100 р бонус за первый заказ

Выберите тип работы Дипломная работа Курсовая работа Реферат Магистерская диссертация Отчёт по практике Статья Доклад Рецензия Контрольная работа Монография Решение задач Бизнес-план Ответы на вопросы Творческая работа Эссе Чертёж Сочинения Перевод Презентации Набор текста Другое Повышение уникальности текста Кандидатская диссертация Лабораторная работа Помощь on-line

Узнать цену

Генеральная совокупность - вся изучаемая выборочным методом статистическая совокупность объектов и/или явлений общественной жизни, имеющих общие качественные признаки или количественные переменные.

Суммарная численность объектов наблюдения (люди, домохозяйства, предприятия, населенные пункты и т.д.), обладающих определенным набором признаков (пол, возраст, доход, численность, оборот и т.д.), ограниченная в пространстве и времени. Примеры генеральных совокупностей:
- Все жители Москвы (10,6 млн. человек по данным переписи 2002 года)
- Мужчины-Москвичи (4,9 млн. человек по данным переписи 2002 года)
- Юридические лица России (2,2 млн. на начало 2005 года)
- Розничные торговые точки, осуществляющие продажу продуктов питания (20 тысяч на начало 2008 года) и т.д.

Корректное определение Г.С. и ее характеристик чрезвычайно важно для выбора дизайна исследования - стратегии построения репрезентативной выборки (см. ). Важнейшими характеристиками Г.С. являются ее объем и доступность элементов для определения.

С точки зрения объема, принято выделять конечные и бесконечные Г.С. Это деление является чисто техническим, оно обусловлено особенностями процедур оценивания объема и ошибок репрезентативной вероятностной (случайной) выборки. Конечными считаются Г.С., численность которых сопоставима с объемом выборки. Если объем выборки превышает несколько процентов от численности Г.С., ошибку выборки необходимо оценивать с поправкой на объем Г.С.

Бесконечными называются Г.С., объем которых, по сравнению с объемом репрезентативной случайной выборки, несоизмеримо велик. Строго говоря, все Г.С. в социальных науках конечны (даже если их численность составляет несколько миллиардов), однако на практике Г.С. можно считать бесконечной, если объем выборки, обеспечивающий приемлемый уровень ошибки, не превышает 1-2 % от ее численности. Иногда понятие бесконечности связывают непосредственно с объемом Г.С., например, более ста тысяч объектов.

Г.С., принадлежность к которым очевидна или легко устанавливается, называются конкретными. Для конкретных Г.С. несложно определить объем и получить относительно полный список их элементов - основу выборки (см. Выборки основа ). Например, список совершеннолетних жителей города можно получить в адресном столе, а списки студентов крупного города - в университетах. Если конкретная Г.С. очень велика (например, население страны), списки могут быть получены для всех ее структурных частей. Построение репрезентативной выборки случайной (см. ) для конкретных Г.С. технически всегда возможно; проблемы могут возникнуть в связи с недостатком времени, квалифицированного персонала или материальных ресурсов.

Г.С., принадлежность к которой можно установить только в результате целенаправленных процедур или специальных исследований, называются гипотетическими. К таким Г.С. относятся, например, аудитории СМК (нельзя узнать, видел ли человек конкретный рекламный ролик, если не спросить его об этом), любители определенных видов аквариумных рыбок, эксперты по узкой проблеме и т.п. Для определения объема некоторых гипотетических Г.С. также необходимы специальные исследования. Возможность построения репрезентативной выборки случайной (см. ) для гипотетичных Г.С. большого объема во многих случаях представляется проблематичной.

ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ ПАРАМЕТР - статистический термин, применяемый для обозначений любой количественной характеристики генеральной совокупности (см. ). Математическое ожидание (см. ), дисперсия (см. ), вероятность (см. ) положительного ответа, коэффициент корреляции между двумя случайными величинами (см. ) являются Г.С.П. Аналогичные характеристики выборки (см. ) называются статистиками выборочными (см. ).

Выборка (Выборочная совокупность) - множество случаев (испытуемых, объектов, событий, образцов), с помощью определённой процедуры выбранных из генеральной совокупности для участия в исследовании.
Часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение обо всей генеральной совокупности. Для того чтобы заключение, полученное путем изучения выборки, можно было распространить на всю генеральную совокупность, выборка должна обладать свойством репрезентативности.

Характеристики выборки:

Качественная характеристика выборки - кого именно мы выбираем и какие способы построения выборки мы для этого используем.

Количественная характеристика выборки - сколько случаев выбираем, другими словами объём выборки.

Объём выборки — число случаев, включённых в выборочную совокупность. Из статистических соображений рекомендуется, чтобы число случаев составляло не менее 30—35.

Распределение случайной величины содержит всю информацию о ее статистических свойствах. Много ли нужно знать значений случайной величины, чтобы построить ее распределение? Для этого нужно исследовать ее генеральную совокупность .

Генеральная совокупность - множество всех значений, которые может принимать данная случайная величина.

Число единиц в генеральной совокупности называется ее объемом N . Эта величина может быть конечной и бесконечной. Например, если исследуется рост жителей некоторого города, то объем генеральной совокупности будет равен числу жителей города. Если выполняется любой физический эксперимент, то объем генеральной совокупности будет бесконечным, т.к. число всех возможных значений любого физического параметра равно бесконечности.

Исследование генеральной совокупности не всегда возможно и целесообразно. Оно невозможно, если объем генеральной совокупности бесконечен. Но и при конечных объемах полное исследование не всегда оправдано, поскольку требует больших затрат времени и труда, а абсолютная точность результатов обычно не требуется. Менее точные результаты, но со значительно меньшими затратами сил и средств можно получить при исследовании только части генеральной совокупности. Такие исследования называются выборочными.

Статистические исследования, проводимые только на части генеральной совокупности, называются выборочными, а исследуемая часть генеральной совокупности называется выборкой.

На рисунке 7.2 символически показаны генеральная совокупность и выборка в виде множества и его подмножества.

Рисунок 7.2 Генеральная совокупность и выборка

Работая с некоторым подмножеством данной генеральной совокупности, часто составляющим незначительную ее часть, мы получаем результаты, по точности вполне удовлетворительные для практических целей. Исследование большей части генеральной совокупности только увеличивает точность, но не изменяет сути результатов, если выборка взята правильно со статистической точки зрения.

Для того, чтобы выборка отражала свойства генеральной совокупности и результаты были достоверными, она должна быть репрезентативной (представительной).

У некоторых генеральных совокупностей любая их часть является репрезентативной в силу их природы. Однако в большинстве случаев необходимо принимать специальные меры для обеспечения репрезентативности выборок.

Одним из главных достижений современной математической статистики считается разработка теории и практики метода случай ных выборок, обеспечивающих репрезентативность отбора данных.

Выборочные исследования всегда проигрывают в точности по сравнению с исследованием всей генеральной совокупности. Однако с этим можно примириться, если величина погрешности будет известной. Очевидно, что чем больше объем выборки будет приближаться к объему генеральной совокупности, тем погрешность будет меньшей. Отсюда ясно, что проблемы статистического вывода становятся особенно актуальными при работе с малыми выборками (N ? 10-50).

План:

1. Задачи математической статистики.

2. Виды выборок.

3. Способы отбора.

4. Статистическое распределение выборки.

5. Эмпирическая функция распределения.

6. Полигон и гистограмма.

7. Числовые характеристики вариационного ряда.

8. Статистические оценки параметров распределения.

9. Интервальные оценки параметров распределения.

1. Задачи и методы математической статистики

Математическая статистика - это раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки результатов статистических данных наблюдений для научных и практических целей.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным- контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное исследование, т.е. обследуют каждый объект относительно нужного признака. На практике сплошное обследование применяется редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов (выборочную совокупность) и подвергают их изучению.

Основная задача математической статистики заключается в исследовании всей совокупности по выборочным данным в зависимости от поставленной цели, т.е. изучение вероятностных свойств совокупности: закона распределения, числовых характеристик и т.д. для принятия управленческих решений в условиях неопределенности.

2. Виды выборок

Генеральная совокупность – это совокупность объектов, из которой производится выборка.

Выборочная совокупность (выборка) – это совокупность случайно отобранных объектов.

Объем совокупности – это число объектов этой совокупности. Объем генеральной совокупности обозначается N , выборочной – n .

Пример:

Если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.

Присоставлении выборки можно поступить двумя способами: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. Т.о. выборки делятся на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку , при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку , при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Выборка должна быть репрезентативной (представительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществлять случайно.

Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.

Пример:

В американском журнале «Литературное обозрение» с помощью статистическихметодов было проведено исследование прогнозов относительно исхода предстоящих выборов президента США в 1936 году. Претендентами на этот пост были Ф.Д. Рузвельт и А. М. Ландон. В качестве источника для генеральной совокупности исследуемых американцев были взяты справочники телефонных абонентов. Из них случайным образом были выбраны 4 миллиона адресов., по которым редакция журнала разослала открытки с просьбой высказать свое отношение к кандидатам на пост президента. Обработав результаты опроса, журнал опубликовал социологический прогноз о том, что на предстоящих выборах с большим перевесом победит Ландон. И … ошибся: победу одержал Рузвельт.
Этот пример можно рассматривать, как пример нерепрезентативной выборки. Дело в том, что в США в первой половине двадцатого века телефоны имела лишь зажиточная часть населения, которые поддерживали взгляды Ландона.

3. Способы отбора

На практике применяются различные способы отбора, которые можно разделить на 2 вида:

1. Отбор не требует расчленения генеральной совокупности на части (а) простой случайный бесповторный ; б) простой случайный повторный ).

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. (а) типичный отбор ; б) механический отбор ; в) серийный отбор ).

Простым случайным называют такой отбор , при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности (случайно).

Типичным называют отбор , при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типичной» части. Например, если деталь изготавливают на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Таким отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных «типичных» частях генеральной совокупности.

Механическим называют отбор , при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20 % изготовленных станком деталей, то отбирают каждую 5-ую деталь; если требуется отобрать 5 % деталей- каждую 20-ую и т.д. Иногда такой отбор может не обеспечивать репрезентативность выборки (если отбирают каждый 20-ый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производится замена резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами).

Серийным называют отбор , при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергают сплошному обследованию. Например, если изделия изготавливаются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков.

На практике часто применяют комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.

4. Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение x 1 –наблюдалось раз, x 2 -n 2 раз,… x k - n k раз. n = n 1 +n 2 +...+n k – объем выборки. Наблюдаемые значения называются вариантами , а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке- вариационным рядом . Числа наблюдений называются частотами (абсолютными частотами) , а их отношения к объему выборки - относительными частотами или статистическими вероятностями.

Если количество вариант велико или выборка производится из непрерывной генеральной совокупности, то вариационный ряд составляется не по отдельным точечным значениям, а по интервалам значений генеральной совокупности. Такой вариационный ряд называется интервальным. Длины интервалов при этом должны быть равны.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (суммы частот, попавших в этот интервал значений)

Точечный вариационный ряд частот может быть представлен таблицей:

Аналогично можно представить точечный вариационный ряд относительных частот.

Причем:

Пример:

Число букв в некотором тексте Х оказалось равным 1000. Первой встретиласьбуква «я», второй- буква «и», третьей- буква «а», четвертой- «ю». Затем шли буквы«о», «е», «у», «э», «ы».

Выпишем места, которые они занимают в алфавите, соответственно имеем: 33, 10, 1, 32, 16, 6, 21, 31, 29.

После упорядочения этих чисел по возрастанию получаем вариационный ряд: 1, 6, 10, 16, 21, 29, 31, 32, 33.

Частоты появления букв в тексте: «а» - 75, «е» -87, «и»- 75, «о»- 110, «у»- 25, «ы»- 8, «э»- 3, «ю»- 7, «я»- 22.

Составим точечный вариационный ряд частот:

Пример:

Задано распределение частот выборки объема n = 20.

Составьте точечный вариационный ряд относительных частот.

Решение:

Найдем относительные частоты:

При построении интервального распределения существуют правилавыбора числа интервалов или величины каждого интервала. Критерием здесь служит оптимальное соотношение: при увеличении числа интервалов улучшается репрезентативность, но увеличивается объем данных и время на их обработку. Разность x max - x min между наибольшим и наименьшим значениями вариант называют размахом выборки.

Для подсчета числа интервалов k обычно применяют эмпирическую формулу Стреджесса (подразумевая округление до ближайшего удобного целого): k = 1 + 3.322 lg n .

Соответственно, величину каждого интервала h можно вычислить по формуле :

5. Эмпирическая функция распределения

Рассмотрим некоторую выборку из генеральной совокупности. Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака Х. Введем обозначения: n x – число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; n – общее число наблюдений (объем выборки). Относительная частота события Х<х равна n x /n . Если х изменяется, то изменяется и относительная частота, т.е. относительная частота n x /n - есть функция от х. Т.к. она находится эмпирическим путем, то она называется эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого х относительную частоту события Х<х.

где число вариант, меньших х,

n - объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения F (x ) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения .

Различие между эмпирической и теоретической функциями распределения состоит в том, что теоретическая функция F (x ) определяет вероятность события ХF*(x) стремится по вероятности к вероятности F (x ) этого события. Т.е.при большом n F*(x) и F (x ) мало отличаются друг от друга.

Т.о. целесообразно использовать эмпирическую функцию распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

F*(x) обладает всеми свойствами F (x ).

1. ЗначенияF*(x) принадлежат интервалу .

2. F*(x) - неубывающая функция.

3. Если – наименьшая варианта, тоF*(x) = 0, при х< x 1 ; если x k – наибольшая варианта, то F*(x) = 1, при х > x k .

Т.е. F*(x) служит для оценки F (x ).

Если выборка задана вариационным рядом, то эмпирическая функция имеет вид:

График эмпирической функции называется кумулятой.

Пример:

Постройте эмпирическую функцию по данному распределению выборки.

Решение:

Объем выборки n = 12 + 18 +30 = 60. Наименьшая варианта 2, т.е. при х < 2. Событие X <6, (x 1 = 2) наблюдалось 12 раз, т.е. F*(x)=12/60=0,2 при 2 < x < 6. Событие Х<10, (x 1 =2, x 2 = 6) наблюдалось 12 + 18 = 30 раз, т.е.F*(x)=30/60=0,5 при 6 < x < 10. Т.к. х=10 наибольшая варианта, тоF*(x) = 1 при х>10. Искомая эмпирическая функция имеет вид:

Кумулята:

Кумулята дает возможность понимать графически представленную информацию, например, ответить на вопросы: «Определите число наблюдений, при которых значение признака было меньше 6 или не меньше 6. F*(6) =0,2 » Тогда число наблюдений, при которых значение наблюдаемого признака было меньше 6 равно 0,2* n = 0,2*60 = 12. Число наблюдений, при которых значение наблюдаемого признака было не меньше 6 равно (1-0,2)* n = 0,8*60 = 48.

Если задан интервальный вариационный ряд, то для составления эмпирической функции распределения находят середины интервалов и по ним получают эмпирическую функцию распределения аналогично точечному вариационному ряду.

6. Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения: полином и гистограммы

Полигон частот- это ломаная, отрезки которой соединяют точки ( x 1 ;n 1 ), ( x 2 ;n 2 ),…, ( x k ; n k ), где – варианты, – соответствующие им частоты.

Полигон относительных частот- это ломаная, отрезки которой соединяют точки ( x 1 ;w 1 ), (x 2 ;w 2 ),…, ( x k ;w k ), гдеx i –варианты, w i – соответствующие им относительные частоты.

Пример:

Постройте полином относительных частот по данному распределению выборки:

Решение:

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для кажд ого частичного интервала n i – сумму частот вариант, попавших в i -ый интервал. (Например, при измерении роста человека или веса, мы имеем дело с непрерывным признаком).

Гистограмма частот- это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h , а высоты равны отношению (плотность частот).

Площадь i -го частичного прямоугольника равна- сумме частот вариант i - го интервала, т.е. площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Пример:

Даны результаты изменения напряжения (в вольтах) в электросети. Составьте вариационный ряд, постройте полигон и гистограмму частот, если значения напряжения следующие: 227, 215, 230, 232, 223, 220, 228, 222, 221, 226, 226, 215, 218, 220, 216, 220, 225, 212, 217, 220.

Решение:

Составим вариационный ряд. Имеем n = 20, x min =212, x max =232 .

Применим формулу Стреджесса для подсчета числа интервалов.

Интервальный вариационный ряд частот имеет вид:

Построим гистограмму частот:

Построим полигон частот, найдя предварительно середины интервалов:

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которыхслужат частичные интервалы длиною h , а высоты равны отношению w i /h (плотность относительной частоты).

Площадь i -го частичного прямоугольника равна- относительной частоте вариант, попавших в i - ый интервал. Т.е. площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

7. Числовые характеристики вариационного ряда

Рассмотрим основные характеристики генеральной и выборочной совокупностей.

Генеральным средним называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Для различных значений x 1 , x 2 , x 3 , …, x n . признака генеральной совокупности объема N имеем:

Если значения признака имеют соответствующие частоты N 1 +N 2 +…+N k =N , то

Выборочным средним называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

Если значения признака имеют соответствующие частоты n 1 +n 2 +…+n k = n , то

Пример:

Вычислите выборочное среднее для выборки: x 1 = 51,12; x 2 = 51,07;x 3 = 52,95; x 4 =52,93;x 5 = 51,1;x 6 = 52,98; x 7 = 52,29; x 8 = 51,23; x 9 = 51,07; x 10 = 51,04.

Решение:

Генеральной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака Х генеральной совокупности от генерального среднего.

Для различных значений x 1 , x 2 , x 3 , …, x N признака генеральной совокупности объема N имеем:

Если значения признака имеют соответствующие частоты N 1 +N 2 +…+N k =N , то

Генеральным среднеквадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из генеральной дисперсии

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от среднего значения.

Для различных значений x 1 , x 2 , x 3 , …, x n признака выборочной совокупности объема n имеем:

Если значения признака имеют соответствующие частоты n 1 +n 2 +…+n k = n , то

Выборочным среднеквадратическим отклонением (стандартом) называется квадратный корень из выборочной дисперсии.

Пример:

Выборочная совокупность задана таблицей распределения. Найдите выборочную дисперсию.

Решение:

Теорема: Дисперсия равна разности среднего квадратов значений признака и квадрата общего среднего.

Пример:

Найдите дисперсию по данному распределению.

Решение:

8. Статистические оценки параметров распределения

Пусть генеральная совокупность исследуется по некоторой выборке. При этом можно получить лишь приближенное значение неизвестного параметра Q , который служит его оценкой. Очевидно, что оценки могут изменяться от одной выборки к другой.

Статистической оценкой Q * неизвестного параметра теоретического распределения называется функция f , зависящая от наблюдаемых значений выборки. Задачей статистического оценивания неизвестных параметров по выборке заключается в построении такой функции от имеющихся данных статистических наблюдений, которая давала бы наиболее точные приближенные значения реальных, не известных исследователю, значений этих параметров.

Статистические оценки делятся на точечные и интервальные, в зависимости от способа их предоставления (числом или интервалом).

Точечной называют статистическую оценку параметра Q теоретического распределения определяемую одним значением параметра Q *=f (x 1 , x 2 , ..., x n), где x 1 , x 2 , ..., x n - результаты эмпирических наблюдений над количественным признаком Х некоторой выборки.

Такие оценки параметров, полученные по разным выборкам, чаще всего отличаются друг от друга. Абсолютная разность /Q *-Q / называют ошибкой выборки (оценивания).

Для того, чтобы статистические оценки давали достоверные результаты об оцениваемых параметрах, необходимо, чтобы они были несмещенными, эффективными и состоятельными.

Точечная оценка , математическое ожидание которой равно (не равно) оцениваемому параметру, называется несмещенной (смещенной) . М(Q *)=Q .

Разность М(Q *)-Q называют смещением или систематической ошибкой . Для несмещенных оценок систематическая ошибка равна 0.

Эффективной оценку Q *, которая при заданном объеме выборки n имеет наименьшую возможную дисперсию: D min (n = const ). Эффективная оценка имеет наименьший разброс по сравнению с другими несмещенными и состоятельными оценками.

Состоятельной называют такую статистическую оценку Q *, которая при n стремится по вероятности к оцениваемому параметру Q , т.е. при увеличении объема выборки n оценка стремится по вероятности к истинному значению параметра Q .

Требование состоятельности согласуется с законом больших числе: чем больше исходной информации об исследуемом объекте, тем точнее результат. Если объем выборки мал, то точечная оценка параметра может привести к серьезным ошибкам.

Любую выборку (объема n ) можно рассматривать как упорядоченный набор x 1 , x 2 , ..., x n независимых одинаково распределенных случайных величин.

Выборочные средние для различных выборок объема n из одной и той же генеральной совокупности будут различны. Т. е. выборочное среднее можно рассматривать как случайную величину, а значит, можно говорить о распределении выборочного среднего и его числовых характеристиках.

Выборочное среднее удовлетворяет всем накладываемым к статистическим оценкам требованиям, т.е. дает несмещенную, эффективную и состоятельную оценку генерального среднего.

Можно доказать, что . Таким образом, выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, давая ее заниженное значение. Т. е. при небольшом объеме выборки она будет давать систематическую ошибку. Для несмещенной, состоятельной оценки достаточно взять величину , которую называют исправленной дисперсией. Т. е.

На практике для оценки генеральной дисперсии применяют исправленную дисперсию при n < 30. В остальных случаях (n >30) отклонение от малозаметно. Поэтому при больших значениях n ошибкой смещения можно пренебречь.

Можно так же доказать,что относительная частота n i / n является несмещенной и состоятельной оценкой вероятности P (X =x i ). Эмпирическая функция распределения F *(x ) является несмещенной и состоятельной оценкой теоретической функции распределения F (x )= P (X < x ).

Пример:

Найдите несмещенные оценки математического ожиданияи дисперсии по таблице выборки.

Решение:

Объем выборки n =20.

Несмещенной оценкой математического ожидания является выборочное среднее.

Для вычисления несмещенной оценки дисперсии сначала найдем выборочную дисперсию:

Теперь найдем несмещенную оценку:

9. Интервальные оценки параметров распределения

Интервальной называется статистическая оценка, определяемая двумя числовыми значениями- концами исследуемого интервала.

Число > 0, при котором | Q - Q *|< , характеризует точность интервальной оценки.

Доверительным называется интервал , который с заданной вероятностью покрывает неизвестное значение параметра Q . Дополнение доверительного интервала до множества всех возможных значений параметра Q называется критической областью . Если критическая область расположена только с одной стороны от доверительного интервала, то доверительный интервал называется односторонним: левосторонним , если критическая область существует только слева, и правосторонним- если только справа. В противном случае, доверительный интервал называется двусторонним .

Надежностью, или доверительной вероятностью, оценки Q (с помощью Q *) называют вероятность, с которой выполняется следующее неравенство: | Q - Q *|< .

Чаще всего доверительную вероятность задают заранее (0,95; 0,99; 0,999) и на нее накладывают требование быть близкой к единице.

Вероятность называют вероятностью ошибки, или уровнем значимости.

Пусть | Q - Q *|< , тогда . Это означает, что с вероятностью можно утверждать, что истинное значение параметра Q принадлежит интервалу . Чем меньше величина отклонения , тем точнее оценка.

Границы (концы) доверительного интервала называют доверительными границами, или критическими границами.

Значения границ доверительного интервала зависят от закона распределения параметра Q *.

Величину отклонения равную половине ширины доверительного интервала, называют точностью оценки.

Методы построения доверительных интервалов впервые были разработаны американским статистом Ю. Нейманом. Точность оценки , доверительная вероятность и объем выборки n связаны между собой. Поэтому, зная конкретные значения двух величин, всегда можно вычислить третью.

Нахождение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения, если известно среднеквадратическое отклонение.

Пусть произведена выборка из генеральной совокупности, подчиненной закону нормального распределения. Пусть известно генеральное среднеквадратическое отклонение , но неизвестно математическое ожидание теоретического распределения a ( ).

Справедлива следующая формула:

Т.е. по заданному значению отклонения можно найти, с какой вероятностью неизвестное генеральное среднее принадлежит интервалу . И наоборот. Из формулы видно, что при возрастании объема выборки и фиксированной величине доверительной вероятности величина - уменьшается, т.е. точность оценки увеличивается. С увеличением надежности (доверительной вероятности), величина -увеличивается, т.е. точность оценки уменьшается.

Пример:

В результате испытаний были получены следующие значения -25, 34, -20, 10, 21. Известно, что они подчиняются закону нормального распределения с среднеквадратическим отклонением 2. Найдите оценку а* для математического ожидания а. Постройте для него 90%-ый доверительный интервал.

Решение:

Найдем несмещенную оценку

Тогда

Доверительный интервал для а имеет вид: 4 – 1,47< a < 4+ 1,47 или 2,53 < a < 5, 47

Нахождение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения, если неизвестно среднеквадратическое отклонение.

Пусть известно, что генеральная совокупность подчинена закону нормального распределения, где неизвестны а и . Точность доверительного интервала, покрывающего с надежностью истинное значение параметра а, в данном случае вычисляется по формуле:

, где n - объем выборки, , - коэффициент Стьюдента (его следует находить по заданным значениям n и из таблицы «Критические точки распределения Стьюдента»).

Пример:

В результате испытаний были получены следующие значения -35, -32, -26, -35, -30, -17. Известно, что они подчиняются закону нормального распределения. Найдите доверительный интервал для математического ожидания а генеральной совокупности с доверительной вероятностью 0,9.

Решение:

Найдем несмещенную оценку .

Найдем .

Тогда

Доверительный интервал примет вида (-29,2 - 5,62; -29,2 + 5,62) или (-34,82; -23,58).

Нахождение доверительного интерла для дисперсии и среднеквадратического отклонения нормального распределения

Пусть из некоторой генеральной совокупности значений, распределенной по нормальному закону, взята случайная выборка объема n < 30, для которой вычислены выборочные дисперсии: смещенная и исправленная s 2 . Тогда для нахождения интервальных оценок с заданной надежностью для генеральной дисперсии D генерального среднеквадратического отклонения используются следующие формулы.

или ,

Значения - находят с помощью таблицы значений критических точек распределения Пирсона.

Доверительный интервал для дисперсии находится из этих неравенств путем возведения всех частей неравенства в квадрат.

Пример:

Было проверено качество 15 болтов. Предполагая, что ошибка при их изготовлении подчинена нормальному закону распределения, причем выборочное среднеквадратическое отклонение равно 5 мм, определить с надежностью доверительный интервал для неизвестного параметра

Границы интервала представим в виде двойного неравенства:

Концы двустороннего доверительного интервала для дисперсии можно определить и без выполнения арифметических действий по заданному уровню доверия и объему выборки с помощью соответствующей таблицы (Границы доверительных интервалов для дисперсии в зависимости от числа степеней свободы и надежности). Для этого полученные из таблицы концы интервала умножают на исправленную дисперсию s 2 .

Пример:

Решим предыдущую задачу другим способом.

Решение:

Найдем исправленную дисперсию:

По таблице «Границы доверительных интервалов для дисперсии в зависимости от числа степеней свободы и надежности» найдем границы доверительного интервала для дисперсии при k =14 и : нижняя граница 0,513 и верхняя 2,354.

Умножим полученные границы на s 2 и извлечем корень (т.к. нам нужен доверительный интервал не для дисперсии, а для среднеквадратического отклонения).

Как видно из примеров, величина доверительного интервала зависит от способа его построения и дает близкие между собой, но неодинаковые результаты.

При выборках достаточно большого объема (n >30) границы доверительного интервала для генерального среднеквадратического отклонения можно определить по формуле: - некоторое число, которое табулировано и приводится в соответствующей справочной таблице.

Если 1- q <1, то формула имеет вид:

Пример:

Решим предыдущую задачу третьим способом.

Решение:

Ранее было найдено s = 5,17. q (0,95; 15) = 0,46 – находим по таблице.

Тогда:

Это наука, которая, основываясь на методах теории вероятностей, занимается систематизацией и обработкой статистических данных для получения научных и практических выводов.

Статистическими данными называются сведения о числе объектов, обладающих теми или иными признаками.

Группа объектов, объединенных по некоторому качественному или количественному признаку, называется статистической совокупностью . Объекты, входящие в совокупность, называются её элементами, а их общее число - ее объемом.

Генеральной совокупностью называется множество всех мыслимо возможных наблюдений, которые могли бы быть сделаны при данном реальном комплексе условий или более строго: генеральной совокупностью называется случайная величина x и связанное с ней вероятностное пространство {W,Á,Р}.

Распределение случайной величины x называют распределением генеральной совокупности (говорят, например, о нормально распределенной или просто нормальной генеральной совокупности).

Например, если производится ряд независимых измерений случайной величины x, то генеральная совокупность теоретически бесконечна (т.е. генеральная совокупность - абстрактное, условно - математическое понятие); если же проверяется число дефектных изделий в партии из N изделий, то эту партию рассматривают как конечную генеральную совокупность объема N.

В случае социально-экономических исследований генеральной совокупностью объема N может быть население какого-то города, региона или страны, а измеряемыми признаками - доходы, расходы или объем сбережений отдельно взятого человека. Если какой-то признак имеет качественный характер (например, пол, национальность, социальное положение, род деятельности и т.п.), но принадлежит к конечному множеству вариантов, то он может быть также закодирован числом (как это часто делают в анкетах).

Если число объектов N достаточно велико, то провести сплошное обследование затруднительно, а иногда физически невозможно (например, проверить качество всех патронов). Тогда случайным образом отбирают из всей генеральной совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью или просто выборкой объема n называется последовательность х 1 , х 2 , …, х n независимых одинаково распределенных случайных величин, распределение каждой из которых совпадает с распределением случайной величины x.

Например, результаты n первых измерений случайной величины x принято рассматривать как выборку объема n из бесконечной генеральной совокупности. Полученные данные называют наблюдениями случайной величины x, а также говорят, что случайная величина x "принимает значения" х 1 , х 2 , …, х n .

Основная задача математической статистики - сделать научно обоснованные выводы о распределении одной или более неизвестных случайных величин или их взаимосвязи между собой. Метод, состоящий в том, что на основании свойств и характеристик выборки делаются заключения о числовых характеристиках и законе распределения случайной величины (генеральной совокупности) называется выборочным методом.

Для того, чтобы характеристики случайной величины, полученные выборочным методом, были объективны, необходимо, чтобы выборка была репрезентативной, т.е. достаточно хорошо представляла исследуемую величину. В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно, т.е. все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Для этого существуют различные виды отбора выборки.

1. Простым случайным отбором называется отбор, при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности.

2. Стратифицированный (расслоенный ) отбор заключается в том, что исходная генеральная совокупность объема N подразделяется на подмножества (страты) N 1 , N 2 ,…,N k , так что N 1 + N 2 +…+ N k = N. Когда страты определены, из каждого из них извлекается простая случайная выборка объема n 1 , n 2 , …, n k . Частным случаем стратифицированного отбора является типический отбор, при котором объекты отбирают не из всей генеральной совокупности, а из каждой типической ее части.

Комбинированный отбор сочетает в себе сразу несколько видов отбора, образующих различные фазы выборочного обследования. Существуют и другие методы организации выборки.

Выборка называется повторной , если отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Выборка называется бесповторной , если отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. Для конечной генеральной совокупности случайный отбор без возвращения приводит на каждом шаге к зависимости отдельных наблюдений, случайный равновозможный выбор с возвращением - к независимости наблюдений. На практике обычно имеют дело с бесповторными выборками. Тем не менее, когда объем генеральной совокупности N во много раз больше, чем объем выборки n (например, в сотни или тысячи раз), зависимостью наблюдений можно пренебречь.

Таким образом, случайная выборка х 1 , х 2 , …, х n - это результат последовательных и независимых наблюдений над случайной величиной ξ, представляющую генеральную совокупность, и все элементы выборки имеют тоже распределении, что исходная случайная величина x.

Функцию распределения F x (х) и другие числовые характеристики случайной величины x будем называть теоретическими, в отличие от выборочных характеристик , которые определяются по результатам наблюдений.

Пусть выборка х 1 , х 2 , …, х к есть результат независимых наблюдений случайной величины x, причем х 1 наблюдалось n 1 раз, х 2 - n 2 раза, …, х к - n к раз, так что n i = n - объем выборки. Число n i , показывающее, сколько раз появилось значение х i в n наблюдениях, называется частотой данного значения, а отношение n i /n = w i - относительной частотой . Очевидно, что числа w i рациональны и .

Статистическая совокупность, расположенная в порядке возрастания признака, называется вариационным рядом . Его члены обозначают x (1) , x (2), … x (n) и называют вариантами . Вариационный ряд называется дискретным , если его члены принимают конкретные изолированные значения. Статистическим распределением выборки дискретной случайной величины x называется перечень вариант и соответствующих им относительных частот w i . Полученная таблица называется статистическим рядом.

Наибольшее и наименьшее значения вариационного ряда обозначают x min и x max и называют крайними членами вариационного ряда.

Если изучается непрерывная случайная величина, то группировка заключается в разбиении интервала наблюдаемых значений на k частичных интервалов равной длины h, и подсчете числа попаданий наблюдений в эти интервалы. Полученные числа принимают за частоты n i (для некоторой новой, уже дискретной случайной величины). В качестве новых значений вариант x i обычно берутся середины интервалов (либо в таблице указываются сами интервалы). Согласно формуле Стерждеса рекомендуемое число интервалов разбиения k » 1 + log 2 n , а длины частичных интервалов равны h = (x max - x min)/k. Предполагается, что весь интервал имеет вид .

Графически статистические ряды могут быть представлены в виде полигона, гистограммы или графика накопленных частот.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки (x 1 , n 1), (x 2 , n 2), …, (x k , n k). Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x 1 , w 1), (x 2 , w 2), …, (x k , w k). Полигоны обычно служат для изображения выборки в случае дискретных случайных величин (рис. 7.1.1).

Рис. 7.1

.1.

Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы длиною h , а высоты

равны w i /h.

Гистограмма обычно служит для изображения выборки в случае непрерывных случайных величин. Площадь гистограммы равна единице (рис. 7.1.2). Если на гистограмме относительных частот соединить середины верхних сторон прямоугольников, то полученная ломанная образует полигон относительных частот. Поэтому гистограмму можно рассматривать как график эмпирической (выборочной) плотности распределения f n (x). Если у теоретического распределения существует конечная плотность, то эмпирическая плотность является некоторым приближением теоретической.

Графиком накопленных частот называется фигура, строящаяся аналогично гистограмме с той разницей, что для расчета высот прямоугольников берутся не простые, а накопленные относительные частоты , т.е. величины . Эти величины не убывают, и график накопленных частот имеет вид ступенчатой "лестницы" (от 0 до 1).

График накопленных частот на практике используются для приближения теоретической функции распределения.

Задача. Анализируется выборка из 100 малых предприятий региона. Цель обследования - измерение коэффициента соотношения заемных и собственных средств (х i) на каждом i-ом предприятии. Результаты представлены в таблице 7.1.1.

Таблица Коэффициенты соотношений заемных и собственных средств предприятий.

Построить гистограмму и график накопленных частот.

Решение . Построим группированный ряд наблюдений:

1. Определим в выборке х min = 5,05 и x max = 5,85;

2. Разобьем весь диапазон на k равных интервалов: k » 1 + log 2 100 = 7,62; k = 8, отсюда длина интервала

Таблица 7.1.2. Сгруппированный ряд наблюдений

На рис. 7.1.3 и 7.1.4, построенных по данным таблицы 7.1.2, представлены гистограмма и график накопленных частот. Кривые соответствуют плотности и функции нормального распределения, "подобранного" к данным.

Таким образом, распределение выборки является некоторым приближением распределения генеральной совокупности.

Всякое каким-то образом выделенное множество объектов, которые могут отличаться друг от друга значением некоторой определенной характеристики, называется генеральной совокупностью.

Число элементов генеральной совокупности называется ее объемом.

Часть генеральной совокупности, случайным образом отобранная для наблюдений, называется случайной выборкой или, для краткости, выборкой.

Число элементов выборки называется ее объемом.

Так, если из ста тысяч упаковок некоторого лекарства (генеральная совокупность) для контроля качества отобрано сто упаковок (выборка), то объем генеральной совокупности составляет 100000, а объем выборки – 100.

Свойства выборочной совокупности тем лучше отражают соответствующие свойства генеральной совокупности, чем больше объектов содержит эта выборочная совокупность (т.е. чем больше ее объем). Например, если интересует концентрация некоторого вещества в таблетках, выпускаемых при помощи аппарата определенной конструкции, то чем больше случайным образом отобранных таблеток мы исследуем, тем более достоверную информацию получим.

Поскольку мы рассчитываем с помощью статистических методов высказать определенное суждение о свойствах генеральной совокупности по свойствам выборки, то последняя должна быть репрезентативной (представительной), т.е. должна быть организована таким образом, чтобы, по возможности, отражать все интересующие нас свойства генеральной совокупности.

Например, при обследовании на предмет успеваемости по физиологии студентов медицинских университетов А, В и С, в которых обучаются 500, 200 и 300 студентов соответственно, выборку объемом 100 следует строить так, чтобы в нее входило 50 случайным образом выбранных студентов университета А, 20 студентов университета В и 30 студентов университета С. Пропорции в выборке должны соответствовать пропорциям генеральной совокупности.

Для обеспечения репрезентативности выборка должна быть достаточно объемной с тем, чтобы охватывать всю генеральную совокупность, и производиться беспристрастно по отношению к отдельным ее частям.
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

На практике применяются различные способы отбора. Принудительно эти способы можно подразделить на два вида:
I. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части, сюда относятся:
а) простой случайный бесповторный отбор;
б) простой случайный повторный отбор.
II. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части, сюда относятся:
а) типический отбор;
б) механический отбор;
в) серийный отбор.

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка будет простой случайной бесповторной.

Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части.

Механическим называют отбор, при котором генеральная совокупность «механически» делится на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, и из каждой группы отбирается один объект.
Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию.