1. Алгебраическим уравнением степени называется уравнение вида

где старший коэффициент

Простейшие виды алгебраических уравнений - уравнения 1-й и 2-й степени и даже некоторые специальные виды уравнений 3-й степени - математики могли решать еще в древнем Вавилоне примерно 4000 лет тому назад. Правда, в те далекие времена ученые еще не знали современной математической символики и записывали и само уравнение и процесс его решения словами, а не формулами

2. Произвольное уравнение первой степени

всегда имеет, и притом единственное, решение

В школьном курсе алгебры доказывается следующая теорема о решении произвольного квадратного уравнения

Если число то уравнение имеет ровно два корня, которые даются формулой

Если , то корень только один:

Если же , то корней среди действительных чисел нет.

Математики всегда стараются избежать подобного разделения случаев - их число только увеличилось бы при переходе к уравнениям более высокой степени. Желательна была бы, конечно, формулйровка: «Уравнение второй степени имеет два корня». Ее можно достичь, если, с одной стороны, так расширить понятие числа, что было бы возможным извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, а с другой - считать некоторые корни «несколько раз» (ввести понятие кратного корня).

И то и другое можно аккуратно сделать.

3. Общее уравнение третьей степени имеет вид

Разделив обе части этого уравнения на старший коэффициент А - решения от этого, очевидно, не меняются - приходим к уравнению вида

Введением новой неизвестной величины можно избавиться от слагаемого, содержащего неизвестную во второй степени, т. е. привести уравнение к виду

называемому редуцированным уравнением третьей степени.

Сведения об истории открытия формулы корней кубического уравнения неполны и противоречивы. По-видимому, первым (около 1515 г.) нашел метод решения кубических уравнений профессор университета в Болонье С. Ферро (1465-1526). Независимо от него (около 1535 г.) этот метод открыл Н. Тарталья (1500-1557). Однако первым опубликовал формулу корней кубического уравнения Дж. Кардано (1501-1576) (его работа вышла в 1545 г.), и поэтому эта формула носит его имя. Отметим, что, возможно, Кардано был знаком с работами Тартальи и Ферро.

В современных обозначениях метод решения уравнения (1) состоит в следующем.

Введем две новые неизвестные ; положив имеем

Если неизвестные удовлетворяют системе

то они также удовлетворяют уравнению (2). Решить систему (3) очень просто. Возведем первое уравнение в куб и подставим вместо его выражение из второго уравнения; получим, что удовлетворяет квадратному уравнению

Следовательно,

и, наконец,

Это и есть формула Кардано для решения редуцирован ного кубического уравнения (1).

Сразу возникают вопросы:

1) Что делать, если выражение

2) Сколько корней имеет кубическое уравнение?

3) Дает ли формула Кардано (4) все решения уравнения (1)?

Вопросы эти взаимосвязаны. Легко, например, убедиться, что уравнение

имеет решения -5, 2, 3, а как раз в этом случае

так что квадратные корни в формуле Кардано теряют смысл и три указанных корня этой формулой не выражаются.

Все говорит о том, что здесь еще больше, чем в случае квадратных уравнений, нельзя обойтись без бведения каких-то «новых чисел», для которых извлечение квадратного корня всегда возможно. Такие числа были постепенно введены на протяжении XVI-XIX вв. Они называются комплексными числами. В комплексных числах любое алгебраическое уравнение степени имеет ровно корней

Рассмотрим в качестве примера уравнение

Оно играет важную роль в теории и понадобится нам в дальнейшем.

В поле комплексных чисел это уравнение имеет различных решений, которые называются корнями степени из единицы:

Для записи решений кубического уравнения нужны корни 3-й степени из 1. В соответствии с формулами (6) это будут следующие комплексные числа:

Можно показать, что три корня редуцированного кубического уравнения есть

Здесь буквой обозначен - корень 3-й степени из как нетрудно видеть, равно Это и есть окончательные формулы Кардано.

4. В случае уравнений 1-й, 2-й и 3-й степени нам известны формулы, выражающие корни через коэффициенты уравнения при помощи рациональных операций операции извлечения квадратного корня (в случае квадратного уравнения), операций извлечения квадратного и кубического корней (в случае кубического уравнения). Подобные же правила были указаны и для уравнений 4-й степени учеником Дж. Кардано итальянским алгебраистом Л. Феррари (1522-1565). В них также участвуют лишь рациональные операции и операции Все попытки на протяжении почти трех веков (XVI-XVIII) найти подобные правила для уравнений 5-й и более высоких степеней при помощи рациональных операций и операций не увенчались успехом.

Постепенно стали подозревать, что, возможно, вообще нельзя выразить корни уравнения степени для через коэффициенты лишь при помощи операций и у для произвольных натуральных , т. е. что нельзя свести решение таких уравнений рациональными операциями к последовательному решению уравнений специального вида . Корни уравнений , т. е. то, что обычно обозначают через , принято называть радикалами, и поэтому задачу о возможности сведения нахождения корней произвольного уравнения к нахождению уравнений вида принято называть задачей о выражении корней уравнения радикалами.

Попытки доказать или опровергнуть эту гипотезу особенно участились во второй половине XVIII столетия и привели в начале XIX столетия к доказательству невозможности решения общего уравнения 5-й и более высоких степеней в радикалах.

Среди работ XVIII столетия в отмеченном направлении ясностью мысли выделяется мемуар знаменитого французского математика Ж. Л. Лагранжа (1736-1813), озаглавленный «Рассуждения об алгебраическом решении уравнений» (1771-1772). В нем автор подробно и внимательно проанализировал известные методы решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени в радикалах, чтобы выяснить, как и почему в этих случаях такое решение удается. При этом он отметил следующее обстоятельство: во всех указанных случаях имеются некоторые функции от корней, которые удовлетворяют уравнениям более низкой степени и про которые уже известно, что они решаются в радикалах. Корни исходного уравнения, в свою очередь, могут быть найдены из этих промежуточных функций опять таки из уравнений, решаемых в радикалах.

Далее, Лагранж исследует вопрос, каким образом находятся подобные функции от корней в известных случаях. Оказалось, что это полиномы от корней которые при всевозможных перестановках корней - а их число, как известно, равно - принимают не а меньшее число значений, и даже меньшее, чем - степень исследуемого уравнения). Это произойдет тогда, когда не меняется при некоторых перестановках корней.

Вот каким образом перестановки появились в вопросе о решении уравнения в радикалах!

Если функция от корней принимает только k различных значений то коэффициенты многочлена

по одной известной уже давно, теореме - это так называемая основная теорема о симметрических функциях - должны рационально выражаться через коэффициенты исследуемого уравнения

4 Примеры. 1. Пусть - знакопеременная функция

от корней уравнения степени. Она принимает при всевозможных перестановках корней лишь два значения в зависимости от того, будет ли перестановка четной или нечетной. Следовательно, дискриминант уравнения не меняется при всевозможных перестановках и выражается рационально через коэффициенты исследуемого уравнения. Для квадратного уравнения

для редуцированного кубического уравнения

Знакопеременная функция от корней удовлетворяет уравнениям

соответственно. Мы узнаем выражения под квадратным корнем в формуле для решения квадратного уравнения и с точностью до постоянного множителя в формуле Кардано.

2. Другой пример появился в упоминавшейся выше работе Лагранжа. Это так называемые резольвенты Лагранжа. Мы их рассмотрим, как и сам Лагранж, для случая уравнения 3-й степени. При помощи кубических корней из 1

они определяются следующим образом:

Здесь корни исследуемого кубического уравнения. Обратим внимание на вторую и третью резольвенты. Как нетрудно видеть, при циклической перестановке корней они лишь умножаются на соответственно. Следовательно, выдерживают циклические перестановки и поэтому выражаются рационально через коэффициенты уравнения и через А. Соответствующие представления можно подсчитать. Извлечением кубического корня можно получить . По теореме Виета - это коэффициент при с обратным знаком, т. е. в случае редуцированного кубического уравнения . Зная из системы линейных уравнений (7), можно получить Если осуществить указанные вычисления, то можно убедиться, что вычисляются по формулам Кардано.

Аналогично, только технически более сложно, можно получить решение в радикалах уравнения 4-й степени. Что же касается уравнения 5-й степени, то аналогичное сведение к уравнениям низших степеней получить не удалось. Однако Лагранж не исключал его возможности.

Что такое понижение принципиально неосуществимо, показал в 1799 г. в работе «Общая теория уравнений, в которой доказывается невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени» итальянский математик П. Руффини (1765-1822). Однако в его доказательстве содержались пробелы, которые, ему не удалось устранить. Аккуратное доказательство было дано лишь в 1826 г. в работе норвежского математика Н. Г. Абеля (1802-1829) «Доказательство невозможности алгебраической разрешимости уравнений, степень которых превышает четвертую».

Глубокую причину несуществования функций от корней, удовлетворяющих уравнениям более низкой степени, чем рассматриваемое (исключение составляет всегда знакопеременная функция, удовлетворяющая квадратному уравнению) вскрыл гениальный французский математик Эварист Галуа (1811-1832). Галуа сопоставил каждому уравнению группу тех перестановок его корней, которые не меняют значения всех полиномов от корней с коэффициентами, зависящими рационально от коэффициентов заданного уравнения. Эту группу называют теперь группой Галуа рассматриваемого уравнения.

Понятие группы Галуа уравнения можно ввести следующим образом. Пусть - алгебраическое уравнение некоторой степени (левая часть этого уравнения) - полином степени .

Коэффициенты полинома - числа должны принадлежать одновременно какому-либо числовому полю - непустому множеству чисел, замкнутому относительно операций сложения, умножения, вычитания и деления на число, отличное от 0. Числовым полем является, например, множество Q всех рациональных чисел. Поскольку необходимые понятия вводятся для всех числовых полей единообразно, достаточно рассмотреть лишь одно из них. Поэтому мы будем считать, что коэффициенты многочлена - рациональные числа. Кроме того, можно предполагать (это доказывается в курсах алгебры), что Все корни многочлена - различны, т. е. уравнение имеет различных, вообще говоря, комплексных корней

Рациональным отношением между корнями называется всякое равенство вида

где - знак суммирования, сумма, стоящая в левой части этого равенства, берется по каким-то наборам показателей , а все коэффициенты - рациональные числа. Иными словами, в левой части рационального отношения (8) стоит некоторый многочлен от с рациональными коэффициентами. Множество всех рациональных отношений между корнями уравнения зависит только от многочлена . Понятно, что почленная сумма и почленное произведение рациональных отношений между корнями некоторого многочлена тоже будут рациональными отношениями между его корнями. Поскольку пример ненулевого рационального отношения легко указать для любого уравнения , отсюда получаем, что произвольному уравнению соответствует бесконечное множество рациональных отношений между его корнями.

Пусть теперь

Некоторая перестановка на множестве корней уравнения . Подействуем этой перестановкой на левую часть выражения (8). Каждый одночлен под действием перестановки преобразуется в одночлен (коэффициенты при всех одночленах остаются неизменными).

Левая часть соотношения (8) преобразуется в следующее выражение:

Это число может оказаться отличным от нуля. Все перестановки из симметрической группы на множестве корней уравнения можно разделить на две части - те, что сохраняют рациональное отношение (8), и те, что нарушают его. Если перестановки сохраняют рациональное отношение (8), то очевидно, что их произведение и обратная перестановка к каждой из них также будут преобразовывать это равенство в верхнее соотношение. такого же вида. Иными словами, множество всевозможных перестановок, сохраняющих соотношение (8) (поскольку оно не пустое!), образует группу. Эта группа и называется группой Галуа уравнения

По свойствам этой группы Галуа можно определить, будет ли данное уравнение разрешимо в радикалах или нет. Полученный признак содержит в виде частых случаев все ранее известные сведения о разрешимости или неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений.

Но не исключается, что некоторые уравнения с числовыми коэффициентами разрешимы в радикалах. Возможно это или нет, устанавливается опять-таки на основании признака, найденного Галуа.

Исследование свойств групп Галуа выходит за рамки нашего изложения. Отметим только, что если группа Галуа данного уравнения является абелевой, то уравнение разрешимо в радикалах. Разрешимыми в радикалах будут уравнения, группа Галуа которых является одной из групп диэдра, группой симметрий тетраэдра и куба. Это примеры так называемых разрешимых групп, т. е. групп Галуа уравнений, разрешимых в радикалах. Наиболее «маленьким» примером неразрешимой группы является знакопеременная группа состоящая из 60 перестановок; неразрешимой является также и содержащая ее группа Можно сказать, что в неразрешимости общего уравнения 5-й степени в радикалах «виновны» именно эти группы: среди уравнений 5-й степени имеются такие, группа Галуа которых совпадает с или Примером такого уравнения является

Поскольку группа Галуа уравнения является столь важной его характеристикой, возникает вопрос, как же строить эту группу по уравнению? Оказывается, что нет необходимости проверять, выдерживают ли все рациональные отношения от корней уравнения данную перестановку его корней. Достаточно ограничиться такой проверкой для конечной и вполне обозримой части этих отношений. С доказательством последнего и других упомянутых здесь утверждений можно познакомиться по одной из книг, посвященных изложению теории Галуа и указанных в списке литературы.

Упражнения

1. Используя дискриминант D кубического уравнения, невозможно установить, все корни этого уравнения совпадают, - или же совпадают лишь два из них. Приведите пример выражения; составленного из корней данного уравнения, которое позволяло бы это делать.

5. Привести примеры числовых полей, отличных от поля рациональных чисел Q. Проверить, что всевозможные числа вида

образуют числовое поле.

6. Доказать, что если квадратный корень из дискриминанта многочлена является рациональным числом, то группа Галуа этого многочлена целиком состоит из четных перестановок.

ТИПЫ УРАВНЕНИЙ

Алгебраические уравнения. Уравнения вида f n = 0, где f n – многочлен от одной или нескольких переменных, называются алгебраическими уравнениями. Многочленом называется выражение вида

f n = a 0 x i y j ... v k + a 1 x l y m ... v n + ¼ + a s x p y q ... v r ,

где x , y , ..., v – переменные, а i , j , ..., r – показатели степеней (целые неотрицательные числа). Многочлен от одной переменной записывается так:

f (x ) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + ... + a n – 1 x + a n

или, в частном случае, 3x 4 – x 3 + 2x 2 + 4x – 1. Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется любое уравнение вида f (x ) = 0. Если a 0 ¹ 0, то n называется степенью уравнения. Например, 2x + 3 = 0 – уравнение первой степени; уравнения первой степени называются линейными, так как график функции y = ax + b имеет вид прямой. Уравнения второй степени называются квадратными, а уравнения третьей степени – кубическими. Аналогичные названия имеют и уравнения более высоких степеней.

Трансцендентные уравнения. Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. Примером могут служить следующие уравнения:

где lg – логарифм по основанию 10.

Дифференциальные уравнения. Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы. Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы.

Интегральные уравнения. Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла, например, f (s ) = òK (s, t ) f (t ) dt , где f (s ) и K (s ,t ) заданы, а f (t ) требуется найти.

Диофантовы уравнения. Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах. Например, уравнение 3x – 5y = 1 имеет решение x = 7, y = 4; вообще же его решениями служат целые числа вида x = 7 + 5n , y = 4 + 3n .

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Для всех перечисленных выше типов уравнений общих методов решения не существует. И все же во многих случаях, особенно для алгебраических уравнений определенного типа, имеется достаточно полная теория их решения.

Линейные уравнения. Эти простые уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.

1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.

2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.

3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.

4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.

Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.

Квадратные уравнения. Решения общего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 можно получить с помощью формулы

Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать.

Другие алгебраические уравнения. Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко находит корни. Что же касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н.Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удается легко решить, факторизуя их левую часть, т.е. разлагая ее на множители.

Например, уравнение x 3 + 1 = 0 можно записать в факторизованном виде (x + 1)(x 2 – x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю:

Таким образом, корни равны x = –1, , т.е. всего 3 корня.

Если уравнение не факторизуется, то следует воспользоваться приближенными решениями. Основные методы нахождения приближенных решений были разработаны Горнером, Ньютоном и Греффе. Однако во всех случаях существует твердая уверенность в том, что решение существует: алгебраическое уравнение n -й степени имеет ровно n корней.

Системы линейных уравнений. Два линейных уравнения с двумя неизвестными можно записать в виде

Решение такой системы находится с помощью определителей

Оно имеет смысл, если Если же D = 0, то возможны два случая. (1) По крайней мере один из определителей и отличен от нуля. В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации – система

(2) Оба определителя равны нулю. В этом случае второе уравнение просто кратно первому и существует бесконечное число решений.

Общая теория рассматривает m линейных уравнений с n переменными:

Если m = n и матрица (a ij ) невырожденна, то решение единственно и может быть найдено по правилу Крамера:

где A ji – алгебраическое дополнение элемента a ij в матрице (a ij ). В более общем плане существуют следующие теоремы. Пусть r – ранг матрицы (a ij ), s – ранг окаймленной матрицы (a ij ; b i ), которая получается из a ij присоединением столбца из чисел b i . Тогда: (1) если r = s , то существует n – r линейно независимых решений; (2) если r < s , то уравнения несовместны и решений не существует.

Транскрипт

1 Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0, коэффициентами уравнения (), порядком (или степенью) уравнения. Определение. Число называется решением (или корнем) уравнения (), если при подстановке числа в уравнение 0 P вместо получается верное равенство 0 P. В зависимости от коэффициентов уравнение () может иметь единственный действительный корень, несколько корней, или не иметь действительных корней. Решить уравнение значит найти все его корни (в школьном курсе рассматриваются только действительные решения) или доказать, что уравнение не имеет решений. и Будем рассматривать уравнение () при. Для (кубическое уравнение) имеются формулы корней уравнения 0 P в радикалах, известные под именем формул Кордано. При уравнение () неразрешимо в радикалах, т.е. решение уравнения 0 P при нельзя выразить через его коэффициенты 0, с помощью конечного числа арифметических операций (операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения арифметического корня). Доказательство этого утверждения впервые было получено норвежским математиком Абелем в 6 году. В отдельных случаях решение алгебраических уравнений высших степеней, в том числе третьей и четвертой, удается найти достаточно просто. Такая возможность полностью определяется коэффициентами, 0, многочлена P. Следствие из теоремы Безу. Если является корнем многочлена (P 0), то многочлен P делится на двучлен без остатка, т.е. существует многочлен такой, что P F F. P

2 «уголком». Уравнение () в этом случае равносильно совокупности уравнений Деление одного многочлена Уравнение 0, F 0. P на другой Q m, m, можно производить P степени может иметь не более действительных корней с учетом кратности. При этом уравнение нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень. Если действительные числа..., является корнями уравнения 0 то имеет место тождество P, Для уравнений высших степеней () справедлива теорема Виета, которую сформулируем в случае и. Если действительные числа, и являются корнями кубического уравнения 0, 0, то они удовлетворяют условиям: b c d d, c, b. Если действительные числа, и являются корнями уравнения четвертой степени 0, 0, то они удовлетворяют условиям: b c d e Если рациональное число 0 e, d, b. p, где p q q c, несократимая дробь, является корнем уравнения с целыми коэффициентами, то p должно быть делителем свободного члена

3 , а q делителем коэффициента 0 при старшей степени. В частности, целые корни 0 p приведенного уравнения 0 с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена. Это утверждение следует из последнего равенства в (.7) Если сумма всех коэффициентов уравнения 0 имеет корень. P равна нулю, то уравнение Например, сумма коэффициентов уравнения равна нулю, поэтому оно имеет корень. Если в уравнении сумма коэффициентов при нечетных степенях равна сумме свободного члена и коэффициентов при четных степенях, то уравнение имеет корень. Например, в уравнении имеем 6 7, поэтому корень данного уравнения. Рассмотрим отдельные классы алгебраических уравнений высших степеней и изучим методы их решения. Биквадратные уравнения. Определение. Биквадратным называется уравнение вида где 0. b c 0, () Для решения этого уравнения используется замена переменных y, где y 0. При этом получается квадратное уравнение y by c 0. Так как уравнение () является уравнением четвертой степени, то оно имеет не более четырех действительных корней. Если y и y - его решения, то исходное биквадратное уравнение будет равносильно совокупности: Метод подбора корня (корней). 0 y y. Если приведенное алгебраическое уравнение () с целыми коэффициентами имеет целые корни, то их нужно искать среди делителей свободного члена

4 уравнения (). Рациональные корни p 0 уравнения () с целыми коэффициентами q p следует искать среди чисел таких, что p является делителем свободного члена, q а q - делителем коэффициента 0 при старшей степени в уравнении (). Эти свойства лежат в основе метода подбора корней алгебраического уравнения. Пример. Решить уравнение 0. Решение. Данное уравнение является приведенным и имеет целые коэффициенты. Поэтому целые корни данного уравнения (если они есть) содержатся среди делителей свободного члена:,. Легко убедиться, что являет- ся корнем уравнения. Чтобы найти остальные корни разделим многочлен на двучлен «уголком»: 0. Для уравнения 0 вновь подбором найдем корень, а затем разделим многочлен на двучлен: 0, Уравнение 0 действительных корней не имеет. Таким образом ис-

5 ходное уравнение -й степени имеет два действительных корня. Ответ.,. Метод замены переменных. Если при замене переменных исходное уравнение упрощается (например, понижается его степень), то смело вводим новую переменную. Пример. Решить уравнение. Решение. Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится уравнение 6 0, которое решать весьма сложно. Хотя оно и является уравнением с целыми коэффициентами, но целых корней как увидим ниже, оно не имеет. Поэтому воспользуемся другим способом: введем новую переменную y и решим квадратное уравнение y y. Его корни: y и y. Соответственно исходное уравнение будет равносильно совокупности двух уравнений. Решим полученные квадратные уравнения.,. 0, D 0,. или 0, D 7 0, решений нет. Таким образом, исходное уравнение -й степени имеет два корня и. Ответ.,. Пример. Найти наибольший отрицательный корень уравнения 0. Решение. Подобрать корни данного уравнения весьма сложно, поэтому воспользуемся следующим приемом: домножим (или разделим) данное уравнение на некоторое число так, чтобы старший член уравнения стал кубом некоторого выражения

6 Заметим, что, и введем новую переменную y. В результате получим уравнение y y y 6 0, равносильное исходному. Подбором найдем его корни y, y и y, которым будут соответствовать корни исходного уравнения, и. Наибольшим отрицательным корнем является. Ответ. Наибольший отрицательный корень. Можно ввести еще одну переменную и рассмотреть квадратное уравнение относительно одной из полученных («старой» или «новой») переменных. Пример. Найти наименьший корень уравнения 6 0. Решение. Преобразуем исходное уравнение следующим образом: Введем новую переменную y 6 и получим уравнение 6 y y 0. Решим полученное уравнение как квадратное относительно y. y или y. D 6 y y 0, y, Вернемся к переменной, получим два квадратных уравнения.

7 6, 9 0, D 0 0, 9 0, 9 0, 9 0 6, 0, D 9, Получили решения исходного уравнения. Выберем наименьшее из них. Так как 0 0, то 9., поэтому наименьшее решение. 9 0 Ответ. Наименьшее решение.. Возвратные уравнения Определение. Возвратным или симметричным называются уравнения вида 0 0, для которых равны коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, то есть при k 0,. k k Например, является возвратным, так как 0, 9, 6. Для возвратных уравнений верны следующие утверждения. Возвратное уравнение нечетной степени всегда имеет корень и после деления на двучлен приводится к возвратному уравнению четной степени. Возвратное уравнение четной степени может быть сведено к уравнению вдвое меньшей степени с помощью введения переменной y. Проиллюстрируем данные утверждения на примерах. Пример. Решить уравнение Решение. Нетрудно заметить, что данное уравнение является возвратным нечетной степени и, следовательно, имеет корень. Разделим многочлен на двучлен:

8 Остается решить возвратное уравнение -й степени Так как 0 не является корнем данного уравнения, то можно разделить обе части данного уравнения на Сделаем замену переменных т.е. y.. Получим y. Тогда y, Получим уравнение y 0y 6 0 (степень уравнения понизилась вдвое!) Решим квадратное уравнение y 0y 0. По теореме Виета числа y и y 6 являются его корнями. Имеем далее

9 0, 6 0, D 0, 6 0, 9,. Таким образом, исходное уравнение -й степени имеет корней:, и. Ответ., и. D Использование монотонности функций и других специальных приемов Для решения нестандартных алгебраических уравнений приходится привлекать различные приемы преобразование уравнения к равносильной форме, введение новых переменных, исследование функции Решение уравнений вида g f в составе уравнения 0 f и т.д. f иногда удобно строить на использовании свойства монотонности функций. В основе этого приема лежит следующая теорема. Теорема. Пусть уравнение f g определено на множестве X R ; функция f является монотонно возрастающей (убывающей) на X, а g монотонно убывающей (возрастающей). Если и E f, E g области значений f g на множестве X и E f Eg, то существует единственная точка 0 X такая, что g f, т.е. уравнение 0 0 f g имеет единственное решение. Данная теорема справедлива для любых уравнений вида g для алгебраических. Пример 6. Решить уравнение 96 E f. y f Eg 0 X g f, а не только Решение. Степенная функция y, N, определена на всей числовой прямой и является строго возрастающей функцией на R. Поэтому левая часть данного

10 уравнения f является строго возрастающей функцией на R как сумма двух строго возрастающих функций. Правая часть 96 g является тождественно постоянной. Поэтому в соответствии с теоремой.6 уравнение имеет единственное решение. Нетрудно видеть, что им является. Ответ.. Пример 7. Решить уравнение. Решение Y. Но Y для любого R и потому уравнение 0 Y, а значит и исходное (.), не имеет решения. Ответ.

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ГС ЛУКЬЯНОВА АИНОВИКОВ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рязань Министерство

АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1, a n-1, a n заданные числа, a 0,

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

4.. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений. В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения многочлена на множители. Данный метод широко применяется для

Тема 5 Рациональные системы уравнений F (x, x,...,) 0, F (x, x,...,) 0, Система уравнений вида где... Fk (x, x,...,) 0, F i(x, x,...,), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Многочлены. Простейшие уравнения и

Глава 7 Квадратные уравнения Беседа 8 Как решали квадратные уравнения в древности. На самом деле вавилонский метод дает решение системы + y =, представляющей собой запись задачи нахождения y = q, сторон

Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Уравнения высших порядков 1 Непосредственная группировка............................. 1 2 Подбор корня........................................

Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство (4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТАРШИХ СТЕПЕНЕЙ Оглавление АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТАРШИХ СТЕПЕНЕЙ алгебраических уравнений выше второй степени Многочлены и их корни Деление многочленов Схема деления углом

МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

8.3 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 5 «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать

Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать определение

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4 Содержание 1 Введение 1 2 Уравнения третьей степени 3 3 Уравнения четвертой степени 7 1 Введение В данном манускрипте приводятся формулы для

Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то () < (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () > (). Например, () = > = = (), так

Статус документа Пояснительная записка Настоящая рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленный уровень) основной общей общеобразовательной школы составлена на основе федерального компонента государственного

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Содержание Уравнение............................................ Целые выражения..................................... Выражения со степенями............................. 3 Одночлен.............................................

Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленное изучение) составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного образовательного стандарта, программой по алгебре

И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Календарно-тематическое планирование с определением основных видов учебной деятельности урока Дата Раздел Тема урока Характеристика основных видов деятельности обучающихся 1 полугодие 65 уроков; 1 четверть

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Республики Хакасия «Хакасская национальная гимназия интернат им. Н.Ф.Катанова» «СОГЛАСОВАНО» на заседании кафедры математики и информатики Протокол

Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков 1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется

Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

МАТЕМАТИКА Рациональные уравнения Системы уравнений Уравнения, содержащие модуль Задание для 9- классов 0-04 учебный год Составитель: кпн, доцент Марина ЕВ Пенза, 0 Введение Вспомним некоторые понятия

Типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Приложение к «Основной образовательной программе основного общего образования МБОУ СОШ 5» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету «Алгебра» для 7-ых 8-ых классов Программа: Программы. Математика. 5-6 классы.

2.22. Вынесите за скобки общий множитель (n натуральное число): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Каждому числу поставили в соответствие

Пояснительная записка Рабочая программа элективного учебного предмета «Алгебра плюс: алгебра с точки зрения высшей математики» для учащихся 0- классов составлена на основе примерной рабочей программы учителя

3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Календарно-тематическое планирование Алгебра 8б класс Уровень обучения: углублённый 4 часа в неделю/144 часа в год Содержание тем учебного курса 1. Повторение материала 7 класса (6 часов). Алгебраические

Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа (M N) d () p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы.. Раскрытие скобок. Умножение многочленов.. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Свойство степени с натуральным показателем. 6. Формулы сокращенного

Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ МАТЕМАТИКА Программа «11 класс» 2013-2014 учебный год Часть 1, алгебра и начала анализа Оглавление Глава 1. Содержание курса и контрольных работ...

Глава I Алгебраические дроби 18 Глава II Квадратная функция. Функция. 14 Глава III Функция у = х. Свойства квадратного корня 12 Глава IV Квадратные уравнения 22 Глава V Действительные числа 11 Глава VI

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, уравнение, имеющее вид F(x 1 ,…,x m)=0, где F - многочлен от m переменных, которые называются неизвестными.

Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат фиксированному основному полю К. Решением алгебраического уравнения называется такой набор х * 1 ,..., х * m значений неизвестных из поля К (или его расширения), который после подстановки в многочлен F обращает его в нуль. Основной задачей теории алгебраического уравнения является выяснение условий, когда у заданного алгебраического уравнения имеется решение и описание множества всех решений.

Алгебраическое уравнения с одним неизвестным имеет вид

Предполагается, что n>0 и а 0 ≠ 0. Число n называется степенью уравнения, а числа а 0 , а 1 ..., а n - его коэффициентами. Значения неизвестного х, являющиеся решениями уравнения, называются его корнями, а также корнями многочлена F(х). Если α - корень уравнения (1), то многочлен F(х) делится без остатка на (х-α) (теорема Безу). Элемент α основного поля К (или его расширения) называется k-кратным корнем алгебраического уравнения, если многочлен F(х) делится на (х-α)к и не делится на (х-α)к+1. Корни кратности 1 называются также простыми корнями уравнения.

Каждый многочлен степени n с коэффициентами из поля К имеет в К не более n корней, считая корни с учётом их кратностей. Если поле К алгебраически замкнуто, то каждый такой многочлен имеет ровно n корней с учётом их кратностей. В частности, это верно для поля комплексных чисел С (основная теорема алгебры). Из теоремы Безу следует, что F(х) можно представить в виде

где α 1 ,.....α n - корни уравнения. Корни и коэффициенты уравнения связаны формулами Виета

Всякое уравнение степени n≤ 4 разрешается в радикалах. Это означает, что для корней уравнения имеются явные формулы, выражающие корни через коэффициенты уравнения и использующие лишь сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня. В случае n=2 (квадратное уравнение) формулы имеют вид

Решения задач, сводящихся к частным видам уравнений 2-й и 3-й степеней, встречаются в клинописных текстах Древнего Вавилона. Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в «Арифметике» Диофанта (3 век). Решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й степеней в общем виде было получено итальянскими математиками Дж. Кардано и Л. Феррари в 16 веке. Почти 300 лет делались попытки найти общее решение в радикалах уравнений степеней, больших 4. В 1826 году Н. Абелем было доказано, что это невозможно (однако не исключается возможность существования таких формул для конкретных уравнений степени n>4). Полное решение вопроса о том, при каких условиях алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах, было получено Э. Галуа (около 1830). Вопрос о разрешимости уравнений в радикалах тесно связан с вопросом о геометрических построениях с помощью циркуля и линейки, в частности с делением окружности на n равных частей, с доказательством невозможности удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга.

Для приложений весьма важен случай, когда коэффициенты и корни уравнения являются числами (из полей Z целых, Q рациональных, R действительных или С комплексных чисел); при этом часто используются специальные свойства этих полей (например, наличие в них топологии или упорядоченности). В этом случае с использованием специальных функций можно получить явные формулы для решения уравнений степени, большей 4.

Для практического нахождения корней уравнений с коэффициентами из R и С используют приближённые методы. Для оценки сверху числа действительных корней уравнений с действительными коэффициентами можно использовать теорему Декарта: число положительных корней, с учётом их кратностей, равно или на чётное число меньше числа перемен знаков в последовательности ненулевых коэффициентов уравнения.

Имеются многочисленные оценки для величин корней. Так, над полем С величины |α i |, i = 1, ..., n, не превосходят

Если коэффициенты вещественны и а 0 ≥а 1 ≥ ... ≥a n ≥0, то все корни уравнения лежат на комплексной плоскости в единичном круге.

В связи с изучением вопроса об устойчивости механических систем возникает вопрос о том, когда все корни данного многочлена F(х) имеют отрицательные действительные части (проблема Рауса - Гурвица). Такие многочлены F называются устойчивыми. Основные результаты об устойчивых многочленах принадлежат Ш. Эрмиту, английскому учёному Э. Раусу, немецким математикам А. Гурвицу, И. Шуру.

Системы алгебраических уравнений с несколькими неизвестными изучаются в алгебраической геометрии. В отдельный раздел, теорию диофантовых уравнений, выделяется изучение алгебраических уравнений над незамкнутыми полями, такими, как поле Q.

Системой алгебраических уравнений называется система уравнений, имеющая вид

Системы уравнений степени 1 (линейных уравнений) изучаются в линейной алгебре.

Простейший результат о числе решений системы алгебраических уравнений относится к случаю, когда имеется k однородных уравнений от k + 1 переменной. Все решения х 1 * ,...,x x+1 k объединяются в классы решений λ 1 * ..., λх k+1 * , где λ≠0 принадлежит полю К. Тогда число ненулевых (классов) решений системы с учётом их кратностей в общем случае равно произведению степеней многочленов F 1 , ..., F k . Условие общности состоит в том, что коэффициенты многочленов F 1 , ..., F k не принадлежат некоторому алгебраическому многообразию в аффинном пространстве А коэффициентов, имеющем строго меньшую размерность, чем А (теорема Безу).

В случае, когда рассматриваются системы неоднородных алгебраических уравнений, для нахождения числа их решений необходимо использовать более тонкие инварианты, чем степень, а именно многогранники Ньютона. Если

где i=(i 1 ,..i n) Є Z n то многогранником Ньютона многочлена F называется выпуклая оболочка в пространстве R n точек i, для которых a i ≠ 0. Число решений системы арифметических уравнений выражается через многогранники Ньютона многочленов F 1 ,. . . ,F k .

Лит.: Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра. Линейная алгебра, многочлены, общая алгебра. М., 1965; Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., 1975; Кострикин А. И. Введение в алгебру. М., 1977; Постников М. М. Устойчивые многочлены. М., 1981; Фадеев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре. СПб., 2001.

И. В. Проскуряков, А. Н. Паршин.

Для учащихся, интересующихся математикой, при решении алгебраических уравнений высших степеней эффективным методом быстрого нахождения корней, деление с остатком на двучлен х – a или на ах + b, является схема Горнера.

Рассмотрим схему Горнера.

Обозначим неполное частное при делении Р(х) на х – a через

Q(x) = b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1 , а остаток через b n .

Так как Р(х) = Q(x)(х–) + b n , то имеет место равенство

а 0 x n + а 1 x n-1 + … + а n = (b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1)(х–a) + b n

Раскроем в правой части скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получим, что а 0 = b 0 и при 1 < k < n имеют место соотношения а k = b k - a b k-1 . Отсюда следует, что b 0 = а 0 и b k = а k + a b k-1 , 1 < k < n.

Вычисление коэффициентов многочлена Q(x) и остатка b n запишем в виде таблицы:

	b 1 =а 1 + b 0	b 2 =а 2 + b 1		b n-1 =а n-1 + b n-2	b n = а n + b n-1

Пример 1. Разделить многочлен 2x 4 – 7x 3 – 3х 2 + 5x – 1 на х + 1.

Решение. Используем схему Горнера.

При делении 2x 4 – 7x 3 – 3х 2 + 5x – 1 на х + 1 получим 2x 3 – 9х 2 + 6x – 1

Ответ: 2x 3 – 9х 2 + 6x – 1

Пример 2. Вычислить Р(3), где Р(х) = 4x 5 – 7x 4 + 5х 3 – 2х + 1

Решение. Используя теорему Безу и схему Горнера, получим:

Ответ: Р(3) = 535

Упражнение

1) Используя схему Горнера, разделить многочлен

4x 3 – x 5 + 132 – 8х 2 на х + 2;

2) Разделить многочлен

2x 2 – 3x 3 – х + х 5 + 1 на х + 1;

3) Найти значение многочлена Р 5 (х) = 2х 5 – 4х 4 – х 2 + 1 при х = 7.

1.1. Отыскание рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами

Способ отыскания рациональных корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами дается следующей теоремой.

Теорема: Если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональные корни, то они есть частное от деления делителя свободного члена на делитель старшего коэффициента.

Доказательство: а 0 x n + а 1 x n-1 + … + а n = 0

Пусть х = р/q – рациональный корень, q, p – взаимнопростые.

Подставив дробь р/q в уравнение, и освободившись от знаменателя, получим

а 0 р n + а 1 р n-1 q+ … + а n-1 pq n-1 + a n q n = 0 (1)

Перепишем (1) двумя способами:

a n q n = р(– а 0 р n-1 – а 1 р n-2 q – … – а n-1 q n-1) (2)

а 0 р n = q (– а 1 р n-1 –… – а n-1 рq n-2 – а n q n-1) (3)

Из равенства (2) следует, что a n q n делится на р, и т.к. q n и р взаимно просты, то a n делится на р. Аналогично из равенства (3) следует, что а 0 делится на q. Теорема доказана.

Пример 1. Решить уравнение 2x 3 – 7x 2 + 5х – 1 = 0.

Решение. Целых корней уравнение не имеет, находим рациональные корни уравнения. Пусть p/q несократимая дробь является корнем уравнения, тогда р находим среди делителей свободного члена, т.е. среди чисел ± 1, а q среди положительных делителей старшего коэффициента: 1; 2.

Т.е. рациональные корни уравнения надо искать среди чисел ± 1, ± 1/2, обозначим Р 3 (х) = 2x 3 – 7x 2 + 5х – 1, Р 3 (1) 0, Р 3 (–1) 0,

Р 3 (1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 – корень уравнения.

2x 3 – 7x 2 + 5х – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3х + 2х– 1 = 0.

Получим: x 2 (2х – 1) – 3x(2х – 1)+ (2х– 1) = 0; (2х– 1)(x 2 – 3x + 1) = 0.

Приравнивая второй множитель к нулю, и решив уравнение, получим

Упражнения

Решить уравнения:

1. 6x 3 – 25x 2 + 3х + 4 = 0;
2. 6x 4 – 7x 3 – 6х 2 + 2х + 1 = 0;
3. 3x 4 – 8x 3 – 2х 2 + 7х – 1 = 0;

1.2. Возвратные уравнения и методы решения

Определение. Уравнение с целыми степенями относительно неизвестного называется возвратным, если его коэффициенты, равноотстоящие от концов левой части, равны между собой, т.е. уравнение вида

аx n + bx n-1 + cx n-2 + … + cx 2 + bx + а = 0

Возвратное уравнение нечетной степени

аx 2n+1 + bx 2n + cx 2n-1 + … + cx 2 + bx + а = 0

всегда имеет корень х = – 1. Поэтому оно эквивалентно объединению уравнению х + 1 = 0 и . Последнее уравнение является возвратным уравнением четной степени. Таким образом, решение возвратных уравнений любой степени сводится к решению возвратного уравнения четной степени.

Как же его решать? Пусть дано возвратное уравнение четной степени

аx 2n + bx 2n-1 + … + dx n+1 + ex n + dx n-1 + … + bx + а = 0

Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения. Тогда делим уравнение на х n , получим

аx n + bx n-1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1-n + аx -n = 0

Группируем попарно члены левой части

а(x n + x -n) + b(x n-1 + x -(n-1) + … + d(x + x -1) + e = 0

Делаем замену х + х -1 = у. После подстановки выражений х 2 + х -2 = у 2 – 2;

х 3 + х -3 = у 3 – 3у; х 4 + х -4 = у 4 – 4у + 2 в уравнение получим уравнение относительно у Ау n + By n-1 +Cy n-2 + … + Ey + D = 0.

Для решения этого уравнения нужно решить несколько квадратных уравнений вида х + х -1 = у k , где к = 1, 2, … n. Таким образом, получим корни исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение х 7 + х 6 – 5х 5 – 13х 4 – 13х 3 – 5х 2 + 2х + 1 = 0.

Решение. х = – 1 является корнем уравнения. Применим схему Горнера.

Наше уравнение примет вид:

(х + 1)(х 6 + х 5 – 6х 4 – 7х 3 – 6х 2 + х + 1) = 0

1) х + 1 = 0, х = -1;

2) х 6 + х 5 – 6х 4 – 7х 3 – 6х 2 + х + 1 = 0 | : x 3 ? 0; х 3 + х 2 – 6х – 7 – 6/х + 1/х 2 + 1/х 3 =0.

Группируя, получим: .

Вводим замену: ; ; .

Получим относительно у уравнение: у 3 – 3у + у 2 – 2 – 6у – 7 = 0;

у 3 + у 2 – 9у– 9 = 0; у 2 (у + 1) – 9(у + 1) = 0; (у + 1)(у 2 – 9); у 1 = -1, у 2,3 = ± 3.

Решая уравнения , , ,

получим корни: , , ,

Ответ: х 1 = -1, ,

Упражнения

Решить уравнения.

1. 2х 5 + 5х 4 – 13х 3 – 13х 2 + 5х + 2 = 0;
2. 2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2 = 0;
3. 15х 5 + 34х 4 + 15х 3 – 15х 2 – 34х – 15 = 0.

1.3. Метод замены переменной при решении уравнений

Метод замены переменной - самый распространенный метод. Искусство производить замену переменной заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.

Если дано уравнение

F(f(x)) = 0, (1)

то заменой неизвестной у = f(x) оно сначала сводится к уравнению

а потом после нахождения всех решений уравнения (2) у 1 , у 2 , …, y n , … сводится к решению совокупности уравнений f(x) =у 1, f(x) = у 2 ,…, f(x) = у 2 , …

Основными способами реализации метода замены переменной являются:

• использование основного свойства дроби;
• выделение квадрата двучлена;
• переход к системе уравнений;
• раскрытие скобок парами;
• раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения;
• понижение степени уравнения;
• двойная замена.

1.3.1. Понижение степени уравнения

Решить уравнение (х 2 + х + 2)(х 2 + х + 3) = 6 (3)

Решение. Обозначим х 2 + х + 2 = у, тогда полечим у(у+1)=6, решая последнее, получим у 1 = 2, у 2 = -3. Данное уравнение (3) равносильно совокупности уравнений х 2 + х + 2 = 2

х 2 + х + 2 = -3

Решая первое, получим х 1 = 0, х 2 = -1. Решая второе, получим ,

Ответ: х 1 = 0, х 2 = -1,

1.3.2. Уравнение четвертой степени вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m, где а + b = c + d, или а + с = b + d, или а + d = b + c.

Пример. Решить уравнение (х - 1)(х - 7)(x -4)(x + 2) = 40

Решение. – 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, перемножив эти пары скобок, получим уравнение (х 2 - 5х - 14)(х 2 - 5х + 4) = 40

Введем замену: х 2 - 5х – 14 = у, получим уравнение у(у + 18) = 40, у 2 + 18у = 40, у 2 + 18у – 40 = 0. у 1 = -20, у 2 = 2. Возвращаясь к исходной переменной, решим совокупность уравнений:

1.3.3. Уравнение вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Ех 2 ,

где ab = cd, или ac =bd, или ad = bc. Раскрываем скобки парами и делим обе части на х 2 0.

Пример. (х - 1)(х - 2)(x - 8)(x - 4) = 4х 2

Решение. Произведение чисел, стоящих в первой и третьей, во второй и четвертой скобках, равны, т.е. – 8 (- 1) = (- 2)(- 4). Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение (х 2 - 9х + 8)(х 2 - 6х + 8) = 4х 2 .

Поскольку х = 0 не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на х 2 0, получим: , замена: , исходное уравнение примет вид: t(t+3) =4, t 2 + 3t=4, t 2 + 3t – 4=0, t 1 =1, t 2 = - 4.

Вернемся к исходной переменной:

Первое уравнение решаем, получим х 1,2 = 5 ±

Второе уравнение не имеет корней.

Ответ: х 1,2 = 5 ±

1.3.4. Уравнение четвертой вида (ах 2 + b 1 х + c)(aх 2 + b 2 x + c) = Aх 2

Уравнение (ах 2 + b 1 х+ c)(aх 2 + b 2 x + c) = Aх 2 , где с 0, А 0, не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение на х 2 , получим равносильное ему уравнение , которое после замены неизвестной перепишется в виде квадратного и легко решается.