При этом, выполняются следующие соотношения

Чтобы с помощью можно было сравнивать нечеткие множества , имеющие различные носители, надо нормировать , потребовав, чтобы для любого множества мера нечеткости не превышала какой-то определенный порог, например, 1. Нормированное расстояние между нечетким множеством и ближайшим к нему обычным множеством называют индексом нечеткости и обозначают .

В таблице 6.3 приведены основные формулы вычисления индекса нечеткости. - обычное множество, ближайшее к нечеткому множеству , – характеристическая функция множества , вычисляемая по формуле (6.7) .

Основные формулы вычисления индексов нечеткости множеств

Таблица 6.3.

Вид метрики	Вид множества
	– дискретное множество, число его элементов	- непрерывное множество
Линейное расстояние Хемминга
Евклидово расстояние

Пример 6.9

Для множеств и примера 6.1 рассчитаем в MathCad индексы нечеткости, , используя метрику Евклида и по метрике Хемминга..

Индексы нечеткости по Евклиду и по Хеммингу для множеств и :

6.7 Экспертные оценки методом нечетких множеств

В процессе принятия решений по вопросам управления организациями достаточно часто прибегают к методу экспертных оценок. Суть метода состоит в следующем: эксперты анализируют проблему, давая количественную оценку характеристикам объектов, в дальнейшем полученные результаты обрабатываются, и на основании анализа мнений группы экспертов принимается решение проблемы.

В такой процедуре возникает, по крайней мере, две проблемы, связанные между собой.

Первая - при оценке объектов эксперты обычно расходятся во мнениях по решаемой проблеме. В связи с этим возникает необходимость оценить степень согласия экспертов количественно. Получение количественной меры согласованности позволяет более обосновано интерпретировать причины расхождений. Вторая - выбор лучшей альтернативы из имеющихся на основе агрегации результатов или, как говорят, свертки с учетом веса мнения эксперта или весомости критерия. Для получения более адекватных оценок в данном анализе можно использовать аппарат теории нечетких множеств. Автором Назаровым Д.М. разработана методика для решения таких задач.

Методика Назарова

Если имеется универсальное множество U, элементы которого имеют неоднозначную составляющую, можно построить нечеткое подмножество множества и рассмотреть его характеристическую функцию . Если близко к значению 1 или 0, то вклад элемента в нечеткость множества мал. И наоборот, если близко к значению 0,5 (значительно отличается как от 1, так и от 0), то его вклад в нечеткость будет значителен. Таким образом, вклад в нечеткость каждого элемента множества определяется близостью или отдаленностью значения функции принадлежности на этом элементе к числам 1 и 0, а мера нечеткости всего множества определяется как сумма вкладов каждого его элемента. Чтобы сравнивать нечеткие множества , имеющие различные носители, надо их нормировать. Представляя имеющиеся данные в виде нормированных нечетких множеств, можно анализировать их с использованием индексов нечеткости. Для вычисления индекса нечеткости , надо построить ближайшее к нечеткому множество с функцией принадлежности (см. 6.6) и рассчитать нормированное расстояние по Хэммингу (см. 6.7).

Таким образом, чтобы ответить на вопрос: "Какое из двух множеств "более нечетко"?", надо вычислить и сравнить индексы нечеткости этих множеств. "Более нечетким" является то множество, которое имеет больший индекс нечеткости.

Рассмотрим предложенную методику на примере задачи.

Задача 6.1

Пусть имеются данные экспертных оценок по ряду вопросов. Были поставлены 10 вопросов, 30 экспертов давали оценки по 10- бальной системе. Требуется обработать результаты анкетирования на предмет согласованности оценок. По каким вопросам были даны наиболее согласованные оценки. С другой стороны, какие эксперты были более определенны в своих оценках. Для решения используем методику Назарова.

Постановка задачи

Неоднозначность оценок вызвана с одной стороны, может быть, нечеткой постановкой вопросов, с другой, стороны, у каждого эксперта свое видение проблемы. Учитывая неоднозначность оценок экспертов, будем рассматривать массив данных как множество , для которого построим нечеткое подмножество с характеристической функцией . Проведем анализ нечеткого множества по методике Назарова. Для этого рассчитаем индексы нечеткости множеств оценок экспертов и сравним их. При этом, задача распадается на две:

Задача 6.1.1

Определить индексы нечеткости множеств оценок всех экспертов по каждому вопросу и, тем самым, выявить самые неоднозначные вопросы, при ответе на которые мнения экспертов максимально расходились.

Задача 6.1.2

Определить индексы нечеткости множеств оценок по всем вопросам каждого эксперта и выявить, какой эксперт давал наиболее неоднозначные ответы,

Решение задачи 6.1.1.

Представим решение в системе MathCad. Используем матричное представление данных .

Представляем множество оценок в виде матрицы . Имеем массив оценок по 10- бальной системе: по 10 вопросам (столбцы) 30 экспертов (строки).

Оценки 30 экспертов:



Построим функцию принадлежности . нечеткого множества оценок при ответах экспертов на каждый вопрос следующим образом:

• Подсчитаем частоту различных оценок при ответе на каждый вопрос:

  Матрица частоты оценок :

  

  Подсчитаем доли различных оценок при ответе на каждый вопрос. Таким образом, мы выявим степени принадлежности каждой оценки к множеству оценок по рассматриваемому вопросу. Для этого значения каждой ячейки предыдущей таблицы разделим на 30 – по количеству экспертов (Рис.6.14).

  

  Нечеткое множество экспертных оценок :

  

  Нормируем значения предыдущей таблицы, разделим их на максимальное значение по каждому столбцу. При этом максимальное значение степени принадлежности каждой оценки нечеткому множеству оценок при ответе экспертов на каждый вопрос станет равным единице, и мы получим значения функции принадлежности оценок.

  

  Нормированное нечеткое множество экспертных оценок :

  

Нами получено нечеткое множество оценок экспертов по каждому вопросу Построим четкое множество, ближайшее к рассматриваемому нечеткому множеству - = . Применим условную функцию .

Множество , ближайшее к рассматриваемому нечеткому множеству:



Рассчитаем индекс нечеткости по линейной метрике (расстояние по Хэммингу) по формуле: .

Для этого:



Отклонения – расстрояние по Хэмингу

Решая задачи, приходится встречаться с ситуациями, когда элемент в некоторой степени принадлежит данному множеству. Например, определяется множество небольших величин. Кто может точно сказать, начиная с какого значения величины можно считать величину небольшой? На этот вопрос нет однозначного ответа. Поэтому одним из способов математического описания нечеткого множества является определение степени принадлежности элемента нечеткому множеству. Степень принадлежности задается числом из интервала . Границы интервала - 0, 1, означают, соответственно, «не принадлежит» и «принадлежит». В разд. 1 принадлежность элемента x множеству А записывается в формализованном виде xÎА . Данная запись может быть представлена в виде характеристической функции:

Принадлежность множеству может быть представлена в графической виде. Например, в одномерном арифметическом пространстве R заданы два множества AÎR и BÎR . Принадлежность xÎА можно представить в виде прямоугольника П А , показанного на рис. 2.1, а принадлежность xÎВ - в виде прямоугольника П В , показанного на рис. 2.2. Принадлежность x объединению множеств xÎАÇВ представлена прямоугольником П А Ç В , показанны на рис. 2.3. Принадлежность двухмерному множеству будет представлена параллепипедом в трехмерном пространстве, а принадлежность n –мерному множеству – (n +1)-мерным параллепипедом.

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Нечетким подмножеством A множества X называется множество двоек . Функция m A , являющаяся отражением элементов xÎX в элементы множества (m a:X®), называется функцией принадлежности нечеткого множества , а X - базовым множеством.

Конкретное значение m A (x) , заданное для элемента x , называется степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству . Hосителем нечеткого множества называется подмножество ÎX , содержащее те элементы xÎX , для которых значение функции принадлежности больше нуля.

Пример. Пусть X - множество натуральных чисел X={1,2,3, ...,x max } , предназначенных для определения цены изделия. Нечеткое подмножество «небольшая цена» может быть задано в следующем виде:

={<1/1>,<0,9/2>,<0,8/3>,<0,7/4>,<0,6/5>,<0,5/6>,<0,4/7>,<0,3/8>,

<0,2/9>,<0,1/10>,<0/11>,...,<0/x max >}.

Принадлежность значений цены нечеткому подмножеству «небольшая цена» показана на рис.2.4.

Если рассматривать множество X как непрерывное множество натуральных чисел, то принадлежность значений цены нечеткому подмножеству «небольшая цена» будет иметь вид непрерывной функции, как показано на рис.2.5. Рассмотрим свойства нечетких множеств.

Высота (height - hgt) нечеткого множества : .

Нечеткое множество с hgtA=1 называется нормальным, а при hgtA<1 - субнормальным. Ядро (core, kernal, nucleus) или центр нечеткого множества : core ={xÎX/m A (x)=1} . Основание (support – supp) нечеткого множества : supp ={xÎX/m A (x)>1} . Поперечными точками (crossover point) нечеткого множества называется совокупность core {xÎX/m A (x)=0,5} . Уровень a , или a –разрез (сечение) нечеткого множества : a ={xÎX/m A (x)³a} . a –разрез нечеткого множества еще обозначают: a -cut . Строгий a –разрез нечеткого множества : a ={xÎX/m A (x)>a} . Выпуклое (convex) нечеткое множество : "x 1 ,x 2 ,x 3 ÎX:x 1 £x 2 £x 3 ®m A (x 2)³min(m A (x 1),m A (x 3)). При невыполнении неравенства нечеткое множество называется невыпуклым. На рис. 2.6 приведена иллюстрация вышеназванных свойств.

Отдельным видом нечеткого множества А является нечеткое число (нечеткий синглтон) при выполнении условий : А является выпуклым, высота является нормальной (hgt А=1 ), m А (x) является кусочно-непрерывной функцией, ядро или центр множества A (core A ) содержит одну точку. Пример принадлежности x нечеткому числу «приблизительно 5» показан на рис. 2.7.

Другим видом нечеткого множества является задание некоторых переменных в виде нечеткого интервала. Известно определение.

Нечеткий интервал – это выпуклая нечеткая величина A , функция принадлежности которой квазивогнута, так что

"u,v, "wÎ, m A (w)³min(m A (u), m A (v)), u,v,wÎX.

Тогда нечеткое число - полунепрерывный сверху нечеткий интервал с компактным носителем и единственным модальным значением. Задание параметров задачи в виде нечеткого интервала – это очень удобная форма для формализации неточных величин. Обычный интервал часто является неудовлетворительным представлением, т.к. необходимо фиксировать его границы. Могут быть оценки завышенными или заниженными, что вызовет сомнение в результатах расчетов. Задание параметров задачи в виде нечеткого интервала будет одновременно и завышенным, и заниженным, а носитель (базовое множество) нечеткого интервала будут выбран так, что ядро содержит наиболее правдоподобные значения и будет гарантировано нахождение рассматриваемого параметра в требуемых пределах.

Задание нечетких интервалов может быть осуществлено экспертами следующим образом. Нечеткий интервал задают четверкой параметровМ= () (см. рис.2.8), где и - соответственно нижнее и верхнее модальные значения нечеткого интервала, а a и b представляют собой левый и правый коэффициент нечеткости. Задание нечеткого интервала может быть выполнено следующими способами.

Вариант 1. Нижнее и верхнее модальные значения интервала совпадают, а a и b равны нулю. Значение x определяется с неопределенностью равной нулю. Для задания нечеткой входной переменной на множестве X определим формально нечеткий интервал =(x min =x, x m ax =x,0,0), где x imin - нижнее модальное значение , а x m ax - верхнее модальное значение .

Четкое задание x на множестве значений X, как это показано на рис. 2.9, является частным случаем задания нечеткого интервала, причем, m A (x) - значение степени принадлежности интервалу.

Вариант 2. Задание x определяется с неопределенностью отличной от нуля. Пример показан на рис. 2.10. Нечеткий интервал определен, как =(x min , x m ax =x min ,0,b), т.е. верхнее и нижнее модальные значения интервала совпадают.

Рис. 2.9 Рис. 2.10

Вариант 3. Задание x может быть получено из интервала [А,В] . Пример показан на рис. 2.11. Степень принадлежности равна единице, причем =(А=x min ,В=x m ax ,0,0) , где А – нижнее модальное значение (минимально возможное значение входной переменнойx ), В – верхнее модальное значение (максимальное значение входной переменнойx .

Вариант 4. Значение входной переменнойx i может быть получено из интервала значений [А,С] [А,В] (A£B£С). Формально нечеткий интервал определен в виде =(А=x min ,В=x max ,0,b) . Пример задания показан на рис. 2.12, гдеb=С-В.

Вариант 5. Значение входной переменнойq i экспертами может быть определено из интервала значений [А,D] таким образом, что в интервале [В,C] неопределенность получения равна единице (A£B£С£D). Формально нечеткий интервал в этом случае определим в виде =(B=x min ,C=x max ,a,b) . Пример задания нечеткого интервала показан на рис. 2.13, гдеa=B-A, b=D-C.

Рассмотрим операции над нечеткими интервалами.

Рис. 2.11 Рис. 2.12

Операция нечеткого суммирования для нечетких интервалов определяется следующим образом. Сумма двух нечетких интервалов М i =() и М j =(), записываемая в виде М i М j , также есть нечеткий интервал М i М j = , где a=a i + a j ; b=b i + b j ; , . Сумма n нечетких интервалов определится формулами:

.

Если , a , где и - выпуклые интервалы, то , причем - совокупность интервалов, которая определена по предыдущим формулам.

Операция разности нечетких интервалов определяется следующим образом. Нечеткая разность двух нечетких интервалов и есть трапециевидный интервал , для которого c=|a-h|, d=|b-l|, , , где - соответственно нижние модальные значения нечетких интервалов , - верхние модальные значения нечетких интервалов .

Принятие решений связано с осуществлением сравнений полученного нечеткого интервала либо экспертами, либо по данным моделирования с действительным числом. Операция сравнения нечеткого интервала и действительного числа выполняется следующим образом.

Действительное число А представим в виде интервала (А,А,0,0) . Определение меньшего или большего значения нечеткого интервала по отношению к действительному числуА производится по формулам:

А , если |A-()|£|A-()| и A£ ;

А , если |A-()|³|A-()| и A³ .

Для нечетких интервалов существует операция произведения и деления. Произведение двух нечетких интервалов и определится в виде трапециевидного интервала , параметры которого определяют по формулам:

c=ah, d=bl, ; .

Эти правила для умножения двух нечетких интервалов в зависимости от знаков чисел , , , принимают вид:

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то .

Рассмотрим операцию деления. Деление двух нечетких интервалов и даст трапециевидный интервал , параметры которого определяются следующим образом:

c=ah, d=bl, ; ,

причем в зависимости от знаков чисел , , , данное правило для деления двух нечетких интервалов будет выглядеть так:

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то .

Функции принадлежности

Функции принадлежности является субъективным понятием, т.к. они определяются людьми (экспертами) и каждый человек дает свою оценку. Существуют различные методы задания функций принадлежности .

Будем считать, что функция принадлежности - это некоторое невероятное субъективное измерение нечеткости и что она отличается от вероятностной меры, т.е. степень принадлежности m A (x) элемента x нечеткому множеству есть субъективная мера того, насколько элемент xÎX соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством .

Степень соответствия элемента x понятию, формализуемому нечетким множеством , определяется опросом экспертов и представляет собой субъективную меру.

Существует два класса методов построения функций принадлежности множества : прямые и косвенные.

2.2.1. Прямые методы построения. Прямыми методами построения функций принадлежности называют такие методы, в которых степени принадлежности элементов x множества X непосредственно задаются либо одним экспертом, либо коллективом экспертов. Прямые методы подразделяются на прямые методы для одного эксперта и для группы экспертов в зависимости от количества экспертов.

Прямой метод для одного эксперта состоит в том что эксперт каждому элементу xÎX ставит в соответствие определенную степень принадлежности m A (x) , которая, по его мнению, наилучшим образом согласуется со смысловой интерпретацией множества .

Применение простых методов для группы экспертов позволяет интегрированно учитывать мнение всех экспертов и строить график соответствия между элементами из множества X . Возможна следующая процедура построения функции принадлежности m A (x) .

Экспертам, составляющим группу из m человек, задается вопрос о принадлежности элемента xÎX нечеткому множеству . Пусть часть экспертов, состоящая из n 1 человек, ответила на вопрос положительно, а другая часть экспертов n 2 =m-n 1 ответила отрицательно. Тогда принимается решение, что m A (x)=n 1 /m .

В более общем случае оценкам экспертов сопоставляются весовые коэффициенты a i Î . Коэффициенты a i отражают степень компетентности экспертов. Степень принадлежности элемента x нечеткому множеству определится

где p i =1 при положительном ответе и p i =0 при отрицательном ответе эксперта.

Недостатки прямых методов состоят в присущем им субъективизме т.к. человеку присуще ошибаться.

2.2.2. Косвенные методы построения функций принадлежности. Косвенными методами построения функций принадлежности называют такие методы, в которых достигается снижение субъективного влияния за счет разбиения общей задачи определения степени принадлежности m A (x) , xÎX на ряд более простых подзадач. Одним из косвенных методов является метод попарных сравнений. Рассмотрим его суть.

На основе ответов экспертов строится матрица попарных сравнений M=½½m ij ½½ , в которой элементы m ij представляют собой оценки интенсивности принадлежности элементов x i ÎX подмножеству по сравнению с элементами x j ÎX . Функция принадлежности m a (x) определяется из матрицы M . Предположим, что известны значения функции принадлежности m A (x) для всех значений xÎХ . Пусть m A (x)=r i , Тогда попарные сравнения определяются m ij =r i /r j . Если отношения точны, то получается соотношение в матричном виде MR=n*R , где R=(r 1 ,r 2 ,...,r n), n - собственное значение матрицы M , по которому восстанавливается векторR с учетом условия Эмпирический вектор R имеет решение в задаче на поиск собственного значения M*R=l max , где l max - наиболее собственное значение. Задача сводится к поиску вектора R , который удовлетворяет уравнению

M*R=l max *R . (2.1)

Это уравнение имеет единственное решение. Значения координат собственного вектора, соответствующие максимальному собственному значению l max , деленные на их сумму, будут искомыми степенями принадлежности. Понятия, которые предложены экспертам, а также соответствие этих понятий величинам m ij , приведены в табл.2.1.

Таблица 2.1

Интенсивность важности	Качественная оценка	Объяснения
	Несравнимость	Нет смысла сравнивать элементы
	Одинаковая значимость	Элементы равны по значению
	Слабо значимее	Существуют показания о предпочтении одного элемента другому, но показания неубедительны.
	Существенно или сильнее значимее	Существует хорошее доказательство и логические критерии, которые могут показать, что один из элементов более важен
	Очевидно значимее	Существует убедительное доказательство большей значимости одного элемента по сравнению с другим
	Абсолютно значимее	Максимально подтверждается ощутимость предпочтения одного элемента другим
2,4,6,8	Промежуточные оценки между соседними оценками	Необходим компромисс
Обратные величины ненулевых значений	Если оценка m ij имеет ненулевое значение, приписанное на основании сравнения элемента r i с элементом r j , то m ij имеет обратное значение 1/m ij .

Производится опрос экспертов относительно того, насколько, по их мнению, величина m A (x i) превышает величину m A (x i) , т.е. насколько элемент x i более значим для понятия, описываемого нечетким множеством , чем элемент x j . Опрос позволит построить матрицу попарных сравнений, которая имеет вид

Определение элемента r i ÎR происходит следующим образом. Вычисляется сумма каждого j -го столбца матрицы M. Из построения матрицы M следует, что Отсюда следует, что r i =1/k i .

Определив все величины k j , получим значения элементов вектора R . Исходя из того, что матрица M , как правило, построена неточно, найденный вектор R используется как начальный в итерационном методе решения уравнения (2.1).

2.2.3. Виды функций принадлежности. Выше было определено, что функции принадлежности могут иметь трапецеидальный вид (см. рис. 2.7), треугольный вид (см. рис. 2.7). Функции принадлежности могут иметь также и колоколообразный вид (рис. 2.14).

Для колоколообразного вида функция принадлежности определена выражением

,

где m - заданное число, d - показатель нечеткости.

Для трапецеидального вида функция принадлежности определена выражением: m A (x)=min{max(a-k|x-b|;0);1}, где a , b - заданные числа, k - показатель нечеткости.

При решении задач нечеткого управления могут быть применены и другие функции:

m A (x)=e -kx , x>0; m A (x)=1-a x , 0£x£a -1/k ; m A (x)=(1+kx 2) -1 , k>1.

Нечеткое множесто с одномерной функцией принадлежности m A (x) принято называть нечетким множеством первого рода .

Существуют нечеткие множества второго рода , для который функция принадлежности: .

Двухмерное нечеткое множество A определено в следующем виде: A=(A 1 ´A 2: m A (x 1 ,x 2)) , где A 1 ´A 2 - декартово произведение, m A (x 1 ,x 2)=min{a-k 1 |x 1 -b| - k 2 |x 2 -c|; (x 1 =0, x 2 =0)); - двухмерная функция принадлежности трапецеидального вида, в которой: a , b , c - заданные числа, k 1 , k 2 - показатели нечеткости. Пример задания двухмерной функции принадлежности трапецеидального вида приведен на рис. 2.15.

Двухмерная функция принадлежности колоколообразного вида определена формулой:

где m 1 , m 2 - заданные числа, d 1 , d 2 - показатели нечеткости.

Универсум

Элементы нечеткого множества выбираются (черпаются) из универсального множества или короче универсума . Универсум включает в себя все элементы, которые можно использовать при рассмотрении множества. В частности в выше рассмотренном примере универсумом является множество

U = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 ].

Можно сказать, что универсум является областью определения множества , следовательно, и его функции принадлежности. Тем не менее, универсум зависит от контекста, как показывает следующий пример.

Пример 1.3 (универсум) . а) множество «молодые люди» может иметь в качестве универсума всех людей, проживающих на земле. Как альтернативу универсумом можно считать людей, возраст которых лежит между 0 и 100 годами; эти люди будут представлять переменную возраст (рис. 1.3).

Множества «более или менее молодой», «очень молодой» и «не очень молодой» получены из множеств «молодой» и «старый» ;

б) множество x >>10 (x много больше 10 вольт ) может иметь как универсум все положительные результаты измерений напряжения.

Применение универсума позволяет исключить из рассмотрения ошибочные результаты измерений, например отрицательные значения для уровня воды в баке.

В том случае, когда мы имеем дело с нечисловыми переменными, например, с переменной вкус пищи , которые не могут быть измерены в отношении численного масштаба, мы не можем использовать в качестве универсума множество чисел. При этом элементы универсума должны быть взяты, как говорят, из психологического континуума(сплошной среды) ; для данного примера таким универсумом может быть {горький, соленый, кислый, сладк ий,…}.

Определение (нечеткое множество ). Если U есть набор элементов (другими словами, универсум), обозначаемых традиционно x , то нечеткое множество A в U определяется как упорядоченное множество пар:

где называется функцией принадлежности (ФП) x к A .

Каждый элемент в универсуме является членом (элементом) нечеткого множества A с некоторой степенью принадлежности, может быть и с нулевой.

ФП является просто степенью, с которой элемент x принадлежит к множеству A. ФП преобразует универсум U в интервал ,

: U ,

т.е. каждому элементу x универсума U ставит в соответствие определенное число из интервала . Если =0,8, то говорят, что элемент x i на 80% принадлежит нечеткому множеству A .

Нечеткое множество строго определяется с помощью функции принадлежности, другими словами, логика определения понятия нечеткого множества не содержит никакой нечеткости. Четкое множество является частным случаем нечеткого множества, т.е. понятие нечеткого множества является расширенным понятием, охватывающим понятие четкого множества.

Непрерывное и дискретное представления . Существуют два альтернативных представления функций принадлежности в компьютере: непрерывный и дискретный. В непрерывной форме функция принадлежности есть математическая функция, возможно программа. Функция принадлежности может быть колоколообразной (так называемая - кривая ), s- образной (называемая s-кривой ), обратная s- образной (называемая z-кривой ), треугольной или трапециидальной. На рис. 1.2 изображена как пример - кривая . В дискретной форме функция принадлежности и универсум представляют собой дискретные значения (точки) в списке (векторе). В ряде случаев удобно иметь дело с дискретными представлениями.

В соответствии с эмпирическим правилом непрерывная форма требует более быстродействующего, но с меньшей памятью АЦП, чем дискретная форма.

Пример 1.4 (непрерывная форма) . Функция косинуса может быть использована для построения различных функций принадлежности. Так s-кривая может быть описана как

, (1.3)

где a l - левая точка излома, а a r - правая точка излома кривой. z-кривая является зеркальным отражением s-кривой относительно точки (a r - a l)/2 :

. (1.4)

При этом - кривая может быть интерпретирована как комбинация s-кривой и z-кривой, тогда в интервале при условии значения функции принадлежности

одинаковы и максимальны.

На рис. 1.2 изображена - кривая, описываемая функцией

Пример 1.5 (дискретная форма) . Чтобы получить дискретное представление, эквивалентное кривой, изображенной на рис. 1.2, предположим, что универсум U = u представлен дискретными значениями, скажем такими

u = .

Занесем результаты вычислений по формулам (1.3), (1.4) и (1.5) в соответствующий список значений

или в кратком виде,

[ 0 0,04 0,31 0,69 0,96 1 ].

Кстати, символически принято нечеткое множество на универсуме записывать как множество упорядоченных пар,

для непрерывных и дискретных универсумов соответственно. Здесь символы ине имеют никакого отношения к операциям интегрирования и суммирования. Так нечеткое множество, представленное ФП на рис. 1.2, можно записать в виде

Из приведенных примеров мы видим, что конструкция нечеткого множества зависит от двух вещей: выбора подходящего универсума и выбора соответствующей функции принадлежности . Еще раз отметим, что выбор функции принадлежности является в сущности субъективным делом, из чего следует, что выбранные разными людьми функции принадлежности для одного и того же понятия (скажем, «холодный») могут значительно отличаться. Эта субъективность проистекает из неопределенной природы абстрактных понятий и не имеет ничего общего с вероятностью. Поэтому субъективность и неслучайность нечетких множеств являются главным отличием изучения нечетких множеств и теории вероятности. Последняя имеет дело с объективной трактовкой случайных событий (явлений).

Нормализация . Нечеткое множество называется нормализованным , если самое большое значение функции принадлежности, так называемая высота нечеткого множества, равно 1, Вы нормализуете нечеткое множество путем деления каждого элемента его функции принадлежности на упомянутое самое большое значение, a/max(a) . При использовании функций принадлежности различают другие параметры, в частности ядро или сердцевину (см. рисунок ниже).

Ядро или сердцевина нормализованного нечеткого множества A включает все элементы x , для которых =1. Четкое подмножество элементов, имеющих отличную от нуля степень принадлежности, называют основным (опорным) для нечеткого множества или носителем нечеткого множества. Опора или основа нечеткого множества A включает все элементы x , для которых 0.

Нечеткое множество (fuzzyset) представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя точно утверждать – обладают ли эти элементы некоторым характеристическим свойством, которое используется для задания нечеткого множества.

Пусть X – универсальное (базовое) множество, x – элемент X , а R – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества X , элементы которого удовлетворяют свойству R , определяется как множество упорядоченных пар
A = μ A x / x , где μ A x – характеристическая функция, принимающая значение 1 , если x удовлетворяет свойству R , и 0 – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из X нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R . В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества X определяется как множество упорядоченных пар A = μ A x / x , где μ A x – характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности ), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M = 0 ; 1 . Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A . Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = 0 ; 1 , то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество. Степень принадлежности μ A x является субъективной мерой того, насколько элемент x ∈ X , соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством A .

Носителем нечеткого множества A является четкое подмножество S A универсального множества X со свойством μ A x > 0 , т.е. S A = x ∣ x ∈ X ∧ μ A x > 0 . Иными словами, носителем нечеткого множества A является подмножество S A универсального множества X , для элементов которого функция принадлежности μ A x > 0 больше нуля. Иногда носитель нечеткого множества обозначают support A .

Если носителем нечеткого множества A является дискретное подмножество S A , то нечеткое подмножество A универсального множества X , состоящего из n элементов, можно представить в виде объединения конечного числа одноточечных множеств μ A x / x при помощи символа ∑ : A = ∑ i = 1 n μ A x i / x i . При этом подразумевается, что элементы x i упорядочены по возрастанию в соответствии со своими индексами, т.е. x 1 < x 2 < x 3 < … < x n .

Если носителем нечеткого множества A является непрерывное подмножество S A , то нечеткое подмножество A универсального множества X , рассматривая символ ∫ как непрерывный аналог введенного выше символа объединения для дискретных нечетких множеств ∑ , можно представить в виде объединения бесконечного числа одноточечных множеств μ A x / x:

A = ∫ X μ A x / x .

Пример. Пусть универсальное множество X соответствует множеству возможных значений толщин изделия от 10 мм до 40 мм с дискретным шагом 1 мм. Нечеткое множество A , соответствующее нечеткому понятию «малая толщина изделия», может быть представлено в следующем виде:

A = 1 / 10 ; 0,9 / 11 ; 0,8 / 12 ; 0,7 / 13 ; 0,5 / 14 ; 0,3 / 15 ; 0,1 / 16 ; 0 / 17 ; … ; 0 / 40 ,

A = 1 / 10 + 0,9 / 11 + 0,8 / 12 + 0,7 / 13 + 0,5 / 14 + 0,3 / 15 + 0,1 / 16 + 0 / 17 + … + 0 / 40 ,

где знак суммирования обозначает не операцию арифметического сложения, а объединения элементов в одно множество. Носителем нечеткого множества A будет конечное подмножество (дискретный носитель):

S A = 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 .

Если же универсальное множество X является множеством действительных чисел от 10 до 40 , т.е. толщина изделия может принимать все возможные значения в этих пределах, то носителем нечеткого множества A является отрезок S A = 10 ; 16 .

Нечеткое множество с дискретным носителем может быть представлено в виде отдельных точек на плоскости, нечеткое множество с непрерывным носителем может быть представлено в виде кривой, что соответствует дискретной и непрерывной функциям принадлежности μ A x , заданным на универсальном множестве X (рис.2.1).

Рис.2.1. Функции принадлежности нечетких множеств с (а)-дискретным и (б)-непрерывным носителями

Пример. Пусть X = 0 ; 1 ; 2 ; … – множество целых неотрицательных чисел. Нечеткое множество ital малый можно определить как μ ital малый x = x 1 + 0,1 x 2 − 1 .

Рис.2.2. Графическое представление нечеткого множества малый

Нечеткое множество A называется конечным , если его носитель S A является конечным четким множеством. При этом, по аналогии с обычными множествами, можно говорить, что такое нечеткое множество имеет конечную мощность card A = card S A . Нечеткое множество A называется бесконечным , если его носитель S A не является конечным четким множеством. При этом счетным нечетким множеством будет называться нечеткое множество с счетным носителем, имеющим счетную мощность в обычном смысле в терминах теории четких множеств, т.е. если S A содержит бесконечное число элементов, которые однако можно пронумеровать натуральными числами 1,2 ,3 . . . , причем достичь последнего элемента при нумерации принципиально невозможно. Несчетным нечетким множеством будет называться нечеткое множество со несчетным носителем, имеющим несчетную мощность континуума , т.е. если S A содержит бесконечное число элементов, которые невозможно пронумеровать натуральными числами 1,2 ,3 . . .

Пример. Нечеткое понятие «очень маленькое количество деталей» может быть представлено в виде конечного нечеткого множества A = 1 / 0 + 0,9 / 1 + 0,8 / 2 + 0,7 / 3 + 0,5 / 4 + 0,1 / 5 + 0 / 6 + … с мощностью card (A) = 6 и носителем S A = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 , который является конечным четким множеством. Нечеткое понятие «очень большое количество деталей» может быть представлено в виде A = 0 / 0 + … + 0,1 / 1 0 + 0,4 / 11 + 0,7 / 12 + 0,9 / 13 + 1 / 14 + 1 / 15 + … + 1 / n + … , n ∈ N – нечеткого множества с бесконечным счетным носителем S A ≡ N (множество натуральных чисел), который имеет счетную мощность в обычном смысле.

Пример. Несчетное нечеткое множество A , соответствующее нечеткому понятию «очень горячо», задано на универсальном множестве значений температур (в Кельвинах) температурой x ∈ [ 0 ; ∞) и функцией принадлежности μ A = 1 − e − x , с носителем S A ≡ R + (множество неотрицательных действительных чисел), который имеет несчетную мощность континуума.

Величина sup x ∈ X μ A x называется высотой нечеткого множества.

Нечеткое множество A нормально , если его высота равна 1 , т.е. верхняя граница его функции принадлежности sup x ∈ X μ A x = 1 . При sup x ∈ X μ A x < 1 субнормальным.

Нечеткое множество называется пустым , если ∀ x ∈ X μ A x = 0 .

Непустое субнормальное множество всегда можно нормализовать, разделив все значения функции принадлежности на ее максимальное значение μ A x sup x ∈ X μ A x .

Нечеткое множество называется унимодальным , если μ A x = 1 только для одной точки x (моды ) универсального множества X .

Нечеткое множество называется точечным , если μ A x > 0 только для одной точки x универсального множества X .

Множеством α -уровня нечеткого множества A , определенного на универсальном множества X , называется четкое подмножество A α универсального множества X , определяемое в виде:

A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α , где α ∈ 0 ; 1 .

Пример. A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,2 / 3 + 1 / 4 , A 0,5 = 1 ; 2 ; 4 , где A 0,5 – четкое множество, включающее те элементы x упорядоченных пар μ A x / x , составляющих нечеткое множество A , для которых значение функции принадлежности которых удовлетворяет условию μ A x ≥ α .

Для множеств α -уровня выполняется следующее свойство: если α 1 ≥ α 2 , то мощность подмножества A α 1 не больше мощности подмножества A α 2 .

Элементы x ∈ X , для которых μ A x = 0,5 называются точками перехода нечеткого множества A .

Ядром нечеткого множества A , определенного на универсальном множестве X , называется четкое множество core A , элементы которого удовлетворяют условию core A = x ∈ X ∣ μ A x = 1 .

Границей нечеткого множества A , определенного на универсальном множестве X , называется четкое множество front A , элементы которого удовлетворяют условию front A = x ∈ X ∣ 0 < μ A x < 1 .

Пример. Пусть X = 0 ; 1 ; 2 ; … ; 10 , M = 0 ; 1 . Нечеткое множество несколько можно определить на универсальном множестве натуральных чисел следующим образом: несколько = 0,5 / 3 + 0,8 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 + 0,8 / 7 + 0,5 / 8 ; его характеристики: высота = 1 , носитель = 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 , точки перехода = 3 ; 8 , ядро = 5 ; 6 , граница = 3 ; 4 ; 7 ; 8 .

Нечеткое множество A , определенное на универсальном множестве X , называется выпуклым , если μ A x ≥ min μ A a ; μ A b ; a < x < b ; x , a , b ∈ X (рис.2.3).

Рис.2.3. Функции принадлежности выпуклого и невыпуклого нечетких множеств

В обыденной жизни мы часто сталкиваемся со случаями, когда не существует элементарных измеримых свойств и признаков, которые определяют интересующие нас понятия, например, красоту, интеллектуальность. Бывает трудно проранжировать степень проявления свойства у рассматриваемых элементов. Так как степени принадлежности рассматриваются на данном реальном множестве, а не в абсолютном смысле, то интенсивность принадлежности можно определять, исходя из попарных сравнений рассматриваемых элементов.

Среди косвенных методов определения функции принадлежности наибольшее распространение получил метод парных сравнений Саати . Сложность использования этого метода заключается в необходимости нахождения собственного вектора матрицы парных сравнений, которая задается с помощью специально предложенной шкалы. Причем эти сложности увеличиваются с ростом размерности универсального множества , на которой задается лингвистический терм .

Мы рассмотрим метод, также использующий матрицу парных сравнений элементов универсального множества . Но, в отличие от метода Саати, он не требует нахождения собственного вектора матрицы, т.е. освобождает исследователя от трудоемких процедур решения характеристических уравнений .

Пусть - некоторое свойство, которое рассматривается как лингвистический терм . Нечеткое множество , с помощью которого формализуется терм , представляет собой совокупность пар:

Где - универсальное множество , на котором задается нечеткое множество . Задача состоит в том, чтобы определить значения для всех . Совокупность этих значений и будет составлять неизвестную функцию принадлежности.

Метод, который предлагается для решения поставленной проблемы, базируется на идее распределения степеней принадлежности элементов универсального множества согласно с их рангами. Эта идея раньше использовалась в теории структурного анализа систем, где рассмотрены различные способы определения рангов элементов.

В нашем случае под рангом элемента будем понимать число , которое характеризует значимость этого элемента в формировании свойства, описываемого нечетким термом. Допускаем, что выполняется правило: чем больший ранг элемента, тем больше степень принадлежности .

Для последующих построений введем такие обозначения: , . Тогда правило распределения степеней принадлежности можно задать в виде системы соотношений:

Используя данные соотношения, легко определить степени принадлежности всех элементов универсального множества через степень принадлежности опорного элемента.

Если опорным является элемент с принадлежностью , то

Учитывая условие нормирования, находим:

Полученные формулы дают возможность вычислять степени принадлежности элементов к нечеткому терму двумя независимыми путями:

Эта матрица обладает следующими свойствами:

а) она диагональная, т.е.

б) ее элементы, которые симметричны относительно главной диагонали, связаны зависимостью

в) она транзитивна, т.е. .

Наличие этих свойств приводит к тому, что при известных элементах одной строки матрицы легко определить элементы всех других строк. Если известна -я строка, т.е. элементы , , то произвольный элемент находится так:

Поскольку матрица может быть интерпретирована как матрица парных сравнений рангов, то для экспертных оценок элементов этой матрицы можно использовать 9 балльную шкалу Саати. В нашем случае шкала формируется так:

Числовая оценка	Качественная оценка (сравнение и )
1	отсутствие преимущества над
3	слабое преимущество над
5	существенное преимущество над
7	явное преимущество над
9	абсолютное преимущество над
2, 4, 6, 8	промежуточные