Дан закон распределения вероятностей случайной величины х. Законы распределения дискретных случайных величин

Определение 1

Случайная величина $Х$ называется дискретной (прерывной), если множество ее значений бесконечное или конечное, но счетное.

Другими словами, величина называется дискретной, если ее значения можно занумеровать.

Описать случайную величину можно с используя закона распределения.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны все возможные значения случайной величины в порядке возрастания, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений:

Рисунок 1.

где $р1+ р2+ ... + рn = 1$.

Даная таблица является рядом распределения дискретной случайной величины .

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ сходится и его сумма будет равна $1$.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ можно представить графически, для чего в системе координат (прямоугольной) строят ломаную линию, которая последовательно соединяет точки с координатами $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Линию, которую получили называют многоугольником распределения .

Рисунок 2.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть также представлен аналитически (с помощью формулы):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Действия над дискретными вероятностями

При решении многих задач теории вероятности необходимо проводить операции умножения дискретной случайной величины на константу , сложения двух случайных величин, их умножения, поднесения к степени. В этих случаях необходимо придерживаться таких правил над случайными дискретными величинами:

Определение 3

Умножением дискретной случайной величины $X$ на константу $K$ называется дискретная случайная величина $Y=KX,$ которая обусловлена равенствами: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left(x_i\right)=p_i,\ \ i=\overline{1,\ n}.$

Определение 4

Две случайные величины $x$ и $y$ называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приобрела вторая величина.

Определение 5

Суммой двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=X+Y,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_i+y_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Определение 6

Умножением двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=XY,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_iy_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Примем во внимание, что некоторые произведения $x_{i\ \ \ \ \ }y_j$ могут быть равными между собой. В таком случае вероятность сложения произведения равна сумме соответствующих вероятностей.

Например, если $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $то вероятность $x_2y_3$ (или тоже самое $x_5y_7$) будет равна $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7.$

Сказанное выше касается также и суммы. Если $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ то вероятность $x_1+\ y_2$ (или тоже самое $x_4+\ y_6$) будет равняться $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Пусnm случайные величины $X$ и $Y$ заданы законами распределения:

Рисунок 3.

Где $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Тогда закон распределения сумы $X+Y$ будет иметь вид

Рисунок 4.

А закон распределения произведения $XY$ будет иметь вид

Рисунок 5.

Фунция распределения

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Геометрически функция распределения разъясняется как вероятность того, что случайная величина $Х$ принимает значение, которое на числовой прямой изображается точкой, лежащей с левой стороны от точки $х$.

На этой странице мы собрали краткую теорию и примеры решения учебных задач, в которых дискретная случайная величина уже задана своим рядом распределения (табличный вид) и требуется ее исследовать: найти числовые характеристики, построить графики и т.д. Примеры на известные виды распределения вы можете найти по ссылкам:

Краткая теория о ДСВ

Дискретная случайная величина задается своим рядом распределения: перечнем значений $x_i$, которые она может принимать, и соответствующих вероятностей $p_i=P(X=x_i)$. Количество значений случайной величины может быть конечным или счетным. Для определенности будем рассматривать случай $i=\overline{1,n}$. Тогда табличное представление дискретной случайной величины имеет вид:

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end{array} $$

При этом выполняется условие нормировки: сумма всех вероятностей должна быть равна единице

$$\sum_{i=1}^{n} p_i=1$$

Графически ряд распределения можно представить полигоном распределения (или многоугольником распределения ). Для этого на плоскости откладываются точки с координатами $(x_i,p_i)$ и соединяются по порядку ломаной линией. Подробные примеры вы найдете .

Числовые характеристики ДСВ

Математическое ожидание:

$$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$$

Дисперсия:

$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$$

Среднее квадратическое отклонение:

$$\sigma (X) = \sqrt{D(X)}$$

Коэффициент вариации:

$$V(X) = \frac{\sigma(X)}{M(X)}$$.

Мода: значение $Mo=x_k$ с наибольшей вероятностью $p_k=\max_i{p_i}$.

Вы можете использовать онлайн-калькуляторы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения ДСВ .

Функция распределения ДСВ

По ряду распределения можно составить функцию распределения дискретной случайной величины $F(x)=P(X\lt x)$. Эта функция задает вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение меньшее некоторого числа $x$. Примеры построения с подробными вычислениями и графиками вы найдете в примерах ниже.

Примеры решенных задач

Задача 1. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Построить многоугольник распределения и функцию распределения $F(x)$. Вычислить: $M[X], D[X], \sigma[X]$, а также коэффициент вариации, асимметрии, эксцесса, моду и медиану.

Задача 2. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х. Требуется:
а) определить математическое ожидание М(х), дисперсию D(х) и среднее квадратическое отклонение (х) случайной величины Х; б) построить график этого распределения.
хi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02

Задача 3. Для случайной величины Х с данным рядом распределения
-1 0 1 8
0,2 0,1 $р_1$ $р_2$
А) найдите $р_1$ и $р_2$ так, чтобы $М(Х)=0,5$
Б) после этого вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины $Х$ и постройте график ее функции распределения

Задача 4. Дискретная СВ $X$ может принимать только два значения: $x_1$ и $x_2$, причем $x_1 \lt x_2$. Известны вероятность $P$ возможного значения, математическое ожидание $M(x)$ и дисперсия $D(x)$. Найти: 1) Закон распределения этой случайной величины; 2) Функцию распределения СВ $X$; 3) Построить график $F(x)$.
$P=0,3; M(x)=6,6; D(x)=13,44.$

Задача 5. Случайная величина Х принимает три значения: 2, 4 и 6. Найти вероятности этих значений, если $M(X)=4,2$, $D(X)=1,96$.

Задача 6. Дан ряд распределения дискретной с.в. $Х$. Найти числовые характеристики положения и рассеивания с.в. $Х$. Найти м.о. и дисперсию с.в. $Y=X/2-2$, не записывая ряда распределения с.в. $Y$, проверить результат с помощью производящей функции.
Построить функцию распределения с.в. $Х$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0,3¦ 0,1¦ 0,3¦ 0,2¦ 0,1¦

Задача 7. Распределение дискретной случайной величины $Х$ задано следующей таблицей (рядом распределения):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Определить недостающее значение в таблице распределения. Вычислить основные числовые характеристики распределения: $M_x, D_x, \sigma_x$. Найти и построить функцию распределения $F(x)$. Определить вероятность того, что случайная величина $Х$ примет значения:
А) больше чем 6,
Б) меньше чем 12,
В) не больше 9.

Задача 8. В задаче требуется найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону её распределения, заданному таблично (в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строке – вероятности возможных значений).

Задача 9. Задан закон распределения дискретной случайной величины $X$ (в первой строке указаны возможные значения $x_i$, во второй строке – вероятности возможных значений $p_i$).
Найти:
А) математическое ожидание $M(X)$, дисперсию $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$;
Б) составить функцию распределения случайной величины $F(x)$ и построить ее график;
В) вычислить вероятности попадания случайной величины $X$ в интервал $x_2 \lt X \lt x_4$, пользуясь составленной функцией распределения $F(x)$;
Г) составить закон распределения величины $Y=100-2X$;
Д) вычислить математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины $Y$ двумя способами, т.е. пользуясь
свойством математического ожидания и дисперсии, а также непосредственно по закону распределения случайной величины $Y$.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4

Задача 10. Дискретная случайная величина задана таблице. Вычислить ее начальные и центральные моменты до 4 порядка включительно. Найти вероятности событий $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi$.
X 0 0,3 0,6 0,9 1,2
P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1

Определение 2.3. Случайная величина, обозначаемая X, называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное множество значений, т.е. множество – конечное либо счетное множество.

Рассмотрим примеры дискретных случайных величин.

1. Однократно бросают две монеты. Число выпадений гербов в этом эксперименте – случайная величина Х . Ее возможные значения 0,1,2, т. е. – конечное множество.

2. Регистрируется число вызовов "Скорой помощи" в течение некоторого заданного промежутка времени. Случайная величина Х – число вызовов. Ее возможные значения 0, 1, 2, 3, ...,т.е. ={0,1,2,3,...}– счетное множество.

3. В группе 25 студентов. В какой-то день регистрируется число студентов, пришедших на занятия, – случайная величина Х . Ее возможные значения: 0, 1, 2, 3, ...,25 т.е. ={0, 1, 2, 3, ..., 25}.

Хотя все 25 человек в примере 3 пропустить занятия не могут, но случайная величина Х принимать это значение может. Это означает, что значения случайной величины обладают различной вероятностью.

Рассмотрим математическую модель дискретной случайной величины.

Пусть проводится случайный эксперимент, которому соответствует конечное или счетное пространство элементарных событий . Рассмотрим отображение этого пространства на множество действительных чисел, т. е. каждому элементарному событию поставим в соответствие некоторое действительное число , . Множество чисел при этом может быть конечным или счетным, т. е. или

Система подмножеств, в которую входит любое подмножество , в том числе одноточечное, образует -алгебру числового множества ( – конечно или счетно).

Поскольку любому элементарному событию поставлены в соответствие определенные вероятности р i (в случае конечного все ), причем , то и каждому значению случайной величины можем поставить в соответствие определенную вероятность р i , такую, что .

Пусть х – произвольное действительное число. Обозначим Р Х (х) вероятность того, что случайная величина Х приняла значение, равное х , т.е. Р Х (х)=Р(Х=х) . Тогда функция Р Х (х) может принимать положительные значения лишь при тех значениях х , которые принадлежат конечному либо счетному множеству , а при всех остальных значениях вероятность этого значения Р Х (х)=0.

Итак, мы определили множество значений , -алгебру как систему любых подмножеств и каждому событию {X = х } сопоставили вероятность дпя любых , т.е. построили вероятностное пространство .

Например, пространство элементарных событий эксперимента, состоящего в двукратном подбрасывании симметричной монеты, состоит из четырех элементарных событий: , где

При двукратном подбрасывании монеты выпали две решетки ; при двукратном подбрасывании монеты выпали два герба ;

При первом подбрасывании монеты выпала решетка, а при втором – герб ;

При первом подбрасывании монеты выпал герб, а при втором – решетка .

Пусть случайная величина Х – число выпадений решетки. Она определена на и множество ее значений . Все возможные подмножества , в том числе и одноточечные, образуют - алгебру, т.е. ={Ø, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}.

Вероятность события {Х=х i }, і = 1,2,3 , определим как вероятность появления события, являющегося его прообразом:

Таким образом, на элементарных событиях {X = х i } задали числовую функцию Р Х , так, что .

Определение 2.4. Законом распределения дискретной случайной величины называется совокупность пар чисел (х i , р i), где х i – возможные значения случайной величины, а р i – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующиеим вероятности:

			…		…
			…		…

Такая таблица называется рядом распределения. Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, его изображают графически: на оси Ох наносят точки х i и проводят из них перпендикуляры длиной р i . Полученные точки соединяют и получают многоугольник, который является однойиз форм закона распределения (рис. 2.1).

Таким образом, для задания дискретной случайной величины нужно задать ее значения и соответствующиеим вероятности.

Пример 2.2. Денежный приемник автомата срабатывает при каждом опускании монеты с вероятностью р . Как только он сработал, монеты не опускают. Пусть Х – число монет, которые надо опустить до срабатывания денежного приемника автомата. Построить ряд распределения дискретной случайной величины Х .

Решение. Возможные значения случайной величины Х : х 1 = 1, х 2 = 2,..., х к =к, … Найдем вероятности этих значений: р 1 – вероятность того, что денежный приемник сработает при первом опускании, и р 1 =р; р 2 – вероятность того, что будут произведены две попытки. Для этого нужно, чтобы: 1) при первой попытке денежный приемник не сработал; 2) при второй попытке – сработал. Вероятность этого события равна (1–р)р . Аналогично и так далее, . Ряд распределения Х примет вид

	1	2	3	…	к	…
	р	qp	q 2 p		q r -1 p

Заметим, что вероятности р к образуют геометрическую прогрессию со знаменателем: 1–p=q , q<1, поэтому такое распределение вероятностей называется геометрическим .

ІІредположим далее, что построена математическая модель эксперимента, описываемого дискретной случайной величиной Х , и рассмотрим вычисление вероятностей наступления произвольных событий .

Пусть произвольное событие содержит конечное либо счетное множество значений х i : A= {х 1 , х 2 ,..., х i , ... } .Событие А можно представить в виде объединения несовместных событий вида : . Тогда, применяя аксиому Колмогорова 3, получаем

так как вероятности наступления событий мы определили равными вероятностям появления событий, являющихся их прообразами. Это значит, что и вероятность любого события , , можно вычислить по формуле , так как это событие представимо в виде, объединения событий , где .

Тогда и функция распределения F(х) = Р(– <Х<х) находится по формуле . Отсюда следует, что функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками, т. е. является ступенчатой функцией (рис. 2.2):

Если множество конечно, то число слагаемых в формуле конечно, если же счётно, то и число слагаемых счетно.

Пример 2.3. Техническое устройство состоит из двух элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность выходаиз строя первого элемента за время Т равна 0,2, а вероятность выхода второго элемента – 0,1. Случайная величина Х – число отказавших элементов за время Т. Найти функцию распределения случайнойвеличины и построить ее график.

Решение. Пространство элементарных событий эксперимента, состоящего в исследовании надежности двух элементов технического устройства, определяется четырьмя элементарными событиями , , , : – оба элемента исправны; – первый элемент исправен, второй неисправен; – первый элемент неисправен, второй исправен; – оба элемента неисправны. Каждоеиз элементарных событий можно выразить через элементарные события пространств и , где – первый элемент исправен; – первый элемент вышел из строя; – второй элемент исправен; – второй элемент вышел из строя. Тогда , и таккак элементы технического устройства работают независимо друг от друга, то

8. Чему равна вероятность того, что значения дискретной случайной величины принадлежат промежутку ?

Можно выделить наиболее часто встречающиеся законы распределения дискретных случайных величин:

Биномиальный закон распределения
Пуассоновский закон распределения
Геометрический закон распределения
Гипергеометрический закон распределения

Для данных распределений дискретных случайных величин расчет вероятностей их значений, а также числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсия, и т.д.) производится по определенных «формулам». Поэтому очень важно знать данные типы распределений и их основные свойства.

1. Биномиальный закон распределения.

Дискретная случайная величина $X$ подчинена биномиальному закону распределения вероятностей, если она принимает значения $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}$. Фактически, случайная величина $X$ - это число появлений события $A$ в $n$ независимых испытаний . Закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end{array}$

Для такой случайной величины математическое ожидание $M\left(X\right)=np$, дисперсия $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Пример . В семье двое детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными $0,5$, найти закон распределения случайной величины $\xi $ - числа мальчиков в семье.

Пусть случайная величина $\xi $ - число мальчиков в семье. Значения, которые может принимать $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$. Вероятности этих значений можно найти по формуле $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}$, где $n=2$ - число независимых испытаний, $p=0,5$ - вероятность появления события в серии из $n$ испытаний. Получаем:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot {0,5}^0\cdot {\left(1-0,5\right)}^{2-0}={0,5}^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot {\left(1-0,5\right)}^{2-1}=2\cdot 0,5\cdot 0,5=0,5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot {0,5}^2\cdot {\left(1-0,5\right)}^{2-2}={0,5}^2=0,25.$

Тогда закон распределения случайной величины $\xi $ есть соответствие между значениями $0,\ 1,\ 2$ и их вероятностями, то есть:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end{array}$

Сумма вероятностей в законе распределения должна быть равна $1$, то есть $\sum _{i=1}^{n}P(\xi _{{\rm i}})=0,25+0,5+0,25=1 $.

Математическое ожидание $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсия $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0,5\cdot 0,5=0,5$, среднее квадратическое отклонение $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt{D\left(\xi \right)}=\sqrt{0,5}\approx 0,707$.

2. Закон распределения Пуассона.

Если дискретная случайная величина $X$ может принимать только целые неотрицательные значения $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)={{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.

Замечание . Особенность этого распределения заключается в том, что мы на основании опытных данных находим оценки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, если полученные оценки близки между собой, то у нас есть основание утверждать, что случайная величина подчинена закону распределения Пуассона.

Пример . Примерами случайных величин, подчиненных закону распределения Пуассона, могут быть: число автомашин, которые будут обслужены завтра автозаправочной станцией; число бракованных изделий в произведенной продукции.

Пример . Завод отправил на базу $500$ изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна $0,002$. Найти закон распределения случайной величины $X$, равной числу поврежденных изделий; чему равно $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

Пусть дискретная случайная величина $X$ - число поврежденных изделий. Такая случайная величина подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Вероятности значений равны $P\left(X=k\right)={{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.

$P\left(X=0\right)={{1^0}\over {0!}}\cdot e^{-1}=0,368;$

$P\left(X=1\right)={{1^1}\over {1!}}\cdot e^{-1}=0,368;$

$P\left(X=2\right)={{1^2}\over {2!}}\cdot e^{-1}=0,184;$

$P\left(X=3\right)={{1^3}\over {3!}}\cdot e^{-1}=0,061;$

$P\left(X=4\right)={{1^4}\over {4!}}\cdot e^{-1}=0,015;$

$P\left(X=5\right)={{1^5}\over {5!}}\cdot e^{-1}=0,003;$

$P\left(X=6\right)={{1^6}\over {6!}}\cdot e^{-1}=0,001;$

$P\left(X=k\right)={{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$

Закон распределения случайной величины $X$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & {{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda } \\
\hline
\end{array}$

Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равным между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. Геометрический закон распределения.

Если дискретная случайная величина $X$ может принимать только натуральные значения $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=p{\left(1-p\right)}^{k-1},\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, то говорят, что такая случайная величина $X$ подчинена геометрическому закону распределения вероятностей. Фактически, геометрическое распределения представляется собой испытания Бернулли до первого успеха.

Пример . Примерами случайных величин, имеющих геометрическое распределение, могут быть: число выстрелов до первого попадания в цель; число испытаний прибора до первого отказа; число бросаний монеты до первого выпадения орла и т.д.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчиненной геометрическому распределению, соответственно равны $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)/p^2$.

Пример . На пути движения рыбы к месту нереста находится $4$ шлюза. Вероятность прохода рыбы через каждый шлюз $p=3/5$. Построить ряд распределения случайной величины $X$ - число шлюзов, пройденных рыбой до первого задержания у шлюза. Найти $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Пусть случайная величина $X$ - число шлюзов, пройденных рыбой до первого задержания у шлюза. Такая случайная величина подчинена геометрическому закону распределения вероятностей. Значения, которые может принимать случайная величина $X:$ 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений вычисляются по формуле: $P\left(X=k\right)=pq^{k-1}$, где: $p=2/5$ - вероятность задержания рыбы через шлюз, $q=1-p=3/5$ - вероятность прохода рыбы через шлюз, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)={{2}\over {5}}\cdot {\left({{3}\over {5}}\right)}^0={{2}\over {5}}=0,4;$

$P\left(X=2\right)={{2}\over {5}}\cdot {{3}\over {5}}={{6}\over {25}}=0,24;$

$P\left(X=3\right)={{2}\over {5}}\cdot {\left({{3}\over {5}}\right)}^2={{2}\over {5}}\cdot {{9}\over {25}}={{18}\over {125}}=0,144;$

$P\left(X=4\right)={{2}\over {5}}\cdot {\left({{3}\over {5}}\right)}^3+{\left({{3}\over {5}}\right)}^4={{27}\over {125}}=0,216.$

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end{array}$

Математическое ожидание:

$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{x_ip_i}=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Дисперсия:

$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2=}0,4\cdot {\left(1-2,176\right)}^2+0,24\cdot {\left(2-2,176\right)}^2+0,144\cdot {\left(3-2,176\right)}^2+$

$+\ 0,216\cdot {\left(4-2,176\right)}^2\approx 1,377.$

Среднее квадратическое отклонение:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{D\left(X\right)}=\sqrt{1,377}\approx 1,173.$

4. Гипергеометрический закон распределения.

Если $N$ объектов, среди которых $m$ объектов обладают заданным свойством. Случайных образом без возвращения извлекают $n$ объектов, среди которых оказалось $k$ объектов, обладающих заданным свойством. Гипергеометрическое распределение дает возможность оценить вероятность того, что ровно $k$ объектов в выборке обладают заданным свойством. Пусть случайная величина $X$ - число объектов в выборке, обладающих заданным свойством. Тогда вероятности значений случайной величины $X$:

$P\left(X=k\right)={{C^k_mC^{n-k}_{N-m}}\over {C^n_N}}$

Замечание . Статистическая функция ГИПЕРГЕОМЕТ мастера функций $f_x$ пакета Excel дает возможность определить вероятность того, что определенное количество испытаний будет успешным.

$f_x\to $ статистические $\to $ ГИПЕРГЕОМЕТ $\to $ ОК . Появится диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Число_успехов_в_выборке указываем значение $k$. Размер_выборки равен $n$. В графе Число_успехов_в_совокупности указываем значение $m$. Размер_совокупности равен $N$.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины $X$, подчиненной геометрическому закону распределения, соответственно равны $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)={{nm\left(1-{{m}\over {N}}\right)\left(1-{{n}\over {N}}\right)}\over {N-1}}$.

Пример . В кредитном отделе банка работают 5 специалистов с высшим финансовым образованием и 3 специалиста с высшим юридическим образованием. Руководство банка решило направить 3 специалистов Для повышения квалификации, отбирая их в случайном порядке.

а) Составьте ряд распределения числа специалистов с высшим финансовым образованием, которые могут быть направлены на повышение квалификации;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения.

Пусть случайная величина $X$ - число специалистов с высшим финансовым образованием среди трех отобранных. Значения, которые может принимать $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Данная случайная величина $X$ распределена по гипергеометрическому распределению с параметрами: $N=8$ - размер совокупности, $m=5$ - число успехов в совокупности, $n=3$ - размер выборки, $k=0,\ 1,\ 2,\ 3$ - число успехов в выборке. Тогда вероятности $P\left(X=k\right)$ можно рассчитать по формуле: $P(X=k)={C_{m}^{k} \cdot C_{N-m}^{n-k} \over C_{N}^{n} } $. Имеем:

$P\left(X=0\right)={{C^0_5\cdot C^3_3}\over {C^3_8}}={{1}\over {56}}\approx 0,018;$

$P\left(X=1\right)={{C^1_5\cdot C^2_3}\over {C^3_8}}={{15}\over {56}}\approx 0,268;$

$P\left(X=2\right)={{C^2_5\cdot C^1_3}\over {C^3_8}}={{15}\over {28}}\approx 0,536;$

$P\left(X=3\right)={{C^3_5\cdot C^0_3}\over {C^3_8}}={{5}\over {28}}\approx 0,179.$

Тогда ряд распределения случайной величины $X$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end{array}$

Рассчитаем числовые характеристики случайной величины $X$ по общим формулам гипергеометрического распределения.

$M\left(X\right)={{nm}\over {N}}={{3\cdot 5}\over {8}}={{15}\over {8}}=1,875.$

$D\left(X\right)={{nm\left(1-{{m}\over {N}}\right)\left(1-{{n}\over {N}}\right)}\over {N-1}}={{3\cdot 5\cdot \left(1-{{5}\over {8}}\right)\cdot \left(1-{{3}\over {8}}\right)}\over {8-1}}={{225}\over {448}}\approx 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{D\left(X\right)}=\sqrt{0,502}\approx 0,7085.$

Дискретной называют случайную величину, которая может принимать отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями.

ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, их вероятности равны соответственно:

Р(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

ПРИМЕР 2. Число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5; их вероятности зависят от надежности каждого из элементов.

Дискретная случайная величина Х может быть задана рядом распределения или функцией распределения (интегральным законом распределения).

Рядом распределения называется совокупность всех возможных значений х i и соответствующих им вероятностей р i = Р ( Х = х i ), он может быть задан в виде таблицы:

х i				х n
р i				р n

При этом вероятности р i удовлетворяют условию

р i = 1 , потому, что

где число возможных значений n может быть конечным или бесконечным.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения . Для его построения возможные значения случайной величины (х i ) откладываются по оси абсцисс, а вероятности р i - по оси ординат; точки А i c координатами ( х i ,р i ) соединяются ломаными линиями.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F (х ), значение которой в точке х равно вероятности того, что случайная величина Х будет меньше этого значения х , то есть

F (х) = Р (Х< х).

ФункцияF (х ) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле

F (х)= р i , (1.10.1)

где суммирование ведется по всем значениям i , для которых х i < х.

ПРИМЕР 3. Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых имеется 10 дефектных, выбраны случайным образом пять изделий для проверки их качества. Построить ряд распределений случайного числа Х дефектных изделий, содержащихся в выборке.

Решение . Так как в выборке число дефектных изделий может быть любым целым числом в пределах от 0 до 5 включительно, то возможные значения х i случайной величины Х равны:

х 1 = 0, х 2 = 1, х 3 = 2, х 4 = 3, х 5 = 4, х 6 = 5.

Вероятность Р (Х = k ) того, что в выборке окажется ровно k (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) дефектных изделий, равна

Р (Х = k ) = .

В результате расчетов по данной формуле с точностью 0,001 получим:

р 1 = Р (Х = 0) @ 0,583; р 2 = Р (Х = 1) @ 0,340; р 3 = Р (Х = 2) @ 0,070;

р 4 = Р (Х = 3) @ 0,007; р 5 = Р (Х = 4) @ 0; р 6 = Р (Х = 5) @ 0.

Используя для проверки равенство р k =1, убеждаемся, что расчеты и округление произведены правильно (см. табл.).