Пусть y - некоторая функция переменной x ; причём, неважно, каким образом эта функция задана: формулой, таблицей или как-то иначе. Важен только сам факт существования этой функциональной зависимости, что записывается следующим образом: y = f (x ). Буква f (начальная буква латинского слова “functio”- функция) не обозначает какой-либо величины, так же как буквы log, sin, tan в записях функций y = log x , y = sin x , y = tan x . Они говорят лишь об определённых функциональных зависимостях y от x . Запись y = f (x ) представляет любую функциональную зависимость. Если две функциональные зависимости: y от x и z от t отличаются одна от другой, то они записываются с помощью различных букв: y = f (x ) и z = F (t ). Если же некоторые зависимости одни и те же, то они записываются одной и той же буквой f : y = f (x ) и z = f (t ). Если выражение для функциональной зависимости y = f (x ) известно, то она может быть записана с использованием обоих обозначений функции. Например, y = sin x или f (x ) = sin x . Обе формы полностью равносильны. Иногда используется и другая форма записи: y (x ). Это означает то же самое, что и y = f (x ).
Графическое представление функций.
Чтобы представить функцию y = f (x ) в виде графика, нужно:
1) Записать ряд значений функции и её аргумента в таблицу:
2) Перенести координаты точек функции из таблицы в систему координат,
отметив в соответствии с выбранным масштабом значения абсцисс на
оси Х и значения ординат на оси Y (рис.2). В результате в нашей системе
координат будет построен ряд точек A, B, C, . . . , F .
3) Соединяя точки A, B, C, . . . , F плавной кривой, получаем график заданной
функциональной зависимости.
Такое графическое представление функции даёт наглядное представление о характере её поведения, но достигаемая при этом точность недостаточна. Возможно, что промежуточные точки, не построенные на графике, лежат далеко от проведенной плавной кривой. Хорошие результаты в значительной степени зависят также от удачного выбора масштабов. Поэтому следует определить график функции как геометрическое место точек , координаты которых M (x, y) связаны заданной функциональной зависимостью .
Область определения и область значений функции. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R . Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т.e. она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x , при которых функция y = f (x ) определена, называется областью определения функции . Множество Y всех действительных значений y , которые принимает функция, называется областью значений функции . Теперь можно дать более точное определение функции: правило (закон) соответствия между множествами X и Y , по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией .
План- конспект урока математики в 7 классе
(по учебнику А.Г. Мордковича)
Тема урока: Что означает в математике запись у= f(x). Кусочная функция.
Тип урока: «открытие» нового знания.
Основные цели:
Формировать способность к обобщению;
Повторить и закрепить свойства линейной и квадратичной функций,
графическое решение уравнений.
Этапы урока:
Самоопределение к деятельности (организационный момент).
Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжим работать с функциями.
Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.
Начнем наше обсуждение с примера.
2.1. Как найти значение функции у=Зх-2 при х=4? (Надо число З умножить на 4 и из этого произведения вычесть 2. Получаем у=10).
Как называется функция у=Зх-2? (Это линейная функция).
функции является прямая линия)
2.2 . Как найти значение функции у= x 2 +З при х=2? (Надо число 2 возвести в квадрат и к полученному результату прибавить З. Получим у=7).
Как называется функция у= х 2 +з? (Это квадратичная функция).
Какая линия является графиком данной функции? (Графиком данной
функции является парабола).
Мы видим, что независимо от вида функции для вычисления величины у по заданному значению х надо выполнить набор определенных действий, операций. Совокупность этих действий, операций (алгоритм вычисления), называют функцией и обозначают символом y=f(x).
Разумеется, функцию y=f(x) можно задавать и несколькими формулами.
2.З Рассмотрим следующее задание
Дана функция у=
а)Вычислим f(-l), f(0), f(2),f(З).
б) Построим график функции y=f(x).
У учащихся возникают затруднения при выполнении задания.
3. Постановка учебной задачи.
Если кто - либо из учащихся верно предложит решение, то учитель попросит его обосновать, как выполнены действия.
Если учащиеся не смогут решить задание, то обсуждение проводится фронтально под руководством учителя.
Что дано в задании?
(Заданы две функции у=5-2х и y =
На каких промежутках определены данные функции? (Функция у=5-2х
определена при х<2, а у= х - при х 2).
Такая функция, которая на разных участках задается разными формулами, называется кусочной функцией.
Как же выполнить задание? (Надо рассмотреть сначала одну функцию, а затем другую, учитывая область определения функции).
Правильно! Значит, это наша гипотеза. Что же нужно сделать, чтобы использовать ее? (доказать в общем виде).
Вы сформулировали цель сегодняшнего урока. А как бы вы назвали тему урока? (Кусочные функции).
Учитель записывает тему урока на доске, а учащиеся - в тетради.
Построение проекта выхода из затруднения («открытие» нового знания)
4.1. Итак, сформулируйте еще раз алгоритм работы с кусочными функциями. (Надо рассмотреть сначала одну функцию, а затем другую, учитывая область определения функции).
Учащимся предлагается в парах в течение 5-7 минут проговорить решение задания и оформить его в тетрадях.
3атем решение оформляется на доске.
Решение:
а) Т.к. х=-1, х=0, х=l удовлетворяют условию х<2, то пользуемся первой формулой f(x)= 5-2х и получаем f(-1)= 5-2*(-1)=7, f(0)= 5-2*0=5,
f(-1)= 5-2* 1=3.
Т.к, х=2 и х=3 удовлетворяют условию х 2, то пользуемся второй формулой
f (x)= и получаем f(2)= 2=1, f(3)= З=1,5.
б) При х< 2 построим прямую y 1 =5-2х и при x 2 строим прямую f (x)= Построенная ломаная линия является графиком данной функции y=f(x).
При этом графиком функции является непрерывная функция.Y 1
Y 2
Первичное закрепление во внешней речи.
Учащиеся выполняют № 39.5 устно, обосновывая свои действия
6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
6.1. Учащиеся выполняют самостоятельные задания:
1). Постройте график функции
7. Рефлексия деятельности.
Что нового мы узнали на уроке?
Кого вы можете отметить?
Оцените свою работу на уроке. (Учащимся предлагается поднять сигнальные карточки: зеленая - все сделал правильно; желтая- были незначительные затруднения, но во всем разобрался; красная - требуется дополнительная помощь).
8. Домашнее задание: 39.10 (б); 39.15 (а); 39.22.
Дополнительно: построить график функции y=
>>Математика:Что означает в математике запись у = f(x)
Что означает в математике запись у = f(x)
Изучая какой-либо реальный процесс, обычно обращают внимание на две величины, участвующие в процессе (в более сложных процессах участвуют не две величины, а три, четыре и т.д., но мы пока такие процессы не рассматриваем): одна из них меняется как бы сама по себе, независимо ни от чего (такую переменную мы обозначили буквой х), а другая величина принимает значения, которые зависят от выбранных значений переменной х (такую зависимую переменную мы обозначили буквой у). Математической моделью реального процесса как раз и является запись на математическом языке зависимости у от х, т.е. связи между переменными х и у. Еще раз напомним, что к настоящему моменту мы изучили следующие математические модели: у = b, у = kx, y = kx + m, у = х 2 .
Есть ли у этих математических моделей что-либо общее? Есть! Их структура одинакова: у = f(x).
Эту запись следует понимать так: имеется выражение f(x) с переменной х, с помощью которого находятся значения переменной у.
Математики предпочитают запись у = f(x) не случайно. Пусть, например, f(x) = х 2 , т. е. речь идет о функции у = х 2 . Пусть нам надо выделить несколько значений аргумента и соответствующих значений функции. До сих пор мы писали так:
если х = 1, то у = I 2 = 1;
если х = - 3, то у = (- З) 2 = 9 и т. д.
Если же использовать обозначение f(x) = х 2 , то запись становится более экономной:
f(1) = 1 2 =1;
f(-3) = (-3) 2 = 9.
Итак, мы познакомились еще с одним фрагментом математического языка : фраза «значение функции у = х 2 в точке х = 2 равно 4» записывается короче:
«если у = f(x), где f(x) = x 2 , то f(2) = 4».
А вот образец обратного перевода:
Если у = f(x), где f(x) = x 2 , то f(- 3) = 9. По-другому - значение функции у = х 2 в точке х = - 3 равно 9.
П р и м е р 1. Дана функция у = f(x), где f(x) = х 3 . Вычислить:
а) f(1); б) f(- 4); в) f(о); г) f(2а);
д) f(а-1); е) f(3х); ж) f(-х).
Решение. Во всех случаях план действий один и тот же: нужно в выражении f(x) подставить вместо х то значение аргумента, которое указано в скобках, и выполнить соответствующие вычисления и преобразования. Имеем:
Замечание. Разумеется, вместо буквы f можно использовать любую другую букву (в основном, из латинского алфавита): g(x), h (х), s (х) и т. д.
Пример 2. Даны две функции: у = f(x), где f(x) = х 2 , и у = g (х), где g (х) = х 3 . Доказать, что:
а) f(-x) = f(x); b) g(-x)= -g(x).
Р е ш е н и е. а) Так как f(x) = х 2 , то f(- х) = (- х) 2 = х 2 . Итак, f(x) = х 2 , f(- х) = х 2 , значит, f(- x) =f (x)
б) Так как g{x) = х 3 , то g(- x) = -x 3 , т.e. g(-x) = -g(x).
Использование математической модели вида у = f(x) оказывается удобным во многих случаях, в частности, тогда, когда реальный процесс описывается различными формулами на разных промежутках изменения независимой переменной.
Опишем с помощью построенного на рисунке 68 графика некоторые свойства функции у - f(x) - такое описание свойств обычно называют чтением графика.
Чтение графика - это своеобразный переход от геометрической модели (от графической модели) к словесной модели (к описанию свойств функции). А
построение графика - это переход от аналитической модели (она представлена в условии примера 4) к геометрической модели.
Итак, приступаем к чтению графика функции у = f(x) (см. рис. 68).
1. Независимая переменная х пробегает все значения от - 4 до 4. Иными словами, для каждого значения х из отрезка [- 4, 4] можно вычислить значение функции f(x). Говорят так: [-4, 4] - область определения функции.
Почему при решении примера 4 мы сказали, что найти f(5) нельзя? Да потому, что значение х = 5 не принадлежит области определения функции.
2. y наим = -2 (этого значения функция достигает при х = -4); У нанб. = 2 (этого значения функция достигает в любой точке полуинтервала (0, 4].
3. у = 0, если 1 = -2 и если х = 0; в этих точках график функции y = f(x) пересекает ось х.
4. у > 0, если х є (-2, 0) или если x є (0, 4]; на этих промежутках график функции y = f(x) расположен выше оси х.
5. у < 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.
6. Функция возрастает на отрезке [-4, -1], убывает на отрезке [-1, 0] и постоянна (ни возрастает, ни убывает) на полуинтервале (0,4].
По мере того как мы с вами будем изучать новые свойства функций, процесс чтения графика будет становиться более насыщенным, содержательным и интересным.
Обсудим одно из таких новых свойств. График функции, рассмотренной в примере 4, состоит из трех ветвей (из трех «кусочков»). Первая и вторая ветви (отрезок прямой у = х + 2 и часть параболы) «состыкованы» удачно: отрезок заканчивается в к точке (-1; 1), а участок параболы начинается в той же точке. А вот вторая и третья ветви менее удачно «состыкованы»: третья ветвь («кусочек» горизонтальной прямой) начинается не в точке (0; 0), а в точке (0; 4). Математики говорят так: «функция у = f(x) претерпевает разрыв при х = 0 (или в точке х = 0)». Если же функция не имеет точек разрыва, то ее называют непрерывной. Так, все функции, с которыми мы познакомились в предыдущих параграфах (у = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) - непрерывные.
Пример 5
. Дана функция . Требуется построить и прочитать ее график.
Решение. Как видите, здесь функция задана достаточно сложным выражением. Но математика - единая и цельная наука, ее разделы тесно связаны друг с другом. Воспользуемся тем, что мы изучали в главе 5, и сократим алгебраическую дробь
справедливо лишь при ограничении Следовательно, мы можем переформулировать задачу так: вместо функции у = х 2
будем рассматривать функцию у = х 2 , где Построим на координатной плоскости хОу параболу у = х 2 .
Прямая х = 2 пересекает ее в точке (2; 4). Но по условию , значит, точку (2; 4) параболы мы должны исключить из рассмотрения, для чего на чертеже отметим эту точку светлым кружком.
Таким образом, график функции построен - это парабола у = х 2 с «выколотой» точкой (2; 4) (рис. 69).
Перейдем к описанию свойств функции у = f (x), т. е. к чтению ее графика:
1. Независимая переменная х принимает любые значения, кроме х = 2. Значит, область определения функции состоит из двух открытых лучей (- 0 о, 2) и
2. у наим = 0 (достигается при х = 0), у наиб _ не существует.
3. Функция не является непрерывной, она претерпевает разрыв при х = 2 (в точке х = 2).
4. у = 0, если х = 0.
5. у > 0, если х є (-оо, 0), если х є (0, 2) и если х є (B,+оо).
6. Функция убывает на луче (- со, 0], возрастает на полуинтервале .
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиНа уроке закрепления знаний по алгебре в 7 классе по теме "ЧТО ОЗНАЧАЕТ В МАТЕМАТИКЕ ЗАПИСЬ y = f(x) " необходимо разъяснить смысл записи y = f (x ), понятий:
Скачать:
Подписи к слайдам:
Функция У=F(Х)и графики.Линейная функция.Квадратичная функция.
Исследование функций.
Траектория полета – парабола
Траектория движения кометв межпланетном пространстве – парабола
Парабола в архитектуре
Какие функции знаете?
а)
б)
в)
Графиком квадратичной функции является парабола
Прочти и вспомни, какие функции ты знаешь
Назови свойства этих функций
Графики каких функций составляют искомый график?
Свойства функции
1.Область определения: значение Х2.Наибольшее и наименьшее значение функции: У наиб.У наим.3.У=0 при Х4.У>0 при Х5.У №39.40 стр 180
Свойства
а) f(–1) = (–1)2 = 1; f(2) = 4; f(1) = 4 Ч 1 = 4; f(1,5) = 4; f(–2) = (–2)2 = 4.б) в) 1. Область определения функции [–2; 3];2. унаим. = 0 (достигается при х = 0);yнаиб. = 4 (достигается при х = – 2 и в любой точке полуинтервала , возрастает на отрезке и постоянна в полуинтервале ;
2. у наим. = 0 (достигается при х = 0);
y
наиб.
= 4 (достигается при
х
= – 2 и в любой точке полуинтервала , возрастает на отрезке и постоянна в полуинтервале }