Видеоурок 2:
Степень с натуральным показателем и ее свойства
Лекция:
Степень с натуральным показателем
Под степенью некоторого числа "а" с некоторым показателем "n" понимают произведение числа "а" само на себя "n" раз.
Когда говорят о степени с натуральным показателем, это означает, что число "n" должно быть целым и не отрицательным.
а - основание степени, которое показывает, какое число следует умножать само на себя,
n - показатель степени - он говорит, сколько раз основание нужно умножить само на себя.
Например:
8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.
В данном случае под основанием степени понимают число "8", показателем степени считается число "4", под значением степени понимается число "4096".
Самой большой и распространенной ошибкой при подсчете степени является умножение показателя на основание - ЭТО НЕ ВЕРНО!
Когда речь идет о степени с натуральным показателем, имеется в виду, что только показатель степени (n) должен быть натуральным числом.
В качестве основания можно брать любые числа с числовой прямой.
Например,
(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).
Математическое действие, которое совершается над основанием и показателем степени, называется возведение в степень.
Сложение \ вычитание - математические действия первой ступени, умножение \ деление - действие второй ступени, возведение степени - это математическое действие третьей ступени, то есть одной из высших.
Данная иерархия математических действий определяет порядок при расчете. Если данное действие встречается в задачах среди двух предыдущих, то оно делается в первую очередь.
Например:
15 + 6 *2 2 = 39
В данном примере необходимо сначала возвести 2 в степень, то есть
затем полученный результат умножить на 6, то есть
Степень с натуральным показателем используется не только для конкретных вычислений, но и для удобства записи больших чисел. В данном случае еще используется понятие "стандартный вид числа" . Данная запись подразумевает умножение некоторого числа от 1 до 9 на основание степени равное 10 с некоторым показателем степени.
Например , для записи радиуса Земли в стандартном виде используют следующую запись:
6400000 м = 6,4 * 10 6 м,
а масса Земли, например, записывается следующим образом:
Свойства степени
Для удобства решений примеров со степенями необходимо знать основные их свойства:
1. Если Вам необходимо умножить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.
a n * a m = a n+m
Например:
5 2 * 5 4 = 5 6 .
2. Если необходимо разделить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть. Обратите внимани, для действий со степенями с натуральным показателем показатель степени делимого должен быть больше показателя степени делителя. В противном случае, частным данного действия будет число с отрицательным показателем степени.
a n / a m = a n-m
Например,
5 4 * 5 2 = 5 2 .
3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.
(a n) m = a n*m
Например,
4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.
(a * b) m = a m * b m
Например,
(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .
5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.
(a / b) m = a m / b m
6. Любое число, которое возводится в показатель степени, равный единице, равно первоначальному числу.
а 1 = а
Например,
7. При возведении любого числа в степень с показателем ноль, результатом данного вычисления всегда будет единица.
а 0 = 1
Например ,
| |
Нижеприведенная формула будет являться определением степени с натуральным показателем (a — основание степени и повторяющийся множитель, а n — показатель степени, который показывает сколько раз повторяется множитель):
Данное выражение означает, что степень числа a с натуральным показателем n является произведением n сомножителей, при том, что каждый из множителей равняется a .
17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857
17 — основание степени,
5 — показатель степени,
1419857 — значение степени.
Степень с нулевым показателем равна 1 , при условии, что a \neq 0 :
a^0=1 .
Например: 2^0=1
Когда нужно записать большое число обычно используют степень числа 10 .
Например, один из самых древних динозавров на Земле жил около 280 млн. лет назад. Его возраст записывается следующим образом: 2,8 \cdot 10^8 .
Каждое число большее 10 можно записать в виде a \cdot 10^n , при условии, что 1 < a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют стандартным видом числа .
Примеры таких чисел: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5 .
Можно говорить как и «a в n -ой степени», так и «n -ая степень числа a » и «a в степени n ».
4^5 — «четыре в степени 5 » или «4 в пятой степени» или также можно сказать «пятая степень числа 4 »
В данном примере 4 — основание степени, 5 — показатель степени.
Приведем теперь пример с дробями и отрицательными числами. Для избежания путаницы принято записывать основания, отличные от натуральных чисел, в скобках:
(7,38)^2 , \left(\frac 12 \right)^7 , (-1)^4 и др.
Заметьте также разницу:
(-5)^6 — означает степень отрицательного числа −5 с натуральным показателем 6.
5^6 — соответствует числу противоположному 5^6 .
Свойства степеней с натуральным показателем
Основное свойство степени
a^n \cdot a^k = a^{n+k}
Основание остается прежним, а складываются показатели степеней.
Например: 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2}=2^5
Свойство частного степеней с одинаковыми основаниями
a^n: a^k=a^{n-k}, если n > k .
Показатели степени вычитаются, а основание остается прежним.
Данное ограничение n > k вводится для того, чтобы не выходить за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при n > k показатель степени a^{n-k} будет являться натуральным числом, иначе он будет либо отрицательным числом (k < n ), либо нулем (k-n ).
Например: 2^3: 2^2 = 2^{3-2}=2^1
Свойство возведения степени в степень
(a^n)^k=a^{nk}
Основание остается прежним, перемножаются лишь показатели степеней.
Например: (2^3)^6 = 2^{3 \cdot 6}=2^{18}
Свойство возведения в степень произведения
В степень n возводится каждый множитель.
a^n \cdot b^n = (ab)^n
Например: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3
Свойство возведения в степень дроби
\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b} \right) ^n, b \neq 0
В степень возводится и числитель и знаменатель дроби. \left(\frac{2}{5} \right)^3=\frac{2^3}{5^3}=\frac{8}{125}
В этой статье мы разберемся, что такое степень числа . Здесь мы дадим определения степени числа, при этом подробно рассмотрим все возможные показатели степени, начиная с натурального показателя, заканчивая иррациональным. В материале Вы найдете массу примеров степеней, покрывающих все возникающие тонкости.
Навигация по странице.
Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа
Для начала дадим . Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для a , которое будем называть основанием степени , и n , которое будем называть показателем степени . Также отметим, что степень с натуральным показателем определяется через произведение, так что для понимания нижеизложенного материала нужно иметь представление об умножении чисел.
Определение.
Степень числа a
с натуральным показателем n
- это выражение вида a n
, значение которого равно произведению n
множителей, каждый из которых равен a
, то есть, .
В частности, степенью числа a
с показателем 1
называется само число a
, то есть, a 1 =a
.
Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи a n таков: «a в степени n ». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n -ой степени» и «n -ая степень числа a ». Для примера возьмем степень 8 12 , это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».
Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа , например, 7 2 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа , к примеру, 5 3 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5 ».
Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями . Начнем со степени 5 7 , здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: 4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32) 9 .
Обратите внимание, что в последнем примере основание степени 4,32 записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках. Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2) 3 и −2 3 . Выражение (−2) 3 – это степень −2 с натуральным показателем 3, а выражение −2 3 (его можно записать как −(2 3) ) соответствует числу, значению степени 2 3 .
Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n . При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. Например, 4^9 – это другая запись степени 4 9 . А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^ »: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида a n .
Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к .
Известно, что множество рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел, причем каждое дробное число может быть представлено в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Степень с целым показателем мы определили в предыдущем пункте, поэтому, чтобы закончить определение степени с рациональным показателем, нужно придать смысл степени числа a с дробным показателем m/n , где m – целое число, а n - натуральное. Сделаем это.
Рассмотрим степень с дробным показателем вида . Чтобы сохраняло силу свойство степени в степени, должно выполняться равенство . Если учесть полученное равенство и то, как мы определили , то логично принять при условии, что при данных m , n и a выражение имеет смысл.
Несложно проверить, что при справедливы все свойства степени с целым показателем (это сделано в разделе свойства степени с рациональным показателем).
Приведенные рассуждения позволяют сделать следующий вывод : если при данных m , n и a выражение имеет смысл, то степенью числа a с дробным показателем m/n называют корень n -ой степени из a в степени m .
Это утверждение вплотную подводит нас к определению степени с дробным показателем. Остается лишь расписать, при каких m , n и a имеет смысл выражение . В зависимости от ограничений, накладываемых на m , n и a существуют два основных подхода.
Проще всего наложить ограничение на a , приняв a≥0 для положительных m и a>0 для отрицательных m (так как при m≤0 степень 0 m не определена). Тогда мы получаем следующее определение степени с дробным показателем.
Определение.
Степенью положительного числа a с дробным показателем m/n , где m – целое, а n – натуральное число, называется корень n -ой из числа a в степени m , то есть, .
Также определяется дробная степень нуля с той лишь оговоркой, что показатель должен быть положительным.
Определение.
Степень нуля с дробным положительным показателем m/n
, где m
– целое положительное, а n
– натуральное число, определяется как .
При степень не определяется, то есть, степень числа нуль с дробным отрицательным показателем не имеет смысла.
Следует отметить, что при таком определении степени с дробным показателем существует один нюанс: при некоторых отрицательных a и некоторых m и n выражение имеет смысл, а мы отбросили эти случаи, введя условие a≥0 . Например, имеют смысл записи или , а данное выше определение заставляет нас говорить, что степени с дробным показателем вида не имеют смысла, так как основание не должно быть отрицательным.
Другой подход к определению степени с дробным показателем m/n заключается в раздельном рассмотрении четных и нечетных показателях корня . Этот подход требует дополнительного условия: степень числа a , показателем которой является , считается степенью числа a , показателем которой является соответствующая несократимая дробь (важность этого условия поясним чуть ниже). То есть, если m/n – несократимая дробь, то для любого натурального числа k степень предварительно заменяется на .
При четных n и положительных m выражение имеет смысл при любом неотрицательном a (корень четной степени из отрицательного числа не имеет смысла), при отрицательных m число a должно быть еще отличным от нуля (иначе будет деление на нуль). А при нечетных n и положительных m число a может быть любым (корень нечетной степени определен для любого действительного числа), а при отрицательных m число a должно быть отличным от нуля (чтобы не было деления на нуль).
Приведенные рассуждения приводят нас к такому определению степени с дробным показателем.
Определение.
Пусть m/n – несократимая дробь, m – целое, а n – натуральное число. Для любой сократимой обыкновенной дроби степень заменяется на . Степень числа a с несократимым дробным показателем m/n - это для
Поясним, зачем степень с сократимым дробным показателем предварительно заменяется степенью с несократимым показателем. Если бы мы просто определили степень как , и не оговорились о несократимости дроби m/n , то мы бы столкнулись с ситуациями, подобными следующей: так как 6/10=3/5 , то должно выполняться равенство , но , а .