Одним из наиболее распространенных способов моделирования временного ряда является построение тренда или аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда. Для аналитического выравнивания могут применяться следующие функции: · линейная · гиперболическая ; · экспоненциальная · степенная · полиномы второго и более высоких порядков Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда yt. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации. Известно несколько способов определения типа трендов. К наиболее распространенным относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики, коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тренда можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейный тренд, то его соседние уровни тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейный тренд, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражен нелинейный тренд в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Верификация

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейный тренд, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации R 2 , значимость которого оценивается по критерию Фишера, и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных. При наличии неявного нелинейного тренда следует дополнять описанные выше методы выбора наилучшего уравнения тренда качественным анализом динамики изучаемого показателя, чтобы избежать ошибок спецификации при выборе вида тренда. Качественный анализ предполагает изучение проблем возможного наличия в исследуемом временном ряде поворотных точек и изменения темпов прироста, начиная с определенного момента (периода) времени под влиянием ряда факторов. В случае, если уравнение тренда выбрано неверно при больших значениях выборки (ошибка спецификации), результаты анализа и прогнозирования динамики временного ряда с использованием выбранного уравнения будут недостоверными.

Поскольку наибольшее значение коэффициента детерминации 0,98 имеет уравнение, заданное кубическим полиномом, то в качестве модели можно использовать это уравнение (рисунок 16). Однако значение коэффициента детерминации линейного тренда равно 0,96, что также дает право использовать его для прогноза. Как правило, при прогнозировании предпочтение отдается линейному тренду, если по качеству он незначительно уступает нелинейному.

Выпуск продукции

Годы

Рисунок 16 – Подбор линии тренда

Прогнозирование

Используя линию тренда (кубический полином), осуществляется прогноз выпуска продукции, который составит в 2011 г. 44 208 ед. Прогноз выпуска продукции по линейному тренду составит 38 214,5 ед. Заметим, что полином лучше описывает имеющуюся выборку, но прогнозное значение резко увеличивается по сравнению с наблюдаемыми значениями. Прогноз по линейному тренду более достоверен.

Вопросы для самоконтроля

1. Каково определение модели временного ряда?

2. Какие известны основные компоненты временного ряда?

3. Каковы основные цели исследования временных рядов?

4. Как использовать автокорреляционную функцию при анализе структуры временного ряда?

5. Как рассчитывается коэффициент автокорреляции пятого порядка?

6. Как строится коррелограмма?

7. Каков общий вид мультипликативной и аддитивной моделей временного ряда?

8. С какой целью проводится анализ структуры сезонных колебаний временного ряда?

9. Какие тесты используются для проверки гипотезы о структурной стабильности временного ряда?

10. В каком случае нарушается структурная стабильность временного ряда?

11. Что понимается под аналитическим выравниванием временного ряда?

12. Каковы известны наиболее распространенные модели, используемые для аналитического выравнивания временного ряда?

13. Что понимается под линеаризующими преобразованиями? Как они используются в МНК?

14. Как оценивается качество построенной модели?

15. Как осуществляется точечный прогноз по модели временного ряда?

Индивидуальное задание

Динамика выпуска продукции некоторого предприятия характеризуется данными, представленными в таблице 25 (в каждом варианте
к объему выпускаемой продукции надо прибавить число 120 × k , где k – порядковый номер студента в журнале группы). Выполните следующее:

· проанализируйте структуру временного ряда;

· проверьте гипотезу о структурной стабильности ряда;

· проведите аналитическое выравнивание временного ряда;

· сделайте прогноз на 2011 г.;

· оформите отчет.

Аналитическое выравнивание временного ряда представляет из себя построение аналитической функции, модели тренда. Для этого применяются различного рода функции: линейные, степные, параболические и т.д.

Параметры тренда определяются как и в случае линейной регрессии методом наименьших квадратов, где в качестве независимой переменной выступает время, а в качестве зависимой переменной - уровни временного ряда. Критерием отбора наилучшей формы тренда служит наибольшее значение коэффициента детерминации, критерии Фишера и Стьюдента.

Допустим, что некоторая теоретическая модель предполагает линейную зависимость одной из характеристик системы от других:

y = У i k i ·x i

(i - число независимых переменных). Задача заключается в следующем: при фиксируемых параметрах x и измеренных значениях y рассчитать вектор параметров k , удовлетворяющий некоторому критерию оптимальности.

В методе наименьших квадратов этим критерием является минимум суммы квадратов отклонений расчитанных значений y от наблюдаемых (экспериментальных):

min У i (y s,i - y i )І.

Чтобы найти минимум функции, это выражение надо продифференцировать по параметрам и приравнять нулю (условие минимума). В результате поиск минимума суммы квадратов сводиться в простым операциям с матрицами.

Если теоретическая модель представляет собой линейную зависимость от одного параметра (y = a + b ·x ), то решение выражается в виде простых формул:

Z = n Уx i І - (Уx i )І;

a = (Уy i Уx i І - Уy i x i Уx i ) / Z ; S a І = S y І Уx i І / Z ;

b = (n Уy i x i - Уy i Уx i ) / Z ; S b І = S y І n / Z ;

S y І = У(y s,i - y i )І / (n - 2)

(y s,i - рассчитанное значение, y i - эксперементально измеренное значение)

При расчете погрешностей предполагается, что точность значений x значительно превосходит точность измеряемых значений y , погрешность измерения которых подчиняется нормальному распределению.

Автокорреляция в остатках - корреляционная зависимость между значениями остатков за текущий и предыдущие моменты времени.

Линейные регрессионные модели с гомоскедастичными и гетероскедастичными, независимыми и автокоррелированными остатками. Как мы видим из привиденного выше, основное - это "очистка" временного ряда от случайных отклонений, т.е. оценивание математического ожидания. Отсюда естественным образом появляются более сложные модели. Например, дисперсия может зависеть от времени. Такие модели называют гетероскедастичными, а те, в которых нет зависимости от времени - гомоскедастичными. (Точнее говоря, эти термины могут относиться не только к переменной "время", но и к другим переменным.) В случае, если погрешности никак не связаны между собой автокорреляционная функция должна быть вырожденной - равняться 1 при равенстве аргументов и 0 при их неравенстве. Понятно, что для реальных временных рядов так бывает далеко не всегда. Если естественный ход изменений наблюдаемого процесса является достаточно быстрым по сравнению с интервалом между последовательными наблюдениями, то можно предсказать "затухания" автокорреляции" и получения практически независимых остатков, в противном случае остатки будут автокоррелированы.

Под идентификацией моделей обычно понимается выявление их структуры и оценивание параметров. Так как структура - это тоже параметр, хотя и нечисловой, то речь идет об одной из типовых задач эконометрики - оценивании параметров.

Наиболее просто решается задача оценивания для линейных (по параметрам) моделей с гомоскедастичными независимыми остатками. Восстановление зависимостей во временных рядах может быть проведено на основе методов наименьших квадратов и наименьших модулей, на случай временных рядов переносятся результаты, связанные с оцениванием необходимого набора регрессоров, в частности, легко получить предельное геометрическое распределение оценки степени тригонометрического полинома.

Тем не менее, на более общую ситуацию такого простого переноса делать не рекомендуется. Рассмотрим, например, в случае временного ряда с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками снова можно воспользоваться общим подходом метода наименьших квадратов, однако система уравнений метода наименьших квадратов и, естественно, ее решение будут иными. Формулы будут отличаться. В связи с чем данный метод называется "обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)"

Проанализируем эконометрическую модель временного ряда, описывающего рост индекса потребительских цен (индекса инфляции). Пусть I(t)- рост цен в месяц t. Тогда, по мнению некоторых экономистов, естественно предположить, что:

I(t)=cI(t-1)+a+dS(t-4)+

Где I(t-1) - рост цен в предыдущий месяц (а c- некоторый коэффициент затухания, предполагающий, что при отсутствии внешний воздействий рост цен прекратится), a- константа (она соответствует линейному изменению величины I(t)со временем), bS(t-4) - слагаемое, соответствующее влиянию эмиссии денег (т.е. увеличения объема денег в экономике страны, осуществленному Центральным Банком) в размере S(t-4) и пропорциональное эмиссии с коэффициентом b, причем это влияние проявляется не сразу, а через 4 месяца; наконец, - это неизбежная погрешность.

Модель, даже, несмотря на свою простоту, демонстрирует многие характерные черты гораздо более сложных эконометрических моделей. Во-первых, обратим внимание на то, что некоторые переменные определяются (рассчитываются) внутри модели, как I(t). Их называют эндогенными (внутренними). Другие задаются извне (это экзогенные переменные). Иногда, как в теории управления, среди экзогенных переменных, выделяют управляемые переменные - те, с помощью которых менеджер может привести систему в нужное ему состояние.

Во-вторых, в соотношении появляются переменные новых типов - с лагами, т.е. аргументы в переменных относятся не к текущему моменту времени, а к некоторым прошлым моментам.

В-третьих, составление эконометрической модели такого типа - это отнюдь не рутинная операция. Например, запаздывание именно на 4 месяца в связанном с эмиссией денег слагаемом - это результат достаточно сложной предварительной статистической обработки.

От решения этого вопроса зависит конкретная реализация процедуры метода наименьших квадратов.

С другой стороны, в модели (1) всего 3 неизвестных параметра, и постановку метода наименьших квадратов выписать нетрудно:

Далее рассмотри модель такого типа с большим числом эндогенных и экзогенных переменных, с лагами и сложной внутренней структурой. Иначе говоря, ниоткуда не следует, что существует хотя бы одно решение у такой системы. В связи с чем возникает не одна, а две проблемы. Существует ли хоть одно решение? Если да, то как найти наилучшее решение из возможных? (Это - проблема статистической оценки параметров.)

Обе задача достаточно сложны. Для решения обоих задач разработано множество методов, обычно достаточно сложных, лишь часть из которых имеет научное обоснование. В частности, достаточно часто пользуются статистическими оценками, не являющимися состоятельными (строго говоря, их даже нельзя назвать оценками).

Коротко опишем некоторые распространенные приемы при работе с системами линейных эконометрических уравнений.

Система линейных одновременных эконометрических уравнений. Чисто формально можно все переменные выразить через переменные, зависящие только от текущего момента времени. Например, в случае вышеприведенного уравнения достаточно положить

H(t)=I(t-1), G(t)=S(t-4)

Тогда уравнение пример вид

I(t)=cH(t)+a+bG(t)+

Отметим тут же возможность использования регрессионных моделей с переменной структурой путем введения фиктивных переменных. Данные переменные при одних значениях времени (скажем, начальных) принимают заметные значения, а при других - сходят на нет (становятся фактически равными 0). В результате формально (математически) одна и та же модель описывает совсем разные зависимости.

Как уже отмечалось выше, создана масса методов эвристического анализа систем эконометрических уравнений. Данные методы предназначены для решения тех или иных проблем, возникающих при попытках найти численные решения систем уравнений.

Одной из проблем является наличие априорных ограничений на оцениваемые параметры. Например, доходы домохозяйства могут быть потрачены либо на потребление, либо на сбережение. Отсюда, сумма долей этих двух видов трат априори равна 1. А в системе эконометрических уравнений эти доли могут участвовать независимо. Отсюда возникает мысль оценить их методом наименьших квадратов, не обращая внимания на априорное ограничение, а потом подкорректировать. Данный подход называется косвенным методом наименьших квадратов.

Двух шаговый метод наименьших квадратов заключается в том, что в приведенном методе производится оценка параметров отдельного уравнения системы, а не рассмотрение системы в целом. И так же трех шаговый метод наименьших квадратов применяется для оценки параметров системы одновременных уравнений в целом. Изначально к каждому уравнению применяется двух шаговый метод с единой целью оценить коэффициенты и погрешности каждого уравнения, а в дальнейшем построить оценку для ковариационной матрицы погрешностей. Затем для оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов.

Менеджеру и экономисту не рекомендуется быть специалистом в области составления и решения систем эконометрических уравнений, даже с применением специальных программных обеспечений, однако, он должен быть проинформирован о возможности данного направления эконометрики, для того чтобы в случае производственной необходимости квалифицированно сформулировать задание для специалистов-эконометриков.

От оценивания тренда (основной тенденции) перейдем ко второй основной задаче эконометрики временных рядов - оцениванию периода (цикла).

Проблема гетероскедастичности. Для начала выделим стационарные модели. В них совместные функции распределения F(t 1 , t 2 ,…,t k) для любого числа моментов времени k, а потому и все перечисленные выше характеристики временного ряда не меняются со временем. В частности, математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, автокорреляционная функция зависит только от разности t-s. Временные ряды, не являющиеся стационарными, называются нестационарными.

Гетероскедастичность - свойство исходных, когда дисперсия ошибки зависит от номера наблюдения. На графике гетероскедастичность проявляется в том, что с увеличением или уменьшением порядкового номера измерения увеличивается рассеивание измерений около линии тренда. Это может привести к существенным погрешностям оценок коэффициентов уравнения регрессии. Гетероскедастичность возникает тогда, когда объекты как правило неоднородны. Существует несколько методов коррекции, решающих проблему гетероскедастичности. Наиболее эффективный из них - метод взвешенных наименьших квадратов.

Сущность метода чрезвычайно проста. Пусть исходная модель имеет вид

Тогда, делением каждого элемента системы на значение уt мы приходим к другой системе

где у t2 = у 2щ, взвешенная дисперсия;

Щt = n, n - число измерений.

Таким образом, с помощью этого преобразования мы устраняем гетероскедастичность.

Кроме того, логарифмирование исходных данных также в некоторых случаях снижает ошибки определения параметров модели, вызванные гетероскедастичностью.

При аналитическом выравнивании временного ряда теоретические (расчетные) значения ряда определяют исходя из предположения об их зависимости от времени, т.е. y = f (t ). При таком подходе изменение исследуемого показателя связывается только с течением времени. Аналитическое выравнивание временного ряда состоит из следующих основных этапов:

1) выбор вида функциональной зависимости (формы тренда), выражающей сущность изучаемого процесса;

2) расчет неизвестных параметров уравнения тренда;

3) расчет выравненных значений уровней ряда на основе уравнения тренда.

Тренд – это основная тенденция развития явления во времени, некоторое общее направление развития. Для аналитического выравнивания могут использоваться разнообразные формы трендов, например:

Полином первой степени (линейная функция, прямая): у = a + bt;

Полином второй степени (парабола): у = a + bt + ct 2 ;

Полином третьей степени (кубическая парабола): у = a + bt + ct 2 + dt 3 ;

Степенная функция: у = t a и др.

Для определения наилучшей формы тренда могут быть использованы различные подходы, например:

1) визуальный, на основе графического изображения временного ряда. Если на графике исходного ряда тенденция развития недостаточно четко просматривается, то можно провести некоторые стандартные преобразования ряда, например, сглаживание. Потом подобрать функцию, отвечающую графику преобразованного ряда.

2) критериальный, временной ряд выравнивают с помощью нескольких видов трендов. Полученные результаты сравнивают между собой. В качестве лучшей формы тренда может выступать та, для которой достигается оптимальное значение некоторого критерия, например, минимум среднего квадратического отклонения.

После выбора формы тренда осуществляется оценка параметров уравнения на основе метода наименьших квадратов (МНК).

Стремление провести кривую, к которой бы в целом наиболее тесно примыкали отдельные точки – фактические данные, трансформируется в МНК в критерий, согласно которому параметры функции должны быть подобраны так, чтобы сумма квадратов отклонений фактических данных от тренда была минимальной, т.е.:

где y i – фактические уровни ряда;

– выравненные уровни ряда (точки на тренде).

Например, для уравнения прямой:

.

Необходимым условием существования точки минимума функции нескольких переменных является равенство частных производных нулю, т.е.

Система нормальных уравнений для нахождения параметров МНК уравнения прямой имеет следующий вид:

Решая данную систему уравнений получаем параметры функции a и b , т.е. искомое уравнение прямой. Расчет параметров уравнения можно упростить, если ввести условное обозначение времени таким образом, чтобы . Для этого в случае нечетного числа уровней ряда динамики время обозначается следующим образом:

t = … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;…

При этом параметры будут находиться по следующим формулам:

Пример аналитического выравнивания временного ряда представлен на рис. 9.3.

Рис. 9.3. Выравнивание временного ряда по уравнению прямой

Анализ сезонности

Одна из задач анализа временных рядов состоит в выявлении сезонности. К сезонным относят все явления, которые обнаруживают в своем развитии отчетливо выраженную закономерность внутригодичных изменений, т. е. устойчиво повторяющиеся из года в год колебания уровней.

Кзадачам исследования сезонности относят следующие:

1) определение наличия сезонных колебаний;

2) выявление их силы и характера в различных фазах годичного цикла;

3) характеристика факторов, вызывающих сезонные колебания;

4) математическое моделирование сезонности;

5) оценка и учет экономических последствий, к которым приводит наличие сезонных колебаний.

Наиболее распространенным методом изучения сезонности является расчет индексов сезонности.

Индексы сезонности являются показателями, характеризующими результаты сравнения фактических уровней данного месяца или квартала с расчетными уровнями, которые могут быть определены различными способами.

Индивидуальные индексы сезонности характеризуют сезонность в границах конкретного года. Общие (средние) индексы сезонности характеризуют устойчивую тенденцию сезонности для нескольких лет. Т. е. общие индексы сезонности – это среднее из индивидуальных индексов сезонности для каждого месяца или квартала за n лет.

; ,

где – индивидуальный индекс сезонности i -го месяца или квартала в t -м году;

I сез i – общий индекс сезонности i -го месяца или квартала;

i – номер месяца или квартала;

i = 1–12 (если i – номер месяца) или i = 1–4 (если i – номер квартала);

y i – фактические уровни ряда;

– выравненные уровни ряда;

Существуют различные способы нахождения выравненных значений временного ряда () при анализе сезонности. К наиболее распространенным относят определение средней (среднего уровня ряда), выравнивание на основе скользящей средней, выделение тренда.

При анализе сезонных колебаний на основе средней следует соблюдать следующий порядок расчетов:

1) Рассчитываются среднемесячные или среднеквартальные значения уровней временного ряда в каждом году:

где L – длина сезонного цикла: L = 12 для месяцев года, L = 4 для кварталов года.

2) За каждый год вычисляются отношения месячных уровней к среднемесячному (или квартальных к среднеквартальному), т.е. находятся индивидуальные индексы сезонности:

3) Для получения типичной картины сезонных колебаний эти отношения для каждого месяца (квартала) усредняются за ряд лет, т.е. находятся общие индексы сезонности:

.

Нанесение индексов сезонности на график позволяет получить изображение сезонной волны .

Аналитическое выравнивание уровней динамического ряда не дает хороших результатов при прогнозировании, если уровни ряда имеют резкие периодические колебания. В этих случаях для определения тенденции развития явления используется сглаживание динамического ряда методом скользящих средних.

Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Методы сглаживания можно условно разделить на два класса, опирающиеся на различные подходы:

Аналитический подход;

Алгоритмический подход.

Аналитический подход основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей регулярную, неслучайную составляющую.

При использовании алгоритмического подхода отказываются от ограничения, свойственного аналитическому. Процедуры этого класса не предполагают описание динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предполагают описание динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предоставляют исследователю лишь алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой данный момент времени . Методы сглаживания временных рядов с помощью скользящих средних относятся к этому подходу.

Иногда скользящие средние применяют как предварительный этап перед моделированием тренда с помощью процедур, относящихся к аналитическому подходу.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующего алгоритма.

1. Определяют длину интервала сглаживания g, включающего в себя g последовательных уровней ряда (g

2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.

3. Рассчитывают арифметические средние из уровней ряда, образующих каждый участок.

4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующее среднее значение

При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа g=2p+1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении g все уровни активного участка могут быть представлены в виде:

а скользящая средняя определяется по формуле

,

где − фактические значение -го уровня;

− значение скользящей средней в момент ;

− длина интервала сглаживания.

Процедура сглаживания приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний желательно использовать четырех- и двенадцатичленную скользящую среднюю.

При четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

Тогда для сглаживания колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать следующие скользящие средние:

,

.

Рассмотрим применение скользящей средней по данным общей площади жилых помещений, приходящихся в среднем на 1 жителя по Хабаровскому краю (таблица 2.1.1).

Поскольку период сглаживания не обосновать, расчеты начинают с 3-членной скользящей средней. Первый сглаженный уровень получим для 1993 г.:

.

Последовательно сдвигая на один год начало периода скольжения, находим сглаженные уровни для последующих лет.

Для 1994 г. скользящая средняя составит

,

для 1995 г. , и т.д.

Так как скользящая средняя относится к середине интервала, за который она рассчитана, то динамический ряд сглаженных уровней сокращается на уровень при нечетном периоде скольжения и на уровней при четном периоде скольжения. Поэтому в нашем примере сглаженный ряд стал короче на два члена для трехчленной средней и на четыре – для пятичленной (таблица 2.1.1).

При расчете по четным скользящим средним (в нашем примере 4-членная скользящая средняя) вычисления производятся следующим образом:

Для 1994 г. ;

1995 г. ;

1996 г. .

Таблица 2.1.1 – Результаты сглаживания по методу скользящих средних

Годы	Общая пло-щадь жилых помещений, приходящаяся в среднем на 1 жителя.кв.м,	Сглаженные уровни
Простая скользящая средняя
3-член-ная,	4-член-ная,	5-член-ная,	3-член-ная	4-член-ная	5-член-ная
	15,4	-	-	-	-	-	-
	16,1	16,0	-	-	0,01	-	-
	16,5	16,4	16,3	16,3	0,01	0,026	0,040
	16,6	16,7	16,6	16,6	0,004	0,001	0,000
	16,9	16,8	16,8	16,8	0,004	0,006	0,006
	17,0	17,0	17,1	17,1		0,003	0,010
	17,1	17,3	17,4	17,4	0,05	0,083	0,102
	17,9	17,7	17,7	17,7	0,03	0,026	0,026
	18,2	18,2	18,2	18,2	0,00	0,000	0,000
	18,5	18,7	18,7	18,7	0,03	0,031	0,032
	19,3	19,1	19.1	19,0	0,04	0,056	0,068
	19,5	19,5	19,4	19,4		0,006	0,014
	19,7	19,7	-	-		-	-
	19,9	-	-	-	-	-	-
Итого	248,6	-	-	-	0,179	0,239	0,299

Как видно из таблицы 2.1.1, трехчленная скользящая средняя демонстрирует выравненный динамический ряд с однонаправленной тенденцией движения уровней. Сглаживание по трехчленной скользящей средней дало более сглаженный ряд, так как для трехчленной скользящей средней оказалась меньше сумма квадратов отклонений фактических данных () от сглаженных () ( = 0,179) (таблица 2.1.1). Иными словами, трехчленная скользящая средняя лучше всего представляет закономерность движения уровней динамического ряда.