Число грэма полностью. Число Грэма и другие числа

Речь в ней шла о числах-гигантах, имеющих хоть какой-то физический смысл. И заканчивается она упоминанием числа Грэма. Того числа, которое будет точкой отсчета сегодняшней статьи. Чтобы представить себе масштабы бедствия я настоятельно рекомендую предварительно прочитать , в которое объясняется о числе Грэма на пальцах TM - там автор очень красочно и последовательно рассказывает о границах восприятия, в которые мы себя зажимаем, когда говорим о больших числах.

Внимание, дисклеймер!

Я не являюсь профессиональным математиком. Поэтому ошибки в специальной терминологии практически неизбежны, учитывая полное отсутствие материалов на русском языке. Более того, я даже не уверен, что те слова, которые я использую для перевода с английского, вообще используются русскоязычными математиками. С другой стороны, я попытался всё это понять и объяснить языком, доступным для обычных читателей. Любые замечания просьба отписывать в личку - будем улучшать текст вместе.

Для начала, чтобы предотвратить возможные комментарии в стиле «а нафига оно надо, это ведь всё равно не имеет ровным счетом никакого практического смысла» - ответ в

знаменитой картинке:

Вы думаете, что Бауэрс на этом остановился? Как бы не так. Ну вот что, ЧТО еще можно придумать в записи массивов? А можно обратить внимание, что там есть запятые… Которые пусть обозначают элементы одномерного массива. А если поставить между числами (1), то это переход на следующую строку, (2) - переход на следующую плоскость.
Квадрат из троек («дутритри») записывается как {3,3,3(1)3,3,3(1)3,3,3}.
Куб из троек («диментри») - {3,3,3(1)3,3,3(1)3,3,3(2)3,3,3(1)3,3,3(1)3,3,3(2)3,3,3(1)3,3,3(1)3,3,3}.

Вот так незатейливо мы перешли от плоскостных массивов к объемным (и заметьте, это всего лишь запись некого числа, которая из-за своих масштабов потребовала выйти из плоскости просто в своем написании!). Разумеется, дальше мы вводим новые обозначения для четырехмерных, пятимерных «объектов» (простите, называть эти монструозные контрукции числами уже сложно). Например, & означает «массив из»: {10,100,2} & 10. То есть {10,100,2}-массив десяток, или же 10100-массив десяток. Ну то есть нужно 100 раз возвести десять в десятую степень, построить решетку с таким количеством ячеек (причем она будет находиться в стозмерении, то есть измерении измерений измерений… измерений (слово повторено сто раз)), затем заполнить все ячейки десятками - и только тогда можно приниматься решать этот массив.

Вот как можно нарисовать число трилатри {3,3,2}&3:

Думаете хотя бы на этом всё? Неа. Обозначим «легион» прямым слэшем (/). В массиве {a,b,c,.../2} двойка находится во втором легионе. Сначала мы должны решить первый легион (слева от косой черты), а затем взять такое количество элементов в цепочке «массив из… массив из… массив из...», которое получилось при решении: {3,3 / 2} = 3 & 3 & 3 = {3,3,3} & 3. А вот если взять {3,3,3 / 3} = {3 & 3 & 3 / 2}. На этот раз тритри - это не количество элементов в массиве, а количество элементов в цепочке 3 & 3 &… & 3 & 3.
Еще одно расширение Бауэрс сделал добавив символ @ (a@b обозначает «легионный массив размера a из b») и обратный слэш \ (лу гион). Ну тут уже всё понятно: {a,b \ 2} = a @ a @ a… a @ a @ a (где а повторяется b раз).

Понятно, что процесс придумывания новых наименований для каких-то операций не может быть бесконечным (за легионами и лугионами идут лагионы, лэгионы и лигионы, но очевидно, что это ничто, учитывая наш размах), поэтому Бауэрс сделал проще - определил L как прогрессию из легионов, лугионов, лагионов, лэгионов и лигионов: L1, L2, L3… И далее число опередляется индексами.
Например для «вычисления» (смешно, конечно, говорить о вычислениях на таких масштабах) {L100,10} 10,10 нужно взять сотый член в прогрессии «легионы, лугионы, лагионы...» и составить из него массив в 10 измерениях. Затем нужно убирать по одному члену, каждый раз добавляя цепочку из «10 % 10 %… %10» (где % - L100-гионный массив из на то количество десяток, которое получилось на предыдущем этапе. И только после того, как все сотые члены (а также L99, L98 и иже с ними, вплоть до \ и /) закончатся, мы сможем, собственно, начать решать первый массив в сумасшедшей прогрессии массивов.

Кстати, для 340 больших чисел Бауэрс ввел собственные наименования, многие из которых по своей безумности полностью соответствуют алгоритмам расчета. Встречайте, МЕАМЕАМЕАЛОККАПУВА УМПА: {{L100,10} 10,10 & L,10} 10,10 .

Примечание для нердов:
Разумеется, Бауэрс определил строгий набор правил совершения операций над массивами.
Определения:
- первый запись в массиве называется «базой» (base) - b;
- вторая запись в массиве называется «начальной» (prime) - p;
- первая неединичная запись после начальной называется «пилотом» («pilot»);
- запись массива, которая следует сразу за пилотом называется «вторым пилотом». Она не существует, если пилот является первой записью в своем ряду;
- структура - это часть массива, которая состоит из групп меньшей размерности. Это может быть запись (Х 0), ряд (Х 1), плоскость (Х 2), область (Х 3) и т.д., не говоря уже о структурах большей размерности (Х 5 , Х 6 и т.д.) и тетрационных структурах, например, X3. Можно также продолжить пентационными, гексационными и т.п. структурами.
- «предыдущей записью» (previous entry) называется запись, которая образуется перед пилотом, но в том же ряду, что и остальные предыдущие записи. «Предыдущим рядом» называется ряд, который появляется перед пилотным рядом, но в той же плоскости, что и все остальные предыдущие ряды и т.д.
- «начальный блок» (prime block) структуры S вычисляется заменой всех вхождений Х на p. Например, если S = Х 3 , то начальным блоком будет p 3 или куб со стороной длины p. Начальным блоком Х х -структуры будет p p , p-гиперкуб с длиной стороны p.
- «самолёт» включает в себя пилота, все предыдущие записи, а также начальный блок всех предыдущих структур;
- «пассажиры» - это записи в самолете, которые не являются пилотом или вторым пилотом;
- значение массива записывается как v(A) , где А - это массив.
Правила вычисления:
1. Если p = 1, v(A) = b
2. Если нет пилота, то v(A) = b p
3. Если первое и второе не применяется, то:
- пилот уменьшается на 1;
- второй пилот принимает значение оригинального массива с начальным значением, уменьшенным на 1;
- каждый пассажир становится b;
- остальная часть массива не изменяется
Все примеры, описанные выше, подчиняются этим незатейливым правилам.

Как уже говорилось выше, BEAF по своей мощи значительно превосходит цепочки Конвея, не говоря уже о нотации Кнута… Интересно, что дальше?

А дальше мы вступаем на поле скорее философии, нежели собственно математики. Все описанные выше нотации представляют собой вычислимые функции или функции, которые могут быть реализованы на машине Тьюринга.

Во второй части мы рассмотрим невычислимые функции : задачу усердных бобров, сигма-функцию Радо Σ(n), число Райо, BIG FOOT и другие, а также рассмотрим быстрорастущую иерархию, чтобы понять, есть ли предел этому математическому безумию.

Использованные материалы:
1. Главный сайт по гугологии:

Чтобы хоть как-то представить себе масштаб числа, разберём его запись поподробнее.

1 . Итак, в математике существует понятие «гипероператор» для определения уровня арифметических действий. Так, сложение - это гипероператор первого уровня, а гипероператор второго уровня - умножение, которое суть повторяющееся сложение. То есть множитель - это число, которое говорит нам, сколько раз надо сложить умножаемую величину. Например: 3 · 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Следующий гипероператор - возведение в степень, x n = х ^n , что по сути является повторяющимся умножением. Пример: 3 3 = 3 · 3 · 3 = 27. Запись 3 3 в нотации Кнута будет выглядеть как 33. Здесь для ясности следует сказать, что первая цифра в выражении 33 - это значение, с которым мы и производим действие, а количество стрелочек между цифрами - это арифметическое действие; в данном случае одна стрелочка означает возведение в степень. Вторая цифра означает то, в какую степень надо возвести первую цифру (сколько раз перемножить на себя). Соответственно, выражение 74 означает семь в четвёртой степени. Иначе говоря, 7 нужно умножить на 7 четыре раза.

2 . Гипероператор четвёртого уровня - тетрация, повторяющееся возведение в степень. В записи Кнута - две стрелки между цифрами. Пример: 33 = 3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987. То есть вторая цифра при наличии двух стрелок означает, что столько раз нужно возвести в степень самого себя первое число . Другими словами, показывает нам высоту степенной башни из первой цифры. Например, запись 58 означает башню из восьми пятёрок, нагромождённых друг на друга, как кубики.

Тем, чей мозг совсем заплыл жиром или занят лишь мыслями о том, как найти тян , вкачать своего эльфа или избавиться от прыщей , следует запомнить, что в тетрации выражения высчитываются сверху вниз , или справа налево . Проще говоря, 3 3 3 равняется нихуя не 27 3 , а как раз-таки 3 27 . Теперь ты видишь, мой маленький мохнатый друг, что тетрация - уже довольно мощный способ записи, позволяющий коротеньким выражением записывать числа в 100500 раз бо́льшие, чем само 100500. Но это ещё не всё, ибо она является недостаточно мощным гипероператором для вычисления числа Грэма.

3 . Идём дальше: гипероператор пятого уровня - пентация (повторяющаяся тетрация). Три стрелочки между цифрами. Вот здесь-то и начинается пиздец, от которого люди, не являющиеся профессиональными математиками, плюют на всю эту лабуду и больше не пытаются её понять. Но ведь ты не такой, как они ? Если ты подумал, что пентация числа 3 раскладывается на 3 в степени 7 625 597 484 987, то ты ошибаешься. Ты даже не представляешь, НАСКОЛЬКО ошибаешься. Ибо 3 в степени 7 625 597 484 987 - это всего лишь 34. А пентация - это 33 = 3(33) = 3(7 625 597 484 987) = 33…(количество возведений в степень - 7 625 597 484 987 раз )…3. То есть, степенная башня из троек получается высотой в более чем семь с половиной триллионов этажей! Иначе говоря, вторая цифра при наличии трёх стрелочек означает, какой высоты будет башня тетраций первой цифры . Для большей наглядности: 34 можно записать как 3 3 3 3, либо 3 (3 (3 3)). И здесь главное - понять, что эта башня из тетраций не есть башня из степеней, тут эскалация намного стремительнее. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3.
Понял, наконец, сука?! 34 равняется 3 в тетрации числа, которое получается в результате вычисления степенной башни из цифры 3 высотой в 7 625 597 484 987 этажей. Соответственно, если 34 записать как степенную башню из троек, то количество этажей в этой башне будет равняться числу, которое получится при вычислении степенной башни высотой в 7 625 597 484 987 этажей. Представил? Не представил, конечно, такие величины с наскоку не осмыслить.

Если ты всё-таки начал потихоньку не понимать, что за херня здесь происходит, то заново перечитай пункт 2.

4 . И последний нужный нам гипероператор - гексация. Как вы уже догадались, четыре стрелочки между тройками. Это, соответственно, повторяющаяся пентация. Вторая цифра при наличии четырёх стрелочек означает, какой высоты будет уже «пентационная» башня . 33 = 3(33) = 333…33, где количество тетраций - результат вычисления пентации 33. Если опять ничего не понял, то заново прочитай пункты 3 и 2.
Если мы переместимся в самый конец этой немыслимой цепочки тетраций и начнём её вычислять, то уже вторая с конца тройка будет в тетрации равна 7 625 597 484 987. А результатом тетрации третьей тройки с конца будет число, полученное пентацией тройки в предыдущем пункте. А перед нами - ещё гуголплексы и гуголплексы повторяющихся тетраций цифры 3. Тут уже бесполезно что-то пытаться осмыслить, как-то охватить результат… И тут вы, возможно, спросите: «Неужели это число Грэма? Надо же, насколько громадное!» Но нет, это не число Грэма. Это была только математическая присказка, и она ничтожно, неизмеримо мала по сравнению с числом Грэма.

Стало быть, гексация - это всего лишь добавление к пентации одной ссаной стрелочки, но результат оказывается больше в невообразимое количество порядков. А теперь, собственно, вычисление числа Грэма. Цифра три в примерах была использована не просто так, ибо число Грэма по сути и есть перемноженные тройки. Итак, назовём результат нашей гексации (33) G1. Это будет первый шаг вычислений. Только первый. А следующий шаг ускоряет прогрессию так, что добавление одной, десяти, МИЛЛИОНА стрелок между цифрами - топтание на месте. Шаг второй - вычисление G2. Теперь мы берём результат нашей гексации тройки и пишем выражение, где число стрелочек сверхстепени будет равно этому результату. G2 = 3…(количество стрелочек сверхстепени - G1)…3. Интересно, как называется гипероператор ТАКОГО уровня?..

Запись не то что результата, но даже этого гипероператора уже невозможна без сокращения. А число, получившееся при его вычислении (если, конечно, его возможно было бы вычислить), заполнило бы своими цифрами и Вселенную, и параллельные миры, и подпространство, и всяческий другой астрал. И не забываем, что в G1 количество стрелочек было равно четырём - и это уже число, недоступное для вычисления и записи обычным способом! А в G2 это число - только количество сверхстепеней. Вот так-то. Прогрессия невероятно стремительная. И это только начало. Следующим шагом идёт вычисление числа G3, где количество стрелочек сверхстепени будет равно G2! Подобным образом после этого следует ещё 62 шага вычислений, где результат каждого шага будет лишь количеством стрелок сверхстепени следующего шага, и число Грэма есть G64!

Ваистену, матан иногда штырит похлеще любых наркотиков.

Был старик, застенчивый как мальчик,
Неуклюжий, робкий патриарх…
Кто за честь природы фехтовальщик?
Ну, конечно, пламенный Ламарк.
Осип Мандельштам

В дополнение к описанию числа Грэма и множества других интересных чисел предлагаю обсудить еще пару чисел. Сейчас спешно расшифровывают геном человека. На мой взгляд от этого будет мало толку, как от любых экспериментальных данных, к которым нет хоть какой-нибудь теории (непонятно а что собственно меряют-то) Но по крайней мере стало известно, что человеческий геном состоит из 3.1 миллиарда оснований (всякие тимин с гуанином и прочими урацилами)Каждое живое существо с точки зрения теории эволюции Дарвина считается тестом на выживаемость данной комбинации оснований, и главное столкновение религии с Дарвиновской теорией происходит, когда Дарвиновская теория, или вернее ее современная интерпретация, заявляет, что этот перебор происходит случайным образом. Вне этого заявления никакого противоречия эволюционной теории и картины, описанной например в иудео-христианском Генезисе нет, что бы там не утверждали креационисты.

Например если предположить, что у самого первого живого существа в самом первом ДНК была запрограммирована вся эволюция от этого самого первого существа до современного человека, то эта картина, которую можно считать современной интерпретацией эволюции Ламарка, ну ничем не отличается от Генезиса, а самое первое живое существо в этом мысленном эксперименте следует называть не Адамом Бродского, а архетипом Ламарка. Просто слова "Бог сотворил" из Генезиса в данном контексте означает Бог записал в программу архетипа Ламарка. Кстати и эту программу и сам способ програмирования придумал тоже Он.

Допустим, что комбинация пар оснований этого самого первого живого существа единственная, тогда мы можем оценить снизу темп эволюции Дарвина. Начнем с того, что недавно было найдено самое маленькое живое существо (вирусы по идее еще меньше, но их нельзя считать полноценно живыми существами, так как им для воспроизводства нужен чужой клеточный механизм - всякие митохондрии и т.д. и т.п.) Представим, что вся вселенная (10 в степени 26 метров) доверху заполнена этими живыми существами размеров 0,009 кубических микрона которые непрерывно тестируют комбинации ДНК, причем у каждового свое уникальное тестовое задание исключающее дублирование тестирования ДНК разными живыми существами, а если появляется что то удачное, то об этом мгновенно узнают все живые существа вселенной и меняют свое тестовое задание, так что все комбинации на основе неудачного теста выбраковываются из последующего тестирование. Назовем числом Дарвина общее количество геномов, которые таким образом надо протестировать, а если умножить число Дарвина на минимальное время жизни тестирующего существа - Планковское время которое вляется минимальным квантом времени, - и разделить на общее количество таких существ, то можно определить некое характерное время такой эволюции, которое я предлагаю называть временем Дарвина. А если разделить время Дарвина на максимальный возраст нашей вселенной то можно получить число, которое я предлагаю назвать числом Уильяма из Оккама, так как он был первым, кто доказал, что научными методами нельзя доказать наличие Бога, но нельзя доказать и его отсутствие. Действительно число Оккама показывает в рамках теории Дарвина максимальное количество входов в Дарвиновскую эволюцию в нашей Вселенной, то есть отделяет те комбинации ДНК, которые могут быть геномом живого существа, от тех, которые заведомо фатальны. То есть это число показывает разницу между жизнью и смертью в нашей Вселенной.

Естественно отношение числа Оккама к числу Грэма я предлагаю назвать числом Бродского, а всю эту процедуру я предлагаю назвать парадоксом Бродского.

Originally posted by lyubimica_mira at Число Грэма на пальцах™

Оригинал взят у sly2m в Число Грэма на пальцах™

эпиграф
Если долго всматриваться в бездну,
можно неплохо провести время.
Инженер Механических Душ

Как только ребенок (а это происходит где–то года в три–четыре) понимает, что все числа делятся на три группы "один, два и много", он тут же пытается выяснить: насколько много бывает много , чем много отличается от очень много , и может ли оказаться так много, что больше не бывает . Наверняка вы играли с родителями в интересную (для того возраста) игру, кто назовет самое большее число, и если предок был не глупее пятиклассника , то он всегда выигрывал, на каждый "миллион" отвечая "два миллиона", а на "миллиард" - "два миллиарда" или "миллиард плюс один".

Уже к первому классу школы каждый знает - чисел бесконечное множество, они никогда не заканчиваются и самого большого числа не бывает. К любому миллиону триллионов миллиардов всегда можно сказать "плюс один" и остаться в выигрыше. А чуточку позже приходит (должно прийти!) понимание, что длинные строки цифр сами по себе ничего не значат. Все эти триллионы миллиардов только тогда имеют смысл, когда служат представлением какого–то количества предметов или же описывают некое явление. Выдумать длиннющее число, которое ничего из себя не представляет, кроме набора долгозвучащих цифр, нет никакого труда, их итак бесконечное количество . Наука, в какой–то образной мере, занимается тем, что выискивает в этой необозримой бездне совершенно конкретные комбинации цифр, присовокупляя к некому физическому явлению, например скорости света, числу Авогадро или постоянной Планка.

И сразу же возникает вопрос, а какое на свете самое больше число, которое что–то означает? В этой статье я попытаюсь рассказать о цифровом монстре, называемом число Грэма , хотя строго говоря, науке известны числа и побольше. Число Грэма самое распиаренное, можно сказать "на слуху" у широкой публики, потому что оно довольно просто в объяснении и все же достаточно велико, чтобы вскружить голову. Вообще, тут необходимо объявить небольшой disclaimer (рус. предостережение ). Пусть прозвучит как шутка, но я нифига не шучу. Говорю вполне серьезно - дотошное ковыряние в подобных математических глубинах в совокупности с безудержным расширением границ восприятия может оказать (и окажет) серьезное влияние на мироощущение, на позиционирование личности в обществе, и, в конечном итоге, на общее психологическое состояние ковыряющего, или, будем называть вещи своими именами - открывает дорогу к шизе. Не нужно чересчур внимательно вчитываться в нижеследующий текст, не стоит слишком ярко и живо представлять описываемые в нем вещи. И не говорите потом, что вас не предупреждали!
Пальцы:
Прежде чем переходить к числам–монстрам, потренируемся для начала на кошках . Напомню, что для описания больших чисел (не монстров, а просто больших чисел) удобно пользоваться научным или т.н. экспоненциальным способом записи.

Когда говорят, скажем, о количестве звезд во Вселенной (в Обозримой Вселенной), никакой идиот не лезет вычислять сколько их там в буквальном смысле с точностью до последней звезды. Считается, что примерно 10 21 штук. И это оценка снизу. Значит общее количество звезд можно выразить числом, у которого после единицы стоит 21 ноль, т.е. "1 000 000 000 000 000 000 000".

Так выглядит небольшая часть из них (около 100 000) в шаровом скоплении Омега Центавра.

Естественно, когда речь идет о подобных масштабах, действительные цифры в числе существенного значения не играют, все ведь весьма условно и примерно. Может быть на самом деле число звезд во Вселенной "1 564 861 615 140 168 357 973", а может "9 384 684 643 798 468 483 745". А то и "3 333 333 333 333 333 333 333", почему нет, хотя маловероятно, конечно. В космологии, науке о свойствах Вселенной в целом, такими мелочами не морочатся. Главное представлять, что примерно это число состоит из 22 цифр, от чего удобней считать его единицей с 21 нулем, и записывать как 10 21 . Правило общее и весьма простое. Какая цифра или число стоят на месте степени (напечатаны мелким шрифтом сверху над 10 вот тут), столько нолей после единицы будет в этом числе, если расписать его по–простецки, знаками подряд, а не по–научному. У некоторых чисел существуют "человеческие названия", например 10 3 мы называем "тысяча", 10 6 - "миллион", а 10 9 - "миллиард", а у некоторых нет. Скажем у 10 59 нет общепринятого названия. А у 10 21 , кстати, есть - это "секстиллион".

Все, что идет до миллиона, практически любому человеку понятно интуитивно, ведь кто не хочет стать миллионером ? Дальше у некоторых начинаются проблемы. Хотя миллиард (10 9) тоже знают почти все. До миллиарда даже можно досчитать. Если только родившись, буквально в момент появления на свет начать считать раз в секунду "один, два, три, четыре..." и не спать, не пить, не есть, а только считать–считать–считать без устали днем и ночью, то когда стукнет 32 года можно досчитать до миллиарда, потому что 32 оборота Земли вокруг Солнца занимают примерно миллиард секунд.

7 миллиардов - количество людей планете. Исходя из вышеизложенного, посчитать их всех по порядку в течении человеческой жизни совершенно невозможно, придется прожить больше двухсот лет.

100 миллиардов (10 11) - столько или около того людей жило на планете за всю ее историю. 100 миллиардов гамбургеров продал Макдональдс к 1998му году за 50 лет своего существования. 100 миллиардов звезд (ну, чуть больше) находится в нашей галактике Млечный Путь, и Солнце - одна из них. Такое же количество галактик содержится в обозримой Вселенной. 100 миллиардов нейронов находится в головном мозге человека. И столько же анаэробных бактерий проживают у каждого читающего эти строки в слепой кишке.

Триллион (10 12) - число, которым редко пользуются. До триллиона досчитать невозможно, на это уйдет 32 тысячи лет. Триллион секунд назад люди жили в пещерах и охотились с копьями на мамонтов. Да, триллион секунд назад на Земле жили мамонты. В океанах планеты примерно триллион рыб. В соседней с нами галактике Андромеды около триллиона звезд. Человек состоит из 10 триллионов клеток. ВВП России в 2013м году составил 66 триллионов рублей (в рублях 2013го года). От Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров и столько же букв в целом было отпечатано во всех когда–либо опубликованных книгах.
Квадриллион (10 15 , миллион миллиардов) - столько всего муравьев на планете. Это слово нормальные люди вслух не произносят, ну, признайтесь, когда вы последний раз в разговоре слышали "квадриллион чего–то"?
Квинтиллион (10 18 , миллиард миллиардов) - столько существует возможных конфигураций при сборке кубика Рубика 3х3х3. Так же количество кубометров воды в мировом океане.
Секстиллион (10 21) - это число нам уже встречалось. Количество звезд в Обозримой Вселенной. Количество песчинок всех пустынь Земли. Количество транзисторов во всех существующих электронных устройствах человечества, если Intel нам не врал .
10 секстиллионов (10 22) - количество молекул в грамме воды.
10 24 - масса Земли в килограммах.
10 26 - диаметр Обозримой Вселенной в метрах, но в метрах считать не очень удобно, общепринятые границы Обозримой Вселенной 93 миллиарда световых лет .

Размерами, большими чем Обозримая Вселенная, наука не оперирует. Мы знаем наверняка, что Обозримая Вселенная это не вся–вся–вся Вселенная. Это та часть, что мы, хотя бы теоретически, можем видеть и наблюдать. Или могли видеть в прошлом. Или сможем увидеть когда–нибудь в отдаленном будущем, оставаясь в рамках современной науки. От остальных частей Вселенной даже со скоростью света сигналы не смогут до нас добраться, от чего этих мест с нашей точки зрения как бы не существует. Насколько велика та большая Вселенная на самом деле никто не знает. Может быть в миллион раз больше, чем Обозримая. А может в миллиард. А может и вообще бесконечная. Говорю же, это уже не наука, а гадание на кофейной гуще. У ученых есть кое–какие догадки, но это больше фантазии, чем реальность.
Для визуализации космических масштабов полезно изучить эту картинку, раскрыв ее на весь экран .

Однако даже в Обозримую Вселенную можно напихать гораздо больше чего–то другого, чем метры.
10 51 атомов составляют планету Земля.
10 80 примерное количество элементарных частиц в Обозримой Вселенной.
10 90 примерное количество фотонов в Обозримой Вселенной. Их почти в 10 миллиардов раз больше, чем элементарных частиц, электронов и протонов.
10 100 - гугол. Это число ничего физически не значит, просто круглое и красивое. Компания, которая поставила себе целью индексировать гугол ссылок (шутка, конечно, это же больше, чем число элементарных частиц во Вселенной!) в 1998м году взяла себе название Google.
10 122 протонов понадобится, чтобы набить Обозримую Вселенную под завязку, плотненько так, протончик к протончику, впритык.
10 185 планковских объемов занимает Обозримая Вселенная. Меньших величин, чем планковский объем (кубик размеров планковской длины 10 –35 метра) наша наука не знает. Наверняка, как и со Вселенной, там есть что–то еще более мелкое, но вменяемых формул для подобных мелочей ученые еще не придумали, одни сплошные спекуляции.

Получается, что 10 185 или около того - наибольшее число, которое в принципе может что–то значить в современной науке. В науке, которая может пощупать и измерить. Это то, что существует или могло бы существовать, если так случилось, что мы узнали о Вселенной все, что можно было узнать. Число состоит из 186 цифр, вот оно:
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Наука здесь, конечно же, не заканчивается, но дальше уже идут вольные теории, догадки, а то и просто околонаучный чес и гон. Например, вы наверняка слышали про инфляционную теорию, согласно которой, возможно, наша Вселенная лишь часть более общей Мультивселенной, в которой этих вселенных как пузырей в океане шампанского.

Или слышали о теории струн, согласно которой может существовать около 10 500 конфигураций колебаний струн, а значит такое же количество потенциальных вселенных, каждая со своими законами.

Чем дальше в лес, тем меньше теоретической физики и вообще науки остается в набирающих объемы числах, и за колонками нулей начинает проглядывать все более чистая, ничем не замутненная царица наук. Математика это ведь не физика, тут ограничений нет и стыдиться нечего, гуляй душа, пиши нули в формулах хоть до упаду.
Упомяну лишь известный многим гуголплекс . Число у которого гугол цифр, десять в степени гугол (10 гугол), или десять в степени десять в степени сто (10 10 100).
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Не буду записывать его цифрами. Гуголплекс не значит абсолютно ничего. Человек не может представить себе гуголплекс чего бы то ни было, это физически невозможно. Чтобы записать такое число понадобится вся Обозримая Вселенная, если писать "нано–ручкой" прямо по вакууму фактически в планковские ячейки космоса. Переведем всю материю на чернила и заполним Вселенную одними сплошными цифрами, тогда получим гуголплекс. Но математики (страшные люди!) гуголпрексом только разминаются, это нижайшая планка, с которой для них стартуют настоящие ничтяки. И если вы думаете, что гуголплекс в степени гуголплекс это то, о чем пойдет речь, вы даже не представляете, НАСКОЛЬКО ошибаетесь.

За гуголплексом идут много интересных чисел, имеющих ту или иную роль в математических доказательствах, долго ли коротко, перейдем сразу к числу Грэма, названному так в честь (ну, естественно) математика Рональда Грэма. Сначала расскажу, что это такое и для чего нужно, после чего образно и на пальцах™ опишу, каково оно по величине, а затем уже напишу само число. Точнее попытаюсь объяснить, что же я написал.

Число Грэма появилось в работе, посвященной решению одной из задач в теории Рамсея, причем "рамсея" тут не деепричастие несовершенного вида, а фамилия другого математика, Франка Рамсея. Задача конечно же довольно надуманная с обывательской точки зрения, хоть и не сильно замороченная, даже легко понятная.
Представьте себе куб, все вершины которого соединены линиями–отрезками двух цветов, красного или синего. Соединены и раскрашены в случайном порядке. Кое–кто уже догадался, что речь пойдет о разделе математики под названием комбинаторика .

Сможем ли мы исхитриться и так подобрать конфигурацию цветов (а их всего два - красный и синий), чтобы при раскраске этих отрезков у нас НЕ ВЫШЛО, что все отрезки одного цвета, соединяющие четыре вершины, лежат в одной плоскости? В данном случае, НЕ представляют из себя такую фигуру:

Можете сами покумекать, покрутить куб в воображении перед глазами, сделать подобное не так уж и сложно. Цвета два, вершин (углов) у куба 8, значит отрезков их соединяющих - 28. Можно так подобрать конфигурацию раскраски, что мы нигде не получим вышеуказанной фигуры, во всех возможных плоскостях будут разноцветные линии.
А что, если у нас больше измерений? Что, если мы возьмем не куб, а четырехмерный куб, т.е. тессеракт ? Сможем ли мы провернуть тот же фокус, что и с трехмерным?

Даже не стану объяснять, что такое четырехмерный куб, все знают? У четырехмерного куба 16 вершин. И не нужно пыжить мозг и пытаться представить четырехмерный куб. Это же чистая математика. Посмотрел на количество измерений, подставил в формулу, получил количество вершин, ребер, граней и так далее. Ну, или в Википедии подглядел, если формулы не помнишь. Итак у четырехмерного куба 16 вершин и 120 отрезков их соединяющих. Количество комбинаций раскраски в четырехмерном случае гораздо больше, чем в трехмерном, но и тут не сильно сложно посчитать, разделить, сократить и тому подобное. Короче выяснить, что в четырехмерном пространстве тоже можно так исхитриться с раскраской отрезков у гиперкуба, что все линии одного цвета, соединяющие 4 вершины, не будут лежать в одной плоскости.
В пятимерном? И в пятимерном, там где куб называется пентерактом или пентакубом, тоже можно.
И в шестимерном.
А дальше уже сложности. Грэм не смог математически доказать, что у семимерного гиперкуба удастся провернуть такую операцию. И у восьмимерного и у девятимерного и так далее. Но данное "и так далее", оказалось, не уходит в бесконечность, а заканчивается неким очень большим числом, которое и назвали "числом Грэма".
То есть существует какая–то минимальная размерность гиперкуба, при котором условие нарушается, и уже невозможно избежать комбинации раскраски отрезков, что четыре точки одного цвета будут лежать в одной плоскости. И эта минимальная размерность точно больше шести и точно меньше числа Грэма, в этом и заключается математическое доказательство ученого.

А теперь определение того, что я выше расписал на несколько абзацев, сухим и скучным (зато емким) языком математики. Понимать не надо, но не привести его я не могу.
Рассмотрим n–мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2 n вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в синий цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?

В 1971м году Грэм доказал, что указанная проблема имеет решение, и что это решение (количество размерности) лежит между числом 6 и неким большим числом, которое позже (не самим автором) было названо в его честь. В 2008м году доказательство улучшили, нижнюю границу подняли, теперь искомое количество размерностей лежит уже между числом 13 и числом Грэма. Математики не спят, работа идет, прицел сужается.
С 70х годов прошло немало лет, были найдены математические задачи в которых проявляются числа и побольше грэмова, но это первое число–монстр так поразило современников, понимавших о каких масштабах идет речь, что в 1980м году его включили в книгу рекордов Гиннесса, как "самое большое число, когда–либо участвовавшее в строгом математическом доказательстве" на тот момент.

Давайте попытаемся разобраться, насколько оно велико. Самое большое число, могущее иметь какой–то физический смысл 10 185 , а если всю Обозримую Вселенную заполнить кажущимся бесконечным набором мизерных циферок, получим что–то соизмеримое с гуголплексом .

Представляете себе эту громаду? Вперед, назад, вверх, вниз, насколько хватает глаз и насколько хватает телескопа Хаббл, и даже насколько не хватает, до самых далеких галактик и заглядывая за них - цифры, цифры, цифры размером много меньше протона. Существовать такая Вселенная, конечно, долго не сможет, тут же в черную дыру схлопнется. Припоминаете, сколько информации можно теоретически уместить во Вселенную? Я ведь рассказывал .

Число действительно огромно, рвет мозг. Оно не совсем точно равно гуголплексу, и у него нет названия, потому буду называть его "дохулион ". Только что придумал, почему бы и нет. Количество планковских ячеек в Обозримой Вселенной, и в каждой ячейке записана цифра. Число содержит 10 185 цифр, его можно изобразить как 10 10 185 .
дохулион = 10 10 185
Раскроем двери восприятия чуть пошире. Помните инфляционную теорию ? Что наша Вселенная лишь одна из многих пузырьков Мультивселенной. А если представить дохулион таких пузырьков? Возьмем число, длиною со все сущее и представим себе Мультивселенную с подобным количеством вселенных, каждая из которых под завязку исписана цифрами - получим дохулион дохулионов . Представляете себе такое? Как плывешь в небытии скалярного поля, а кругом вселенные–вселенные и в них цифры–цифры–цифры... Надеюсь, подобный кошмар (хотя, почему кошмар?) не будет мучить (и почему мучить?) излишне впечатлительного читателя по ночам.

Для удобства назовем подобную операцию "флип ". Такое несерьезное междометие, как будто взяли Вселенную и вывернули наизнанку, то она была внутри в цифрах, а теперь наоборот у нас снаружи столько вселенных, сколько было цифр, и каждая полным–полна коробочка, сама вся в цифрах. Как гранат чистишь, корочку так отгибаешь, изнутри выворачиваются зернышки, а в зернышках снова гранаты. Тоже на ходу придумалось, почему бы и нет, с дохулионом ведь прокатило.
К чему я клоню? Стоит ли тормозить? Давайте, хоба, и еще один флип ! И вот у нас столько вселенных, сколько было цифр во вселенных, количество которых было равно дохулиону цифр, заполнявших нашу Вселенную. И сразу, не останавливаясь, еще раз флип. И четвертый, и пятый. Десятый, тысячный. Успеваете за мыслью, все еще представляете себе картину?

Не будем мелочиться, распускаем крылья воображения, разгоняемся по полной и флипаем флип флипов . Столько раз выворачиваем каждую вселенную наизнанку, сколько дохулионов вселенных было в предыдущем флипе, который флипал из позапрошлого, который... эээ... ну, вы следите? Где–то так. Пусть теперь наше число станет, предположим, "дохулиард ".
дохулиард = флип флипов
Не останавливаемся и продолжаем флипать дохулионы дохулиардов до тех пор пока есть силы. Пока в глазах не темнеет, пока не захочется кричать. Тут каждый сам себе отважный Буратина, стоп–слово будет "брынза".
Так вот. Это все о чем? Огромные и бесконечные дохулионы флипов и дохулиарды вселенных полных цифр не идут ни в какое сравнение с числом Грэма. Даже не скребут по поверхности. Если число Грэма представить в виде палки, растянутой по традиции во всю Обозримую Вселенную, то, что мы тут с вами нафлипали окажется засечкой толщины... ну... как бы это так, помягче выразить... недостойной упоминания . Вот, смягчал, как мог.

Теперь давайте немного отвлечемся, передохнем. Мы читали, мы считали, наши глазоньки устали. Забудем про число Грэма, до него еще ползти и ползти, расфокусируем взгляд, расслабимся, помедитируем на гораздо меньшее, прямо–таки миниатюрнейшее число, которое назовем g 1 , и запишем всего шестью знаками:
g 1 = 33
Число g 1 равно "три, четыре стрелочки, три". Что это значит? Так выглядит способ записи, называемый стрелочная нотация Кнута .
Для подробностей и деталей можно почитать статью в Википедии, но там формулы, я коротенько перескажу ее простыми словами. Одна стрелочка означает обыкновенное возведение в степень.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Две стрелочки означают, что понятно, возведение в степень степени.
23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (больше 7 триллионов)
34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = число, в котором около 3 триллионов цифр

Короче говоря, "число стрелочка стрелочка другое число" показывает, какая высота степеней (математики говорят "башня ") выстраивается из первого числа. Например 58 означает башню из восьми пятерок и настолько велико, что не может быть рассчитано ни на каком суперкомпьютере, даже на всех компьютерах планеты одновременно.
5 5 5 5 5 5 5 5
Переходим к трем стрелочкам. Если двойная стрелочка показывала высоту башни степеней, то тройная, казалось бы, укажет "высоту башни высоты башни"? Какой–там! В случае тройки мы имеем высоту башни высоты башни высоты башни (в математике такого понятия нет, я решил назвать его "безбашней "). Как–то так:

То есть 33 образует безбашню из троек, высотой в 7 триллионов штук. Что такое 7 триллионов троек, поставленные друг на друга и именуемые "безбашней"? Если вы внимательно читали этот текст и не уснули в самом начале, вероятно помните, что от Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров. Тройка, показанная на экране двенадцатым шрифтом, вот эта - 3 - высотой миллиметров пять. Значит безбашня из троек протянется от вашего экрана... ну, не до Сатурна, конечно. Даже до Солнца не дотянется, всего четверть астрономической единицы, примерно как от Земли до Марса в хорошую погоду. Обращаю внимание (не спать!), что безбашня это не число длиной от Земли до Марса, это башня степеней такой высоты . Мы помним, что пять троек в этой башне покрывают гуголплекс, вычисление первого дециметра троек сжигает все предохранители компьютеров планеты, а остальные миллионы километров степеней уже как бы и ни к чему, они просто в открытую насмехаются над читателем, считать их бесполезно.

Теперь понятно, что 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3безбашня, (не 3 в степени безбашни, а "три стрелочка стрелочка безбашня"(!)), она же безбашня безбашни не влезет ни по длине ни по высоте в Обозримую Вселенную, и даже не поместится в предполагаемую Мультивселенную.
На 35 = 33333 заканчиваются слова, а на 36 = 333333 кончаются междометия, но можете потренироваться, коль есть интерес.

Переходим к четырем стрелочкам. Как вы уже догадались, тут безбашня на безбашне сидит, безбашней погоняет, и хоть с башней, что без башни - все равно. Просто молча приведу картинку, раскрывающую схему вычисления четырех стрелочек, когда каждое следующее число башни степеней определяет высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней... и так до самозабвения.

Рассчитывать его бесполезно, да и не получится. Количество степеней здесь не поддается осмысленному учету. Это число невозможно представить, его невозможно описать. Никакие аналогии на пальцах™ неприменимы, число просто не с чем сравнивать. Можно говорить, что оно огромно, что грандиозно, что монументально и заглядывает за горизонт событий. То есть придать ему какие–то словесные эпитеты. Но визуализация, даже вольная и образная - невозможна. Если с тремя стрелочками еще хоть что–то удавалось сказать, нарисовать безбашню от Земли до Марса, как–то с чем–то сопоставить, то тут аналогий быть просто не может.
Теперь от g 1 с новыми силами возвращаемся к штурму числа Грэма. Заметили, как нарастает эскалация от стрелочки к стрелочке?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = башня, высотой от Земли до Марса.
33 = число, которое невозможно ни представить ни описать.

А вообразите какой цифровой кошмар творится, когда стрелок окажется пять? Когда их шесть? Можете представить число, когда стрелок будет сто? Если можете, позвольте предложить вашему вниманию число g 2 , в котором количество этих стрелок оказывается равно g 1 . Помните, что такое g 1 , да?

Все, что было написано до сих пор, все эти расчеты, степени и башни не помещающиеся в мультивселенные мультивселенных нужны были только для одного. Чтобы показать КОЛИЧЕСТВО СТРЕЛОК в числе g 2 . Тут уже не нужно ничего считать, можно просто рассмеяться и махнуть рукой.
Не буду скрывать, есть еще g 3 , в котором содержится g 2 стрелок. Кстати, все еще понятно, что g 3 , это не g 2 "в степени" g 2 , а количество безбашен, определяющих высоту безбашен, определяющих высоту... и так по всей цепочке вниз до тепловой смерти Вселенной? Здесь можно начинать плакать.

Почему плакать? Потому что совершенно верно. Есть еще число g 4 , в котором содержится g 3 стрелочек между тройками. Есть так же g 5 , есть g 6 и g 7 и g 17 и g 43 ...
Короче их 64 штуки этих g. Каждое предыдущее численно равно количеству стрелок в следующем. Последнее g 64 и есть число Грэма, с которого все так вроде бы невинно начиналось. Это число размерностей гиперкуба, которого точно будет достаточно, чтобы правильно раскрасить отрезки красным и синим цветами. Может и меньше, это, так сказать, верхняя граница. Его записывают следующим образом:
а расписывают так:

Все, теперь можно расслабиться по–честному. Нет больше необходимости ничего представлять и рассчитывать. Если вы дочитали до этого места, уже как бы все должно встать на свои места. Или не встать. Или не на свои.

Но знаете, есть такая теория, тоже весьма эфемерная и философская, может слышали - все, что человек мог себе представить или вообразить обязательно когда–нибудь воплотится. Потому что развитие цивилизации определяется по тому, насколько она смогла воплотить в реальность фантазии прошлого.

Никто не знает, что ждет нас в будущем. У человеческой цивилизации есть тысячи способов закончиться: ядерные войны, экологические катастрофы, смертоносные пандемии, астероид какой может прилететь, динозавры не дадут соврать. Но у природы есть один незыблимый закон, известный нам с самой давней древности. Как бы ни было, что бы ни случилось, что бы мы себе ни думали, но время никуда не денется, оно пройдет. Хотим мы этого или не хотим, с нами или без - пройдут и тысяча и 10 тысяч лет.

А если пройдет миллион лет? А ведь он пройдет, куда денется. Число Грэма, и вообще все, о чем человек способен задуматься, представить, вытащить из небытия и сделать пусть не осязаемой, но хотя бы имеющей какой–то смысл сущностью - обязательно рано или поздно воплотится. Просто потому, что сегодня у нас хватило сил развиться до способности осознания подобного.

Сегодня, завтра, когда будет возможность - запрокиньте голову в ночное небо. Помните этот момент ощущения собственной ничтожности? Чувствуете, какой человек крошечный? Пылинка, атом по сравнению с безбрежной Вселенной, которая звезд полна, коим числа нет, ну, и бездна, соотвественно, тоже не маленькая.

В следующий раз попробуйте ощутить, какая Вселенная песчинка по сравнению с тем, что происходит в голове. Какая пучина открывается, какие неизмеримые концепции рождаются, какие миры строятся, как Вселенная флипается наизнанку одним только движением мысли, как и насколько живая, разумная материя отличается от мертвой и неразумной.

Я верю, что через какое–то время человек дотянется до числа Грэма, дотронется до него рукой, или что у него к тому времени будет вместо руки. Это не обоснованная, научно доказанная мысль, это действительно всего лишь надежда, то, что меня вдохновляет. Не Вера с большой буквы, не религиозный экстаз, не учение и не духовная практика. Это то, чего я жду от человечества. В чем стремлюсь, в меру сил, помочь. Хоть и продолжаю из осторожности причислять себя к агностикам.

Наибольших чисел, которые как бы можно записать в десятичной нотации. Да, нам потребуется нанокарандаш и вся Вселенная, но, теоретически хотя бы можно представить, как бы мы его записывали. Но на этом счёт не заканчивается, и за гуголплексами, гугоплексами в степени гуголплекс и факториалами всего этого добра, живут такие чудища, которые невозможно ни представить, ни понять. При этом, эти чудища являются решениями вполне себе определённых задач и имеют практический смысл.

Вводная
На определённом этапе у нас закончатся возможности для записи чисел. Сначала мы будем использовать десятичную нотацию, потом сложение и мультипликацию, потом записывать числа в виде степеней, потом в виде степенных башен. Но для чисел, о которых пойдёт речь далее нам уже не хватит Вселенной (и мультивселенной тоже), чтобы записать степенную башню так, если бы размер каждой цифры был планковским!

Итак, друзья мои, начнём:
Вот сложение: a + b = a + 1 + 1 + ..., и так b раз;
Вот умножение: a × b = a + a + a + ..., и так b раз;
Вот степень: a b = a × a × a × ..., и так b раз;

Функция пока прирастает довольно вяло, а дальше мы можем использовать только степенные башни: b a = a a a a ... , а после этого средства записи чисел, о которых имеет представление большинство, заканчиваются. Поэтому для записи истинно неимоверных чисел используется другая нотация - стрелочная , за авторством Дональда Кнута.

Стрелочная нотация Кнута
a b = a b = a × a × a × ..., и так b раз - это понятно;

A b = a (a b), то есть a (a (... b раз... a)), - это степенная башня. Пока всё хорошо, но нужен пример, для того, чтобы понимать порядки:
3 2 = 3 3 = 27;
3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987;
3 4 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 (стандарный калькулятор уже выдаёт ошибку);
3 5 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987

Смотрите, функция растёт очень быстро, при изменении одного из аргументов «всего лишь на единичку», мы уже вышли за гуголплекс, но это только начало.

a b = a (a (... b раз... a)), то есть,
3 3 = 3 (3 3) = 3 7 625 597 484 987 = 3 3 ...7 625 597 484 987 раз... 3 . Для понимания масштаба трагедии: эта степенная башня из троек высотой до Марса. Подчёркиваю красным: не число длиной до Марса, а высота башни степеней до Марса. Понять и представить сколько это в штуках невозможно. Можно лишь расслабиться и получать удовольствие, но я с долей садизма напомню, что 3 5 уделывает гуголплекс, а 3 9 вообще не может быть рассчитано, на совокупной мощности всех земных компьютеров.

Высота степенной башни 3 3

3 4 - эта хрень относится уже к наглым издевательствам над здравым смыслом. Если раньше можно было ещё хоть как-нибудь пытаться представить, как выглядела бы степенная башня из троек до Марса и сделать вид, что такое число можно осознать, то тут - всё. Нескольких Вселенных уже будет недостаточно, чтобы организовать башню высотой из 7 625 597 484 987 башен до Марса. Но, всё же, пока мы ещё оперируем хоть какими-то категориями. Дальше они заканчиваются, потому что...

От g 1 до числа Грэма
a b. или a (a (... b раз... a)). Осознавать, представлять и описывать какое-нибудь 3 3 (а это и есть число g1) нет смысла. Сравнить это просто не с чём. Аналогии становятся неуместными, и можно только изобретать эпитеты.

А дальше, как несложно догадаться будет a b или a 5 b и так далее. При этом важно помнить, что каждая новая стрелочка добавит взрывной рост не самого числа, а описания высоты степенной башни, которая используется для записи этого числа. Поэтому откинемся на спинку кресла и продолжим.

Итак, число g 1 - это 3 3. А g 2 - это ни хрена не 3 3, а 3 g 1 3. Бабах! То есть вся вот эта вот дичь нужна была лишь для того, чтобы показать количество стрелок в числе g 2 . Но дальше-то будет g 3 = 3 g 2 3 и, чтобы немного отдохнуть от этих монстров, нужно бы сделать небольшое отступление и рассказать, зачем все эти «жэ» нужны. Нужно бы, но, так называемой проблемы Грэма, я не понимаю: вернее, я не понимаю, на кой чёрт это могло понадобиться, но попробую описать.

Есть куб, все вершины которого соединены отрезками красного или синего цвета. Цвета отрезков нужно подобрать так, чтобы не получилось, что 4 вершины, лежащие в одной плоскости, соединены отрезками одного цвета (см. картинку ниже, нижняя фигура - это то, чего в результате комбинирования цветов отрезков получиться не должно ).

Куб, иллюстрирующий «проблему Грэма»

Для обычного 3-мерного куба задача решается, если и не в уме, то на бумаге геометрическим построением. Для 4-мерного куба уже нужно применить комбинаторику. Для 5-мерного и 6-мерного тоже. И так далее до 13-мерного куба: это нижняя граница измерений куба для которой доказано, что подобную комбинацию цветов отрезков соединяющих вершины подобрать можно, хотя сам Грэм запоролся уже на 7-мерном. А как быть с верхней границей? Грэм в своё доказал, что задача разрешима между 6 и неким большим числом. То есть в этом диапазоне измерений куба обязательно найдётся такой, где покрасить отрезки так, чтобы условие задачи выполнилось, будет невозможно. То самое «некое большое число» и было названо числом Грэма. И значение его G = g 64 = 3 g 63 3.

Подробная запись числа Грэма

Занавес! Хотя, а вдруг можно больше? Нет, не в смысле, G + 1 или G G G, а так чтобы число можно было бы реально для чего-нибудь применить? И такие числа есть. Причём, они уделывают G так же, как в своё время какое-то ссаное g 1 уделало гуголплекс в самом начале вычислений.

Число Райо
Вообще, сразу стоит отметить, что даже число Грэма - это хрень, высосанная из двадцать первого пальца. Кому и зачем это в здравом уме может понадобиться я, честно говоря, не очень представляю. И даже не представляю, возможно ли теоретически, чтобы когда-то и кому-то это могло понадобиться в здравом уме. Но всё же, оно знаковое. Это первое самое большое число, появившееся при доказательстве чего-либо, а дальше просто пошла математическая гонка, кто напишет наиболее быстрорастущую функцию. Ты мне G!, а я тебе G G. А ещё кто-то родит какой-нибудь G 1 = G G G и уже дальше будет оперировать им. Грубо, конечно, но что-то подобное имело место, и если изначальное число Грэма имело какой-то практический смысл, то вся последующая байда стала именно гонкой роста функций, нивелировавшей величие числа, которое даже в начале вычислений уже невозможно представить или понять.

Собственно, вся проблема осталась только в способах записи. От степенных башен был переход к нотации Кнута, которая позволила хотя бы описать число Грэма. Потом случились цепочки Конвея, массивные и матричные нотации и вот это вот всё, что позволяет описать сколь угодно большое число, когда для предыдущего способа записи вставала проблема количества условных стрелочек. Не буду их тут описывать, во всяком случае сейчас. Всё-таки, напоминаю, что серия статей о больших числах носит информационно-развлекательный характер, и не хочется превращать её во всякое.

Какая-то многомерно-матричная жесть

В итоге, вся эта дичь дошла до числа Райо. Это уже чистая философия, полученная на каком-то математическом конкурсе на запись самого большого числа на ограниченном пространстве доски, без использования бесконечности и всяких фокусов типа «самое большое число плюс один». В итоге, получилось, что число Райо - это самое маленькое число, большее, чем любое конечное число, определённое на языке теории множеств, с использованием гугол символов или меньше. Если вы поняли хоть что-то о порядке этого числа, вернее, нижней границы чисел Райо, то вы либо профессиональный математик, и не очень понятно, зачем вы дочитали до этого места, либо, как и я, врёте о том, что хоть что-то поняли.

А вот теперь держитесь, хорошего вам настроения и всего доброго. В следующей серии мы выйдем за пределы бесконечности, а там будет всё ещё добрее и веселее, хотя и несколько проще для понимания, чем то же число Райо. Или нет.

Какое на свете самое больше число, которое что–то означает? В этой статье я попытаюсь рассказать о цифровом монстре, называемом число Грэма,

Пишет sly2m.livejournal.com

Источник:

Если долго всматриваться в бездну, можно неплохо провести время.
Инженер Механических Душ

Число Грэма на пальцах™

Как только ребенок (а это происходит где то года в три-четыре) понимает, что все числа делятся на три группы «один, два и много», он тут же пытается выяснить: насколько много бывает много, чем много отличается от очень много, и может ли оказаться так много, что больше не бывает. Наверняка вы играли с родителями в интересную (для того возраста) игру, кто назовет самое большее число, и если предок был не глупее пятиклассника, то он всегда выигрывал, на каждый «миллион» отвечая «два миллиона», а на «миллиард» - «два миллиарда» или «миллиард плюс один».

Уже к первому классу школы каждый знает - чисел бесконечное множество, они никогда не заканчиваются и самого большого числа не бывает. К любому миллиону триллионов миллиардов всегда можно сказать «плюс один» и остаться в выигрыше. А чуточку позже приходит (должно прийти!) понимание, что длинные строки цифр сами по себе ничего не значат. Все эти триллионы миллиардов только тогда имеют смысл, когда служат представлением какого - то количества предметов или же описывают некое явление. Выдумать длиннющее число, которое ничего из себя не представляет, кроме набора долго звучащих цифр, нет никакого труда, их итак бесконечное количество. Наука, в какой - то образной мере, занимается тем, что выискивает в этой необозримой бездне совершенно конкретные комбинации цифр, присовокупляя к некому физическому явлению, например скорости света, числу Авогадро или постоянной Планка.

И сразу же возникает вопрос, а какое на свете самое больше число, которое что–то означает? В этой статье я попытаюсь рассказать о цифровом монстре, называемом число Грэма, хотя строго говоря, науке известны числа и побольше. Число Грэма самое распиаренное, можно сказать «на слуху» у широкой публики, потому что оно довольно просто в объяснении и все же достаточно велико, чтобы вскружить голову. Вообще, тут необходимо объявить небольшой disclaimer (рус. предостережение). Пусть прозвучит как шутка, но я нифига не шучу. Говорю вполне серьезно - дотошное ковыряние в подобных математических глубинах в совокупности с безудержным расширением границ восприятия может оказать (и окажет) серьезное влияние на мироощущение, на позиционирование личности в обществе, и, в конечном итоге, на общее психологическое состояние ковыряющего, или, будем называть вещи своими именами - открывает дорогу к шизе. Не нужно чересчур внимательно вчитываться в нижеследующий текст, не стоит слишком ярко и живо представлять описываемые в нем вещи. И не говорите потом, что вас не предупреждали!

Прежде чем переходить к числам–монстрам, потренируемся для начала на кошках. Напомню, что для описания больших чисел (не монстров, а просто больших чисел) удобно пользоваться научным или т.н. экспоненциальным способом записи.

Когда говорят, скажем, о количестве звезд во Вселенной (в Обозримой Вселенной), никакой идиот не лезет вычислять сколько их там в буквальном смысле с точностью до последней звезды. Считается, что примерно 10²¹ штук. И это оценка снизу. Значит общее количество звезд можно выразить числом, у которого после единицы стоит 21 ноль, т.е. «1 000 000 000 000 000 000 000».

Так выглядит небольшая часть из них (около 100 000) в шаровом скоплении Омега Центавра.

Естественно, когда речь идет о подобных масштабах, действительные цифры в числе существенного значения не играют, все ведь весьма условно и примерно. Может быть на самом деле число звезд во Вселенной «1 564 861 615 140 168 357 973», а может «9 384 684 643 798 468 483 745». А то и «3 333 333 333 333 333 333 333», почему нет, хотя маловероятно, конечно. В космологии, науке о свойствах Вселенной в целом, такими мелочами не морочатся. Главное представлять, что примерно это число состоит из 22 цифр, от чего удобней считать его единицей с 21 нулем, и записывать как 10²¹. Правило общее и весьма простое. Какая цифра или число стоят на месте степени (напечатаны мелким шрифтом сверху над 10), столько нолей после единицы будет в этом числе, если расписать его по–простецки, знаками подряд, а не по–научному. У некоторых чисел существуют «человеческие названия», например 10³ мы называем «тысяча», 10⁶ - «миллион», а 10⁹ - «миллиард», а у некоторых нет. Скажем у 10⁵⁹ нет общепринятого названия. А у 10²¹, кстати, есть - это «секстиллион».

Все, что идет до миллиона, практически любому человеку понятно интуитивно, ведь кто не хочет стать миллионером? Дальше у некоторых начинаются проблемы. Хотя миллиард (10⁹) тоже знают почти все. До миллиарда даже можно досчитать. Если только родившись, буквально в момент появления на свет начать считать раз в секунду «один, два, три, четыре...» и не спать, не пить, не есть, а только считать–считать–считать без устали днем и ночью, то когда стукнет 32 года можно досчитать до миллиарда, потому что 32 оборота Земли вокруг Солнца занимают примерно миллиард секунд.

7 миллиардов - количество людей на планете. Исходя из вышеизложенного, посчитать их всех по порядку в течение человеческой жизни совершенно невозможно, придется прожить больше двухсот лет.

100 миллиардов (10¹¹) - столько или около того людей жило на планете за всю ее историю. 100 миллиардов гамбургеров продал Макдональдс к 1998 году за 50 лет своего существования. 100 миллиардов звезд (ну, чуть больше) находится в нашей галактике Млечный Путь, и Солнце - одна из них. Такое же количество галактик содержится в обозримой Вселенной. 100 миллиардов нейронов находится в головном мозге человека. И столько же анаэробных бактерий проживают у каждого читающего эти строки в слепой кишке.

Триллион (10¹²) - число, которым редко пользуются. До триллиона досчитать невозможно, на это уйдет 32 тысячи лет. Триллион секунд назад люди жили в пещерах и охотились с копьями на мамонтов. Да, триллион секунд назад на Земле жили мамонты. В океанах планеты примерно триллион рыб. В соседней с нами галактике Андромеды около триллиона звезд. Человек состоит из 10 триллионов клеток. ВВП России в 2013м году составил 66 триллионов рублей (в рублях 2013го года). От Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров и столько же букв в целом было отпечатано во всех когда–либо опубликованных книгах.

Квадриллион (10¹⁵, миллион миллиардов) - столько всего муравьев на планете. Это слово нормальные люди вслух не произносят, ну, признайтесь, когда вы последний раз в разговоре слышали «квадриллион чего–то»?

Квинтиллион (10¹⁸, миллиард миллиардов) - столько существует возможных конфигураций при сборке кубика Рубика 3х3х3. Так же количество кубометров воды в мировом океане.

Секстиллион (10²¹) - это число нам уже встречалось. Количество звезд в Обозримой Вселенной. Количество песчинок всех пустынь Земли. Количество транзисторов во всех существующих электронных устройствах человечества, если Intel нам не врал.

10 секстиллионов (10²²) - количество молекул в грамме воды.

10²⁴ - масса Земли в килограммах.

10²⁶ - диаметр Обозримой Вселенной в метрах, но в метрах считать не очень удобно, общепринятые границы Обозримой Вселенной 93 миллиарда световых лет.

Для визуализации космических масштабов полезно изучить эту картинку, раскрыв ее на весь экран.

Однако даже в Обозримую Вселенную можно напихать гораздо больше чего–то другого, чем метры.

10⁵¹ атомов составляют планету Земля.

10⁸⁰ примерное количество элементарных частиц в Обозримой Вселенной.

10⁹⁰ примерное количество фотонов в Обозримой Вселенной. Их почти в 10 миллиардов раз больше, чем элементарных частиц, электронов и протонов.

10¹⁰⁰ - гугол. Это число ничего физически не значит, просто круглое и красивое. Компания, которая поставила себе целью индексировать гугол ссылок (шутка, конечно, это же больше, чем число элементарных частиц во Вселенной!) в 1998 году взяла себе название Google.

10¹²² протонов понадобится, чтобы набить Обозримую Вселенную под завязку, плотненько так, протончик к протончику, впритык.

10¹⁸⁵ планковских объемов занимает Обозримая Вселенная. Меньших величин, чем планковский объем (кубик размеров планковской длины 10⁻³⁵ метра) наша наука не знает. Наверняка, как и со Вселенной, там есть что–то еще более мелкое, но вменяемых формул для подобных мелочей ученые еще не придумали, одни сплошные спекуляции.

Получается, что 10¹⁸⁵ или около того - наибольшее число, которое в принципе может что–то значить в современной науке. В науке, которая может пощупать и измерить. Это то, что существует или могло бы существовать, если так случилось, что мы узнали о Вселенной все, что можно было узнать. Число состоит из 186 цифр, вот оно:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Или слышали о теории струн, согласно которой может существовать около 10⁵⁰⁰ конфигураций колебаний струн, а значит такое же количество потенциальных вселенных, каждая со своими законами.

Упомяну лишь известный многим гуголплекс. Число у которого гугол цифр, десять в степени гугол или десять в степени десять в степени сто

Не буду записывать его цифрами. Гуголплекс не значит абсолютно ничего. Человек не может представить себе гуголплекс чего бы то ни было, это физически невозможно. Чтобы записать такое число понадобится вся Обозримая Вселенная, если писать «нано–ручкой» прямо по вакууму фактически в планковские ячейки космоса. Переведем всю материю на чернила и заполним Вселенную одними сплошными цифрами, тогда получим гуголплекс. Но математики (страшные люди!) гуголпрексом только разминаются, это нижайшая планка, с которой для них стартуют настоящие ништяки. И если вы думаете, что гуголплекс в степени гуголплекс это то, о чем пойдет речь, вы даже не представляете, НАСКОЛЬКО ошибаетесь.

За гуголплексом идут много интересных чисел, имеющих ту или иную роль в математических доказательствах, долго ли коротко, перейдем сразу к числу Грэма, названному так в честь (ну, естественно) математика Рональда Грэма. Сначала расскажу, что это такое и для чего нужно, после чего образно и на пальцах™ опишу, каково оно по величине, а затем уже напишу само число. Точнее попытаюсь объяснить, что же я написал.

Число Грэма появилось в работе, посвященной решению одной из задач в теории Рамсея, причем «рамсея» тут не деепричастие несовершенного вида, а фамилия другого математика, Франка Рамсея. Задача конечно же довольно надуманная с обывательской точки зрения, хоть и не сильно замороченная, даже легко понятная.

Представьте себе куб, все вершины которого соединены линиями–отрезками двух цветов, красного или синего. Соединены и раскрашены в случайном порядке. Кое–кто уже догадался, что речь пойдет о разделе математики под названием комбинаторика.

Сможем ли мы исхитриться и так подобрать конфигурацию цветов (а их всего два - красный и синий), чтобы при раскраске этих отрезков у нас НЕ ВЫШЛО, что все отрезки одного цвета, соединяющие четыре вершины, лежат в одной плоскости? В данном случае, НЕ представляют из себя такую фигуру:

А что, если у нас больше измерений? Что, если мы возьмем не куб, а четырехмерный куб, т.е. тессеракт? Сможем ли мы провернуть тот же фокус, что и с трехмерным?

В пятимерном? И в пятимерном, там где куб называется пентерактом или пентакубом, тоже можно.
И в шестимерном.

А дальше уже сложности. Грэм не смог математически доказать, что у семимерного гиперкуба удастся провернуть такую операцию. И у восьмимерного и у девятимерного и так далее. Но данное «и так далее», оказалось, не уходит в бесконечность, а заканчивается неким очень большим числом, которое и назвали «числом Грэма».

То есть существует какая–то минимальная размерность гиперкуба, при котором условие нарушается, и уже невозможно избежать комбинации раскраски отрезков, что четыре точки одного цвета будут лежать в одной плоскости. И эта минимальная размерность точно больше шести и точно меньше числа Грэма, в этом и заключается математическое доказательство ученого.

А теперь определение того, что я выше расписал на несколько абзацев, сухим и скучным (зато емким) языком математики. Понимать не надо, но не привести его я не могу.

Рассмотрим n–мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2n вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в синий цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?

С 70х годов прошло немало лет, были найдены математические задачи в которых проявляются числа и побольше грэмова, но это первое число–монстр так поразило современников, понимавших о каких масштабах идет речь, что в 1980м году его включили в книгу рекордов Гиннесса, как «самое большое число, когда–либо участвовавшее в строгом математическом доказательстве» на тот момент.

Давайте попытаемся разобраться, насколько оно велико. Самое большое число, могущее иметь какой–то физический смысл 10¹⁸⁵, а если всю Обозримую Вселенную заполнить кажущимся бесконечным набором мизерных циферок, получим что–то соизмеримое с гуголплексом.

Представляете себе эту громаду? Вперед, назад, вверх, вниз, насколько хватает глаз и насколько хватает телескопа Хаббл, и даже насколько не хватает, до самых далеких галактик и заглядывая за них - цифры, цифры, цифры размером много меньше протона. Существовать такая Вселенная, конечно, долго не сможет, тут же в черную дыру схлопнется. Припоминаете, сколько информации можно теоретически уместить во Вселенную?

Число действительно огромно, рвет мозг. Оно не совсем точно равно гуголплексу, и у него нет названия, потому буду называть его «дохулион». Только что придумал, почему бы и нет. Количество планковских ячеек в Обозримой Вселенной, и в каждой ячейке записана цифра. Число содержит 10¹⁸⁵ цифр, его можно изобразить как

Раскроем двери восприятия чуть пошире. Помните инфляционную теорию? Что наша Вселенная лишь одна из многих пузырьков Мультивселенной. А если представить дохулион таких пузырьков? Возьмем число, длиною со все сущее и представим себе Мультивселенную с подобным количеством вселенных, каждая из которых под завязку исписана цифрами - получим дохулион дохулионов. Представляете себе такое? Как плывешь в небытии скалярного поля, а кругом вселенные–вселенные и в них цифры–цифры–цифры... Надеюсь, подобный кошмар (хотя, почему кошмар?) не будет мучить (и почему мучить?) излишне впечатлительного читателя по ночам.

Для удобства назовем подобную операцию «флип». Такое несерьезное междометие, как будто взяли Вселенную и вывернули наизнанку, то она была внутри в цифрах, а теперь наоборот у нас снаружи столько вселенных, сколько было цифр, и каждая полным–полна коробочка, сама вся в цифрах. Как гранат чистишь, корочку так отгибаешь, изнутри выворачиваются зернышки, а в зернышках снова гранаты. Тоже на ходу придумалось, почему бы и нет, с дохулионом ведь прокатило.

К чему я клоню? Стоит ли тормозить? Давайте, хоба, и еще один флип! И вот у нас столько вселенных, сколько было цифр во вселенных, количество которых было равно дохулиону цифр, заполнявших нашу Вселенную. И сразу, не останавливаясь, еще раз флип. И четвертый, и пятый. Десятый, тысячный. Успеваете за мыслью, все еще представляете себе картину?

Не будем мелочиться, распускаем крылья воображения, разгоняемся по полной и флипаем флип флипов. Столько раз выворачиваем каждую вселенную наизнанку, сколько дохулионов вселенных было в предыдущем флипе, который флипал из позапрошлого, который... эээ... ну, вы следите? Где–то так. Пусть теперь наше число станет, предположим, «дохулиард».

Дохулиард = флип флипов

Не останавливаемся и продолжаем флипать дохулионы дохулиардов до тех пор пока есть силы. Пока в глазах не темнеет, пока не захочется кричать. Тут каждый сам себе отважный Буратина, стоп–слово будет «брынза».

Так вот. Это все о чем? Огромные и бесконечные дохулионы флипов и дохулиарды вселенных полных цифр не идут ни в какое сравнение с числом Грэма. Даже не скребут по поверхности. Если число Грэма представить в виде палки, растянутой по традиции во всю Обозримую Вселенную, то, что мы тут с вами нафлипали окажется засечкой толщины... ну... как бы это так, помягче выразить... недостойной упоминания. Вот, смягчал, как мог.

Число g₁ равно «три, четыре стрелочки, три». Что это значит? Так выглядит способ записи, называемый стрелочная нотация Кнута.

Одна стрелочка означает обыкновенное возведение в степень.

44 = 4⁴ = 256

1010 = 10¹⁰ = 10 000 000 000

Две стрелочки означают, что понятно, возведение в степень степени.

Короче говоря, «число стрелочка стрелочка другое число» показывает, какая высота степеней (математики говорят «башня») выстраивается из первого числа. Например 58 означает башню из восьми пятерок и настолько велико, что не может быть рассчитано ни на каком суперкомпьютере, даже на всех компьютерах планеты одновременно.

Переходим к трем стрелочкам. Если двойная стрелочка показывала высоту башни степеней, то тройная, казалось бы, укажет «высоту башни высоты башни»? Какой–там! В случае тройки мы имеем высоту башни высоты башни высоты башни (в математике такого понятия нет, я решил назвать его «безбашней»). Как–то так:

То есть 33 образует безбашню из троек, высотой в 7 триллионов штук. Что такое 7 триллионов троек, поставленные друг на друга и именуемые «безбашней»? Если вы внимательно читали этот текст и не уснули в самом начале, вероятно помните, что от Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров. Тройка, показанная на экране двенадцатым шрифтом, вот эта - 3 - высотой миллиметров пять. Значит безбашня из троек протянется от вашего экрана... ну, не до Сатурна, конечно. Даже до Солнца не дотянется, всего четверть астрономической единицы, примерно как от Земли до Марса в хорошую погоду. Обращаю внимание (не спать!), что безбашня это не число длиной от Земли до Марса, это башня степеней такой высоты. Мы помним, что пять троек в этой башне покрывают гуголплекс, вычисление первого дециметра троек сжигает все предохранители компьютеров планеты, а остальные миллионы километров степеней уже как бы и ни к чему, они просто в открытую насмехаются над читателем, считать их бесполезно.

Теперь понятно, что 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3безбашня, (не 3 в степени безбашни, а «три стрелочка стрелочка безбашня»(!)), она же безбашня безбашни не влезет ни по длине ни по высоте в Обозримую Вселенную, и даже не поместится в предполагаемую Мультивселенную.

На 35 = 33333 заканчиваются слова, а на 36 = 333333 кончаются междометия, но можете потренироваться, коль есть интерес.

Рассчитывать его бесполезно, да и не получится. Количество степеней здесь не поддается осмысленному учету. Это число невозможно представить, его невозможно описать. Никакие аналогии на пальцах™ неприменимы, число просто не с чем сравнивать. Можно говорить, что оно огромно, что грандиозно, что монументально и заглядывает за горизонт событий. То есть придать ему какие–то словесные эпитеты. Но визуализация, даже вольная и образная - невозможна. Если с тремя стрелочками еще хоть что–то удавалось сказать, нарисовать безбашню от Земли до Марса, как–то с чем–то сопоставить, то тут аналогий быть просто не может. Попробуйте вообразить себе тонкую башню из троек от Земли до Марса, рядом еще одну почти такую же и еще одну, и еще... Бескрайнее поле башень уходит вдаль, в бесконечность, башни повсюду, башни везде. И, что самое обидное, эти башни даже отношения к числу не имеют, они лишь определяют высоту других башен, которые нужно построить, чтобы получить высоту башень, чтобы получить высоту башень... чтобы через невообразимое количество времени и итераций получить само число.

Вот, что такое g₁, вот что такое 33.

Передохнули? Теперь от g₁ с новыми силами возвращаемся к штурму числа Грэма. Заметили, как нарастает эскалация от стрелочки к стрелочке?

33 = 7 625 597 484 987

33 = башня, высотой от Земли до Марса.

33 = число, которое невозможно ни представить ни описать.

А вообразите какой цифровой кошмар творится, когда стрелок окажется пять? Когда их шесть? Можете представить число, когда стрелок будет сто? Если можете, позвольте предложить вашему вниманию число g₂, в котором количество этих стрелок оказывается равно g₁. Помните, что такое g₁, да?

Не буду скрывать, есть еще g₃, в котором содержится g₂ стрелок. Кстати, все еще понятно, что g₃, это не g₂ «в степени» g₂, а количество безбашен, определяющих высоту безбашен, определяющих высоту... и так по всей цепочке вниз до тепловой смерти Вселенной? Здесь можно начинать плакать.

Почему плакать? Потому что совершенно верно. Есть еще число g₄, в котором содержится g₃ стрелочек между тройками. Есть так же g₅, есть g₆ и g₇ и g₁₇ и g₄₃...

Короче их 64 штуки этих g. Каждое предыдущее численно равно количеству стрелок в следующем. Последнее g₆₄ и есть число Грэма, с которого все так вроде бы невинно начиналось. Это число размерностей гиперкуба, которого точно будет достаточно, чтобы правильно раскрасить отрезки красным и синим цветами. Может и меньше, это, так сказать, верхняя граница. Его записывают следующим образом:

а расписывают так.