Относительная ошибка

Ошибки средняя квадратичная т, истинная А называются абсолютными ошибками.

В некоторых случаях абсолютная ошибка недостаточно показательна, в частности, при линейных измерениях. Например, линия измерена с ошибкой ±5 см. Для длины линии в 1 метр эта точность, очевидно, низкая, а для длины линии в 1 километр точность безусловно более высокая. Поэтому нагляднее точность измерения будет характеризоваться отношением абсолютной ошибки к полученному значению измеренной величины. Такое отношение называется относительной ошибкой. Относительная ошибка выражается дробью, причем дробь преобразуется так, чтобы числитель ее был равен единице.

Относительную ошибку определяют по соответствующей абсолютной

ошибке. Пусть X - полученное значение некоторой величины, тогда - средняя квадратичная относительная ошибка этой величины; - истинная относительная ошибка.

Знаменатель относительной ошибки целесообразно округлять до двух значащих цифр с нулями.

Пример. В приведенном случае средняя квадратичная относительная ошибка измерения линии будет равна

Предельная ошибка

Предельной ошибкой называется наибольшее значение случайной ошибки, которое может появиться при данных условиях равноточных измерений.

Теорией вероятности доказано, что случайные ошибки только в трех случаях из 1000 могут превзойти величину Зт; 5 ошибок из 100 могут превзойти 2т и 32 ошибки из 100 могут превзойти т.

Исходя из этого, в геодезической практике результаты измерений, содержащие ошибки 0>3т , относят к измерениям, содержащим грубые ошибки, и в обработку не принимают.

Значения ошибок 0 = 2т используют как предельные при составлении технических требований для данного вида работ, т. е. все случайные ошибки измерений, превышающие по своей величине эти значения, считают недопустимыми. При получении расхождений, превышающих величину 2т, принимают меры по улучшению условий измерений, а сами измерения повторяют.

Контрольные вопросы и упражнения:

• 1. Перечислить виды измерений и дать их определение.
• 2. Перечислить виды ошибок измерений и дать их определение.
• 3. Перечислить критерии, применяемые для оценки точности измерений.
• 4. Найти среднюю квадратичную ошибку ряда измерений, если вероятнейшие ошибки равны: - 2,3; + 1,6; - 0,2; + 1,9; - 1,1.
• 5. Найти относительную ошибку измерения длины линии по результатам: 487,23 м и 486,91 м.

Истинное значение физической величины определить абсолютно точно практически невозможно, т.к. любая операция измерения связана с рядом ошибок или, иначе, погрешностей. Причины погрешностей могут быть самыми различными. Их возникновение может быть связано с неточностями изготовления и регулировки измерительного прибора, обусловлено физическими особенностями исследуемого объекта (например, при измерении диаметра проволоки неоднородной толщины результат случайным образом зависит от выбора участка измерений), причинами случайного характера и т.д.

Задача экспериментатора заключается в том, чтобы уменьшить их влияние на результат, а также указать, насколько полученный результат близок к истинному.

Существуют понятия абсолютной и относительной погрешности.

Под абсолютной погрешностью измерений будет понимать разницу между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины:

∆x i =x i -x и (2)

где ∆x i – абсолютная погрешность i-го измерения, x i _- результат i-го измерения, x и – истинное значение измеряемой величины.

Результат любого физического измерения принято записывать в виде:

где – среднее арифметическое значение измеряемой величины, наиболее близкое к истинному значению (справедливость x и≈ будет показана ниже), - абсолютная ошибка измерений.

Равенство (3) следует понимать таким образом, что истинное значение измеряемой величины лежит в интервале [ - , + ].

Абсолютная погрешность – величина размерная, она имеет ту же размерность, что и измеряемая величина.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность произведенных измерений. В самом деле, если мы измерим с одной и той же абсолютной ошибкой ± 1 мм отрезки длиной 1 м и 5 мм, точность измерений будут несравнимы. Поэтому, наряду с абсолютной погрешностью измерения вычисляется относительная погрешность.

Относительной погрешностью измерений называется отношение абсолютной погрешности к самой измеряемой величине:

Относительная погрешность – величина безразмерная. Она выражается в процентах:

В приведенном выше примере относительные ошибки равны 0,1% и 20%. Они заметно различаются между собой, хотя абсолютные значения одинаковы. Относительная ошибка дает информацию о точности

Погрешности измерений

По характеру проявления и причинам появления погрешности можно условно разделить на следующие классы: приборные, систематические, случайные, и промахи (грубые ошибки).

П р о м а х и обусловлены либо неисправностью прибора, либо нарушением методики или условий эксперимента, либо имеют субъективный характер. Практически они определяются как результаты резко отличающиеся от других. Для устранения их появления требуется соблюдать аккуратность и тщательность в работе с приборами. Результаты, содержащие промахи, необходимо исключать из рассмотрения (отбрасывать).

Приборные погрешности. Если измерительный прибор исправен и отрегулирован, то на нем можно провести измерения с ограниченной точностью, определяемой типом прибора. Принято приборную погрешность стрелочного прибора считать равной половине наименьшего деления его шкалы. В приборах с цифровым отсчетом приборную ошибку приравнивают к величине одного наименьшего разряда шкалы прибора.

Систематические погрешности - это ошибки, величина и знак которых постоянны для всей серии измерений, проведенных одним и тем же методом и с помощью одних и тех же измерительных приборов.

При проведении измерений важен не только учет систематических ошибок, но необходимо также добиваться их исключения.

Систематические погрешности условно разделяются на четыре группы:

1) погрешности, природа которых известна и их величина может быть достаточно точно определена. Такой ошибкой является, например, изменение измеряемой массы в воздухе, которая зависит от температуры, влажности, давления воздуха и т.д.;

2) погрешности, природа которых известна, но неизвестна сама величина погрешности. К таким погрешностям относятся ошибки, обусловленные измерительным прибором: неисправность самого прибора, несоответствие шкалы нулевому значению, классу точности данного прибора;

3) погрешности, о существовании которых можно не подозревать, но величина их зачастую может быть значительной. Такие ошибки возникают чаще всего при сложных измерениях. Простым примером такой ошибки является измерение плотности некоторого образца, содержащего внутри полости;

4) погрешности, обусловленные особенностями самого объекта измерения. Например, при измерении электропроводности металла из последнего берут отрезок проволоки. Погрешности могут возникнуть, если имеется какой-либо дефект в материале - трещина, утолщение проволоки или неоднородность, меняющие его сопротивление.

Случайные погрешности - это ошибки, которые изменяются случайным образом по знаку и величине при идентичных условиях повторных измерений одной и той же величины.

Похожая информация.

Инструкция

В первую очередь, проведите несколько измерений прибором одной и той же величины, чтобы иметь возможность действительное значение. Чем больше будет проведено измерений, тем точнее будет результат. Например, взвесьте на электронных весах. Допустим, вы получили результаты 0,106, 0,111, 0,098 кг.

Теперь посчитайте действительное значение величины (действительное, поскольку истинное найти невозможно). Для этого сложите полученные результаты и разделите их на количество измерений, то есть найдите среднее арифметическое. В примере действительное значение будет равно (0,106+0,111+0,098)/3=0,105.

Источники:

• как найти погрешность измерений

Неотъемлемой частью любого измерения является некоторая погрешность . Она представляет собой качественную характеристику точности проведенного исследования. По форме представления она может быть абсолютной и относительной.

Вам понадобится

• - калькулятор.

Инструкция

Вторые возникают от влияния причин, и случайный характер. К ним можно отнести неправильное округление при подсчете показаний и влияние . Если такие ошибки значительно меньше, чем деления шкалы этого прибора измерения, то в качестве абсолютной погрешности целесообразно взять половину деления.

Промах или грубая погрешность представляет собой результат наблюдения, который резко отличается от всех остальных.

Абсолютная погрешность приближенного числового значения – это разность между результатом, в ходе измерения и истинным значением измеряемой величины. Истинное или действительное значение отражает исследуемую физическую величину. Эта погрешность является самой простой количественной мерой ошибки. Её можно рассчитать по следующей формуле: ∆Х = Хисл - Хист. Она может принимать положительное и отрицательное значение. Для большего понимания рассмотрим . В школе 1205 учащихся, при округлении до 1200 абсолютная погрешность равняется: ∆ = 1200 - 1205 = 5.

Существуют определенные расчета погрешности величин. Во-первых, абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме их абсолютных погрешностей: ∆(Х+Y) = ∆Х+∆Y. Аналогичный подход применим для разности двух погрешностей. Можно воспользоваться формулой: ∆(Х-Y) = ∆Х+∆Y.

Источники:

• как определить абсолютную погрешность

Измерения физических величин всегда сопровождаются той или иной погрешностью . Она представляет собой отклонение результатов измерения от истинного значения измеряемой величины.

Вам понадобится

• -измерительный прибор:
• -калькулятор.

Инструкция

Погрешности могут возникнуть в результате влияния различных факторов. Среди них можно выделить несовершенство средств или методов измерения, неточности при их изготовлении, несоблюдение специальных условий при проведении исследования.

Существует несколько классификаций . По форме представления они могут быть абсолютными, относительными и приведенными. Первые представляют собой разность между исчисленным и действительным значением величины. Выражаются в единицах измеряемого явления и находятся по формуле:∆х = хисл- хист. Вторые определяются отношением абсолютных погрешностей к величине истинного значения показателя.Формула расчета имеет вид:δ = ∆х/хист. Измеряется в процентах или долях.

Приведенная погрешность измерительного прибора находится как отношение ∆х к нормирующему значению хн. В зависимости типа прибора оно принимается либо равным пределу измерений, либо отнесено к их определенному диапазону.

По условиям возникновения различают основные и дополнительные. Если измерения проводились в нормальных условиях, то возникает первый вид. Отклонения, обусловленные выходом значений за пределы нормальных, является дополнительной. Для ее оценки в документации обычно устанавливают нормы, в пределах которых может изменяться величина при нарушении условий проведения измерений.

Также погрешности физических измерений подразделяются на систематические, случайные и грубые. Первые вызываются факторами, которые действуют при многократном повторении измерений. Вторые возникают от влияния причин, и характер. Промах представляет собой результат наблюдения, который резко отличается от всех остальных.

В зависимости от характера измеряемой величины могут использоваться различные способы измерения погрешности. Первый из них это метод Корнфельда. Он основан на исчислении доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата. Погрешность в этом случае будет представлять собой половину разности этих результатов: ∆х = (хmax-xmin)/2. Еще один из способов – это расчет средней квадратической погрешности.

Измерения могут проводиться с разной степенью точности. При этом абсолютно точными не бывают даже прецизионные приборы. Абсолютная и относительная погрешности могут быть малы, но в реальности они есть практически всегда. Разница между приближенным и точным значениями некой величины называется абсолютной погрешностью . При этом отклонение может быть как в большую, так и в меньшую сторону.

Вам понадобится

• - данные измерений;
• - калькулятор.

Инструкция

Перед тем как рассчитывать абсолютную погрешность, примите за исходные данные несколько постулатов. Исключите грубые погрешности. Примите, что необходимые поправки уже вычислены и внесены в результат. Такой поправкой может быть, перенос исходной точки измерений.

Примите в качестве исходного положения то, что и учтены случайные погрешности. При этом подразумевается, что они меньше систематических, то есть абсолютной и относительной, характерных именно для этого прибора.

Случайные погрешности влияют на результат даже высокоточных измерений. Поэтому любой результат будет более или менее приближенным к абсолютному, но всегда будут расхождения. Определите этот интервал. Его можно выразить формулой (Xизм- ΔХ)≤Хизм ≤ (Хизм+ΔХ).

Определите величину, максимально приближенную к значению. В измерениях берется арифметическое, которое можно по формуле, на рисунке. Примите результат за истинную величину. Во многих случаях в качестве точного принимается показание эталонного прибора.

Зная истинную величину , вы можете найти абсолютную погрешность, необходимо учитывать при всех последующих измерениях. Найдите величину Х1 – данные конкретного измерения. Определите разность ΔХ, отняв от большего меньшее. При определении погрешности учитывается только модуль этой разности.

Обратите внимание

Как правило, на практике абсолютно точное измерение провести не удается. Поэтому за эталонную величину принимается предельная погрешность. Она представляет собой максимальное значение модуля абсолютной погрешности.

Полезный совет

В практических измерениях за величину абсолютной погрешности обычно принимается половина наименьшей цены деления. При действиях с числами за абсолютную погрешность принимается половина значения цифры, которая находится в следующим за точными цифрами разряде.

Для определения класса точности прибора более важным бывает отношение абсолютной погрешности к результату измерений или к длине шкалы.

Погрешности измерений связаны с несовершенством приборов, инструментов, методики. Точность зависит также от внимательности и состояния экспериментатора. Погрешности разделяются на абсолютные, относительные и приведенные.

Инструкция

Пусть однократное измерение величины дало результат x. Истинное значение обозначено за x0. Тогда абсолютная погрешность Δx=|x-x0|. Она оценивает абсолютную . Абсолютная погрешность складывается из трех составляющих: случайных погрешностей, систематических погрешностей и промахов. Обычно при измерении прибором берут в качестве погрешности половину цены деления. Для миллиметровой линейки это будет 0,5 мм.

Истинное значение измеряемой величины в промежутке (x-Δx ; x+Δx). Короче это записывается как x0=x±Δx. Важно измерять x и Δx в одних и тех же единицах измерения и записывать в одном и том же формате , например, целая часть и три запятой. Итак, абсолютная погрешность дает границы интервала, в котором с некоторой вероятностью находится истинное значение.

Измерения прямые и косвенные. В прямых измерениях сразу замеряется искомая величина соответствующим прибором. Например, тела линейкой, напряжение – вольтметром. При косвенных измерениях величина находится по формуле зависимости между ней и замеряемыми величинами.

Если результат представляет собой зависимость от трех непосредственно измеряемых величин, имеющих погрешности Δx1, Δx2, Δx3, то погрешность косвенного измерения ΔF=√[(Δx1 ∂F/∂x1)²+(Δx2 ∂F/∂x2)²+(Δx3 ∂F/∂x3)²]. Здесь ∂F/∂x(i) – частные производные от функции по каждой из непосредственно измеряемых величин.

Полезный совет

Промахи – это грубые неточности измерений, возникающие при неисправности приборов, невнимательности экспериментатора, нарушении методики эксперимента. Чтобы уменьшить вероятность таких промахов, при проведении измерений будьте внимательны и подробно расписывайте полученный результат.

Источники:

• Методические указания к лабораторным работам по физике
• как найти относительную ошибку

Результат любого измерения неизбежно сопровождается отклонением от истинного значения. Вычислить погрешность измерения можно несколькими способами в зависимости от ее типа, например, статистическими методами определения доверительного интервала, среднеквадратического отклонения и пр.

Как было сказано выше, результат измерения любой величины отличается от истинного значения. Это отличие, равное разности между показанием прибора и истинным значением, называется абсолютной погрешностью измерения, которая выражается в тех же единицах, что и сама измеряемая величина:

где х - абсолютная погрешность.

При проведении комплексного контроля, когда измеряются показатели разной размерности, целесообразнее пользоваться не абсолютной, а относительной погрешностью. Она определяется по следующей формуле:

Целесообразность применения х отн связана со следующими обстоятельствами. Предположим, что мы измеряем время с точностью до 0,1 с (абсолютная погрешность). При этом если речь идет о беге на 10 000 м, то точность вполне приемлема. Но измерять с такой точностью время реакции нельзя, так как величина ошибки почти равна измеряемой величине (время простой реакции равняется 0,12-0,20 с). В связи с этим нужно сопоставить величину ошибки и саму измеряемую величину и определить относительную погрешность.

Рассмотрим пример определения абсолютной и относительной погрешностей измерения. Предположим, что измерение частоты сердечных сокращений после бега с помощью высокоточного прибора дает нам величину, близкую к истинной и равную 150 уд/мин. Одновременное пальпаторное измерение дает величину, равную 162 уд/мин. Подставив эти значения в приведенные выше формулы, получим:

x =150-162=12 уд/мин - абсолютная погрешность;

х= (12: 150)Х100%=8% -относительная погрешность.

Задание №3 Индексы оценки физического развития

Индекс	Оценка
Индекс Брока-Бругша	Были разработаны и добавлены такие варианты: при росте до 165 см «идеальный вес» = рост (см) – 100; при росте от 166 до 175 см «идеальный вес» = рост (см) – 105; при росте выше 176 см «идеальный вес» = рост (см) – 110.
Жизненный индекс	Ж/М (по росту) Средняя величина показателя для мужчин - 65-70 мл/кг, для женщин - 55-60 мл/кг, для спортсменов - 75-80 мл/кг, для спортсменок - 65-70 мл/кг. Разностный индекс определяется путем вычитания из величины роста сидя длины ног. Средний показатель для мужчин - 9-10 см, для женщин - 11-12 см. Чем меньше индекс, тем, следовательно, больше длина ног, и наоборот.
Весо – ростовой индекс Kетле	BMI = m / h2 , где m - масса тела человека (в кг), h - рост человека (в м). Выделяют следующие значения BMI: меньше 15 - острый дефицит веса; от 15 до 20 - дефицит веса; от 20 до 25 - нормальный вес; от 25 до 30 - избыточный вес; свыше 30 - ожирение.
Индекс скелии по Мануврие характеризует длину ног.	ИС = (длина ног / рост сидя) х 100 Величина до 84,9 свидетельствует о коротких ногах; 85-89 - о средних; 90 и выше - о длинных.
Масса тела (вес) для взрослых рассчитывается по формуле Бернгарда.	Вес = (рост х объем груди) / 240 Формула дает возможность учитывать особенности телосложения. Если расчет производится по формуле Брока, то после расчетов из результата следует вычесть около 8%: рост - 100 - 8%
Жизненный показатель	ЖЕЛ (мл) / на массу тела (кг) Чем выше показатель, тем лучше развита дыхательная функция грудной клетки. W. Stern (1980) предложил метод определения жировой прослойки у спортсменов.
Процент жировой прослойки Тощая масса тела	[(масса тела - тощая масса тела) / масса тела] х 100 98,42 + Согласно формуле Лоренца, идеальная масса тела (М) составляет: М = Р - (100 - [(Р - 150) / 4]) где: Р - рост человека. Индекс пропорциональности развития грудной клетки (индекс Эрисмана): обхват грудной клетки в паузе (см) - (рост (см) / 2) = +5,8 см для мужчин и +3,3 см для женщин.
Показатель пропорциональности физического развития	(рост стоя - рост сидя / рост сидя) х 100 Величина показателя позволяет судить об относительной длине ног: меньше 87% - малая длина по отношению к длине туловища, 87-92% - пропорциональное физическое развитие, более 92% - относительно большая длина ног.
Индекс Руффье (Ir).	J r = 0,1 (ЧСС 1 + ЧСС 2 + ЧСС 3 – 200) ЧСС 1 – пульс в покое, ЧСС 2 – после нагрузки, ЧСС 3 – после 1 мин. Восстановления Полученный индекс Руфье-Диксона расценивается как: хороший - 0,1 – 5; средний - 5,1 – 10; удовлетворительный - 10,1 – 15; плохой - 15,1 – 20.
Коэффициент выносливости (К).	Используется для оценки степени тренированности сердечнососудистой системы к выполнению физической нагрузки и определяется по формуле: где ЧСС - частота сердечных сокращений, уд./мин; ПД - пульсовое давление, мм рт. ст. Увеличение KB, связанное с уменьшением ПД, является показателем детренированности сердечнососудистой системы.
Индекс Скибинскии	Этот тест отражает функциональные резервы дыхательной и сердечно-сосудистой систем: После 5-минутного отдыха в положении стоя определите ЧСС (по пульсу), ЖЕЛ (в мл); Через 5 мин после этого задержите дыхание после спокойного вдоха (ЗД); Индекс рассчитайте по формуле: Если результат более 60 - отлично; 30-60 - хорошо; 10-30-удовлетворительно; 5-10 - неудовлетворительно; Менее 5 - очень плохо.

Cтраница 1

Абсолютная ошибка определения не превышает 0 01 мкг фосфора. Этот метод был применен нами для определения фосфора в азотной, уксусной, соляной и серной кислотах и ацетоне с предварительным выпариванием их.  

Абсолютная ошибка определения составляет 0 2 - 0 3 мг.  

Абсолютная ошибка определения цинка в цинк-марганцевых ферритах предложенным методом не превышает 0 2 % отн.  

Абсолютная ошибка определения углеводородов С2 - С4, при содержании их в газе 0 2 - 5 0 %, составляет 0 01 - 0 2 % соответственно.  

Здесь Ау - - абсолютная ошибка определения г /, которая получается в результате ошибки Да в определении а. Например, относительная ошибка квадрата числа в два раза больше ошибки определения самого числа, а относительная ошибка числа, стоящего под кубическим корнем, составляет просто одну треть от ошибки определения числа.  

Более сложные соображения необходимы при выборе меры сравнений абсолютных ошибок определения времени начала аварии TV - Ts, где Tv и Ts - соответственно время восстановленной и реальной аварии. По аналогии здесь может использоваться среднее время добега-ния пика загрязнений от реального сброса до тех точек мониторинга, которые фиксировали аварию за время прохождения загрязнений Tsm. Вычисление достоверности определения мощности аварий основано на расчете относительной ошибки MV - Ms / Мв, где Mv и Ms - соответственно восстановленная и реальная мощности. Наконец, относительная ошибка определения продолжительности аварийного выброса характеризуется величиной rv - rs / re, где rv и rs - соответственно восстановленная и реальная продолжительности аварий.  

Более сложные соображения необходимы при выборе меры сравнений абсолютных ошибок определения времени начала аварии TV - Ts, где Tv и Ts - соответственно время восстановленной и реальной аварии. По аналогии здесь может использоваться среднее время добега-ния пика загрязнений от реального сброса до тех точек мониторинга, которые фиксировали аварию за время прохождения загрязнений Tsm. Вычисление достоверности определения мощности аварий основано на расчете относительной ошибки Mv - Ms / Ms, где Mv и Ms - соответственно восстановленная и реальная мощности. Наконец, относительная ошибка определения продолжительности аварийного выброса характеризуется величиной rv - rs / rs, где rv и rs - соответственно восстановленная и реальная продолжительности аварий.  

При одной и той же абсолютной ошибке измерения ау абсолютная ошибка определения количества ах уменьшается с увеличением чувствительности метода.  

Поскольку в основе ошибок лежат не случайные, а систематические погрешности, итоговая абсолютная ошибка определения присосов может достигать 10 % теоретически необходимого количества воздуха. Только при недопустимо неплотных топках (А а0 25) общепринятый метод дает более или менее удовлетворительные результаты. Описанное хорошо известно наладчикам, которые при сведении воздушного баланса плотных топок нередко получают отрицательные значения присосов.  

Анализ погрешности определения величины пэт показал, что она складывается из 4 составляющих: абсолютной ошибки определения массы матрицы, емкости образца, взвешивания, относительной ошибки за счет флуктуации массы образца около равновесного значения.  

При соблюдении всех правил отбора, отсчета объемов и анализа газов при помощи газоанализатора ГХП-3 общая абсолютная ошибка определения содержания С02 и О2 не должна превышать 0 2 - 0 4 % истинной их величины.  

Из табл. 1 - 3 можно сделать заключение, что используемые нами данные для исходных веществ, взятые из разных источников, имеют сравнительно небольшие различия, которые лежат в пределах абсолютных ошибок определения этих величин.  

Случайные ошибки могут быть абсолютными и относительными. Случайную ошибку, имеющую размерность измеряемой величины, называют абсолютной ошибкой определения. Среднее арифметическое значение абсолютных ошибок всех отдельных измерений называют абсолютной ошибкой метода анализа.  

Величина допустимого отклонения, или доверительный интервал, устанавливается не произвольно, а вычисляется из конкретных данных измерений и характеристик используемых приборов. Отклонение результата отдельного измерения от истинного значения величины называется абсолютной ошибкой определения или просто ошибкой. Отношение абсолютной ошибки к измеряемой величине называется относительной ошибкой, которую обычно выражают в процентах. Знание ошибки отдельного измерения не имеет самостоятельного значения, и во всяком серьезно поставленном эксперименте должно проводиться несколько параллельных измерений, по которым и вычисляют ошибку эксперимента. Ошибки измерений в зависимости от причин их возникновения делятся на три вида.