоматического метода и возникновения проблем общего математического характера, таких, как непротиворечивость, полнота и независимость той или системы аксиом.
Первые результаты в этой области принес метод интерпретаций, который может быть описан следующим образом. Пусть каждому выходному понятию и соотношению данной аксиоматической теории Т поставлен в соответствие определенный конкретный математический объект. Совокупность таких объектов называется полем интерпретации. Всякому утверждению U теории Т естественным образом ставится в соответствие определенное высказывание U * об элементах поля интерпретации, которое может быть истинным или ложным. Тогда говорят, что утверждения U теории Т соответствии истинное или ложное в данной интерпретации. Поле интерпретации и его свойства обычно сами являются объектом рассмотрения определенной математической теории T 1, которая, в частности, может быть тоже аксиоматической.
Метод интерпретаций позволяет устанавливать факт относительной непротиворечивости, то есть доказать утверждения типа: «если теория T 1 непротиворечива, то непротиворечивая и теория Т». Пусть теория Т проинтерпретированы в теории T 1 таким образом, что все аксиомы А и теории Т интерпретируются истинными утверждениями А и * теории Т 1. Тогда всякая теорема теории Т, то есть всякое утверждение А, логически выведено из аксиом А и в Т, интерпретируется в T 1 определенным утверждением А *, которое можно вывести в Т из интерпретаций А * и аксиом А и, и следовательно истинным. Последнее утверждение опирается на еще одно предположение, что делается неявно нами, определенного сходства логических средств, применяемых в теориях Т и Т 1. Практически это условие обычно выполняется. Пусть теперь теория Т противоречива, то есть некое утверждение А этой теории выведено в ней вместе со своим отрицанием. Тогда из вышесказанного следует, что утверждение А * и «не А *» будут одновременно истинными утверждениями теории Т 1, т.е. теория Т 1 противоречива. Этим методом была, например, доказано (Ф. Клейн, А. Пуанкаре) непротиворечивость неевклидовой геометрии Лобачевского в предположении, что непротиворечивая геометрия Евклида, а вопрос о непротиворечивость гильбертово аксиоматизациы евклидовой геометрии был возведен (Д. Гильберт) к проблеме непротиворечивости арифметики.
Метод интерпретаций позволяет также решать вопрос о независимости систем аксиом: для доказательства того, что аксиома А теории Т не виводима из других аксиом этой теории и, следовательно, существенно необходима для получения всего объема данной теории, достаточно построить такую интерпретацию теории Т, в которой аксиома А была бы ошибочна, а все остальные аксиомы данной теории истинны. Вышеупомянутое возведения проблемы непротиворечивости геометрии Лобачевского к проблеме непротиворечивости евклидовой геометрии, а этой последней – к вопросу о непротиворечивость арифметики имеет своим следствием утверждение, что V постулат Евклида не виводимий из других аксиом геометрии, если только непротиворечивой является арифметика натуральных чисел.
Слабая сторона метода интерпретаций заключается в том, что в вопросах непротиворечивости и независимости систем аксиом он дает возможность получать только результаты, носят относительный характер. Важным достижением этого метода стал тот факт, что с его помощью была обнаружена особая роль арифметики как такой математической теории, к вопросу о непротиворечивости которой сводится аналогичный вопрос для целого ряда других теорий.
Дальнейшее развитие – в известном смысле это была вершина – аксиоматический метод получил в работах Д. Гильберта и его школы. В рамках этого направления было произведено дальнейшее уточнение понятия аксиоматической теории, а само понятие формальной системы. В результате этого уточнения оказалось возможным представлять сами математические теории как точные математические объекты и строить общую теорию, или метатеорию, таких теорий. При этом привлекательной представлялась перспектива (и Д. Гильберт был в свое время ею увлечен) решить на этом пути все главные вопросы обоснования математики. Всякая формальная система строится как точно очерченное класс выражений формул, в котором определенным точным образом выделяется подкласс формул, называют теоремами данной формальной системы. При этом формулы формальной системы сами не несут в себе никакой смысловой смысла, их можно строить по произвольным знаков или элементарных символов, руководствуясь только соображениями технической удобства. На самом деле способ построения формул и понятия теоремы той или формальной системы выбираются с таким расчетом, чтобы весь этот формальный аппарат можно было применять для как можно более адекватного и полного выражения той или конкретной математической (или не математической) теории, точнее, как ее фактического содержания, так и ее дедуктивной структуры. Всякую конкретную математическую теорию Т можно перевести на язык пригодной формальной системы S таким образом, что каждое осмысленное (ложное или истинное) выражения теории Т выражается известной формулой системы S.
Естественно ожидать, что метод формализации позволит строить весь положительный смысл математических теорий на такой точной и, казалось бы, надежной основе, как понятие выведенной формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математических теорий решать форме доказательств соответствующих утверждений формальных систем, которые формализуют эти теории. Чтобы получить доказательства утверждений о непротиворечивость, не зависящих от тех мощных средств, которые в классических математических теориях раз и является причиной осложнений их обоснования, Д. Гильберт предлагал исследовать формальные системы т.н. финитными методами (см. метаматематики).
Однако результаты К. Геделя начале 30-х г. XX в. привели к краху основных надежд, что связывались с этой программой. К. Гедель показал следующее.
1) Всякая естественная, непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику (напр., теории множеств), неполная и непополняемые в том смысле, что: а) в S содержатся (содержательно истинные неразрешимые формулы, есть такие формулы А, ни А, ни отрицания А не виводими в S (неполнота формализованной арифметикы), б) какой бы конечным множеством дополнительных аксиом (напр., неразрешимыми в S формулам) расширять систему S, в новой, усиленной таким образом формальной системе неизбежно появятся свои неразрешимые формулы (непоповнюванисть; см. также Геделя теорема о неполноте).
2) Если формализованная арифметика действительности непротиворечива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивость может быть выражено ее собственным языком, доведение этого утверждения невозможно провести средствами, формализуются в ней самой.
Это означает, что уже для арифметики принципиально невозможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом виводимих формул какой бы формальной системой и что нет никакой надежды получить какое-либо финитных доведение непротиворечивости арифметики, потому что, очевидно, всякое разумное уточнение понятия финитного доведение оказывается формализуемим в формальной арифметике.
Все это ставит определенные границы можливстям А. м. в том его виде, который он приобрел в рамках гильбертовського формализма. Однако и в этих границах он сыграл и продолжает играть важную роль в основании математики. Так, например, уже после описанных результатов К. Геделя им же в 1938-40 гг, а затем П. Коэном в 1963 г. на основе аксиоматического подхода с применением метода интерпретаций были получены фундаментальные результаты о совместимости (т.е. относительную непротиворечивость) и независимость аксиомы выбора и континуум-гипотезы в теории множеств. Что касается такого основного вопроса основ математики, как проблема непротиворечивости, и после результатов К. Геделя стало ясно, что для его решения, очевидно, не обойтись без других, отличных от финитистських, средств и идей. Здесь оказались возможными различные подходы, учитывая существование различных взглядов на допустимость тех или иных логических средств.
Из результатов о непротиворечивость формальных систем следует указать на доведение непротиворечивости формализованной арифметики, опирающегося на бесконечную индукцию к определенному счетно трансфинитной числа.
По П. С. Новиковым.
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (от греч. axioma) - принятое положение - способ построения научной теории, при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами, постулатами и ранее выведенными из них утверждениями. Впервые ярко продемонстрирован Евклидом в его «Началах», хотя понятия аксиомы и постулата упоминаются уже Аристотелем. У древних греков аксиомой называлось ясно сформулированное положение, настолько самоочевидное, что его не доказывают и кладут в основу других доказательств. Постулат - утверждение о возможности выполнить некоторое построение. Поэтому «Целое больше части» - аксиома, а «Из данной точки данным радиусом можно описать окружность» - постулат. В дальнейшем понятие аксиомы поглотило понятие постулата, поскольку не были осознаны понятия дескриптивности и конструктивности (аксиома описывает, постулат строит). Почти все аксиомы эллинской геометрии были сформулированы настолько четко и удачно, что не вызывали сомнений. Однако одно из положений Евклида, а именно пятый постулат, эквивалентный утверждению «Через точку, лежащую вне прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну», с самого начала вызывало сомнения. Более того, до Евклида эллины исследовали все три возможные гипотезы: 1) нельзя провести ни одной параллельной прямой, 2) можно провести больше одной и 3) можно провести лишь одну параллельную прямую; но Евклид осознанно выбрал одну формулировку, поскольку лишь в таком случае существовал квадрат и понятие подобия фигур. В дальнейшем наличие альтернатив было забыто, и пятый постулат неоднократно пытались доказать. Вплоть до 17 в. А. м. мало развивался. Евклид и Архимед сформулировали аксиомы статики и оптики, а в дальнейшем, в связи с общей тенденцией к комментаторству и канонизации, исследования перелагали, либо, в лучшем случае, анализировали старые системы аксиом. Неудивительно, что новая математика начала с отказа от А. м., и анализ бесконечно малых развивался как неформализованная теория. Была понята сомнительность аксиомы «Целое меньше части», поскольку Николай Кузанский и вслед за ним Галилей показали, что для бесконечных совокупностей целое может быть изоморфно части. Но это открытие было недооценено, потому что слишком хорошо согласовывалось с христианской религией (с концепциями различных ипостасей бесконечного Бога). Далее, неудача Спинозы в попытках вывести геометрическим, чисто рассудочным методом систему этики и метафизики показала неприменимость существующего А. м. к гуманитарным понятиям.
Возвращение к А. м. произошло в 19 в. Оно базировалось на двух открытиях - неевклидовой геометрии (переоткрывшей то, что было известно до Евклида, но потом напрочь забыто), и абстрактной алгебре. В неевклидовой геометрии (Г а у с с, Лобачевский, Бойяи) было показано, что одно из отрицаний пятого постулата - а именно то, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые, параллельные данной - совместимо с остальными аксиомами геометрии. Таким образом, те аксиомы и постулаты, которые создавались, чтобы описать «единственно истинное» пространство, на самом деле описывают целый класс различных пространств. В абстрактной алгебре появились новые числовые системы, причем сразу целые их семейства (напр., р-адические числа) и переменные структуры типа групп. Свойства переменных структур естественно было описывать при помощи аксиом, но теперь уже никто не настаивал на их самоочевидности, а рассматривали их просто как способ описания класса математических объектов. Напр., полугруппа определяется единственной аксиомой - ассоциативности умножения: а° (Ь о с) = (а о Ь) о С. В самой геометрии наступил черед критического переосмысления классических аксиом. Э. Паш показал, что Евклид не усмотрел еще один постулат, столь же интуитивно очевидный, как и описанные им: «Если прямая пересекает одну из сторон треугольника, то она пересечет и другую». Далее было показано, что один из признаков равенства треугольников нужно принять в качестве аксиомы, иначе теряется строгость доказательств, поскольку из остальных аксиом не следует возможность перемещения фигур. Была отброшена аксиома «Целое меньше части», как не имеющая смысла с точки зрения новой математики, и заменена на несколько положений о соотношении мер фигур. И, наконец, Д. Гильберт сформулировал новую аксиоматику геометрии, базирующуюся на высших достижениях математики 19 в.
В эллинские времена и позже понятие числа не описывалось аксиоматически. Только в конце 19 в. Дж. Пеано (Италия) дал аксиоматику натуральных чисел. Аксиоматики Пеано и Гильберта содержат по одному принципу высшего порядка, говорящему не о фиксированных понятиях, а о произвольных понятиях либо совокупностях. Напр., в арифметике - это принцип математической индукции. Без принципов высших порядков однозначное описание стандартных математических структур невозможно.
А. м. был использован для спасения теории множеств после нахождения связанных с нею парадоксов. Спасение само по себе производилось не лучшим способом - латанием парадигмы. Те из принципов теории множеств, которые казались не приводящими к парадоксам и обеспечивали необходимые для математики построения, были приняты в качестве аксиом. Но при этом А. м. был обобщен на логику. Д. Гильберт явно сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а П. Бернайс - логики предикатов. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий.
Современный А. м. отличается от традиционного тем, что явно задаются не только аксиомы, но и язык, а в логике - еще и правила вывода описываемой теории либо системы. Пересмотренный и усиленный А. м. стал мощным оружием в таких новых областях знания, как когнитивная наука и математическая лингвистика. Он позволяет низводить семантические проблемы на уровень синтаксических и тем самым помогать их решению.
В последние десятилетия по мере развития теории моделей А. м. стал в обязательном порядке дополняться теоретико-модельным. Формулируя аксиоматическую систему, нужно описать и совокупность ее моделей. Минимально необходимым обоснованием системы аксиом служит ее корректность и полнота на заданном классе моделей. Но для применений недостаточно такого формального обоснования - нужно также показать содержательный смысл построенной системы и ее выразительные возможности.
Основным математическим ограничением А. м. служит то, что логика высших порядков неформализуема и неполна, а без нее описать стандартные математические структуры нельзя. Поэтому в тех областях, где есть конкретные числовые оценки, А. м. не может быть применен к полному математическому языку. В таких областях возможна лишь неполная и непоследовательная, так называемая частичная либо содержательная, аксиоматизация.
Неформализуемость понятий сама по себе, как ни странно, не препятствует применению А. м. к данным понятиям. Все равно при работе в фиксированной обстановке есть смысл переходить к гораздо более эффективным формальным моделям. В данном случае положительной чертой формализмов часто может являться их несоответствие реальной ситуации. Формализмы не могут полностью соответствовать содержанию понятий, но если эти несоответствия спрятаны, то формализмами часто продолжают пользоваться и после того, как обстановка перестала быть подходящей для их применения, и даже в ситуации, с самого начала не подходящей для их использования. Подобные опасности существуют и для частичных формализации.
- - аксиоматический метод, не фиксирующий жестко применяемого языка и тем самым не фиксирующий границы содержательного понимания предмета, но требующий аксиоматич...
Математическая энциклопедия
- - метод математических рассуждений, основанный на логическом выводе из некоторых утверждений...
Научно-технический энциклопедический словарь
- - способ построения науч. теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения - аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны...
Философская энциклопедия
- - способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений, из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные утверждения этой...
Новейший философский словарь
- - АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД - принятое положение - способ построения научной теории, при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами, постулатами и ранее выведенными из них утверждениями...
Энциклопедия эпистемологии и философии науки
- - способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательств...
Словарь логики
- - см. МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ...
Энциклопедия социологии
- - способ построения науч. теории в виде системы аксиом и правил вывода, позволяющих путём логич. дедукции получать утверждения данной теории...
Естествознание. Энциклопедический словарь
- - МЕ́ТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ способ построения теории, при к-ром в ее основу кладутся нек-рые ее положения – аксиомы или постулаты, – из к-рых все остальные положения теории выводятся путем...
Философская энциклопедия
- - способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения - аксиомы, или Постулаты, из которых все остальные утверждения этой науки) должны выводиться чисто...
- - см. Аксиоматический метод...
Большая Советская энциклопедия
- - способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории получаются как логические следствия аксиом...
Современная энциклопедия
- - способ построения научной теории в виде системы аксиом и правил вывода, позволяющих путем логической дедукции получать утверждения данной теории...
Большой энциклопедический словарь
- - то же, что аксиоматичный...
Толковый переводоведческий словарь
- - Способ исследования, состоящий в том, что множество элементов или объектов разбивается на части. Одна часть рассматривается как исходные положения – аксиомы, принимаемые без доказательств...
Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило
- - ...
Орфографический словарь русского языка
"аксиоматический метод" в книгах
Аксиоматический метод
Из книги Истории давние и недавние автора Арнольд Владимир ИгоревичАксиоматический метод Первая школьная неприятность была вызвана правилом умножения отрицательных чисел. Я тотчас начал расспрашивать отца, чем объясняется это странное правило. Мой отец, как верный ученик Эмми Нётер (и, следовательно, Гильберта и Дедекинда) стал
1. Этика Б. Спинозы. Аксиоматический метод доказательства морали
Из книги Этика: конспект лекций автора Аникин Даниил Александрович1. Этика Б. Спинозы. Аксиоматический метод доказательства морали Основная установка мыслителей Нового времени предпо–лагала выведение морали из природы, что часто становилось сведением ее к естественнонаучному знанию. Стремление придать этике статус строгой научной
76. Метод анкетирования, интервьюирование, целевой метод, метод комиссий и конференций
автора Ольшевская Наталья76. Метод анкетирования, интервьюирование, целевой метод, метод комиссий и конференций При проведении метода анкетирования эксперты заполняют предварительно составленные специалистами анкеты, в которых: формулировки должны исключать смысловую неопределенность;
93. Балансовый метод, метод меньших чисел, метод среднего квадратического
Из книги Экономический анализ. Шпаргалки автора Ольшевская Наталья93. Балансовый метод, метод меньших чисел, метод среднего квадратического Балансовый метод состоит в сравнении, соизмерении двух комплексов показателей, стремящихся к определенному равновесию. Он позволяет выявить в результате новый аналитический (балансирующий)
Акселерированный метод нейрообучения Эрика Дженсена и ИЛПТ как интенсивный метод обучения
Из книги Психология речи и лингвопедагогическая психология автора Румянцева Ирина МихайловнаАкселерированный метод нейрообучения Эрика Дженсена и ИЛПТ как интенсивный метод обучения Современное образование непрерывно ищет пути своей модернизации и, соответственно, новые методы обучения. Для этих целей оно обращается к различным отраслям науки и на их основе
2.3. Метод датирования царских династий и метод обнаружения фантомных династических дубликатов
Из книги автора2.3. Метод датирования царских династий и метод обнаружения фантомных династических дубликатов Итак, при помощи коэффициента с(а, b) можно достаточно уверенно различать зависимые и независимые пары летописных династий. Важный экспериментальный факт состоит в том, что
2.5. Метод датирования царских династий и метод обнаружения фантомных династических дубликатов
Из книги автора2.5. Метод датирования царских династий и метод обнаружения фантомных династических дубликатов Итак, при помощи коэффициента с(а, b) можно достаточно уверенно различать зависимые и независимые пары летописных династий. Важный экспериментальный факт состоит в том, что
Аксиоматический метод
Из книги Большая Советская Энциклопедия (АК) автора БСЭФормальный аксиоматический метод
Из книги Большая Советская Энциклопедия (ФО) автора БСЭАКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Из книги Новейший философский словарь автора Грицанов Александр АлексеевичАКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (греч. axioma - значимое, принятое положение) - способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные
27. Классический метод наименьших квадратов для модели множественной регрессии. Метод Крамера
Из книги Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике автора Яковлева Ангелина Витальевна27. Классический метод наименьших квадратов для модели множественной регрессии. Метод Крамера В общем виде линейную модель множественной регрессии можно записать следующим образом:yi=?0+?1x1i+…+?mxmi+?i, где yi – значение i-ой результативной переменной,x1i…xmi – значения факторных
25. МОРФОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД РАЗРАБОТКИ ПРОДУКТА. МЕТОД «МОЗГОВОЙ АТАКИ» И ОЦЕНОЧНОЙ ШКАЛЫ
Из книги Маркетинг: Шпаргалка автора Автор неизвестен25. МОРФОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД РАЗРАБОТКИ ПРОДУКТА. МЕТОД «МОЗГОВОЙ АТАКИ» И ОЦЕНОЧНОЙ ШКАЛЫ 1. Описание проблемы без предложения каких-либо решений.2. Разложение проблемы на отдельные компоненты, которые могут влиять на решение.3. Предложение альтернативных решений для
Глава 1 Аксиоматический метод
Из книги Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы автора Фресан ХавьерГлава 1 Аксиоматический метод Со времен греков говорить «математика» - значит говорить «доказательство». Николя Бурбаки Энтузиазм, с которым адвокат Тауринус разорвал конверт, не теряя времени на поиски ножа, сменялся разочарованием по мере того, как он строчка за
3. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ РАЗУМ
Из книги Компьютерная лингвистика для всех: Мифы. Алгоритмы. Язык автора Анисимов Анатолий Васильевич3. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ РАЗУМ.... машина мира слишком сложна для человеческого разума X. Л.Борхес. Ад В мире нет ничего более удивительного, чем сознание, разум человека; тем большее удивление вызывает то, что в своей глубинной основе оно обусловлено весьма простыми
12.9. Аксиоматический метод
Из книги Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции автора Турчин Валентин Фёдорович12.9. Аксиоматический метод Для древних греков объекты математики имели реальное существование в «мире идей». Некоторые свойства этих объектов представлялись умственному взору совершенно неоспоримыми и объявлялись аксиомами, другие - неочевидные - следовало
