Для описания некоторых важных закономерностей процесса диффузии в реакторах введем и уточним некоторые определения. Определим плотность потока нейтронов Ф , чаще называемую «потоком» как число нейтронов, пересекающих сферическую поверхность 1 см. 2 в секунду, таким образом размерность потока будет 1/(см 2 *с). Ранее мы уже определили микроскопическое сечение реакции типа «» изотопа «i»   i как площадь взаимодействия одного ядра в барнах. Теперь определим т.н. макроскопическое сечение реакции типа «» изотопа «i» как сечение взаимодействия всех ядер «i» , находящихся в 1 см 3 вещества   i .

Эти два сечения связаны между собой величиной т.н. «ядерной плотности» или плотности ядер , которая характеризует количество молекул (или ядер) в 1 см 3 вещества.

 = N A * / 

N A – число Авогадро (равное 0.6023*10 24 молекул/гмоль);

- физическая плотность любого сложного вещества (г/см 3);

- молекулярный вес вещества (г/гмоль).

Тогда связь между микроскопическим и макроскопическим сечением можно записать как:

  i =  i *  i

При этом плотности ядер данного изотопа  i будут связаны с плотностью молекул  через число атомов данного вида «i» в молекуле вещества.

Наконец, единственной величиной, которая может быть реально измерена в ядерных реакциях (в том числе в дозиметрических приборах, камерах деления, реализуется внутри реактора) является скорость реакции данного типа « » для выбранного изотопа «i» A  i:

A  i = Ф*   i

Эта величина измеряется в единицах количества реакций в 1 см 3 в секунду (1/(см 3 *с)). При этом для процесса деления существует важная связь количества делений и выделяемой при этом мощности 1Вт=3.3 *10 10 дел/с.

Диффузия тепловых нейтронов . Когда энергия нейтронов снизится до энергий, характерных для энергий теплового движения атомов среды, нейтроны приходят в равновесие с этими атомами. Теперь при столкновении с атомом среды нейтрон может не только передать ему часть своей энергии, но и получить порцию энергии. В результате нейтрон продолжает двигаться в среде, но теперь его энергия от столкновения к столкновению может не только уменьшаться, но и увеличиваться, колеблясь около некоторого среднего значения, зависящего от температуры среды. Для комнатной температуры такое среднее значение энергии составляет примерно 0,04 эВ. Нейтрон, пришедший в тепловое равновесие со средой, называется тепловым нейтроном , а движение тепловых нейтронов с постоянной в среднем скоростью – диффузией тепловых нейтронов . Аналогично процессу замедления, процесс диффузии характеризуется длиной диффузии L d , которая равняется среднему расстоянию от точки, где нейтрон стал тепловым, до точки, где он прекратил свое свободное существование в результате поглощения каким-нибудь встречным ядром (см. табл.1.8).

Таблица 1.8. Длины замедления и диффузии нейтронов в различных веществах

Процессы замедления и диффузии нейтронов иллюстрирует рис. 1.4

Рис. 1.4. Иллюстрация процессов замедления и диффузии нейтронов в веществе.

Диффузия нейтронов, так же как и диффузия других веществ в жидких и газообразных средах описывается универсальным законом Фика, который связывает диффузионный ток J D c плотностью частиц N или потоком через коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом диффузии D:

J D = -D*grad(N) = -D* (N)

Распространение нейтронов в модели диффузии(правда, при выполнении целого ряда допущений) хорошо описывается математическими функциями. Для неразмножающих сред с источником (что соответствует подкритическому реактору) в простейшем случае это экспоненты:

Ф(z)= С 1 exp(+z/ L d )+ С 1 * exp(-z/ L d )

Какими будут функции для размножающих сред будет показано в следующей главе.

Диффузия нейтронов

Замедленные до тепловых энергий нейтроны начинают диффундировать, распространяясь по веществу во все стороны от источника. Этот процесс уже приближенно описывается обычным уравнением диффузии с обязательным учетом поглощения, которое для тепловых нейтронов всегда велико (на практике для того их делают тепловыми, чтобы нужная реакция шла интенсивно). Такая возможность вытекает из того, что в хорошем замедлителе (в котором сечение рассеяния уs значительно превышает сечение поглощения уa) тепловой нейтрон может испытать очень много соударений с, ядрами до захвата:

N= уs/уa=лa/лs, (3.10)

при этом в связи с малостью среднего свободного пути лs, для тепловых нейтронов выполняется условие применимости диффузионного приближения -- малость изменения плотности нейтронов на протяжении лs. Наконец, скорость движения тепловых нейтронов можно считать постоянной: .

Диффузионное уравнение имеет следующий вид:

где с(r , t) - плотность тепловых нейтронов в точке r в момент t; Д - оператор Лапласа; D - коэффициент диффузии; tзахв - среднее время жизни тепловых нейтронов до захвата; q - плотность источников тепловых нейтронов. Уравнение (3.11) выражает баланс изменения плотности нейтронов во времени за счет трех процессов: притока нейтронов из соседних областей (DД с), поглощения нейтронов (- с /tзахв) и образования нейтронов (q). В общем случае (с учетом анизотропии рассеяния) коэффициент диффузии:

однако для тепловых нейтронов его можно с хорошей степенью точности записать в простейшей форме:

Это связано с тем, что энергия тепловых нейтронов меньше энергии химической связи атомов в молекуле, из-за чего рассеяние тепловых нейтронов происходит не на свободных атомах, а на тяжелых связанных молекулах (или даже на кристаллических зернах среды).

Основной характеристикой среды, описывающей процесс диффузии, является длина диффузии L, определяемая соотношением

где - средний квадрат расстояния, на которое уходит тепловой нейтрон в веществе от места рождения до поглощения. Длина диффузии имеет примерно тот же порядок, что и длина замедления. Обе эти величины определяют расстояния от источника, на которых в веществе будет заметное количество тепловых нейтронов. В таблице 3.1 приведены величины ф и L для наиболее употребительных замедлителей. Из этой таблице видно, что у обычной воды >>L, что указывает на сильное поглощение. У тяжелой воды, наоборот, L>>. Поэтому она и является лучшим замедлителем. Величина L зависит не только от собственной диффузии, но и от поглощающих свойств среды. Поэтому L не полностью характеризует процесс диффузии. Дополнительной независимой характеристикой диффузии является время жизни диффундирующего нейтрона.

Таблица 3.1

Значения и L для наиболее употребительных замедлителей

Диффузное отражение нейтронов

Интересным свойством нейтронов является их способность отражаться от различных веществ. Это отражение не когерентное, а диффузное. Его механизм таков. Нейтрон, попадая в среду, испытывает беспорядочные столкновения с ядрами и после ряда столкновений может вылететь обратно. Вероятность такого вылета носит название альбедо нейтронов данной среды. Очевидно, что альбедо тем выше, чем больше сечение рассеяния и чем меньше сечение поглощения нейтронов ядрами среды. Хорошие отражатели отражают до 90% попадающих в них нейтронов, т. е. имеют альбедо до 0,9. В частности, для обычной воды альбедо равно 0,8. Неудивительно поэтому, что отражатели нейтронов широко применяются в ядерных реакторах и других нейтронных установках. Возможность столь интенсивного отражения нейтронов объясняется следующим образом. Вошедший в отражатель нейтрон при каждом столкновении с ядром может рассеяться в любую сторону. Если нейтрон у поверхности рассеялся назад, то он вылетает обратно, т. е. отражается. Если же нейтрон рассеялся в другом направлении, то он может рассеяться так, что уйдет из среды при последующих столкновениях.

Этот же процесс приводит к тому, что концентрация нейтронов резко снижается вблизи границы среды, в которой они рождаются, так как вероятность для нейтрона уйти наружу велика.

Диффузия нейтронов изучается прежде всего для определения их пространственно-временного распределения в ядерном реакторе, поскольку на прогнозе таких полей строится дизайн разрабатываемых установок, а после введения их в эксплуатацию осуществляется их управление и обеспечивается безопасность. К сожалению расчёт эволюционирующих во времени нейтронных полей- чрезвычайно сложная задача. Используемые для этой цели дифференциальные уравнения включают многопараметров, не имеют аналитических решений, но даже численные их решения и нахождение различных асимптот представляют серьезную проблему.

В настоящей главе представлены некоторые аспекты математического описания диффузии нейтронов. Основное внимание уделено тепловым реакторным нейтронам.

Свойства нейтронов и процессы с их участием

С точки зрения диффузии, особенности нейтрона связаны с его небольшими размерами (и относительно высокими коэффициентами диффузии), химической инертностью и высокой склонностью к вступлению в ядерные реакции с атомами среды, приводящими или к поглощению или размножению нейтронов. К тому же нейтрон сравнительно короткоживу- щий радионуклид (период полураспада ~ю мин) и часто приходится учитывать его распад. Но наибольшие трудности вызывает то обстоятельство, что тепловые нейтроны не бывают моноэнергетическими - помимо тепловых нейтронов в реакторе присутствуют нейтроны с существенно более высокими энергиями, транспорт которых и процессы замедления существенно влияют на кинетику" диффузии.

Нейтрон - электрически нейтральная элементарная частица со спином V2, магнитным моментом р=-1,91 у в и массой, превышающей массу протона на 2,5 электронных масс; относится к барионам Мп-1,008986 а.ем. = 939,5 МэВ - 1838,5 т е. Из т п >тр+т е. В свободном состоянии нейтрон нестабилен: он распадается с периодом полураспада T=io,i8 мин (время жизни нейтрона t=88i.5±i.5 с), образуя протон и испуская электрон и антинейтрино, у (fr-распад). Нейтронное излучение - поток нейтронов , которые преобразуют свою энергию в упругих и неупругих взаимодействиях с ядрами атомов.

Проходя сквозь вещество, нейтроны вызывают различные ядерные реакции и ушруто рассеиваются на ядрах. Интенсивностью этих микроскопических процессов, в конечном счёте, определяются все макроскопические свойства прохождения нейтронов через вещество, такие, как рассеяние, замедление, диффузия, поглощение и т. д. Так как нейтрон имеет нулевой электрический заряд, он практически не взаимодействует сэлектро- нами атомных оболочек. Поэтому атомные характеристики среды не играют никакой роли в распространении нейтронов ввеществе. Это чисто ядер- ный процесс. Сечения различных нейтрон-ядерных реакций зависят от энергии нейтронов, сильно и нерегулярно изменяются от ядра к ядру при изменении А или Z. Сечения взаимодействия нейтронов с ядрами в среднем растут по закону "l/u" при уменьшении энергии нейтрона (и - скорость нейтрона).

Нейтроны существенно различаются по своим энергиям. Обычно спектр нейтронов квалифицируют по скорости движения:

• - Релятивистские нейтроны, с энергией более ю 10 эВ;
• - Быстрые нейтроны, с энергией больше 0.1 МэВ (иногда больше 1 МэВ)
• - Медленные нейтроны, с энергией менее юо кэВ.

или по «температуре»:

• - Надтепловые нейтроны, с энергией от 0.025 Д° 1 эВ;
• - Горячие нейтроны, с энергией порядка 0.2 эВ;
• - Тепловые нейтроны, с энергией примерно 0,025 эВ;
• - Холодные нейтроны, с энергией от 5-10-5 эВ до 0.025 эВ;
• - Очень холодные нейтроны, с энергией 2Ю-? - 5-10-5 эВ;
• - Ультрахолодные нейтроны, с энергией менее 2-ю - " эВ.

С точки зрения диффузии важны тепловые нейтроны, которые находятся в тепловом равновесии с атомами среды при комнатной температуре. Их средние энергии - сотые доли электронвольта. Часто в качестве характерной энергии теплового нейтрона указывают величину 0.025 эВ, полученную из соотношения Етепл=кТ, где к- постоянная Больцмана. Заметим, что скорость медленных нейтронов весьма относительна: нейтрон с энергией 0.025 эВ имеет скорость 2 км/с.

Как известно, в нейтронных источниках нейтроны рождаются в основном с энергиями от десятков кэВ до нескольких МэВ, однако большинство важных в прикладном отношении нейтронных реакций интенсивно идёт при низких энергиях нейтронов, поэтому во всех работах с использованием нейтронов существенное внимание уделяется процессам замедления нейтронов. Замедление нейтронов происходит при упругих столкновениях с ядрами. Однако замедление нейтронов не может привести к их полной остановке из-за теплового движения ядер.

Важной характеристикой процесса замедления является длина замедленияЦсм].

Средняя длина замедления нейтронов до произвольного уровня энергии Ц?) - это среднестатистическое пространственное смещение нейтрона в процессе его замедления от начальной энергии Е 0 , с которой нейтрон был рождён, до данной энергии Е (в частности, - до Е с, если речь идет о полной длине замедления нейтрона до теплового уровня - 1 3 (Е С)). Длина замедления - среднеквадратичное значение частных смещений отдельных нейтронов (по прямой) при замедлении до Е с.

Рожденный в делении быстрый нейтрон, испытывая серию последовательных рассеяний, проходит в среде путь в виде ломаной линии, отрезки которой представляют собой пространственные смещения нейтрона между актами двух последовательных рассеяний. В процессе замедления из-за случайного характера рассеивающих соударений с ядрами среды нейтрон может удаляться от точки своего рождения или приближаться к ней, но в любом случае величина пространственного смещения каждого нейтрона при замедлении до любой энергии - своя, у разных нейтронов эти величины могут сильно отличаться. Однако среднее значение этой величины при рассеянии больших количеств замедляющихся нейтронов в среде

Физическая константа этой среды.

Среднеквадратичнаявеличина смещения нейтронов в процессе замедления:

Рис. 1. Траектории перемещения нейтрона от места его рождения до места гибели.

Квадрат среднего расстояния, которое нейтрон преодолевает в одном направлении от источника до точки поглощения

Это значит, что / 3 2 - одна шестая среднего квадрата прямого расстояния перемещения нейтрона от точки, при которой он испущен до точки, где был поглощён.

В теории реакторов чаще используется не сама величина средней длины замедления, а возраст нейтронов.

Возраст нейтронов с энергией Е - это шестая часть среднего квадрата пространственного смещения нейтрона в среде при замедлении от начальной энергии Еи до данной энергии Е.

Величина возраста обозначается т(?) с указанием на энергию Е замедляющихся нейтронов, которой соответствует возраст. Размерность гне время, а площадь, т.е. см 2 .

где А, 2 - среднеквадратичное расстояние, на которое нейтрон уходит от источника в процессе замедления в интервале энергий от 1 МэВ до 1эВ.

Начиная с энергий 0.5-м эВ при столкновениях нейтронов с ядрами становится существенной тепловая энергия атомов. Распределение нейтронов начинает стремиться к равновесному, т.е. максвелловскому

dN /Е 1 эВ.

Этот процесс называется термализацией нейтронов. Возраст нейтронов зависит от свойств среды, в которой осуществляется миграция ней- троног

где замедляющая способность, Efr- транспортное макросечение. Возраст тепловых нейтронов:

Возраст нейтрона для среды его обитания определяет меру способности вещества среды давать определенное среднеквадратичное пространственное смещение в ней замедляющихся нейтронов. Поэтому каждое однородное вещество характеризуется своимзначением возраста нейтронов любой энергии Е. В частности возраст тепловых нейтронов для воды в нормальных условиях Тлю = 27.3 см 2 ; для бериллия т„ ю =90см 2 ; для графита Тто= 352см 2 . Указанные значения возраста тепловых нейтронов называют стандартными, т. е. действительными только в нормальных условиях (при атмосферном давлении и температуре 20°С) для начальной энергии Е 0 =2 МэВ и Е с = 0.625 эВ. Важно, что возраст тепловых нейтронов существенно зависит от параметров состояния вещества (давления и температуры).

Точное описание всех процессов с участием нейтронов (соударения, транспорт, ядерные реакции) затруднено. Первая аппроксимация описывает движение нейтронов как вид диффузии. Эта аппроксимация называется диффузионной аппроксимацией и была использована при создании первых реакторов. Теперь используют более развитые подходы, однако диффузионная теория всё ещё широко используется при проектировании больших ядерных реакторов. Полная теория, описывающая все транспортные свойства при слабых аппроксимациях,основана на решении транспортного уравнения Больцмана. Теория диффузии на основе закона Фика, обычно используемая для химической диффузии, может быть полезна и при описании диффузии нейтронов. Если плотность (поток) нейтронов высока в одной части реактора, то возникает ток нейтронов, направленный в регион с низким потоком нейтронов. Фиковская теория диффузии - только первое приближение. Более сложные методы используют вблизи источников нейтронов, границ системы и в случае сильно поглощающей среды.