Представление о элементах центральной проекции дает рис. 11, на котором изображены:
Плоскость Т, в которой располагаются проектируемые точки местности, называется плоскостью основания (плоскостью предмета) .
Плоскость Р , куда проектируются эти точки, называется плоскостью изображения (картины) или плоскостью снимка. Предполагается, что плоскости Т и Р бесконечны и ограничение их линиями является условным.
Двухгранный угол e между плоскостями снимка и основания – это угол наклона снимка. Он произволен, но если равен нулю, то снимок считается горизонтальным.
- S – центр проекции .
Проектирующий луч Sо , перпендикулярный к плоскости снимка, называется главным лучом. Он должен совпадать с главной оптической осью фотокамеры, но в точности это не выполняется.
Точка о пересечения главного луча с плоскостью снимка называется главной точкой , а расстояние Sо - его фокусным расстоянием f . Оно должно быть равно фокусному расстоянию фотокамеры.
Точка n пересечения отвесного проектирующего луча, с плоскостью снимка называется точкой надира . Она является изображением точки N местности, которая в момент фотографирования находилась на одной отвесной линии (на линии перпендикулярной основанию) с передней узловой точкой объектива фотокамеры.
Вертикальная плоскость W, проходящая через точки S , о, n называется плоскостью главного вертикала .
След vv плоскости W на снимке это его главная вертикаль , а след VV плоскости W на основании называется линией направления съемки .
Горизонтальный проектирующий луч SI , лежащий в плоскости главного вертикала W , пересекает плоскость снимка в главной точке схода I .
Точка с пересечения биссектрисы угла Sоn (e) с плоскостью снимка называется точкой нулевых искажений . Она обладает важными свойствами, которые будут рассмотрены при изучении геометрической характеристики наклонного снимка. Точки I, o, c и n снимка располагаются на его главной вертикали.
Линии hh , лежащие в плоскости P и перпендикулярные к главной вертикали, есть горизонтали снимка . Причем, h t h t – линия основания . Это линия пересечения плоскости снимка с плоскостью основания; h c h c - линиянеискаженного масштаба – горизонталь, проходящая через точку нулевых искажений c ; h o h o – главная горизонталь , она проходит через главную точку снимка о ; h i h i – линия действительного (истинного) горизонта – линия пересечения снимка и горизонтальной плоскости (плоскости действительного горизонта), проходящей через центр проекции S.
Из анализа рис.11 следует справедливость следующих соотношений:
Перспективным изображением любой прямой пространства, например ВC , не проходящей через центр проекции, является прямая bc, и притом единственная. Но она изобразилась бы точкой, если бы располагалась на проектирующем луче, например прямая DK и точка d (или k ). Любому отрезку на снимке, например bc , соответствует бесчисленное число отрезков местности BC, B 1 C 1 и т.д.
3. Изображения любой системы взаимно параллельных прямых пространства, например AB CD и т.д., сходятся на снимке в одной точке i , которая называется точкой схода . Для того, чтобы ее получить необходимо из центра проекции провести проектирующий луч параллельно системе прямых пространства. Там, где он пересечет плоскость снимка и находится точка схода (рис.13). Любая система прямых линий, параллельных плоскости снимка, имеет точку схода в бесконечности. Если параллельные прямые находятся на местности (в плоскости основания), то точка схода их изображений расположена на линии h i h i действительного горизонта .
Построение изображения семейства отрезков, лежащих в плоскости основания и параллельных линии направления съемки (или составляющих с ним угол j ), выполняют следующим образом.
1. Отрезки продолжают до пересечения с линией основания картины. Полученные точки, принадлежат двум плоскостям – плоскости основания и плоскости снимка (картины).
2. На плоскости снимка находят положение главной точки схода J, и строят линию h i h i перпендикулярную главной вертикали (линию действительного горизонта).
3. Через центр проекции S проводят луч, параллельный заданным отрезкам. Он будет расположен в плоскости действительного горизонта. Пересечение этого луча с линией h i h i определяет точку схода J ¢ изображений отрезков.
4. Соединяют прямыми линиями точку J ¢ с точками, полученными на линии основания картины. Эти линии на снимке есть изображение лучей, идущих от линии основания картины, через заданные отрезки и до бесконечности.
5. Проводят проектирующие лучи через точки, ограничивающие отрезки. Их пересечение с построенными на снимке линиями и определяет искомое изображение.
По этому правилу и построены изображения прямых, параллельных направлению съемки (рис.14) и прямой, составляющей с направлением съемки угол j (рис.15).
 |
Точка схода изображений вертикальных (отвесных) прямых совпадает с точкой надира n (рис. 16). Пересечение B o отрезка АВ с плоскостью снимка находится на следе вертикальной плоскости, проходящей через прямую АВ и параллельной плоскости главного вертикала,. Поэтому отрезок NB o есть изображение бесконечного отвесного луча, идущего из точки B o . Проекции точек А и В принадлежат этому отрезку, значит для их построения достаточно провести проектирующие лучи. Аналогичным образом на рис. 16 построено изображение вертикальной прямой DK . Решение задачи можно было начать и с построения точки А , которая принадлежит плоскости основания.
Возможны и других приемы построения изображений параллельных линий.
 |
1. Метод проецирования. Центральное и параллельное проецирование.
Под методом проецирования понимается существование плоскостей проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей. (Проекцией точки А на плоскости П 0 есть точка А 0 пересечение проецирующего луча с плоскостью проекций, который проходит через т А).
В зависимости от положения центра проецирования относительно плоскости проекций проецирование может быть центральным или параллельны.
При центральном проецировании проецирующие лучи выходят с одной точки - центра проецирования S , который находится на определённом расстоянии от плоскости проекций П 0 . Центральное проецирование обладает наглядностью, оно используется при изображении предметов в перспективе. Основной недостаток - трудность определения размеров по его изображению.
При параллельном проецировании , проецирующие лучи проходят параллельно один одному. В этом случае считают, что центр проекций отдален в бесконечность. При параллельном проецировании задается направление проецирования - S и плоскость проекций. В зависимости от направления проецирования относительно плоскости проекций параллельные проекции могут быть прямоугольными, если проецирующие лучи проходят перпендикулярно к плоскости проекций, и косоугольными, если проецирующие лучи не перпендикулярные к плоскости проекций.
Основные свойства прямоугольного параллельного проецирования: 1) проекция точки есть точка; 2) проекция прямой есть прямая; 3) если точка принадлежит прямой, то одноименная проекция точки находится на одноименной проекции прямой; 4) если точка делит отрезок в каком-то соотношении, то проекция отрезка делится в таком же соотношении; 5) если две прямые параллельны между собой, то их одноименные проекции то же параллельны; 6) если две прямые пересекаются между собой, то они имеют общую точку, проекции этих прямых так же имеют общую точку, связанную проекционной связью.
Операция проецирования сводится к изображению множества точек предмета на плоскости проекций. При этом необходимо, чтобы между изображенными точками на плоскости и точками поверхности устанавливалось взаимное соотношение. В качестве основных плоскостей проекций берут горизонтальную (П 1), фронтальную (П 2) и профильную (П 3). Две плоскости П 1 и П 2 делят пространство не четыре двухгранных угла (квадранты), а три плоскости П 1 , П 2 и П 3 - на восемь трехгранных углов (октантов). Линии пересечения плоскостей проекций называются осями проекций (x y z).
2.Чертеж точки в системе прямоугольных координат. Способы построения недостающих проекций точек.
Точка в пространстве определяется своими координатами, которые, как правило, имеют числовые значения, например А (x, y, z), А (10, 45, 15). Прямоугольные проекции точки на плоскостях проекций определяются как основания перпендикуляров, опущенных с точки на каждую с плоскостей проекций. Проекции точек обозначаются большими буквами латинского алфавита или числами.
А′ - горизонтальная проекция точки А;
А′′ - фронтальная проекция точки А;
А′′′ - профильная поекция точки А.
Для
получения проекционного чертежа
совмещают плоскости П 1
и П 3
с фронтальной плоскостью проекций П 2
поворотом соответственно около осей
X
и Z.
Тогда на чертеже проекции А′
и А′′ размещаются
на одном перпендикуляре к оси ОX,
а А′′
и
А′′′ - на одном
перпендикуляре к оси ОZ.
Известно три способа построения
профильной проекции точки по данным
двум проекциям.
Лекция № 1. Сведения о проекциях
1. Понятие проекций
Начертательной геометрией называют науку, которая является теоретическим фундаментом черчения. В данной науке изучаются способы изображения на плоскости различных тел и их элементов. Эти изображения позволяют однозначно определить форму и размеры изделия и изготовить его. При работе с чертежами выполняются два вида работ: подготовка чертежей и их чтение.
Чтение чертежа заключается в воспроизведении в уме реальной формы объекта и некоторых его частей с использованием при этом чертежа.
Начертательная геометрия основывается на методе проекций.
Проекцией точки М на некоторой плоскости называют изображение, которое строится в нижеследующей последовательности (рис. 1).
Через данную точку М необходимо провести прямую, которая не параллельна данной плоскости. Точку пересечения данной прямой и плоскости назовем точкой m. Полученная точка m будет являться проекцией точки М на данную плоскость. Прямую Mm называют проектирующей прямой , а данная плоскость называется плоскостью изображения .
Подобным образом можно получить проекции различных фигур как проекции каждой из его точек. Способ построения определяет вид проекции: центральную или параллельную.
2. Центральная проекция
Представление о центральной проекции можно получить, если изучить изображение, которое дает человеческий глаз.
Для построения центральной проекции объекта нужно между глазом и изучаемым предметом поместить прозрачный экран и отметить на нем точки пересечения лучей, которые идут от глаза человека к отдельным точкам предмета. При соединении всех точек на экране получаем изображение (проекцию) фигуры (рис. 2). Эта проекция называется центральной.
Центральная проекция – это проекция, которая образуется с помощью проецирующихся лучей, проходящих через одну точку.
Изображение предметов при помощи центральной проекции встречается очень часто, особенно для предметов, обладающих большими размерами.
3. Параллельная проекция
Параллельная проекция – это такой вид проекции, при построении которого используются параллельные проецирующиеся лучи.
При построении параллельных проекций нужно задать направление проецирующих лучей (рис. 3). На данном примере в качестве направляющего луча выбран луч l. При построении изображений через все точки проводятся прямые, параллельные установленному направлению проецирования, до точки пересечения с плоскостью проекции. Соединяя полученные точки, получаем параллельную проекцию предмета.
Параллельные проекции могут быть ортогональными или косоугольными в зависимости от направления проецирующих лучей.
Проекция называется ортогональной , если проецирующий луч перпендикулярен плоскости.
Проекция называется косоугольной , если угол наклона проецирующих лучей направлен относительно плоскости под углом, отличным от прямого.
Изображение, полученное при помощи параллельной проекции, намного меньше искажено, чем изображение, полученное с помощью центральной проекции.
При центральной проекции все проектирующие лучи проходят через определенную точку пространства – центр проекции. Физическим устройством, реализующим центральную проекцию, является объектив. При визуальном наблюдении роль объектива выполняет глаз. В объективе лучи, соединяющие сопряженные точки в пространстве предметов и изображений, проходят через заднюю главную точку, являющуюся центром проекции (рис. 1.5.3). Из этого основного свойства центральной проекции вытекает математический метод построения изображения: координаты каждой точки изображения могут быть вычислены путем определения точки пересечения прямой, проходящей через предметную точку и центр проекции , с поверхностью проекции (изображения). Если в выбранной объектной системе координат известны координаты точек и , а также уравнение поверхности изображения , то координаты точки изображения определяются в результате решения системы уравнений
Рис. 1.5.3. Общая схема центральной проекции
Поверхность проекции в большинстве случаев можно считать плоской. Это приближение достаточно точно выполняется и для глаза. Хотя светочувствительная поверхность глаза – сетчатка имеет почти сферическую форму, для области ясного зрения, ограниченной угловым размером в несколько градусов, ее вполне можно считать плоской.
В соответствии с законами оптики для получения резкого изображения необходимо, чтобы светочувствительная поверхность была перпендикулярна оптической оси объектива и располагалась на определенном расстоянии от центра проектирования, которое, как правило, принимают равным фокусному расстоянию . Фактически изображение располагается на картинном расстоянии от центра проектирования, которое всегда больше фокусного. Однако если предмет удален от объектива на расстояние , то разница между картинным и фокусным расстоянием незначительна. Таким образом, положение плоскости изображения легко фиксировано относительно центра проекции и оптической оси объектива. Если объектив разворачивается с тем, чтобы в его поле зрения попадали определенные объекты, то вместе с ним должна разворачиваться и плоскость изображения.
Если учесть отмеченные особенности центральной проекции в реальных устройствах формирования изображения, то связь координат точек пространства предметов и пространства изображений может быть выражена в иной форме, чем в системе уравнений (1.5.7). Введем систему координат для плоскости изображения, связанную систему координат объектива и систему координат пространства предметов (рис. 1.5.4). Особенность центральной проекции можно выразить следующим образом: векторы и , соединяющие центр проекции с сопряженными точками и , являются коллинеарными. Отсюда следует
где – константа для данной пары точек и .
Рис. 1.5.4. Схема разворотов плоскости изображения
Учитывая, что съемочная камера может быть развернута на углы и относительно осей , из (1.5.8) получаем
, (1.5.8)
где – координаты центра проектирования в системе ; – координаты центра проектирования в системе .
Если учесть, что поверхность проекции является плоской , начало координат системы , как правило, совпадает с главной точкой картинной плоскости , расположенной на расстоянии от , то
. (1.5.9)
Исключая в (1.5.9) константу путем деления первой и второй строк на третью, получаем уравнения, связывающие координаты сопряженных точек в системах и :
Из
системы (1.5.10) по координатам точек изображения можно определить координаты
сопряженных точек в пространстве предметов, если
задано уравнение наблюдаемой поверхности 
. Затем по координатам точки , уравнению
поверхности и
известным условиям освещения могут быть определены атрибуты точки (яркость, цвет) и
рассчитаны соответствующие атрибуты точки изображения . Описанная здесь кратко
процедура синтеза изображений основана на отслеживании луча, исходящего из
пространства изображений в пространство предметов, т.е. в направлении,
противоположном ходу лучей в реальной системе. Этот подход в машинной графике
назовем методом обратного трассирования лучей.
Характерной особенностью центральной проекции является существенное различие в масштабах изображения предметов, находящихся на различных расстояниях от центра проектирования. Это связано с уменьшением угловых размеров предмета (и соответственно с уменьшением линейных размеров в плоскости изображения) при удалении от съемочной сцены. На рис.1.5.5 приведен результат съемки предмета в виде полосы с нанесением на нее рисунка из периодически повторяющихся прямоугольников. Изменение ширины полосы и размеров прямоугольников создает ощущение глубины пространства. Принципиально изображение может быть рассчитано, например, по формулам (1.5.12), но его можно построить с достаточной степенью точности, если задать точку схода лучей. Расчеты с использованием координаты точки схода лучей значительно проще. Потому такой подход широко используется при имитации визуально наблюдаемой обстановки в видеотренажерах.
Введение
Все разделы начертательной геометрии пользуются одним методом – методом проецирования, поэтому чертежи, применяемые не только в начертательной геометрии, называются проекционные чертежи .
Метод проецирования заключается в том, что любая из точек множества точек пространства может быть спроецирована с помощью проецирующих лучей на любую поверхность. Для этого представим некоторую заданную поверхность (рис.1) и точку А в пространстве. При проведении луча S через точку А в направлении поверхности последний пересечет ее в точке А 1 . Точку А называют проецируемой точкой . Плоскость α, на которой получают проекцию, называют плоскость проекций . Точка пересечения луча с плоскостью называется проекцией точки А . Прямая А А 1 (луч), называется проецирующим лучом .
Рис.1. |
Центральный (конический или полярный) метод проецирования основан на том, что при проецировании на плоскость ряда точек (А , B , C и т.д.) все проецирующие лучи проходят через одну точку, называемую центром проецирования , или полюсом .
Представим в пространстве треугольник АВС и проецирующие лучи, проходящие через данный полюс S и через точки АВС треугольника, проведенные до пересечения с плоскостью α. Треугольник А 1 B 1 C 1 будет центральной проекцией треугольника АВС (рис.2).
Метод центрального проецирования не удовлетворяет целому ряду условий, необходимых для технического чертежа, а именно: не дает однотипности изображения, полной ясности всех геометрических форм, не обладает удобоизмеримостью, не имеет простоты изображения.
Метод параллельного (косоугольного) проецирования заключается в том, что все проецирующие лучи, проходящие через точки треугольника АВС , будут параллельны между собой (рис.3). Этот метод вытекает из метода центрального проецирования, при этом полюс должен быть удален на бесконечно большое расстояние от плоскости, на которую проецируется предмет.
Ортогональный (прямоугольный) метод проецирования – метод, когда проецирующие лучи параллельны между собой и перпендикулярны к плоскости проекций (рис.4). Данный метод – частный случай параллельного проецирования.
Таким образом, любая точка пространства может быть спроецирована на плоскости проекций: на горизонтальную П 1 , фронтальную П 2 и профильную П 3 . Горизонтальная проекция точки обозначается А 1 или А ′, фронтальная А 2 или А ″, профильная А 3 или А ′″ (рис.5).
