Квадрат — это геометрическая фигура, представляющая собой четырехугольник все углы и стороны которого равны. Его также можно назвать прямоугольником , смежные стороны которого равны, или ромбом , у которого все углы равны 90º . Благодаря абсолютной симметрии найти площадь или периметр квадрата очень легко.

Инструкция:

• Во-первых, определим, что периметром называется сумма длин всех сторон плоской геометрической фигуры, которая измеряется теми же величинами, что и длина. Вычислить периметр квадрата можно двумя способами.

Через длину стороны и диагонали

• Поскольку периметр квадрата определяется суммой длин всех его сторон, а стороны у данной фигуры равны, то высчитать значение данной величины можно умножив длину одной стороны на число «4 ». Соответственно формулы будут выглядеть следующим образом: P = а + а + а + а или Р = а * 4 , где Р – это периметр квадрата и а – длина стороны .
• Кроме этого, в зависимости от условия задачи, периметр квадрата можно высчитать путем умножения длины его диагонали на два корня из двух: Р = 2√2 * d , где Р – это периметр квадрата и d — его диагональ .
• Некоторые задачи требуют найти периметр квадрата , зная его площадь . Сделать это также не составит труда. Площадь данной фигуры равна длине его стороны, возведенной в квадрат: S = а 2 , где S – площадь квадрата и а – длина его стороны . Либо же площадь равна квадратному значению длины его диагонали, разделенному на два: S = d 2 /2 , где S – все та же площадь и d – диагональ квадрата .
• Зная формулы и значение площади, не трудно найти длину стороны или длину диагонали, а затем вернуться к формулам вычисления периметра и высчитать его значение.

Через радиус вписанной и описанной окружности

• Наконец, немаловажно понимать и как найти периметр квадрата , если известен радиус окружности описанной вокруг него (или, напротив, в него вписанной). Вписанная в данную геометрическую фигуру окружность касается середины каждой стороны, и ее радиус равен половине любой стороны: R в = ½ а , где R в – радиус вписанной окружности и а – сторона квадрата .
• Описанная окружность проходит через все вершины квадрата и ее радиус равен половине длины диагонали: R о = ½ d , где R о – это радиус описанной вокруг квадрата окружности и d – его диагональ .
• Потому в первом случае периметр будет вычисляться по формуле: Р = 8 R в , а во втором: P = 4 х √2 х R о .

С помощью сайтов и интернет-калькулятора

• Если вы вдруг по какой-то причине забыли формулы, то освежить знания поможет интернет. Зайдите в браузер, откройте страницу поисковика и в окне вбейте соответствующий запрос, например: «периметр квадрата формула ». Система выдаст огромное число сайтов справочного характера, которые помогут вам в данном вопросе, а также позволят справиться с решением задач, касающихся других геометрических фигур.
• Кроме этого, если у вас нет желания разбираться в формулах и считать значения самостоятельно, то можно воспользоваться услугами интернет-калькуляторов . В качестве примера можно привести сайт . Раздел «Формулы периметра геометрических фигур » содержит теоретическую информацию, подкрепленную наглядными иллюстрациями. Если же перейти по ссылке «онлайн калькулятор », которая находится в окне каждой фигуры, то перед вами откроется страница для расчетов.
• Выберите в окне снизу, на основании чего вы собираетесь высчитать периметр квадрата (сторона или диагональ), а затем введите имеющиеся данные. Система выдаст результат , руководствуясь установленными формулами.
• Кроме этого, на сайте вы найдете и много другой информации, способной облегчить работу с математическими задачами . При желании можно поискать и более удобные или познавательные справочные сайты.
• Если же вы не можете разобраться с самим ходом решения задачи, то здесь можно обратиться за помощью к людям, которые хорошо владеют методикой решения математических упражнений. Их всегда можно найти на соответствующих форумах , например,

Чему равен периметр квадрата?

Сегодня трудно представить человека, который не умеет считать и манипулировать в уме простым сложением и вычитанием. Математика плотно вошла во все сферы нашей повседневной жизни. Мы считаем деньги, предметы, время и др. Изучать математику мы начинаем еще в школе. С каждым классом математика становится все более сложной и интересной.

Однако, не каждый ребенок может знать и понимать некоторые понятия. Например, многие дети сталкиваются с вопросом, что такое периметр и чему равен периметр квадрата. Рассмотрим эти вопросы подробнее.

Периметр квадрата

Квадрат - это правильный четырехугольник, у которого все стороны равны и образуют четыре прямых угла. Периметр же квадрата, как и у другой фигуры, находится из суммы всех длин его сторон. В отличие от других фигур периметр именно квадрата найти достаточно легко в связи с его простыми свойствами:

• Все стороны равны. То есть длина равна ширине квадрата. Это упрощает нахождение периметра;
• Стороны квадрата образуют четыре прямых угла (90 градусов каждый);
• Площадь квадрата - это умножение длины на ширину. Так как длина и ширина равны, то длина стороны квадрата умножается на саму себя.

Рассмотрим несколько задач по нахождению периметра квадрата.

Варианты нахождения периметра

В задачах часто бывает два варианта - дана одна сторона квадрата или дана площадь квадрата. Исходя из этих данных необходимо найти периметр:

1. Если дана длина одной из сторон квадрата, то ее необходимо умножить на четыре, потому что у квадрата четыре стороны и они равны друг другу.
2. Если дана площадь квадрата, то необходимо сначала найти сторону квадрата. Площадь квадрата находится через умножение длины на ширину квадрата, однако, стороны равны, и формулу просто можно представить в виде умножения стороны на саму себя или можно возвести в квадрат длину стороны фигуры. Следовательно, чтобы найти длину стороны, нужно извлечь корень из площади квадрата. Затем полученное число просто умножается на четыре и мы получим периметр квадрата.

Также вы можете прочесть несколько любопытных статей на нашем сайте.

Часто на просторах интернета можно найти насмешки по поводу того, как знания по математике - интегралы, дифференциалы, тригонометрические функции и прочие разделы предмета - не помогают облегчить жизнь человека. Такие шутки напрасны, ведь как выручает умение правильно рассчитывать периметр квадрата, прямоугольника и других геометрических фигур в строительных работах. Расход материала: плитки, обоев, напольного покрытия - не определить без понимания элементарных математических формул и геометрических фигур.

Свойства квадрата

Любые вычисления в математике базируются на свойствах объекта. Чтобы ответить на вопрос: «Чему равен периметр квадрата?» - рекомендуется вспомнить отличительные характеристики этой фигуры.

1. Равенство всех сторон.
2. Наличие четырех углов величиной 90 градусов.
3. Параллельность сторон.
4. Поворотная симметрия. При вращении фигуры ее вид остается неизменным.
5. Возможность описать и вписать окружность.
6. Диагонали при пересечении делят друг друга пополам.
7. Площадь фигуры характеризует заполненное квадратом место в двухмерном пространстве.
8. Периметр фигуры не что иное, как сумма длин его сторон.
9. Из предыдущего свойства вытекает, что единицами измерения величины периметра будут единицы длины: м, см, дм и другие.

Для подсчета плинтусов для завершения ремонта в квадратном помещении, необходимо знать длину комнаты. Для этого необходимо посчитать ее периметр.

Периметр

В переводе с греческого языка слово означает «измерять вокруг». Термин применим ко всем замкнутым фигурам: квадрату, окружности, прямоугольнику, треугольнику, трапеции и прочим. Знания по определению периметра элементарных фигур необходимы для решения сложных геометрических задач с объектами неправильной формы. Например, для расчета плинтусов в комнату планировкой типа «Г», или как еще называют, «сапожком», потребуется определить периметр квадрата и прямоугольника. Ведь форма помещения состоит из этих элементарных фигур.

Общепринятое обозначение такой величины - буква Р. Каждой фигуре с учетом ее свойств присуща своя формула для определения периметра.

Свойства прямоугольника

1. Равенство противоположных сторон.
2. Равенство диагоналей.
3. Возможность описать окружность.
4. Высоты прямоугольника равны его сторонам.
5. Сумма углов равна 360 градусов, и все углы прямые.
6. Параллельность противоположных сторон.
7. Перпендикулярность прилегающих сторон.
8. Сумма квадратов диагоналей прямоугольника равна сумме квадратов его сторон.
9. Пересекаясь, диагонали делят друг друга пополам.
10. Невозможность вписать в фигуру окружность.

Периметр квадрата

В зависимости от установленных (известных) параметров квадрата, существуют разные формулы для определения его периметра. Простой задачей является расчет периметра при установленной длине его стороны (с). В этом случае Р=с+с+с+с или 4*с. Например, длина стороны квадрата 7 см, тогда периметр фигуры буде 28 см (4*7).

В первом случае все понятно, но как найти периметр квадрата, зная его площадь? И тут все предельно ясно. Поскольку площадь фигуры определяется умножением одной стороны на другую, а у квадрата все стороны равны, необходимо извлечь корень из известной величины. Пример: есть квадрат с площадью 25 дм 2 . Корень из 25 равен 5 - эта величина характеризует длину стороны квадрата. Теперь, подставляя найденную величину - 5 дм 2 - в первоначальную формулу периметра, можно решить задачу. Ответом будет значение в 20 дм. То есть 4 умножили на 5, получили искомую величину.

Квадрат и окружность

Из свойств рассматриваемой фигуры выплывает, что в квадрат можно вписать окружность и также ее описать вокруг фигуры.

Первый вариант - нахождение периметра по радиусу описанной окружности. Вписанным считается квадрат, вершины которого находятся на окружности. Радиус окружности равен 1/2 длине диагонали. Выходит, что диаметр равен диагонали. Теперь необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник, который получился в результате деления диагональю квадрата. Решение задачи сводится к нахождению сторон этого треугольника. ВС - это известная величина, диаметр описанной окружности. Допустим, он равен 3 см. Теорема Пифагора в случае с равными сторонами треугольника, будет выглядеть так: 2с 2 =3 2 . В формуле обозначение с - это длина стороны треугольника и квадрата; 3 - известная величина гипотенузы. Отсюда, с=√9/2. Зная сторону квадрата, его периметр посчитать не проблема.

Особенностью вписанной окружности является деление сторон квадрата пополам. Поэтому радиус равняется половине длины стороны квадрата. Тогда сторона с=2*радиус. Периметр квадрата в этом случае равен 4*2*радиус или 8 радиусам окружности.

Периметр прямоугольника

Самая элементарная формула определения периметра прямоугольника через известные величины его сторон выглядит так: Р=2(а+b), где а и b - длины сторон фигуры.

Диагональ прямоугольника аналогично квадрату делит фигуру пополам, образуя прямоугольный треугольник. Однако задача усложняется тем, что стороны этого треугольника неравные. В случае с известной величиной одной из сторон и диагонали, вторую можно найти, следуя теореме Пифагора: д 2 =а 2 +в 2 , где а и в - стороны фигуры, а д - диагональ.

Если неизвестна ни одна из сторон, тогда в дело вступают знания тригонометрии: синусы, косинусы и другие функции.

Нахождение периметра по описанной окружности и известному диаметру сводится к тому, что диаметр равен длине диагонали фигуры. Дальше решение задачи определяется по наличию известных величин. Если даны углы, тогда через тригонометрические функции. Если дана сторона, ответ будет найден через теорему Пифагора.

Прямоугольник и тригонометрические функции

Для наглядности приведен пример решения задачи. Дано: прямоугольник АВСД; длина диагонали (d ) 20 см; угол ф - 30°. Найти периметр фигуры.

Из тригонометрии необходимо вспомнить следующее: синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе. Синус 30° (существуют таблицы, по которым можно определить значения тригонометрических функций для правильных углов) равен 1/2. Получается 1/2 = отношению в к d . Неизвестная величина в будет равна d /2=20/2=10 см.

Для расчета периметра следует найти вторую сторону фигуры. Можно через теорему Пифагора, так как известны длины гипотенузы и одного из катетов или опять через отношение сторон для косинуса угла.

Косинус угла ф выражается как отношение прилежащего катета к гипотенузе и равен √3/2.

√3/2=n/d , n=(d *√3)/2 или 10*√3. После извлечения корня из 3, получаем длину стороны треугольника: 10*1,73=17,3 см.

Периметр равен 2(17,3+10)=2*27,3=54,6 см.

Периметр и отношение сторон

В школьной программе встречаются задачи по геометрии, когда длины сторон прямоугольника выражены их отношением друг к другу. Рассмотрение решения подобной задачи представлено ниже.

Известно, что сумма длин всех сторон прямоугольника, то есть его периметр, равен 84 см. Отношение длины (д) к ширине (ш) - 3:2. Найти стороны фигуры.

Решение: пусть длина будет 3х, а ширина 2х, согласно соотношению из условия задачи. Формула периметра прямоугольника с полученными данными длин сторон будет следующей: 3х+3х+2х+2х = 84. Далее, 10х = 84, х=8,4 см. Подставив х в выражение длины и ширины прямоугольника, можно найти искомые величины. Длина будет: 3*8,4 = 25,2 см; ширина: 2*8,4 = 16,8 см.

Статья посвящена решению наиболее часто встречаемых задач в школьной программе. И это далеко не все способы нахождения периметра квадрата и прямоугольника.

Инструкция

Для квадрата (P) равен четырехкратному значению одной его (b). P = 4*b или сумме значений длин всех его сторон P = b + b + b + b. Площадь квадрата выражается в произведении двух смежных сторон. Найдите одной из сторон квадрата . Если вам известна только площадь (S), извлеките из ее значения квадратный корень a = √S. Далее определите периметр.

Дано: площадь квадрата равна 36 см². Найдите .Решение 1. Найдите сторону квадрата : b = √S, b = √36 см², b =6 см. Найдите периметр: P = 4*b, P = 4*6см, P = 24 см. Или Р = 6 + 6 + 6 + 6, Р = 24см.Ответ: периметр квадрата площадью 36 см² равен 24 см.

Найти периметр квадрата через площадь можно, не прибегая к лишнему действию (вычислению стороны). Для этого воспользуйтесь формулой вычисления , справедливой только для квадрата P = 4*√S.

Решение 2. Найдите периметр квадрата : P = 4*√S, P = 4*√36см², P = 24 см.Ответ: периметр квадрата равен 24 см.

Многие параметры этой геометрической связаны . Зная один из них, вы сможете найти любой другой. Существуют также следующие вычисления:Диагональ: a² = 2*b², где а – диагональ, b – сторона квадрата . Или a²=2S.Радиус : r = b/2, где b – сторона.Радиус описанной окружности: R = ½*d, где d – диагональ квадрата .Диаметр описанной окружности: D = f, где f – диагональ.

Обратите внимание

Полезные свойства квадрата:

Квадрат – правильный четырехугольник, обладающий свойствами прямоугольника и ромба.
Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.
Квадрат – ромб, у которого все углы по 90 градусов.
Квадрат – грань куба.
Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
Диагональ квадрата разбивает его на два равных прямоугольных треугольника и является гипотенузой к каждому из этих треугольников.
Диагональ квадрата - это диаметр описанной в фигуру окружности.

Периметр – это суммарная длина сторон геометрической фигуры. Но если возникнет необходимость быстро рассчитать периметр чего-либо (например, во время ремонта или строительства), не каждый сможет это сделать с легкостью. Вспомним основные правила для вычисления периметра.

Вам понадобится

• геометриеская фигура, линейка, ручка

Инструкция

Периметр для квадратов и ромбов рассчитывается по формуле Р=4а, где а – это длина одной стороны фигуры. Поскольку все ее стороны равны, измерьте одну сторону и полученное число умножьте на количество сторон, т.е. на четыре.

Общая формула для расчета выглядит как Р=а+b+с, т.е. вы должны будете сложить длины сторон треугольника. Но поскольку треугольники разных , то вычисления могут производиться иначе. Например, если вам известно, что измеряемый треугольник – равносторонний, то умножьте длину его стороны на три.

Более сложно вычислить периметр круга (длина окружности, р). Известно, что длина окружности составляет 317 от длины диаметра круга (d). В это соотношение принято обозначать буквой "Пи" (?) и усреднено считать как 3,14. Получается, что рd=?. Отсюда p=?d=2?r, где r – это радиус имеющейся окружности. Поэтому, чтобы вычислить периметр круга, вам необходимо сначала окружности, а затем умножить это число на 2 и на 3,14.

Видео по теме

Совет 3: Как найти сторону квадрата, если известна его диагональ

Квадрат является одной из наиболее простых геометрических фигур в плане вычисления его параметров - длин сторон и диагоналей, площади и периметра. Это определяется тем, что в отличие от других многоугольников, всегда известны величины всех его углов, а также достаточно знать длину всего одной стороны. Нахождение длины стороны квадрата по известной длине диагонали, как в общем виде, так и с практическими расчетами не представляет сложности.

Инструкция

Используйте теорему Пифагора, алгебраическая которой утверждает, что в прямоугольном сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы: a² + b² = c². Так как диагонали квадрата делят его на два таких прямоугольных треугольника, у которых к тому же еще и длины катетов одинаковы, то можно сформулировать свойство квадрата , как геометрической фигуры: квадрат длины диагонали равен удвоенному квадрату длины стороны (2a²=c²). Из этого вытекает, что длина стороны равна квадратному корню из половины квадрата длины диагонали: a=√(c²/2).

Воспользуйтесь встроенным в поисковую систему Google калькулятором для практических расчетов по вычислению длины стороны квадрата . Например, если известная длина диагонали равна 15 сантиметрам, то перейдя на сайт поисковика, введите такой запрос: «корень из ((15 в )/2)». Если вы использовать ^ для обозначения операции возведения в степень и sqrt для обозначения операции извлечения квадратного корня, то Google поймет и такой запрос: «sqrt (15^2/2)». В любом случае будет одинаков: длина стороны квадрата равна 10,6066017 сантиметров.

Используйте, например, программный из стандартного набора программ операционной системы Windows в качестве альтернативного способа для расчета длины стороны квадрата . Ссылка на его запуск упрятана довольно глубоко в главное меню системы - после щелчка по кнопке «Пуск» нужно раскрыть раздел «Все программы», перейти в подраздел «Стандартные», кликнуть секцию «Служебные» и выбрать пункт «Калькулятор». Более быстрый способ - нажать сочетание клавиш WIN + R, ввести команду calc и нажать клавишу Enter.

Введите известную длину стороны, затем нажмите клавишу со звездочкой и Enter - так вы выполните операцию возведения в квадрат. Затем нажмите клавишу с косой чертой, введите двойку и нажмите Enter. После этого щелкните кнопку с надписью sqrt и увидите искомую длину стороны квадрата - 10,606601717798212866012665431573 сантиметров.

Вам понадобится

• - длина диаметра окружности.

Инструкция

Окружность - фигура на плоскости, состоящая из множества точек, удалённых на одинаковое расстояние от другой точки, называемой центром. Круг - плоская фигура, представляет собой множество точек, заключённых в окружность, которая является круга. Диаметр - это , соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр. Радиус - это отрезок, соединяющий точку на окружности и с её центром. π - число «пи», математическая константа, постоянная величина. Она показывает отношение длины окружности к длине её . Вычислить точное π . В геометрии пользуются приблизительным значением этого числа: π ≈ 3,14

Из определения радиуса следует, что он равен половине диаметра . Следовательно, приобретает вид: S=π(D/2)^2, где D - длина диаметра окружности. Подставьте в формулу значение диаметра , вычислите площадь круга.

Полезный совет

Существует Международный день числа «пи», который отмечается 14 марта. Точное время наступления торжественной даты - 1 час 59 минут 26 секунд, согласно цифрам числа - 3,1415926...

Иногда перед человеком встаёт вплотную необходимость найти периметр квадрата. Например, нужно сделать ограду вокруг квадратного участка, оклеить обоями квадратную комнату или оформить зеркалами стены квадратного танцевального зала. Чтобы вычислить количество необходимого материала, нужно сделать специальные расчёты. И вот тут-то, не зная, придётся приобретать материал «на глазок». Ладно, если это будут недорогие обои, а вот лишние зеркала куда потом девать? Да и при нехватке материала потом довольно трудно подобрать дополнительный такого же качества.

Итак, как узнать, чему равен периметр квадрата? Мы знаем, что у квадрата все стороны равны. И если периметр - это сумма всех сторон многоугольника, то периметр квадрата можно записать, как (q+q+q+q), где q - величина, обозначающая длину одной стороны квадрата. Естественно, что удобнее всего здесь воспользоваться умножением. Итак, периметр квадрата - это учетверённая величина, соответствующая длине его стороны или 4q, где q - сторона.

Но если известна только площадь квадрата, периметр которого нужно узнать - как поступить в этом случае? И тут всё очень просто! Из известной цифры, которой выражена нужно произвести извлечение Таким образом будет найдена величина стороны квадрата. Теперь искать периметр квадрата нужно по выведенной выше формуле.

Другой вопрос, если нужно найти периметр квадрата по его диагонали. Здесь следует вспомнить теорему Пифагора. Рассмотрим квадрат WERT с диагональю WR. WR разделила квадрат на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Если известна длина диагонали (условно примем её за z, а сторону - за u), то величину стороны квадрата нужно искать, исходя из формулы: квадрат z равен удвоенному квадрату u, откуда делаем вывод: u равна квадратному корню, извлечённому из половины квадрата гипотенузы. Дальше уже увеличиваем полученный результат в 4 раза - вот вам и периметр квадрата!

Найти сторону квадрата можно по радиусу вписанной в него окружности. Ведь вписанная окружность прикасается ко всем сторонам квадрата, откуда делается вывод - диаметр окружности равняется длине стороны квадрата. А диаметр - это известно всем - удвоенный радиус.

Если известен радиус или описанной вокруг квадрата, то здесь мы видим, что все 4 вершины квадрата располагаются на окружности. Значит, диаметр описанной окружности равен длине диагонали квадрата. Приняв это положение как данность, далее следует высчитывать периметр по формуле нахождения периметра по его диагонали, рассмотренной выше.

Иногда предлагается задача, в которой нужно узнать, каков периметр квадрата, который является вписанным в равнобедренный таким образом, что один угол квадрата совпадает с прямым углом треугольника. Известной является катет данной геометрической фигуры. Обозначим треугольник как WER, где вершина Е является общей.

Вписанный квадрат будет иметь обозначение ETYU. Сторона ET лежит на стороне WE, а сторона EU - на стороне ER. Вершина Y лежит на гипотенузе WR. Рассматривая далее чертёж, можно сделать выводы:

1. WTY - равнобедренный треугольник, так как по условию WER - равнобедренный, значит, угол EWR равен 45 градусам, и получившийся треугольник - прямоугольный с углом при основании также 45 градусов, что позволяет нам утверждать его равнобедренность. Отсюда вытекает, что WT=TY.
2. TY=ET как стороны квадрата.
3. Следуя этому же алгоритму, выводим следующее: YU=UR, а UR=EU.
4. Стороны треугольника можно представить как сумму отрезков. EW=ET+TW, а ER= EU+UR.
5. Заменив равные отрезки, выводим: EW=ET+TY, а ER=EU+UY.
6. Если периметр вписанного квадрата выражается формулой (ET+TY)+(EU+UY), то по-другому это можно записать, имея ввиду только что выведенные значения сторон треугольника, как EW+ER. То есть периметр вписанного в прямоугольный треугольник квадрата с совпадающим прямым углом будет равен сумме его катетов.

Это, конечно, не все варианты вычисления периметра квадрата, а только наиболее часто встречающиеся. Но все они основываются на том, что периметр четырёхугольника - это суммированное значение всех его сторон. И от этого никуда не деться!