Остенсивные определения
Еще одна интересная разновидность неявных определений - это так называемые остенсивные определения, или определения путем показа.
Нас просят объяснить, что представляет собой жираф. Мы, затрудняясь сделать это, ведем спрашивающего в зоопарк, подводим его к клетке с жирафом и показываем: «Это и есть жираф».
Определения такого типа напоминают обычные контекстуальные определения. Но контекстом здесь является не отрывок какого-то текста, а ситуация, в которой встречается объект, обозначаемый интересующим нас понятием. В случае с жирафом - это зоопарк, клетка, животное в клетке и т.д.
Остенсивные определения, так же как и все контекстуальные определения, отличаются некоторой незавершенностью, неокончательностью.
Определение посредством показа не выделяет жирафа из его окружения и не отделяет того, что является
общим для всех жирафов, от того, что характерно для данного конкретного их представителя. Единичное, индивидуальное слито в таком определении с общим, с тем, что свойственно всем жирафам.
Человек, которому впервые показали жирафа, вполне может подумать, что жираф всегда в клетке, что он всегда вял, что вокруг него постоянно толпятся люди и т.д.
Остенсивные определения - и только они - связывают слова с вещами. Без них язык - только словесное кружево, лишенное объективного, предметного содержания.
Определить путем показа можно, конечно, не все понятия, а только самые простые, самые конкретные. Можно предъявить стол и сказать: «Это - стол, и все вещи, похожие на него, тоже столы». Но нельзя показать и увидеть бесконечное, абстрактное, конкретное и т.п. Нет предмета, указав на который, можно было бы заявить: «Это и есть то, что обозначается словом «конкретное». Здесь необходимо уже не остенсивное, а вербальное определение, т.е. чисто словесное определение, не предполагающее показа определяемого предмета.
Далеко не все остенсивно определимо. Показ лишен однозначности, не отделяет важное от второстепенного, а то и вовсе не относящегося к делу. Все это так. И тем не менее, без остенсивных определений нет языка как средства постижения окружающего мира. Не всякое слово можно напрямую связать с вещами. Но важно, чтобы какая-то опосредованная связь все-таки существовала. Слова, полностью оторвавшиеся от видимых, слышимых, осязаемых и т.п. вещей, бессильны и пусты.
Частым и важным для науки случаем контекстуальных определений являются аксиоматические определения, т.е. определения понятий с помощью аксиом.
Аксиомы - это утверждения, принимаемые без доказательства. Совокупность аксиом какой-то теории является одновременно и свернутой формулировкой этой теории, и тем контекстом, который неявно определяет все входящие в нее понятия.
Откуда мы знаем, например, что такое точка, прямая, плоскость? Из аксиом геометрии Евклида. Они являются тем ограниченным по своему объему текстом, в котором встречаются данные понятия и с помощью которого мы устанавливаем их значения.
Чтобы узнать, что представляют собой масса, сила, ускорение и т.п., мы обращаемся к аксиомам класси-
ческой механики И.Ньютона. «Сила равна массе, умноженной на ускорение», «Сила действия равна силе противодействия» - эти положения не являются, конечно, явными определениями. Но они раскрывают, что представляет собой сила, указывая связи этого понятия с другими понятиями механики.
Принципиальное отличие аксиоматических определений от всех иных контекстуальных определений в том, что аксиоматический контекст строго ограничен и фиксирован. Он содержит все, что необходимо для понимания входящих в него понятий. Он ограничен по своей длине, а также по своему составу. В нем есть все необходимое и нет ничего лишнего.
Аксиоматические определения - одна из высших форм научного определения понятий. Не всякая теория способна определить свои исходные понятия аксиоматически. Для этого требуется относительно высокий уровень развития знаний об исследуемой области. Изучаемые объекты и их отношения должны быть также сравнительно просты.
Точку, линию и плоскость Евклиду удалось определить с помощью немногих аксиом еще две с лишним тысячи лет назад. Но как охарактеризовать с помощью нескольких утверждений такие сложные, многоуровневые и многоаспектные объекты, как общество, история или разум? Аксиоматический метод здесь вряд ли был бы уместен. Он только огрубил бы и исказил реальную картину.
§ 3. Явные определения
В явных определениях отождествляются, приравниваются друг к другу два понятия. Одно из них - определяемое понятие, содержание которого требуется раскрыть, другое - определяющее понятие, решающее эту задачу.
Обычное определение метафоры: «Метафора - это оборот речи, заключающий скрытое уподобление, образное сближение слов на базе их переносного значения». Определяющая часть выражается словами «оборот речи, заключающий...» и слагается из двух частей. Сначала понятие метафоры подводится под более широкое понятие «оборот речи». Затем метафора отграничивается от всех других оборотов речи. Это достигается указанием признаков, присущих только метафоре и отсутствующих у эпитета, метонимии и всех иных оборотов, с которыми можно было бы спутать метафору.
Определения этого типа принято называть определениями через род и видовое отличие. Их общая схема: «А есть В и С». Здесь А - определяемое понятие, В - понятие, более общее по отношению к А (род), С - такие признавай, которые выделяют предметы, обозначаемые А, среди всех предметов, обозначаемых В (видовое отличие).
Родовидовое определение - один из самых простых и распространенных способов определения. В словарях и энциклопедиях подавляющее большинство определений относится именно к этому типу. Иногда даже считают - что, разумеется, неверно, - будто всякое определение является родовидовым.
При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:
Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;
Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий;
Формулируются аксиомы - предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;
Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.
Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, т.е. по названным выше правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно.
При аксиоматическом построении теории по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования. Прежде всего, она должна быть непротиворечивой и независимой.
Система аксиом называется непротиворечивой , если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.
Если система аксиом не обладает этим свойством, она не может быть пригодной для обоснования научной теории.
Непротиворечивая система аксиом называется независимой , если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.
При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Но если выбор аксиом условен, то сама наука или отдельная теория не зависят от каких-либо условий, - они являются отражением реального мира.
Аксиоматическое построение системы натуральных чисел осуществляется по сформулированным правилам. Изучая этот материал, мы должны увидеть, как из основных понятий и аксиом можно вывести всю арифметику натуральных чисел. Конечно, его изложение в нашем курсе будет не всегда строгим - некоторые доказательства мы опускаем в силу их большой сложности, но каждый такой случай будем оговаривать.
Упражнения
1. В чем суть аксиоматического способа построения теории?
2. Верно ли, что аксиома - это предложение, которое не требует доказательства?
3. Назовите основные понятия школьного курса планиметрии. Вспомните несколько аксиом из этого курса. Свойства каких понятий в них описываются?
4. Дайте определение прямоугольника, выбрав в качестве родового понятие параллелограмма. Назовите три понятия, которые в курсе геометрии должны предшествовать понятию «параллелограмм».
5. Какие предложения называют теоремами? Вспомните, какова логическая структура теоремы и что значит доказать теорему.
Лекция 32.Аксиоматическое построение множества целых неотрицательных чисел
1. Основные понятия и аксиомы Пеано. Определение целого неотрицательного числа
2. Сложение целых неотрицательных чисел. Таблицы сложения и умножения.
3. Умножение целых неотрицательных чисел. Законы сложения и умножения.
Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N. Известными также считаются понятие множества, элемента множества и другие теоретико-множественные понятия, а также правила логики.
Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а".
Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах.
Аксиома 1 . В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1.
Аксиома 2 . Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а ¢, непосредственно следующий за а .
Аксиома 3 . Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.
Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает с N , если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а" содержится в М.
Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано .
Используя отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.
Определение . Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами.
В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N. Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, мы получим модель данной системы аксиом. В математике доказано, что между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение «непосредственно следовать за», и все такие модели будут отличаться только природой элементов, их названием и обозначением. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел:
Каждое число этого ряда имеет свое обозначение и название, которое мы будем считать известными.
Рассматривая натуральный ряд чисел в качестве одной из моделей аксиом 1-4, следует отметить, что они описывают процесс образования этого ряда, причем происходит это при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за». Так, натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4). Заметим, что аксиома 4 в формализованном виде описывает бесконечность натурального ряда, и на ней основано доказательство утверждений о натуральных числах.
Вообще моделью системы аксиом Пеано может быть любое счетное множество, например:
I, II, III, IIII, ...
о, оо, ооо, оооо, …
один, два, три, четыре, …
Рассмотрим, например, последовательность множеств, в которой множество {оо} есть начальный элемент, а каждое последующее множество получается из предыдущего приписыванием еще одного кружка (рис. 108,а). Тогда N есть множество, состоящее из множеств описанного вида, и оно является моделью системы аксиом Пеано. Действительно, в множестве N существует элемент {оо}, непосредственно не следующий ни за каким элементом данного множества, т.е. выполняется аксиома 1. Если считать обведенные кружки за один элемент (рис. 108.6), то для каждого
А) {о о}, {о о о}, {о о о о}, …
Б) { }, { о}, { о о}, …
множества А рассматриваемой совокупности существует единственное множество, которое получается из А добавлением одного кружка, т.е. выполняется аксиома 2. Для каждого множества А существует не более одного множества, из которого образуется множество А добавлением одного кружка, т.е. выполняется аксиома 3. Если М Ì N и известно, что множество А содержится в М, следует, что и множество, в котором на один кружок больше, чем в множестве А, также содержится в N , то М ~ N (и значит, выполняется аксиома 4).
 |
Заметим, что в определении натурального числа ни одну из аксиом опустить нельзя - для любой из них можно построить множество, в котором выполнены остальные три аксиомы, а данная аксиома не выполняется. Это положение наглядно подтверждается примерами, приведенными на рисунках 109 и 110. На рисунке 109, а) изображено множество, в котором выполняются аксиомы 2 и 3, но не выполнена аксиома 1 (аксиома 4 не будет иметь смысла, так как в множестве нет элемента, непосредственно не следующего ни за каким другим). На рисунке 109, 6) показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 3 и 4, но за элементом а непосредственно следуют два элемента, а не один, как требуется в аксиоме 2. На рисунке 109, в) изображено множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 4, но элемент с непосредственно следует как за элементом а, так и за элементом b. На рисунке 110 показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 3, но не выполняется аксиома 4 - множество точек, лежащих на луче, содержит 1 и вместе с
каждым числом оно содержит непосредственно следующее за ним число, но оно не совпадает со всем множеством точек, показанных на рисунке.
То обстоятельство, что в аксиоматических теориях не говорят об «истинной» природе изучаемых понятий, делает на первый взгляд эти теории слишком абстрактными и формальными, - оказывается, что одним и тем же аксиомам удовлетворяют различные множества объектов и разные отношения между ними. Однако в этой кажущейся абстрактности и состоит сила аксиоматического метода: каждое утверждение, выведенное логическим путем из данных аксиом, применимо к любым множествам объектов, лишь бы в них были определены отношения, удовлетворяющие аксиомам.
Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натуральных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее построение теории предполагает рассмотрение известных свойств натуральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1-4.
Первое понятие, которое мы введем после определения натурального числа, - это отношение «непосредственно предшествует», которое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда.
Определение. Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b .
Отношение «предшествует» обладает рядом свойств. Они формулируются в виде теорем и доказываются с помощью аксиом 1-4.
Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа.
Истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1.
Теорема 2. Каждое натуральное число а , отличное от 1, имеет предшествующее число b , такое, что b " = а.
Доказательство. Обозначим через М множество натуральных чисел, состоящее из числа 1 и из всех чисел, имеющих предшествующее. Если число а содержится в М, то и число а" также есть в N , поскольку предшествующим для а" является число а. Это значит, что множество М содержит 1, и из того, что число а принадлежит множеству М, следует, что и число а" принадлежит М. Тогда по аксиоме 4 множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел. Значит, все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующее число.
Отметим, что в силу аксиомы 3 числа, отличные от 1, имеют единственное предшествующее число.
Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается ни в начальной, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен. И конечно, знание аксиоматической теории поможет учителю методически грамотно организовать усвоение детьми особенности натурального ряда чисел.
Упражнения
1. Можно ли аксиому 3 сформулировать в таком виде: «Для каждого элемента а из N существует единственный элемент, за которым непосредственно следует а »?
2. Выделите условие и заключение в аксиоме 4, запишите их, используя символы Î, =>.
3. Продолжите определение натурального числа: «Натуральным числом называется элемент множества N ,...».
Сложение
По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отношение «непосредственно следовать за», и понятия «натуральное число» и «предшествующее число».
Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а", непосредственно следующее за а , т.е. а + 1 = а" и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2 + 3 = 5, то сумма 2+4 равна числу 6, которое непосредственно следует за числом 5. Происходит так потому, что в сумме 2 + 4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. Таким образом, сумму а + b" можно найти, если известна сумма а + b . Эти факты и положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.
Определение . Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:
1) (" а Î N ) а + 1 = а" , 2)(" а, b Î N ) а + b" =(а + b)".
Число а + b называется суммой чисел а и b , а сами числа аи b - слагаемыми.
Как известно, сумма любых двух натуральных чисел представляет собой также натуральное число, и для любых натуральных чисел а и b сумма а + b - единственна. Другими словами, сумма натуральных чисел существует и единственна. Особенностью определения является то, что заранее не известно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственна ли она? Поэтому при аксиоматическом построении теории натуральных чисел доказывают следующие утверждение:
Теорема 3. Сложение натуральных чисел существует и оно единственно.
Эта теорема состоит из двух утверждений (двух теорем):
1) сложение натуральных чисел существует;
2) сложение натуральных чисел единственно.
Как правило, существование и единственность связывают вместе, но они чаще всего не зависят друг от друга. Существование какого-либо объекта не подразумевает его единственность. (Например, если вы говорите, что у вас есть карандаш, то это не значит, что он только один.) Утверждение о единственности означает, что не может существовать двух объектов с заданными свойствами. Единственность часто доказывается методом от противного: предполагают, что имеется два объекта, удовлетворяющих данному условию, а затем выстраивают цепочку дедуктивных умозаключений, приводящую к противоречию.
Чтобы убедиться в истинности теоремы 3, сначала докажем, что если в множестве N существует операция, обладающая свойствами 1 и 2, то эта операция единственная; затем докажем, что операция сложения со свойствами 1 и 2 существует.
Доказательство единственности сложения . Допустим, что в множестве N существует две операции сложения, обладающие свойствами 1 и 2. Одну из них обозначим знаком + , а другую - знаком Å. Для этих операций имеем:
1) а+1=а"; 1) а Å 1=а";
2) а + b " = (а + b)" 2) а Å b" = (а Å b)".
Докажем, что если
(" а, b Î N ) а + b = а Å b . (1)
Пусть число а выбрано произвольно, а b принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех чисел b , для которых равенство (1) истинно.
Нетрудно убедиться в том, что 1 Î М. Действительно, из того, что а + 1= а" = а Å 1 следует, что а + 1 = а Å 1.
Докажем теперь, что если b Î М , то b"Î М , т.е., если а + b = а Å b, то а + b " =
а Å b". Так как а + b= а Å b, то по аксиоме 2 (а + b)" = (а Å b)" и тогда а + b " = (а + b)" =(а Å b)" = а Å b". Поскольку множество М b содержит и число b", топо аксиоме 4, множество М совпадает с N, а значит, равенство (1) истинно для любого натурального числа b. Так как число а было выбрано произвольно, то равенство (1) верно при любых натуральных числах а и b, то есть операции + и Å на множестве N могут отличаться друг от друга только обозначениями.
Доказательство существования сложения . Покажем, что алгебраическая операция, обладающая свойствами 1 и 2, указанными в определении сложения, существует.
Пусть М - множество тех и только тех чисел а , для которых можно определить а + b так, чтобы были выполнены условия 1 и 2. Покажем, что 1 Î М. Для этого при любом b положим
1 + b = b ". (2)
1) 1 + 1 =1"- по правилу (2), т.е выполняется равенство а + 1 = а при а = 1.
2) 1 + b " = (b " )" = (1 + b)" - по правилу (2.), т.е. выполняется равенство а + b " = (а + b)" при а = 1.
Итак, 1 принадлежит множеству М .
Предположим, что а принадлежит М. Исходя из этого предположения, покажем, что и а" содержится в М. т.е. что можно определить сложение а и любого числа b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2.
Для этого положим:
а" + b = (а + b) " (3)
Так как по предположению число а + b определено, то по аксиоме 2 единственным образом определяется и число (а + b)". Проверим, что при этом выполняются условия 1 и 2:
1) а" + 1 = (а + 1)" = (а ")". Таким образом, а" + 1 = (а ")".
2) а " + b" = (а + b" )" = ((а + b)") " = (а" + b")". Таким образом, а" + b" = (а" + b )".
Итак, показали, что множество М содержит 1 и вместе с каждым числом а содержит число а". По аксиоме 4, заключаем, что множество М есть множество натуральных чисел. Таким образом, существует правило, которое позволяет для любых натуральных чисел а и b однозначно найти такое натуральное число а + b, что выполняются свойства 1 и 2. сформулированные в определении сложения.
Покажем, как из определения сложения и теоремы 3 можно вывести хорошо известную всем таблицу сложения однозначных чисел.
Условимся о следующих обозначениях: 1" = 2; 2" = 3; 3" = 4; 4" = 5 и т.д.
Составляем таблицу в такой последовательности: сначала к любому однозначному натуральному числу прибавляем единицу, затем число два, потом - три и т.д.
1 + 1 = 1" на основании свойства 1 определения сложения. Но 1" мы условились обозначать 2. следовательно, 1+1=2.
Аналогично 2+1 = 2" = 3; 3 + 1 = 3" = 4 и т.д.
Рассмотрим теперь случаи, связанные с прибавлением к любому однозначному натуральному числу числа 2.
1+2=1 + 1" - воспользовались принятым обозначением. Но 1 + 1" = (1 + !)" согласно свойству 2 из определения сложения, 1 + 1 - это 2, как было установлено выше. Таким образом,
1 + 2 = 1 + 1" = (1 + 1)" = 2" = 3.
Аналогично 2 + 2= 2 + 1" = (2 + 1)" = 3" = 4; 3 + 2 = 3 + 1" = (3 + 1)" = 4" = 5 и т.д.
Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу сложения однозначных чисел.
Следующий шаг в аксиоматическом построении системы натуральных чисел - это доказательство свойств сложения, причем первым рассматривается свойство ассоциативности, затем коммутативности и др. Доказательства теорем следует рассмотреть как упражнения.
Теорема 4. (" а, b, с Î N) (а + b) + с = а + (b + с).
Теорема 5 . (" а, b Î N) а + b = b + а.
Теорема 6. (" а, b Î N) а + b ¹ b.
Все доказанные свойства изучаются в начальном курсе математики и используются для преобразования выражений.
Упражнения
1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы?
2. Используя определение сложения, найдите значение выражений:
а) 2 + 3; б) 3 + 3; в) 4 + 3.
3. Какие преобразования выражений можно выполнять, используя
свойство ассоциативности сложения?
4. Выполните преобразование выражения, применив ассоциативное свойство сложения:
а) (12 + 3)+17; б) 24+ (6+19); в) 27 + 13+18.
5. Докажите, что (" а, b Î N) а + b ¹ а.
6. Выясните, как формулируются в различных учебниках математики для начальной школы:
а) коммутативное свойство сложения;
б) ассоциативное свойство сложения.
7. В одном из учебников для начальной школы рассматривается
правило прибавления числа к сумме на конкретном примере (4 + 3) + 2
и предлагаются следующие пути нахождения результата:
а) (4 + 3) + 2 = 7 + 2 = 9;
б) (4 + 3) + 2 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9;
в) (4 + 3) + 2 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 =9.
Обоснуйте выполненные преобразования. Можно ли утверждать, что правило прибавления числа к сумме есть следствие ассоциативного свойства сложения?
8. Известно, что а + b= 17. Чему равно:
а) а + (b + 3); b) (а + 6)+ b; в) (13 + b ) + а ?
9. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида
а + b + с. Дайте обоснование этим способам и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.
Умножение
По правилам построения аксиоматической теории определить умножение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия, введенные ранее.
Предварим определение умножения следующими рассуждениями.
Если любое натуральное число а умножить на 1. то получится а, т.е. имеет место равенство а × 1 = а и мы получаем правило умножения любого натурального числа на 1. Но как умножать число а на натуральное число b , отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом:
если известно, что 7 × 5 = 35, то для нахождения произведения 7 × 6 достаточно к 35 прибавить 7, так как 7 × 6 = 7 × (5 + I) = 7 × 5 + 7. Таким образом, произведение а × b" можно найти, если известно произведение: а × b = а × b + а .
Отмеченные факты и положены в основу определения умножения натуральных чисел. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.
Определение. Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:
1) (" а Î N) а× 1 а.
2) (" а, b Î N) а× b" = а × b + а .
Число а × b называется произведением чисел а и b , а сами числа а и b - множителями.
Особенностью данного определения, так же как и определения сложения натуральных чисел, является то, что заранее неизвестно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственная ли она. В связи с этим возникает необходимость в доказательстве этого факта..
Теорема 7 . Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.
Используя определение умножения, теорему 7 и таблицу сложения, можно вывести таблицу умножения однозначных чисел. Делаем это в такой последовательности: сначала рассматриваем умножение на 1, затем на 2 и т.д.
Легко видеть, что умножение на 1 выполняется по свойству 1 в определении умножения: 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 и т.д.
Рассмотрим теперь случаи умножения на 2: 1 2 = 1 1" = 1 1 + 1 = 1 + 1 = 2- переход от произведения 1 2 к произведению 1 1" осуществлен согласно принятым ранее обозначениям; переход от выражения 1 1" к выражению 1 + 1 - на основе второго свойства умножения; произведение 1 1 заменено числом 1 в соответствии с уже полученным результатом в таблице; и, наконец, значение выражения 1 + 1 найдено в соответствии с таблицей сложения. Аналогично: 2 2 = 2 1" = 2 I + 2 = 2 + 2 = 4; 3 2 = 3 1" = 3 1 + 3 = 3 + 3 = 6.
Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу умножения однозначных чисел.
Как известно, умножение натуральных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. При аксиоматическом построении теории удобно доказывать эти свойства, начиная с дистрибутивности.
Но в связи с тем. что свойство коммутативности будет доказано позже, необходимо рассматривать дистрибутивность справа и слева относительно сложения.
Теорема 8. (" а, b, с Î N) (а + b) с = а с + b с.
Теорема 9. (" а, b, с Î N) с (а + b) = с а + с b
Это свойство дистрибутивности слева относительно сложения. Доказывается оно аналогично тому, как это сделано для дистрибутивности справа.
Теорема 10 . (" а, b, с Î N) (а b) с = а (b с).
Это свойство ассоциативности умножения. Его доказательство основывается на определении умножения и теоремах 4- 9.
Теорема 11. (" а, b Î N) а b = b а.
Доказательство этой теоремы по форме аналогично доказательству коммутативного свойства сложения.
Поход к умножению, рассматриваемый в аксиоматической теории, является основой обучения умножению в начальной школе. Умножение на 1, как правило, определяется, а второе свойство умножения иcпользуется при составлении таблицы умножения однозначных чисел и вычислениях.
В начальном курсе изучаются все рассмотренные нами свойства умножения: и коммутативность, и ассоциативность, и дистрибутивность.
Упражнения
1.. Используя определение умножения, найдите значения выражений:
а) 3 3; 6) 3 4; в) 4 3.
2. Запишите свойство дистрибутивности умножения слева относительно сложения и докажите его. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Почему возникла необходимость в рассмотрении дистрибутивности умножения слева и справа относительно сложения?
3. Докажите свойство ассоциативности умножения натуральных чисел. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Изучается ли это свойство в начальной школе?
4. Докажите свойство коммутативности умножения. Приведите примеры его использования в начальном курсе математики.
5. Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении значения выражения:
а) 5 (10 + 4); 6)125 15 6; в) (8 379) 125?
6. Известно, что 37 3 = 111. Используя это равенство, вычислите:
а) 37 18; 6) 185 12.
Все выполненные преобразования обоснуйте.
7. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответ обоснуйте:
а) 8962 8 + 8962 2; б) 63402 3 + 63402 97; в) 849 +849 9.
8.. Какие свойства умножения будут использовать учащиеся начальных классов, выполняя следующие задания:
Можно ли, не вычисляя, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:
а) 3 7 + 3 5; 6) 7 (5 + 3): в) (7 + 5) 3?
Верны ли равенства:
а) 18 5 2 = 18 (5 2); в) 5 6 + 5 7 = (6 + 7) 5;
б) (3 10) 17 = 3 10 17; г) 8 (7 + 9) = 8 7 + 9 8?
Можно ли, не выполняя вычислений, сравнить значения выражений:
а) 70 32 + 9 32 ...79 30 + 79 2; 6) 87 70 + 87 8 ... 80 78 + 7 78?
Лекция 33.Вычитание и деление целых неотрицательных чисел
1. Упорядоченность множества натуральных чисел.
2. Определение вычитания целых неотрицательных чисел
3. Деление целых неотрицательных чисел. Невозможность деления на нуль. Деление с остатком.
Раздел I. Математика и элементы логики.
Свойства множества натуральных чисел. Аксиоматическое определение вычитания целых неотрицательных чисел.
Число а меньше числа b (а < b ) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с , что а + с = b .
При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.
Свойства отношения "меньше":
1. Для любого натурального числа а справедливо а < а, .
2. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b, а < b.
3. Если а < b и b < с, то а < с.
4. Если а < b, то неверно, что b < а.
Свойство монотонности сложения
1) а < b a + c < b + c; 2) а > b a + c > b + c.
Свойство монотонности умножения
1) а < b
ac
2) а > b ac>bc .
7. Свойство Архимеда: Для любых натуральных чисел а и b ; существует такое натуральное число n, что пb> а.
Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел , которые мы приводим без доказательства:
1) Ни для одного натурального числа, а не существует такого натурального числа п, что а <п <а + 1. Это свойство называется свойством дискретности множества натуральных чисел, а числа, а и а + 1 называют соседними .
2)Любое непустое подмножество множества натуральных чисел содержит наименьшее число. Это свойство называется принципом наименьшего числа .
3) Если М - непустое подмножество множества натуральных чисел и существует такое число b, что для всех чисел М выполняется неравенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число. Это свойство называют принципом наибольшего числа .
Аксиоматическое определение вычитания целый неотрицательных чисел.
При аксиоматическом построении теории целых неотрицательных чисел вычитание определяется как операция, обратная сложению.
Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется такое натуральное число с, что а = с + b. Это число обозначают а – b. Число а называют уменьшаемым, b – вычитаемым.
Разность целых неотрицательных чисел a и b существует, если b a и она единственна.
Теорема. Еслиразность целых неотрицательных чисел существует, если b a.
Доказательство. Пусть а = b . Тогда а – b = 0, и следовательно, разность существует. Если b < a , то по определению отношения «меньше» существует натуральное число с такое, что a = b + c . Тогда по определению разности с = а – b , т.е. разность существует и b + c = a . Если с = 0, то а = b; если с > 0, то b < a по определению отношения «меньше». Итак, b a .
Теорема. Если разность натуральных чиселa и b существует, то онаединственна.
Доказательство. Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b : a – b = c и a – b = c . Тогда, по определению разности, имеем: a = b + c и a = b + c . Отсюда следует, что b + c = b + c и значит c = c . Мы пришли к противоречию с нашим предположением. Следовательно, значение разности чисел a и b единственно.
Дистрибутивность умножения относительно вычитания: при b < a и при любых натуральных с верно равенство (a - b) c = a c - b c .
Докажем, что при b < a и при любых натуральных с верно равенство (a - b) c = a c - b c .
Доказательство. Пусть натуральные числа a и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество таких натуральных чисел с, для которых верно равенство (a - b) c = a c - b c .
Докажем, что 1 М, т.е. что равенство (а - b) 1 = а 1 - b 1истинно. Согласно свойству 1 из определения умножения имеем: (а - b) 1 = а - b = а 1 - b 1.
Докажем теперь, что если с М, то с М, т.е. что из равенства (a - b) c = a c - b c следует равенство (a - b) с = a с - b с .
По определению умножения, имеем: (a - b) с =(а - b) (c +
1) = (а - b) c - (a - b)
1 = (a c - b c) + (a - b)
= (a c - b с + a) - b =(a c + а) - (b c + b) =a (c +
1) – b (c +
1)
= a с - b с
.
Итак, мы показали, что множество М
содержит 1, и из того, что оно содержит с
, следует, что и с
содержится в М
. По аксиоме 4 получаем, что М = N
. Это значит, что равенство (a - b) c = a c - b c
верно для любых натуральных чисел с
, а также для любых произвольных а
и b
.х
на выражение а – с,
будем иметь (а – c) + b = y.
Таким образом, мы доказали: если а с , то (a + b) – c = (a - c) + b.
Правило вычитания суммы из числа : при условии, что a b +c, имеем а – (b + c) = (a – b) – c.
Правило вычитания разности из числа: при a > b , имеем а – (b – c) = (a + c) – b = (a – b) +c.
Правило вычитания числа из разности: при a > b , имеем (а – b) – c = a – (b + c).
В начальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над однозначными числами. Различные правила вычитания являются теоретической основой различных приемов вычислений.
Например, (40 + 16) – 10 = (40 – 10) + 16 = 30 + 16 = 46 или (40 + 16) – 10 = 40 + (16 – 10) = 40 + 6 = 46.
Аксиоматическое определение
определение термина через множество аксиом (постулатов), в которые он входит и которые последовательно ограничивают область его возможных истолкований.
Напр., можно попытаться дать прямое определение понятия "равенство". Но можно привести систему истинных утверждений, включающих это понятие и неявно задающих его значение: "Каждый объект равен самому себе"; "В случае любых объектов, если первый равен второму, то второй равен первому"; "Для всех объектов верно, что если первый равен второму, а второй третьему, то первый равен третьему".
А. о. является частным случаем определения контекстуального. Всякий отрывок текста, всякий контекст, в котором встречается интересующее нас понятие, является в некотором смысле неявным определением последнего. Контекст ставит понятие в связь с другими понятиями и тем самым косвенно раскрывает его содержание. Встретив в тексте на иностранном языке одно-два неизвестных слова, мы, понимая текст в целом, можем составить примерное представление и о значениях неизвестных слов. Аналогично дело обстоит и с А. о. Совокупность аксиом к.-л. теории является одновременно и свернутой формулировкой этой теории, и тем контекстом, который неявно определяет все входящие в аксиомы понятия. Чтобы узнать, к примеру, что значат слова "масса", "сила", "ускорение" и т. п., можно обратиться к аксиомам классической механики Ньютона. "Сила равна массе, умноженной на ускорение", "Сила действия равна силе противодействия" и т. д. - эти положения, указывая связи понятия "сила" с другими понятиями механики, раскрывают его сущность.
Принципиальное отличие А. о. от иных контекстуальных определений в том, что аксиоматический контекст строго ограничен и фиксирован. Он содержит все, что необходимо для понимания входящих в него понятий. Он ограничен по размеру и по составу.
А. о. - одна из высших форм научного определения. Не всякая теория способна определить свои исходные термины аксиоматически, для этого требуется относительно высокий уровень развития знаний об исследуемой области. Изучаемые объекты и их отношения должны быть также сравнительно просты.
Словарь по логике. - М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС . А.А.Ивин, А.Л.Никифоров . 1997 .
Смотреть что такое "аксиоматическое определение" в других словарях:
Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия
Определение, не имеющее формы равенства двух понятий. К О. н. относятся определение контекстуальное, определение остенсивное, определение аксиоматическое и др. О. н. противопоставляется определению явному, приравнивающему, или отождествляющему,… … Словарь терминов логики
Неявное определение понятия путем указания множества аксиом, в которые оно входит наряду с другими понятиями. Аксиома представляет собой утверждение, принимаемое без доказательства. Совокупность аксиом какой то теории является одновременно и… … Словарь терминов логики
- (лат. definitio) логическая операция, раскрывающая содержание понятия. Напр., обычное О. термометра указывает, что это, во первых, прибор и, во вторых, именно тот, с помощью которого измеряется температура. О. понятия термин говорит, что это… … Словарь терминов логики
Матроид классификация подмножеств некоторого множества, представляющая собой обобщение идеи независимости элементов, аналогично независимости элементов линейного пространства, на произвольное множество. Содержание 1 Аксиоматическое… … Википедия
Матроид классификация подмножеств некоторого множества, представляющая собой обобщение идеи независимости элементов, аналогично независимости элементов линейного пространства, на произвольное множество. Содержание 1 Аксиоматическое определение 2… … Википедия
Матроид классификация подмножеств некоторого множества, представляющая собой обобщение идеи независимости элементов, аналогично независимости элементов линейного пространства, на произвольное множество. Содержание 1 Аксиоматическое определение 2… … Википедия
- (греч. arithmetika, от arithmys число) наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Владение достаточно развитым понятием натурального числа и умение… … Большая советская энциклопедия
- (Peano), Джузеппе (27 авг. 1858 – 20 апр. 1932) – итал. математик и логик. Проф. математики в Туринском ун те (1890–1932). Известен важными результатами в матем. анализе, теории дифференц. уравнений (где ему принадлежит классич. формулировка осн … Философская энциклопедия
Книги
- Аксиоматическое определение множества вещественных чисел. Учебное пособие , А. В. Орехов. Учебное пособие посвящено решению двух задач: во-первых, дать логически обоснованное аксиоматическое определение множества вещественных чисел и, во-вторых, изучить уникальные свойства этого…
1. Непротиворечивость аксиоматических теорий
3. Независимость системы аксиом
4. Полнота аксиоматических теорий
В данной лекции речь пойдет об изучении аксиоматической теории как таковой. Математическую теорию, изучающую данную аксиоматическую теорию как единое целое, устанавливающую свойства данной аксиоматической теории, называют метатеорией по отношению к изучаемой теории, и методы математической логики являются основными методами этой науки. Факты, устанавливаемые в ней относительно изучаемой аксиоматической теории, называют метатеоремами, чтобы отличить их от собственно теорем Рассматриваемой теории. Вопросы, связанные с моделями данной аксиоматической теории, с ее непротиворечивостью, категоричностью, полнотой, со свойством независимости ее системы аксиом, - это и есть важнейшие вопросы, на которые должна дать ответ метатеория изучаемой аксиоматической теории. Эти понятия вкратце были изложены ранее при построении формализованного исчисления высказываний, а также при построении формализованного исчисления предикатов. Теперь же рассмотрим их более обстоятельно применительно к произвольной аксиоматической теории.
Непротиворечивость аксиоматических теорий
Это важнейшее свойство аксиоматических теорий и важнейшее требование, предъявляемое к ним, поскольку, как увидим ниже, противоречивые теории никакой ценности не представляют.
Определение 27.1. Аксиоматическая теория называется непротиворечивой, если ни для какого утверждения A , сформулированного в терминах этой теории, само утверждение A и его отрицание \lnot A не могут быть одновременно теоремами этой теории. Если для некоторого утверждения A теории оба утверждения A и \lnot A являются ее теоремами, то аксиоматическая теория называется противоречивой.
Покажем, что если аксиоматическая теория противоречива, а используемая в ней логическая система включает исчисление высказываний с правилом вывода [i]modus ponens (MP), то любое предложение С этой теории является ее теоремой.
Доказательство. В самом деле, ввиду противоречивости теории существует предложение A теории, такое, что A и \lnot A - ее теоремы. Рассмотрим следующую последовательность высказываний данной теории:
\ldots,A,\ldots,\lnot A,~ B_1,B_2,\ldots,B_s,~ A\to (\lnot A\to C),\lnot A\to C,~ C.
Многоточия перед A и \lnot A обозначают их выводы. Следующее s+1 высказывание - вывод истинного высказывания (эта формула есть тавтология, что легко проверить, и потому доказуема). Наконец, предпоследняя формула получена из A и A\to (\lnot A\to C) по правилу МР, а последняя - по тому же правилу из \lnot A и \lnot A\to C . Таким образом, данная последовательность есть доказательство утверждения C в рассматриваемой аксиоматической теории.
Ясно, что обратное утверждение также справедливо: если любое предложение аксиоматической теории является ее теоремой, то теория противоречива.
Следовательно, определения противоречивой и непротиворечивой аксиоматической теорий можно сформулировать и следующим равносильным образом. Аксиоматическая теория называется противоречивой , если любое утверждение, сформулированное в терминах этой теории, является ее теоремой, и называется непротиворечивой , если существует утверждение, не являющееся ее теоремой. Значит, противоречивая теория никакой ценности не имеет, потому что в ней можно доказать что угодно.
В связи со сказанным приобретает первостепенную важность проблема установления непротиворечивости аксиоматической теории. Ясно, что эта проблема имеет две стороны: отсутствие заложенного как бы внутрь системы аксиом противоречия (которое проявится при развитии теории) и истинность логических умозаключений, которые мы используем при построении доказательств. Таким образом, желая установить непротиворечивость той или иной аксиоматической теории, мы должны подвергнуть исследованию как ее математическое содержание (т.е. систему аксиом, лежащую в ее основе), так и саму логику. Ко второму моменту мы еще вернемся в дальнейшем, а сейчас посмотрим, как же решается вопрос о непротиворечивости системы аксиом, положенной в основу аксиоматической теории, об отсутствии противоречия внутри нее.
Во многих случаях этот вопрос удается решить с помощью понятия модели. Развивая аксиоматическую теорию на базе той или иной системы аксиом \Sigma , мы не вкладываем в ее основные понятия и отношения между ними никакого содержания сверх того, что сказано о них в аксиомах; в них содержатся все сведения об этих понятиях, необходимые для построения теории путем чисто логических умозаключений. Изменим теперь нашу точку зрения на первоначальные понятия: будем понимать под ними некоторые вполне определенные объекты и соотношения между ними из какой-нибудь области математики (другой аксиоматической теории), которую мы считаем уже установленной и обоснованной (непротиворечивой). Это придание каждому первоначальному понятию и отношениям между ними конкретного содержания посредством каких-то конкретных предметов и конкретных отношений между ними, как мы говорили в предыдущем параграфе, называется интерпретированием данной системы аксиом \Sigma . Совокупность этих конкретных предметов и отношений между ними называется интерпретацией данной системы аксиом. В результате каждая аксиома из \Sigma превращается во вполне определенное предложение из той уже обоснованной области математики (непротиворечивой аксиоматической теории), которая используется для интерпретации. Каждое из этих предложений может быть как истинным (теоремой), так и ложным в непротиворечивой аксиоматической теории, использованной для интерпретации. Если все аксиомы из \Sigma превращаются в истинные утверждения, то построенная интерпретация называется моделью данной системы аксиом \Sigma . (Если же хотя бы одна аксиома превратилась в ложное утверждение, то можно считать, что интерпретирование не удалось: ведь цель интерпретирования - построить модель системы аксиом!)
Если модель системы аксиом \Sigma построена, то отсюда следует чрезвычайно важный вывод о непротиворечивости этой системы аксиом. В самом деле, все теоремы аксиоматической теории , построенной на базе системы аксиом \Sigma , суть чисто логические следствия аксиом из \Sigma . В результате интерпретирования все аксиомы из \Sigma превратились в истинные предложения; значит, логически следующие из них теоремы также превратятся в истинные предложения (в смысле той аксиоматической теории, которая использована для построения модели). Поэтому, если предположить, что в исследуемой аксиоматической теории (построенной на базе системы аксиом \Sigma ) могут быть выведены две теоремы A и \lnot A , противоречащие друг другу, то в модели им соответствовали бы Два истинных утверждения A^{\ast} и \lnot A^{\ast} , также друг другу противоречащих (утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными). Но это невозможно, так как аксиоматическая теория, в которой мы рассматриваем модель нашей системы аксиом \Sigma , считается свободной от противоречий (непротиворечивой).
Итак, предъявляемая модель системы аксиом служит обоснованием непротиворечивости соответствующей аксиоматической теории. Но, поскольку модель исходной системы аксиом \Sigma построена в некоторой другой аксиоматической теории, такое обоснование имеет относительный характер: исходная теория непротиворечива, если непротиворечива аксиоматическая теория, в терминах которой построена ее модель. Таким образом, вопрос о непротиворечивости одной аксиоматической теории сводится к вопросу о непротиворечивости другой аксиоматической теории.
Именно такова ситуация с геометрией Н.И.Лобачевского. Хорошо известны различные модели геометрии Лобачевского, построенные в геометрии Евклида. Наличие такой модели доказывает относительную непротиворечивость геометрии Лобачевского: она непротиворечива, если непротиворечива геометрия Евклида. В свою очередь, непротиворечивость геометрии Евклида также требует обоснования. Далее в курсе геометрии строится модель евклидовой геометрии в теории действительных чисел, чем устанавливается непротиворечивость первой относительно второй. Наконец, вопрос о непротиворечивости теории действительных чисел может быть сведен путем построения соответствующих моделей к вопросу о непротиворечивости теории натуральных чисел, построенной на основе системы аксиом Пеано.
К непротиворечивости арифметики аналогичным образом сводится непротиворечивость обширных областей классической математики. Тем не менее "абсолютная" непротиворечивость ни геометрии Лобачевского, ни евклидовой геометрии, ни арифметики натуральных чисел не установлена. Уверенность в непротиворечивости этих теорий, в их истинности есть своего рода акт веры.
В заключение отметим, что если удается построить конечную модель аксиоматической теории, то этим устанавливается "абсолютная" непротиворечивость теории. Например, двухэлементное множество \{e,a\} вместе с определенной на нем по следующим правилам операцией:
E\cdot e=a\cdot a=e,\qquad e\cdot a=a\cdot e=a
является, как нетрудно убедиться, моделью теории групп. Поэтому с полной уверенностью можно утверждать, что аксиоматическая теория групп непротиворечива.
Категоричность аксиоматических теорий
Это свойство в значительной мере характеризует происхождение аксиоматической теории. В большинстве категоричные теории возникали на первом пути. По второму пути происходит формирование в основном некатегоричных теорий.
Проанализируем первый путь. Аксиоматика строится для одной конкретной содержательной теории, которая развита уже достаточно хорошо. Эта конкретная теория выступает в качестве модели аксиоматической теории. Никаких других моделей построенная аксиоматическая теория и не имеет, поскольку она строилась применительно к данной конкретной теории. Точнее, другие модели теории могут существовать, но они должны быть неотличимы (с точностью до терминологии и обозначений) от исходной модели. В этом случае можно сказать, что первоначальные понятия и аксиомы дают исчерпывающую совокупность главных принципов конкретной содержательной теории. Такая неотличимость двух моделей называется их изоморфизмом. (Из курса высшей алгебры известны понятия изоморфизма групп, колец, полей. Поэтому имеется представление о точном определении изоморфизма для конкретных моделей.) Аксиоматическая теория в этом случае и называется категоричной.
Определение 27.2. Аксиоматическая теория называется категоричной, если любые две ее модели изоморфны.
Примерами категоричных теорий служат аксиоматические теории евклидовой геометрии, различных систем чисел: натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных. Категоричность евклидовой геометрии доказывается в курсе геометрии. Категоричность теорий систем чисел устанавливается в курсе "Числовые системы".
Некатегоричная аксиоматическая теория имеет существенно различные (т.е. неизоморфные) модели. Такие теории возникают на втором пути, в процессе обобщения общих свойств нескольких различных конкретных теорий. Примером такой теории является теория групп. Многообразие моделей этой теории обусловливает многообразие ее приложений. Некатегоричны также теория колец, теория полей и теории некоторых других алгебраических систем.
Независимость системы аксиом
Мы уже имели дело с понятием независимости системы аксиом, когда устанавливалась независимость системы аксиом аксиоматической теории высказываний. Здесь обсудим его более подробно. Сформулируем сначала определения понятия независимости аксиомы от остальных аксиом данной системы в двух формах и докажем их равносильность.
Определение 27.3. Аксиома A из системы аксиом \Sigma называется независящей от остальных аксиом этой системы, если ее нельзя вывести (доказать) из множества всех остальных аксиом системы \Sigma .
Определение 27.4. Аксиома A из системы аксиом \Sigma называется независящей от остальных аксиом этой системы, если ее исключение из системы \Sigma уменьшает запас теорем аксиоматической теории, т.е. , где \operatorname{Th}(\Sigma) - совокупность всех теорем, выводимых из системы аксиом \Sigma , т. е. аксиоматическая теория, построенная на базе системы аксиом \Sigma .
Определения 27.3, 27.4 равносильны.
Доказательство. В самом деле, из первого определения вытекает второе, так как если утверждение A нельзя вывести из множества \Sigma\setminus\{A\} , то его не будет среди теорем теории \operatorname{Th}\bigl(\Sigma\setminus\{A\}\bigr) и оно будет среди теорем теории \operatorname{Th}(\Sigma) , то есть \operatorname{Th}\bigl(\Sigma\setminus\{A\}\bigr)\subset \operatorname{Th}(\Sigma) . Обратно, если \operatorname{Th} \bigl(\Sigma\setminus\{A\}\bigr)\subset \operatorname{Th}(\Sigma) , то A нельзя вывести из , ибо в противном случае, каждая теорема, выводимая из \Sigma , могла бы быть выведена и из \Sigma \setminus \{A\} , т.е. каждая теорема из \operatorname{Th}(\Sigma) принадлежала бы теории \operatorname{Th} \bigl(\Sigma\setminus\{A\}\bigr) , т.е. \operatorname{Th}(\Sigma) \subset\operatorname{Th} \bigl(\Sigma\setminus\{A\}\bigr) , что противоречило бы условию. Равносильность двух определений установлена.
Таким образом, требование независимости непротиворечивой системы аксиом состоит в том, чтобы в эту систему не включалось такое утверждение, которое может быть доказано на основе остальных аксиом системы и, следовательно, являясь излишним в этой системе, должно быть отнесено к разряду теорем. Другими словами, система аксиом должна содержать минимальное число утверждений, необходимых для логического вывода всех остальных утверждений данной теории. Это важное требование, которому должна удовлетворять система аксиом, но вовсе не обязательное, в отличие, например, от рассмотренного ранее требования непротиворечивости. Свойство независимости системы аксиом характеризует некое изящество и лаконичность этой системы. Но не всегда для той или иной аксиоматической теории целесообразно выбирать независимую систему аксиом: изящество системы аксиом может привести к громоздкости доказательств теорем данной теории. Поэтому отступление от выполнения требования независимости вполне допустимо из методических или иных практических соображений. Именно так и делается в большинстве школьных курсов геометрии, где приходится учитывать психологические и возрастные особенности учащихся. Без доказательства допускается большое количество утверждений. Их истинность считается само собой разумеющейся, а некоторые из них даже не формулируются явно. Такой подход сильно упрощает изложение геометрии и облегчает ее усвоение учащимися, ибо доказательство самых простых и очевидных утверждений геометрии требует очень тонких и кропотливых рассмотрений, цель которых будет непонятна, а усвоение недоступно для детей школьного возраста.
Интересно отметить, что проблема независимости систем аксиом является, по существу, самой первой проблемой в основаниях математики. Уже ближайшим последователям Евклида было известно, что если воспользоваться понятием движения, то его IV постулат, утверждающий, что все прямые углы равны между собой, может быть доказан как логическое следствие остальных аксиом и постулатов. Также было известно, что аксиомы "Если удвоим равные, то получим равные" и "Половины равных равны между собой" являются логическими следствиями остальных. С размышления над проблемой независимости менее тривиального V постулата Евклида, собственно, и началась наука об обосновании геометрии. Проблема непротиворечивости тогда не возникала, да и не могла возникнуть вплоть до XIX в., пока Лобачевский не указал метод доказательства независимости аксиом - метод построения моделей.
В чем же состоит метод доказательства независимости аксиомы A от остальных аксиом непротиворечивой системы аксиом \Sigma ? Рассмотрим систему аксиом , получающуюся из \Sigma заменой аксиомы A ее отрицанием \lnot A . Если окажется, что полученная система аксиом, так же как и \Sigma , непротиворечива, то отсюда будет следовать независимость аксиомы A от аксиом из \Sigma\setminus\{A\} . В самом деле, если бы A можно было доказать исходя из системы \Sigma\setminus \{A\} , то A можно было бы доказать и исходя из системы (\Sigma\setminus\{A\})\cup\{\lnot A\} . Но это означало бы противоречивость системы аксиом (\Sigma\setminus\{A\})\cup\{\lnot A\} , так как из нее выводимы противоречащие одно другому утверждения A и \lnot A , что не так.
В то же время известно, что непротиворечивость системы аксиом устанавливается путем построения модели этой системы аксиом в некоторой заведомо непротиворечивой теории. Таким образом, приходят к следующему методу доказательства независимости аксиом . Для доказательства независимости аксиомы A от остальных аксиом системы \Sigma нужно сконструировать (построить) модель, в которой выполнялись бы все аксиомы данной системы \Sigma , кроме аксиомы A , т. е. сконструировать такую интерпретацию, которая была бы моделью системы аксиом \Sigma\setminus\{A\} , но не была бы моделью системы аксиом \Sigma .
Именно на этой идее, принадлежащей Лобачевскому, и основывается доказательство независимости аксиомы о параллельных Евклида (аксиома \mathsf{V.1} ) от аксиом \mathsf{I-IV} групп абсолютной геометрии: строится модель системы аксиом \{\mathsf{I-IV},\lnot (\mathsf{VI})\} , полученной из системы аксиом евклидовой геометрии заменой в ней аксиомы о параллельных Евклида ее отрицанием, которая и определяет геометрию Лобачевского. Наличие такой модели служит доказательством независимости аксиомы о параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии.
Система аксиом \Sigma называется независимой, если каждая ее аксиома не зависит от остальных. Отсюда ясно, насколько кропотливо исследование системы аксиом на независимость. Если для доказательства непротиворечивости данной системы аксиом достаточно построить одну ее модель, то для доказательства ее независимости придется построить столько моделей, сколько аксиом содержит система, причем каждая модель должна реализовывать все аксиомы, кроме одной - исследуемой на независимость.
Полнота аксиоматических теорий
Обобщенно можно сказать, что аксиоматическая теория называется полной, если она содержит достаточное для какой-нибудь цели количество теорем. В зависимости от целей выделяют различные виды полноты. Так, в теореме 16.6 была установлена полнота аксиоматической теории высказываний относительно алгебры высказываний: теория охватывала все тавтологии этой алгебры. Доказательство соответствующей теоремы для аксиоматической теории предикатов будет дано в следующей лекции. Это понятие полноты - относительное, или внешнее, понятие полноты (полнота относительно внешнего фактора).
Выделяют понятие внутренней полноты. Здесь различают две его модификации: абсолютная полнота и полнота в узком смысле.
Определение 27.5. Аксиоматическая теория называется абсолютно полной, если для любого утверждения A , сформулированного в терминах этой теории, точно одно из утверждений A и \lnot A является ее теоремой (или, как говорят, средств аксиоматической теории достаточно для того, чтобы доказать или опровергнуть любое утверждение, сформулированное в терминах данной теории).
Определение 27.6. Аксиоматическая теория называется полной в узком смысле (или в смысле Поста), если добавление к ее аксиомам любого недоказуемого в ней утверждения с сохранением всех правил вывода приводит к противоречивой теории.
Всякая абсолютно полная теория будет полна и в узком смысле.
Доказательство. В самом деле, допустим, что некоторая абсолютно полная теория не полна в узком смысле. Значит, найдется такое утверждение A этой теории, недоказуемое в ней, что новая теория, построенная на основе прежних аксиом и утверждения A в качестве новой аксиомы, непротиворечива. Ясно, что A принадлежит новой теории. Кроме того, ввиду абсолютной полноты исходной теории и недоказуемости в ней утверждения A заключаем, что в ней доказуемо \lnot A . Но все аксиомы, из которых выведено \lnot A , вошли в состав системы аксиом новой теории. Поэтому \lnot A принадлежит и новой теории. Получаем противоречие с тем, что новая теория непротиворечива.
Смысл требования (абсолютной) полноты непротиворечивой системы аксиом заключается в том, чтобы она давала возможность без всяких добавочных предпосылок, без какого бы то ни было обращения к наглядным представлениям и опыту исключительно логическим путем доказать всякое предложение, сформулированное в терминах данной теории, либо его опровергнуть.
Классическим примером неполной системы аксиом является система аксиом и постулатов "Начал" Евклида. Уже при доказательстве первых теорем Евклид вынужден молчаливо прибегать к наглядности и очевидности. Так, для обоснования наличия точки пересечения у двух прямых, у двух окружностей, у прямой и окружности требуется аксиома непрерывности, что было осознано математиками лишь в XIX в. Понятие равенства фигур Евклид определяет через движение: "И совмещающиеся равны между собой". Но свойства движения, которые Евклид, несомненно, почерпнул из эмпирических представлений о механическом движении твердых тел и которыми он широко пользуется при доказательстве теорем, никак не выражены в его аксиомах. Нет среди евклидовых аксиом и аксиом порядка или расположения (поэтому тот факт, что прямая делит плоскость на две части, очевиден для Евклида), как и аксиом, связанных с измерением длин, площадей и объемов. (Последнюю задачу блестяще решил великий геометр, механик и инженер древности Архимед, живший непосредственно после Евклида (287–212 гг. до н.э.), который в своем сочинении "О сфере и цилиндре" развил теорию измерения площадей и объемов, получив, в частности, формулы площади поверхности и объема шара, ввел аксиому, носящую и поныне его имя).
Другим примером неполной системы аксиом может служить система аксиом абсолютной геометрии (аксиомы I–IV групп системы аксиом Гильберта). В этой системе не может быть ни доказано, ни опровергнуто ни одно предложение, опирающееся на аксиому параллельности Евклида (V.1) или аксиому параллельности Лобачевского \lnot (\mathsf{V.1}) (а также, конечно, и сами эти аксиомы).
Вернемся к анализу понятия полноты. Сопоставим его с понятием непротиворечивости. Если непротиворечивость гарантирует, что из данной системы аксиом \Sigma не могут быть выведены два противоречащих друг другу утверждения A и \lnot A , то полнота гарантирует доказуемость одного из них. Так что оба требования вместе дают гарантию разрешимости всякого вопроса теории и притом только в одном смысле.
Обсуждая выше проблему независимости системы аксиом, мы доказали, что утверждение A (не входящее в \Sigma ) не зависит от системы аксиом \Sigma , если существует модель системы аксиом (в некоторой непротиворечивой аксиоматической теории). В то же время, как известно, утверждение A не противоречит системе аксиом \Sigma , т.е. система аксиом \Sigma\cup\{A\} непротиворечива, если существует модель этой системы аксиом в непротиворечивой аксиоматической теории. Нетрудно понять, что как модель системы аксиом \Sigma\cup\{\lnot A\} , так и модель системы аксиом \Sigma\cup\{A\} являются моделями системы аксиом \Sigma . Причем эти модели конечно же неизоморфны, так как в одной из них выполняется утверждение A , а в другой выполняется его отрицание \lnot A (т. е. A не выполняется). Итак, соединим вместе эти два направления настоящего абзаца. (Мы имели два утверждения P\to R и Q\to R ; их конъюнкция равносильна утверждению (P\land Q)\to R ) Непротиворечащее системе аксиом \Sigma утверждение A не будет зависеть от этой системы аксиом, если существуют две такие неизоморфные модели системы аксиом \Sigma , в одной из которых A выполняется, а в другой - нет.
Снова вернемся к анализу понятия полноты системы аксиом и попытаемся связать его с понятием модели данной системы аксиом. Снова, как и в случае с требованием непротиворечивости, мы пытаемся уйти от выражения этого понятия на языке выводимости к выражению его на языке моделей, т.е. пытаемся уйти от синтаксиса к семантике, от формализма к содержанию. Но здесь эта попытка не окажется столь успешной, как в случае с непротиворечивостью. (Хотя и там ее успех был относителен.) Все это свидетельствует о том, что к этим проблемам предстоит вернуться и именно на языке синтаксиса, на языке формализма, что и будет выполнено в следующей лекции, и результаты окажутся поразительными.
Нетрудно уяснить тот факт, что чем меньшее количество аксиом содержит система аксиом \Sigma , т. е. чем меньше требований предъявляет система аксиом к первоначальным понятиям, тем большее количество объектов ей удовлетворяет, т. е. тем большее количество моделей имеет эта система аксиом. И наоборот, чем больше аксиом содержит система \Sigma , т.е. чем больше требований предъявляет она к первоначальным понятиям, тем меньше объектов ей удовлетворяют, т. е. тем меньше моделей имеет эта система аксиом. (Чем больше аксиом содержит система, тем богаче содержанием основанная на ней теория, но и тем уже область ее применения, т. е. тем меньшей общностью отличаются ее теоремы.) Но что же требует от системы аксиом \Sigma условие ее полноты? Относительно каждого утверждения A можно решить, выводимо A из \Sigma или нет, т.е. нет утверждений, сформулированных в терминах данной теории, которые не зависели бы от системы аксиом \Sigma . Но независимость некоторого утверждения от системы аксиом \Sigma , как было установлено ранее, вытекает из наличия у \Sigma двух неизоморфных моделей. Поэтому, если у системы \Sigma нет не зависящих от нее предложений, т. е. если \Sigma полна, у нее не существует двух неизоморфных моделей. Учитывая, что \Sigma конечно же непротиворечива, т.е. имеет хотя бы одну модель, в итоге заключаем, что все модели системы \Sigma изоморфны, т.е. \Sigma имеет единственную с точностью до изоморфизма модель. Такая система аксиом (и построенная на ее базе аксиоматическая теория) называется категоричной. Таким образом, мы установили, что всякая полная и непротиворечивая аксиоматическая теория категорична .
Руководствуясь этим соображением, в ряде учебников по основаниям геометрии понятие полноты аксиоматической теории отождествлено с ее категоричностью. Тем не менее это не так: не всякая категоричная аксиоматическая теория полна . Таковой является, например, аксиоматическая теория натуральных чисел, построенная на базе системы аксиом Пеано.
Тем не менее всестороннее решение проблем, связанных с полнотой аксиоматических теорий, удается получить только в рамках формальных аксиоматических теорий, когда будут уточнены понятия выводимости, доказуемости, правил вывода, когда сама аксиоматическая теория станет точно определяемым математическим понятием (до сих пор она рассматривалась лишь в описательном плане), подвергаемым изучению методами математической логики. Здесь ограничимся замечанием, что для многих важных математических теорий задача сочетания обоих рассмотренных качеств - непротиворечивости и полноты - оказывается невыполнимой.
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
