Одной из наиболее актуальных проблем современного естествознания и, в частности физики, остается вопрос о природе причинности и причинных отношениях в мире. Более конкретно этот вопрос в физике формулируется в проблеме соотношения динамических и статистических законов с объективными закономерностями. В решении этой проблемы возникли два философских направления - детерминизм и индетерминизм, занимающие прямо противоположные позиции.
Детерминизм - учение о причинной материальной обусловленности природных, социальных и психических явлений. Сущностью детерминизма является идея о том, что все существующее в мире возникает и уничтожается закономерно, в результате действия определенных причин.
Индетерминизм - учение, отрицающее объективную причинную обусловленность явлений природы, общества и человеческой психики.
В современной физике идея детерминизма выражается в признании существования объективных физических закономерностей и находит свое более полное и общее отражение в фундаментальных физических теориях.
Фундаментальные физические теории (законы) представляют собой совокупность наиболее существенных знаний о физических закономерностях. Эти знания не являются исчерпывающими, но на сегодняшний день они наиболее полно отражают физические процессы в природе. В свою очередь, на основе тех или иных фундаментальных теорий формулируются частные физические законы типа закона Архимеда, закона Ома, закона электромагнитной индукции и т.д.
Ученые-науковеды едины во мнении, что основу любой физической теории составляют три главных элемента:
1) совокупность физических величин, с помощью которых описываются объекты данной теории (например, в механике Ньютона - координаты, импульсы, энергия, силы); 2) понятие состояния; 3) уравнения движения, то есть уравнения, описывающие эволюцию состояния рассматриваемой системы.
Кроме того, для решения проблемы причинности важное значение имеет подразделение физических законов и теорий на динамические и статистические (вероятностные).

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ТЕОРИИ И МЕХАНИЧЕСКИЙ, ДЕТЕРМИНИЗМ

Динамический закон - это физический закон, отображающий объективную закономерность в форме однозначной связи физических величин, выражаемых количественно. Динамической теорией является физическая теория, представляющая совокупность динамических законов. Исторически первой и наиболее простой теорией такого рода явилась классическая механика Ньютона. Она претендовала на описание механического движения, то есть перемещения в пространстве с течением времени любых тел или частей тел относительно друг друга с какой угодно точностью.
Непосредственно законы механики, сформулированные Ньютоном, относятся к физическому телу, размерами которого можно пренебречь, материальной точке. Но любое тело макроскопических размеров всегда можно рассматривать как совокупность материальных точек и, следовательно, достаточно точно описать его движения.
Поэтому в современной физике под классической механикой понимают механику материальной точки или системы материальных точек и механику абсолютно твердого тела.
Для расчета движения должна быть известна зависимость взаимодействия между частицами от их координат и от скоростей. Тогда по заданным значениям координат и импульсов всех частиц системы в начальный момент времени второй закон Ньютона позволяет однозначно определить координаты и импульсы в любой последующий момент времени. Это позволяет утверждать, что координаты и импульсы частиц системы полностью определяют ее состояние в механике. Любая механическая величина, представляющая для нас интерес (энергия, момент импульса и т.д.), выражается через координаты и импульс. Таким образом, определяются все три элемента фундаментальной теории, какой является классическая механика.
Другим примером фундаментальной физической теории динамического характера может служить электродинамика Максвелла. Здесь объектом исследования является электромагнитное поле. Тогда уравнения Максвелла представляют собой уравнения движения для электромагнитной формы материи. При этом структура электродинамики в самых общих чертах повторяет структуру механики Ньютона. Уравнения Максвелла позволяют по заданным начальным значениям электрического и магнитного полей внутри некоторого объема однозначно определить электромагнитное поле в любой последующий момент времени.
Другие фундаментальные теории динамического характера имеют ту же структуру, что и механика Ньютона, и электродинамика Максвелла. К их числу относятся: механика сплошных сред, термодинамика и общая теория относительности (теория гравитации).
Метафизическая философия считала, что все объективные физические закономерности (и не только физические) имеют точно такой же характер, что и динамические законы. Иначе говоря, не признавались никакие другие виды объективных закономерностей, кроме динамических закономерностей, выражающих однозначные связи физических объектов и описывающих их абсолютно точно посредством определенных физических величин. Отсутствие такого полного описания трактовалось как недостаток наших познавательных способностей.
Абсолютизация динамических закономерностей и, следовательно, механического детерминизма, обычно связывается с П.Лапласом, которому принадлежит уже цитированное нами знаменитое высказывание о том, что если бы нашелся достаточно обширный ум, которому были бы известны для любого данного момента все силы, действующие на все тела Вселенной (от самых больших ее тел до мельчайших атомов), а также их местоположение, если бы он смог проанализировать эти данные в единой формуле движения, то не осталось бы ничего, что было бы недостоверным, и ему было бы открыто как прошлое, так и будущее Вселенной.
Согласно провозглашенному Лапласом принципу, все явления в природе предопределены с «железной» необходимостью. Случайному, как объективной категории, нет места в нарисованной Лапласом картине мира. Только ограниченность наших познавательных способностей заставляет рассматривать отдельные события в мире как случайные. В силу этих причин, а также отмечая роль Лапласа, классический механический детерминизм называют еще жестким или лапласовским детерминизмом.
Необходимость отказа от классического детерминизма в физике стала очевидной после того, как выяснилось, что динамические законы не универсальны и не единственны и что более глубокими законами природы являются не динамические, а статистические законы, открытые во второй половине XIX века, особенно после того, как выяснился статистический характер законов микромира.
Но даже и при описании движения отдельных макроскопических тел осуществление идеального классического детерминизма практически невозможно. Это хорошо видно из описания постоянно меняющихся систем. Вообще начальные параметры любых механических систем невозможно фиксировать с абсолютной точностью, поэтому точность предсказания физических величин со временем уменьшается. Для каждой механической системы существует некоторое критическое время, начиная с которого невозможно точно предсказать ее поведение.
Несомненно, что лапласовский детерминизм с определенной степенью идеализации отражает реальное движение тел и в этом отношении его нельзя считать ложным. Но абсолютизация его как совершенно точного отображения действительности недопустима.
С утверждением главенствующего значения статистических закономерностей в физике исчезает идея всеведущего сознания, для которого абсолютно точно и однозначно детерминированы судьбы мира, тот идеал, который был поставлен перед наукой концепцией абсолютного детерминизма.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ТЕОРИИ И ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ДЕТЕРМИНИЗМ

Описанные выше динамические законы имеют универсальный характер, то есть они относятся ко всем без исключения изучаемым объектам. Отличительная особенность такого рода законов состоит в том, что предсказания, полученные на их основе, имеют достоверный и однозначный характер.
Наряду с ними в естествознании в середине прошлого века были сформулированы законы, предсказания которых являются не определенными, а только вероятными. Свое название эти законы получили от характера той информации, которая была использована для их формулировки. Вероятностными они назывались потому, что заключения, основанные на них, не следуют логически из имеющейся информации, а потому не являются достоверными и однозначными. Поскольку сама информация при этом носит статистический характер, часто такие законы называются также статистическими, и это их название получило в естествознании значительно большее распространение.
Представления о закономерностях особого типа, в которых связи между величинами, входящими в теорию, неоднозначны, впервые ввел Максвелл в 1859 г. Он первым понял, что при рассмотрении систем, состоящих из огромного числа частиц, нужно ставить задачу совсем иначе, чем это делалось в механике Ньютона. Для этого Максвелл ввел в физику понятие вероятности, выработанное ранее математиками при анализе случайных явлений, в частности азартных игр.
Многочисленные физические и химические опыты показали, что в принципе невозможно не только проследить изменения импульса или положения одной молекулы на протяжении большого интервала времени, но и точно определить импульсы и координаты всех молекул газа или другого макроскопического тела в данный момент времени. Ведь число молекул или атомов в макроскопическом теле имеет порядок 1023. Из макроскопических условий, в которых находится газ (определенная температура, объем, давление и т.д.), не вытекают с необходимостью определенные значения импульсов и координат молекул. Их следует рассматривать как случайные величины, которые в данных макроскопических условиях могут принимать различные значения, подобно тому, как при бросании игральной кости может выпасть любое число очков от 1 до 6. Предсказать, какое число очков выпадет при данном бросании кости, нельзя. Но вероятность выпадения, например, 5, можно подсчитать.
Эта вероятность имеет объективный характер, так как выражает объективные отношения реальности и ее введение не обусловлено лишь незнанием нами деталей течения объективных процессов. Так, для кости вероятность выпадения любого числа очков от 1 до 6 равно "/6, что не зависит от познания этого процесса и потому есть явление объективное.
На фоне множества случайных событий обнаруживается определенная закономерность, выражаемая числом. Это число - вероятность события - позволяет определять статистические средние значения (сумма отдельных значений всех величин, деленная на их число). Так, если бросить кость 300 раз, то среднее число выпадения пятерки будет равно 300 . "Л = 50 раз. Причем совершенно безразлично, бросать одну и ту же кость или одновременно бросить 300 одинаковых костей.
Несомненно, что поведение газовых молекул в сосуде гораздо сложнее брошенной кости. Но и здесь можно обнаружить определенные количественные закономерности, позволяющие вычислить статистические средние значения если только ставить задачу так же, как в теории игр, а не как в классической механике. Нужно отказаться, например, от неразрешимой задачи определения точного значения импульса молекулы в данный момент, а пытаться найти вероятность определенного значения этого импульса.
Максвеллу удалось решить эту задачу. Статистический закон распределения молекул по импульсам оказался несложным. Но главная заслуга Максвелла состояла не в решении, а в самой постановке новой проблемы. Он ясно осознал, что случайное в данных макроскопических условиях поведение отдельных молекул подчинено определенному вероятностному (или статистическому) закону.
После данного Максвеллом толчка молекулярно-кинетическая теория (или статистическая механика, как стали называть ее в дальнейшем) начала стремительно развиваться.
Статистические законы и теории имеют следующие характерные черты.
1. В статистических теориях любое состояние представляет собой вероятностную характеристику системы. Это означает, что состояние в статистических теориях определяется не значениями физических величин, а статистическими (вероятностными) распределениями этих величин. Это принципиально иная характеристика состояния, чем в динамических теориях, где состояние задается значениями самих физических величин.
2. В статистических теориях по известному начальному состоянию в качестве результата однозначно определяются не сами значения физических величин, а вероятности этих значений внутри заданных интервалов. Тем самым однозначно определяются средние значения физических величин. Эти средние значения в статистических теориях играют ту же роль, что и сами физические величины в динамических теориях. Нахождение средних значений физических величин - главная задача статистических теории.
Вероятностные характеристики состояния в статистических теориях совершенно отличны от характеристик состояния в динамических теориях. Тем не менее динамические и статистические теории обнаруживают в самом существенном отношении замечательное единство. Эволюция состояния в статистических теориях однозначно определяется уравнениями движения, как и в динамических теориях. По заданному статистическому распределению (по заданной вероятности) в начальный момент времени уравнение движения однозначно определяет статистическое распределение (вероятность) в любой последующий момент времени, если известны энергия взаимодействия частиц друг с другом и с внешними телами. Однозначно определяются соответственно и средние значения всех физических величин. Здесь нет никакого отличия от динамических теорий в отношении однозначности результатов. Ведь статистические теории, как и динамические, выражают необходимые связи в природе, а они вообще не могут быть выражены иначе, чем через однозначную связь состояний.
На уровне статистических законов и закономерностей мы также сталкиваемся с причинностью. Но детерминизм в статистических закономерностях представляет более глубокую форму детерминизма в природе. В отличие от жесткого классического детерминизма он может быть назван вероятностным (или современным) детерминизмом.
Статистические законы и теории являются более совершенной формой описания физических закономерностей, любой известный на сегодняшний день процесс в природе более точно описывается статистическими законами, чем динамическими. Однозначная связь состояний в статистических теориях говорит об их общности с динамическими теориями. Различие между ними в одном - способе фиксации (описания) состояния системы.
Истинное, всеобъемлющее значение вероятностного детерминизма стало очевидным после создания квантовой механики - статистической теории, описывающей явления атомарного масштаба, то есть движение элементарных частиц и состоящих из них систем (другими статистическими теориями являются: статистическая теория неравновесных процессов, электронная теория, квантовая электродинамика). Несмотря на то, что квантовая механика значительно отличается от классических теорий, общая для фундаментальных теорий структура сохраняется и здесь. Физические величины (координаты, импульсы, энергия, момент импульса и т.д.) остаются в общем теми же, что и в классической механике. Основной величиной, характеризующей состояние, является комплексная волновая функция. Зная ее, можно вычислить вероятность обнаружения определенного значения не только координаты, но и любой другой физической величины, а также средние значения всех величин. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики - уравнение Шредингера - однозначно определяет эволюцию состояния системы во времени.

СООТНОШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ И СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ

Сразу же после появления в физике понятия статистического закона возникла проблема существования статистических закономерностей и их соотношения с динамическими законами.
С развитием науки подход к этой проблеме и даже ее постановка менялись. Первоначально основным в проблеме соотношения был вопрос об обосновании классической статистической механики на базе динамических законов Ньютона. Исследователи пытались выяснить, как статистическая механика, существенной чертой которой является вероятностный характер предсказания значений физических величин, должна относиться к законам Ньютона с их однозначными связями между значениями всех величин.
Статистические законы, как новый тип описания закономерностей, были первоначально сформулированы на основе динамических уравнений классической механики. Длительное время динамические законы считались основным, первичным типом отображения физических закономерностей, а статистические законы рассматривались в значительной мере как следствие ограниченности наших способностей к познанию.
Но сегодня известно, что закономерности поведения объектов микромира и законы квантовой механики являются статистическими. Именно тогда вопрос был поставлен так: является ли статистическое описание микропроцессов единственно возможным или же существуют динамические законы, более глубоко определяющие движение элементарных частиц, но скрытые под покровом статистических законов квантовой механики?
Возникновение и развитие квантовой теории постепенно привело к пересмотру представлений о роли динамических и статистических законов в отображении закономерностей природы. Был обнаружен статистический характер поведения отдельных элементарных частиц. При этом за описывающими это поведение законами квантовой механики не было обнаружено никаких динамических законов. Поэтому крупнейшими учеными, такими, как Н. Бор, В. Гейзенберг, М. Борн, П. Ланжевен и другими, был выдвинут тезис о первичности статистических законов. Правда, принятие в тот момент этого тезиса было затруднено из-за того, что некоторые из вышеназванных ученых связывали положение о первичности статистических законов с индетерминизмом. Поскольку привычная модель детерминизма в микромире была недостижима, они делали вывод об отсутствии в микромире причинности вообще. Но большая часть ученых с этим выводом не согласилась и стала настаивать на необходимости отыскать динамические законы для описания микромира, воспринимая статистические законы как промежуточный этап, позволяющий описывать поведение совокупности микрообъектов, но не дающий еще возможности точно описать поведение отдельных микрообъектов.
Когда стало очевидно, что нельзя отрицать роль статистических законов в описании физических явлений (все экспериментальные данные полностью соответствовали теоретическим расчетам, основанным на подсчетах вероятностей), была выдвинута теория «равноправия» статистических и динамических законов. Те и другие законы рассматривались как законы равноправные, но относящиеся к различным явлениям, имеющие каждый свою сферу применения, не сводимые друг к другу, но взаимно дополняющие друг друга.
Эта точка зрения не учитывает того бесспорного факта, что все фундаментальные статистические теории современной физики (квантовая механика, квантовая электродинамика, статистическая термодинамика и т.д.) содержат в качестве своего приближения соответствующие динамические теории. Поэтому сегодня многие крупные ученые склонны рассматривать статистические законы как наиболее глубокую, наиболее общую форму описания всех физических закономерностей.
Нет основания делать вывод об индетерминизме в природе потому, что законы микромира являются принципиально статистическими. Поскольку детерминизм настаивает на существовании объективных закономерностей, постольку индетерминизм должен означать отсутствие таких закономерностей. Этого, безусловно, нет. Статистические закономерности ничуть не менее объективны, чем динамические, и отражают взаимосвязь явлений материального мира. Доминирующее значение статистических законов означает переход к более высокой ступени детерминизма, а не отказ от него вообще.
При рассмотрении соотношения между динамическими и статистическими законами мы встречаемся с двумя аспектами этой проблемы.
В аспекте, возникшем исторически первым, соотношение между динамическими и статистическими законами выступает в следующем плане: законы, отражающие поведение индивидуальных объектов, являются динамическими, а законы, описывающие поведение большой совокупности этих объектов, статистическими. Таково, например, соотношение между классической механикой и статистической механикой. Существенным для данного аспекта является то, что здесь динамические и статистические законы описывают разные формы движения материи, не сводимые друг к другу. Они имеют разные объекты описания, и поэтому анализ теорий не позволяет выявить существенное в их отношении друг к другу. Этот аспект не может считаться основным при анализе их соотношения.
Второй аспект проблемы изучает соотношение динамических и статистических законов, описывающих одну и ту же форму движения материи. Примером могут служить термодинамика и статистическая механика, электродинамика Максвелла и электронная теория и т.д.
До появления квантовой механики считалось, что поведение индивидуальных объектов всегда подчиняется динамическим закономерностям, а поведение совокупности объектов -статистическим; низшие, простейшие формы движения подчиняются динамическим закономерностям, а высшие, более сложные - статистическим. Но с возникновением квантовой механики было установлено, что как «низшие», так и «высшие» формы движения материи могут описываться и динамическими, и статистическими законами. Например, квантовая механика и квантовая статистика описывают разные формы материи, но обе эти теории являются статистическими.
После создания квантовой механики можно с полным основанием утверждать, что динамические законы представляют собой первый, низший этап в познании окружающего нас мира и что статистические законы более полно отражают объективные связи в природе, являясь более высоким этапом познания. На протяжении всей истории развития науки мы видим, как первоначально возникшие динамические теории, охватывающие определенный круг явлений, сменяются по мере развития науки статистическими теориями, описывающими тот же круг вопросов с новой, более глубокой точки зрения.
Смена динамических теорий статистическими не означает, что старые динамические теории отживают свой век и забываются. Практическая их ценность в определенных границах нисколько не умаляется фактом создания новых статистических теорий. Говоря о смене теорий, мы в первую очередь имеем в виду смену менее глубоких физических представлений более глубокими представлениями о сущности явлений. Одновременно со сменой физических представлений расширяется область применимости теорий. Статистические теории распространяются на более широкий круг явлений, недоступный динамическим теориям. Статистические теории находятся в лучшем количественном согласии с экспериментом, чем динамические. Но при определенных условиях статистическая теория приводит к таким же результатам, как и более простая динамическая теория (вступает в действие принцип соответствия -речь о нем пойдет ниже).
Связь необходимого и случайного не может быть вскрыта в рамках динамических законов, так как они игнорируют случайное. В динамическом законе отображается тот средний необходимый результат, к которому приводит течение процессов, но не отражается сложный характер определения данного результата. При рассмотрении достаточно обширного круга вопросов, когда отклонения от необходимого среднего значения ничтожны, такое описание процессов вполне удовлетворительно. Но и в этом случае оно может считаться достаточным при условии, что нас не интересуют те сложные взаимоотношения, которые приводят к необходимым связям, и мы ограничиваемся лишь констатацией этих связей. Надо отчетливо представлять себе, что абсолютно точных однозначных связей физических величин, о которых говорят динамические теории, в природе просто нет. В реальных процессах всегда происходят неизбежные отклонения от необходимых средних величин - случайные флуктуации, которые только при определенных условиях не играют существенной роли и могут не учитываться.
Динамические теории не способны описывать явления, когда флуктуации значительны, и не способны предсказывать, при каких именно условиях мы уже не можем рассматривать необходимое в отрыве от случайного. В динамических законах необходимость выступает в форме, огрубляющей ее связь со случайностью. Но как раз последнее обстоятельство учитывают статистические законы. Отсюда следует, что статистические законы отображают реальные физические процессы глубже, чем динамические. Не случайно статистические законы познаются вслед за динамическими.
Возвращаясь к проблемам причинности, мы сможем сделать вывод, что на основе динамических и статистических законов возникает динамическая и вероятностная причинность. И как статистические законы глубже отражают объективные связи природы, чем динамические, так и вероятностная причинность является более общей, а динамическая - лишь ее частным случаем.

План семинарского занятия (2 часа)

1. Динамические законы и механический детерминизм.
2. Статистические законы и вероятностный детерминизм.
3. Соотношение динамических и статистических законов.

Темы докладов и рефератов

ЛИТЕРАТУРА

1. Мякишев Г.Я. Динамические и статистические закономерности в физике. М„ 1973.
2. Свечников Г.А. Причинность и связь состояний в физике. М., 1971.
3. Философские проблемы естествознания. М., 1985.

Динамические и статические законы.

2. Динамические закономерности

Физические явления в механике, электромагнетизме и теории относительности в основном подчиняются, так называемым динамическим закономерностям. Динамические законы отражают однозначные причинно-следственные связи, подчиняющиеся детерминизму Лапласа.

Динамические законы - это законы Ньютона, уравнения Максвелла, уравнения теории относительности.

Классическая механика Ньютона

Основу механики Ньютона составляют закон инерции Галилея, два закона открытые Ньютоном, и закон Всемирного тяготения, открытый также Исааком Ньютоном.

1. Согласно сформулированному Галилеем закону инерции, тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет его из этого состояния.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит её изменить это состояние.

2. Этот закон устанавливает связь между массой тела, силой и ускорением.

Второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе и обратно пропорционально массе материальной точки (тела)

Второй закон справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон можно получить из второго.

3. Устанавливает связь между силой действия и силой противодействия.

Третий закон Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.

4. В качестве IV закона выступает закон всемирного тяготения.

Два любых тела притягиваются друг к другу с силой пропорциональной массе сил и обратно пропорциональной квадрату расстояния между центрами тел.

Уравнения Максвелла.

Уравнения Максвелла - наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. В учении об электромагнетизме они играют такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом - они образуют единое электромагнитное поле.

Из уравнений Максвелла следует, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами

(электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Уравнения теории относительности.

Специальная теория относительности, принципы которой сформулировал в 1905 г. А.Эйнштейн, представляет собой современную физическую теорию пространства и времени, в которой, как и в классической ньютоновской механике, предполагается, что время однородно, а пространство однородно и изотропно. Специальная теория часто называется релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорией - релятивистским эффектом (эффект замедления времени).

В основе специальной теории относительности лежат постулаты Эйнштейна:

принцип относительности: никакие опыты (механические, электрические, оптические), проведенные в данной инерциальной системе отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы к другой;

принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Первый постулат, являясь обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы, утверждает таким образом, что физические законы инвариантны

по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, а уравнения, описывающие эти законы, одинаковы по форме во всех инерциальных системах отсчета. Согласно этому постулату, все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны, т. е. явления механические, электродинамические, оптические и др. во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково.

Согласно второму постулату, постоянство скорости света в вакууме - фундаментальное свойство природы.

Общая теория относительности, называемая иногда теорией тяготения - результат развития специальной теории относительности. Из нее вытекает, что свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. При переходе к космическим масштабам геометрия пространства-времени может изменятся от одной области к другой в зависимости от концентрации масс в этих областях и их движения.

МЕХАНИЧЕСКИЙ ДЕТЕРМИНИЗМ

Детерминисты считают, что все происходящее в мире рассматривается как следствие действия объективных однозначных законов, а случайность является выражением непознанной необходимости. Возникло философское учение механический детерминизм, классическим представителем которого был Пьер Симон Лаплас (1749-1827) - французский математик, физик и философ. Лапласовский детерминизм выражает идею абсолютного детерминизма - уверенность в том, что всё происходящее имеет причину в человеческом понятии и есть непознанная разумом необходимость. Концепция детерминизма по Лапласу, предполагает однозначность и предопределенность будущего, это вытекает из признания жесткой причинно-следственной связи между событиями и явлениями и отрицает объективность случайности. В мире все объективно предопределено и детерминировано. Не может быть никаких "либо, либо". Будущее также однозначно, как и прошлое. Механический детерминизм объединяет в единое целое такие понятия, как "материя", "информация", "пространство" и "время". Все эти понятия должны рассматриваться как разные проявления единого нечто, которое условно может быть названо абсолютом.

1. Ввиду однозначности динамических законов природы, будущее также однозначно как и прошлое. Не существует никаких случайных событий, случайность - это непознанная необходимость.

2. Время - это средство реализации причинно-следственных связей, а так как причина всегда предшествует следствию, то течение времени всегда однозначно и однонаправлено.

3. Перемещение во времени возможно только от причины к следствию. Поэтому перемещение в прошлое из будущего возможно только в том случае, если это перемещение исключает возможность какого-либо активного вмешательства в течение прошлого.

4. Вместе с тем возможно пассивное перемещение, как в прошлое, так и в будущее, при условии только наблюдения за

происходящим и невозможности активного воздействия на него. Возможно только пассивное созерцание картин происходившего и будущего.

5. Течение времени может происходить в разных координатных системах, не совпадающих друг с другом, однако переход из одной - в другую, не может привести к нарушению причинно-временных связей и однозначности будущего.

Детерминизм - учение о причинной материальной обусловленности природных, социальных и психических явлений. Сущностью детерминизма является идея о том, что все существующее в мире возникает и уничтожается закономерно, в результате действия определенных причин.
Индетерминизм - учение, отрицающее объективную причинную обусловленность явлений природы, общества и человеческой психики.
В современной физике идея детерминизма выражается в признании существования объективных физических закономерностей и находит свое более полное и общее отражение в фундаментальных физических теориях.
Фундаментальные физические теории (законы) представляют собой совокупность наиболее существенных знаний о физических закономерностях. Эти знания не являются исчерпывающими, но на сегодняшний день они наиболее полно отражают физические процессы в природе. В свою очередь, на основе тех или иных фундаментальных теорий формулируются частные физические законы типа закона Архимеда, закона Ома, закона электромагнитной индукции и т.д.
Ученые-науковеды едины во мнении, что основу любой физической теории составляют три главных элемента:
1) совокупность физических величин, с помощью которых описываются объекты данной теории (например, в механике Ньютона - координаты, импульсы, энергия, силы); 2) понятие состояния; 3) уравнения движения, то есть уравнения, описывающие эволюцию состояния рассматриваемой системы.
Кроме того, для решения проблемы причинности важное значение имеет подразделение физических законов и теорий на динамические и статистические (вероятностные).

На многообразиях и их подмножествах. Тесно связан с теорией дифференциальных уравнений , поскольку обыкновенное дифференциальное уравнение задает однопараметрическую группу диффеоморфизмов своего фазового пространства .

Эту область изучения часто называют просто «Динамические системы», «Теория систем», или длиннее как «Теория математических динамических систем».

Шаблон:Системы

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Теория групп Ли
• Теория дифференциальных уравнений

Смотреть что такое "Теория динамических систем" в других словарях:

МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ - то же, что эргодическая теория … Математическая энциклопедия

ЭНТРОПИЙНАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ - раздел эргодической теории, тесно связанный с теорией вероятностен и теорией информации. Природа этой связи в общих чертах такова. Пусть {Tt} динамич. система (обычно измеримый поток или каскад)с фазовым пространством Wи инвариантной мерой Пусть … Математическая энциклопедия

Кафедра нелинейных динамических систем и процессов управления ВМК МГУ - Кафедра Нелинейных Динамических Систем и Процессов Управления факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им М. В. Ломоносова (НДСиПУ ВМК МГУ). Заведующий кафедрой (с 1989 года) – лауреат Ленинской, Государственных (СССР и РФ),… … Википедия

Теория катастроф (математика) - Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Рене Томом (René Thom) и… … Википедия

Теория бифуркаций - динамических систем это теория, которая изучает изменения качественной картины разбиения фазового пространства в зависимости от изменения параметра (или нескольких параметров). Содержание 1 Обзор 2 Бифуркация равновесий … Википедия

Теория линейных стационарных систем - раздел теории динамических систем, изучающий поведение и динамические свойства линейных стационарных систем (ЛСС). Широко используется в процессе управления техническими системами, цифровой обработке сигналов и других областях инженерного дела.… … Википедия

Теория случайных матриц - Теория случайных матриц раздел математической статистики, изучающий свойства ансамблей матриц, элементы которых распределены случайным образом. Как правило задаётся закон распределения элементов. При этом изучается статистика собственных… … Википедия

Теория узлов - Теория узлов изучение вложений одномерных многообразий в трёхмерное евклидово пространство или в сферу. В более широком смысле предметом теории узлов являются вложения сфер в многообразия и вообще вложения многообразий. Содержание 1… … Википедия

Теория Колмогорова - Теория Колмогорова Арнольда Мозера, или теория КАМ названная в честь её создателей, А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда и Ю. Мозера, ветвь теории динамических систем, изучающая малые возмущения почти… … Википедия

Теория катастроф (значения) - Теория катастроф: Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Катастрофизм (теория катастроф) система… … Википедия

Книги

• Синхронизация динамических систем , . В настоящей книге делается попытка систематического изложения фактов и результатов, относящихся к быстро развивающейся области науки и техники- синхронизации динамических систем. Книга… Купить за 735 руб
• Теория динамических систем , Г. А. Степаньянц. Настоящая книга посвящена изложению основ общей теории динамических систем, созданной трудами ряда выдающихся отечественных и зарубежных математиков. Знакомствос этой теорией позволяет…

Динамические системы довольно популярны в экономическом моделировании.

Типы процессов, происходящих в экономических системах:

• Детерминированные;
• Стохастические;
• Хаотические.

Для макроуровня, благодаря действиям объективных экономических законов и регуляторных воздействий государства, более характерные детерминированные процессы. Для микроуровня — стохастические (вероятностные).

При достаточно большом количестве наблюдений и обобщении исследуемого явления на более высоком уровне иерархии детерминированная компонента начинает превалировать, а стохастическая превращается в «шум».

При хаотичном характере исследуемой системы применения методов позволяет несколько облегчить изучение объекта за счет определения детерминированного механизма его поведения. Это, в свою очередь, позволяет уменьшить неопределенность познания системы.

Динамическая система — это такая система, параметры которой явно или неявно зависят от времени.

Итак, если для поведения системы заданные функциональные уравнения, то в них включены в явном виде переменные, относящиеся к разным моментам времени.

Важнейшие свойства сложных динамических систем

Рассмотрим самые важные свойства динамических систем.

1. Целостность (эмерджентность) динамических систем

В системе отдельные части функционируют совместно, составляя в совокупности процесс функционирования системы как целого. Совокупное функционирование разнородных взаимосвязанных элементов порождает качественно новые функциональные свойства целого, не имеющие аналогов в свойствах его элементов. Это означает принципиальную невозможность сведения свойств системы к сумме свойств ее элементов.

2. Взаимодействие динамической системы с внешней средой

Система реагирует на воздействие окружающей среды, эволюционирует под этим влиянием, но при этом сохраняет качественную определенность и свойства, отличающие ее от других систем.

3. Структура динамической системы

При исследовании системы структура выступает как способ описания ее организации. В зависимости от поставленной задачи исследования осуществляется декомпозиция системы на элементы и вводятся существенные для решаемой проблемы отношения и связи между ними. Декомпозиция системы на элементы и связи определяется внутренними свойствами данной системы. Структура динамична по природе, ее эволюция во времени и пространстве отражает процесс развития систем.

4. Бесконечность познания динамической системы

Под этим свойством понимается невозможность полного познания системы и всестороннего представления ее конечной множеством описаний, т.е. конечной количеством качественных и количественных характеристик. Поэтому система может быть представлена множеством структурных и функциональных вариантов, отражающих различные аспекты системы.

5. Иерархичность динамической системы

Каждый элемент в декомпозиции системы может рассматриваться как целостная система, элементы которой, в свою очередь, могут быть также представлены как системы. Но, с другой стороны, любая система — лишь компонент более широкой системы.

6. Элемент динамической системы

Под элементом понимается наименьшее звено в структуре системы, внутреннее строение которой не рассматривается на выбранном уровне анализа. Согласно свойства 5 любой элемент является системой, но на заданном уровне анализа эта система характеризуется только целостными характеристиками.

Целостность, структура, элемент, бесконечность и иерархичность составляют ядро системообразующих понятий общей теории систем и является основой системного представления объектов и формирования концепций системных исследований.

Для более подробного изучения свойств динамических экономических систем (ЭС) необходимо рассмотреть еще ряд дополнительных ее свойств характеристик.

1. Состояние динамической системы . Состояние системы определяется состояниями ее элементов. Теоретически возможный набор состояний равно количеству возможных сочетаний всех состояний элементов. Однако взаимодействие составных частей приводит к ограничению количества реальных сочетаний. Изменение состояния элемента может происходить неявно, непрерывно и скачкообразно.
2. Поведение динамических систем . Под поведением системы понимается закономерный переход из одного состояния в другое, обусловленный свойствами элементов и структурой.
3. Непрерывность функционирования системы . Система существует, пока функционируют социально-экономические и иные процессы в обществе, которые не могут быть прерваны, иначе система перестанет функционировать. Все процессы в ЕС, как в живом организме, взаимосвязаны. Функционирования частей определяет характер функционирования целого, и наоборот. Функционирование системы связано с непрерывными изменениями, накопление которых приводит к развитию.
4. Развитие динамической системы . Жизнедеятельность сложной системы является постоянным изменением фаз функционирования и развития, которая выражается в непрерывной функциональной и структурной перестройке системы, ее подсистем и элементов. Эволюция экономических систем обусловлена одной из важнейших свойств сложных систем — способностью к саморазвитию. Центральным источником саморазвития является непрерывный процесс возникновения и разрешения противоречий. Развитие, как правило, связан с усложнением системы, т.е. с увеличением ее внутреннего разнообразия.
5. Динамичность системы . Экономическая система функционирует и развивается во времени, она имеет предысторию и будущее, характеризуется определенным жизненным циклом, в котором могут быть выделены определенные фазы: возникновение, рост, развитие, стабилизация, деградация, ликвидация или стимул к изменению.
6. Сложность динамической системы . Экономическая система характеризуется большим количеством неоднородных элементов и связей, полифункциональностью, полиструктурностью, многокритериальностью, многовариантностью развития и свойствами сложных систем, поэтому она представляется, как сложная динамическая система .
7. Гомеостатичность . Гомеостатичность отражает свойство системы к самосохранению, противодействие разрушающим воздействиям среды.
8. Целеустремленность . Всем динамическим системам в экономике присуща целеустремленность, т.е. наличие определенных целей и стремление ее достижения. Развитие системы связан именно с изменением цели.
9. Управляемость динамической системы . Осознанная организация целенаправленного функционирования системы и ее элементов называется управляемостью. В процессе жизнедеятельности система посредством целенаправленного управления решает постоянно возникающие в ней противоречия и реагирует на изменение внутренних и внешних условий своего существования. Согласно изменяющимся, она меняет свою структуру, корректирует цели развития и содержание деятельности элементов, т.е. происходит целенаправленная самоорганизация системы, которая на практике реализует способность к саморазвитию. Одной из основных функций самоорганизации является сохранение качественной уникальности системы в процессе ее эволюции.Свойства управляемости оказываются также в таких особенностях, как относительная автономность и функциональная управляемость.Относительная автономность функционирования экономических систем означает, что в результате действия обратной связи каждая из составляющих выходного сигнала может быть изменена за счет изменения входного сигнала, причем другие составляющие остаются не измененными. Функциональная управляемость экономической системы означает, что соответствующим выбором входного воздействия можно добиться любого выходного сигнала.
10. Адаптивность динамической системы . Адаптивная экономической системы определяется двумя видами адаптации — пассивной и активной. Пассивная адаптация является внутренней характеристикой экономической системы, которая располагает определенными возможностями саморегулирования. Активная адаптация представляет механизм адаптивного управления экономической системой и организацию его эффективной реализации.
11. Инерционность динамической системы . Инерционность экономической системы проявляется в возникновении запаздывания в системе, симптоматично реагирует на возмущения и управляющие воздействия.
12. Устойчивость динамической системы . Система считается относительно устойчивой в определенно определенных пределах, если при достаточно малых изменениях условий функционирования его поведение существенно не меняется. В рамках теории систем исследуются структурная устойчивость и устойчивость траектории поведения системы. Устойчивость ЕС обеспечивается такими аспектами самоорганизации, как дифференциация и лабильность (чувствительность). Дифференциация — это стремление системы к структурной и функциональной разнообразия элементов, которая обеспечивает не только условия возникновения и разрешения противоречий, но и определяет способность системы быстро приспосабливаться к имеющимся условиям существования. Больше разнообразия — больше устойчивости, и наоборот. Лабильность означает подвижность функций элементов при сохранении устойчивости структуры системы в целом.
13. Состояние равновесия динамической системы . Устойчивость системы связана с ее стремлением к состоянию равновесия, которое предполагает такое функционирование элементов системы, при котором обеспечивается повышенная эффективность движения к целям развития. В реальных условиях система не может полностью достичь состояния равновесия, хотя и стремится к нему. Элементы системы функционируют по-разному в разных условиях, и их динамическое взаимодействие постоянно влияет на движение системы. Система стремится к равновесию, на это направлены усилия управления, но, достигая его, она тут же от него уходит. Таким образом, устойчивая экономическая система постоянно находится в состоянии динамического равновесия, она непрерывно колеблется относительно положения равновесия, что является не только ее специфическим свойством, но и условием непрерывного возникновения противоречий как движущих сил эволюции.

Динамическая система - множество элементов, для которого задана функциональная зависимость между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. [ ] Данная математическая абстракция позволяет изучать и описывать эволюцию систем во времени.

Состояние динамической системы в любой момент времени описывается множеством вещественных чисел (или векторов), соответствующим определённой точке в пространстве состояний . Эволюция динамической системы определяется детерминированной функцией, то есть через заданный интервал времени система примет конкретное состояние, зависящее от текущего.

Введение

Динамическая система представляет собой такую математическую модель некоего объекта, процесса или явления, в которой пренебрегают «флуктуациями и всеми другими статистическими явлениями».

Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием . При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы - совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояния в другое.

Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.

В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами , поведение системы (или, что то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками , состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике.

Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) часто описывается автономной системой дифференциальных уравнений , заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые - его периодическим решениям.

Основное содержание теории динамических систем - это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями . Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы ) и отталкивающих (репеллеры ) множеств (многообразий). Важнейшие понятия теории динамических систем - устойчивость состояний равновесия (т.е. способность системы при малых изменениях начальных условий сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (т.е. сохранение свойств при малых изменениях самой математической модели; «грубая система - это такая, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров»).

Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой .

Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.

Методы теории динамических систем востребованы в других разделах естествознания, таких как неравновесная термодинамика , теория динамического хаоса , синергетика .

Определение

Пусть X {\displaystyle X} - произвольное гладкое многообразие .

Динамической системой , заданной на гладком многообразии X {\displaystyle X} , называется отображение g: R × X → X {\displaystyle g\colon R\times X\to X} , записываемое в параметрическом виде g t (x) {\displaystyle g^{t}(x)} , где t ∈ R , x ∈ X {\displaystyle t\in R,x\in X} , которое является дифференцируемым отображением, причём g 0 {\displaystyle g^{0}} - тождественное отображение пространства X {\displaystyle X} . В случае стационарных обратимых систем однопараметрическое семейство { g t: t ∈ R } {\displaystyle \{g^{t}:t\in R\}} образует группу преобразований топологического пространства X {\displaystyle X} , а значит, в частности, для любых t 1 , t 2 ∈ R {\displaystyle t_{1},t_{2}\in R} выполняется тождество g t 1 ∘ g t 2 = g t 1 + t 2 {\displaystyle g^{t_{1}}\circ g^{t_{2}}=g^{t_{1}+t_{2}}} .

Из дифференцируемости отображения g {\displaystyle g} следует, что функция g t (x 0) {\displaystyle g^{t}(x_{0})} является дифференцируемой функцией времени, её график расположен в расширенном фазовом пространстве R × X {\displaystyle R\times X} и называется интегральной траекторией (кривой) динамической системы. Его проекция на пространство X {\displaystyle X} , которое носит название фазового пространства , называется фазовой траекторией (кривой) динамической системы.

Задание стационарной динамической системы эквивалентно разбиению фазового пространства на фазовые траектории. Задание динамической системы в общем случае эквивалентно разбиению расширенного фазового пространства на интегральные траектории.

Способы задания динамических систем

Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство X {\displaystyle X} , множество моментов времени T {\displaystyle T} и некоторое правило , описывающее движение точек фазового пространства со временем. Множество моментов времени T {\displaystyle T} может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно ), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.

Фазовые потоки

Пусть фазовое пространство X {\displaystyle X} представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка x {\displaystyle x} фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости v (x) {\displaystyle v(x)} . Тогда траектория точки будет решением автономного дифференциального уравнения d x d t = v (x) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(x)} с начальным условием x (0) = x 0 {\displaystyle x(0)=x_{0}} . Заданная таким образом динамическая система называется фазовым потоком для автономного дифференциального уравнения.

Каскады

Пусть X {\displaystyle X} - произвольное множество, и f: X → X {\displaystyle f\colon X\to X} - некоторое отображение множества X {\displaystyle X} на себя. Рассмотрим итерации этого отображения, то есть результаты его многократного применения к точкам фазового пространства. Они задают динамическую систему с фазовым пространством X {\displaystyle X} и множеством моментов времени T = N {\displaystyle T=\mathbb {N} } . Действительно, будем считать, что произвольная точка x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} за время 1 {\displaystyle 1} переходит в точку x 1 = f (x 0) ∈ X {\displaystyle x_{1}=f(x_{0})\in X} . Тогда за время 2 {\displaystyle 2} эта точка перейдет в точку x 2 = f (x 1) = f (f (x 0)) {\displaystyle x_{2}=f(x_{1})=f(f(x_{0}))} и т. д.

Если отображение f {\displaystyle f} обратимо, можно определить и обратные итерации : x − 1 = f − 1 (x 0) {\displaystyle x_{-1}=f^{-1}(x_{0})} , x − 2 = f − 1 (f − 1 (x 0)) {\displaystyle x_{-2}=f^{-1}(f^{-1}(x_{0}))} и т. д. Тем самым получаем систему с множеством моментов времени T = Z {\displaystyle T=\mathbb {Z} } .

Примеры

• Система дифференциальных уравнений

задает динамическую систему с непрерывным временем, называемую «гармоническим осциллятором». Её фазовым пространством является плоскость (x , v) {\displaystyle (x,v)} , где v {\displaystyle v} - скорость точки x {\displaystyle x} . Гармонический осциллятор моделирует разнообразные колебательные процессы - например, поведение груза на пружине. Его фазовыми кривыми являются эллипсы с центром в нуле.

Вопросы теории динамических систем

Имея какое-то задание динамической системы, далеко не всегда можно найти и описать её траектории в явном виде. Поэтому обычно рассматриваются более простые (но не менее содержательные) вопросы об общем поведении системы. Например:

1. Есть ли у системы замкнутые фазовые кривые, то есть может ли она вернуться в начальное состояние в ходе эволюции?
2. Как устроены инвариантные многообразия системы (частным случаем которых являются замкнутые траектории)?
3. Как устроен аттрактор системы, то есть множество в фазовом пространстве, к которому стремится «большинство» траекторий?
4. Как ведут себя траектории, выпущенные из близких точек - остаются ли они близкими или уходят со временем на значительное расстояние?
Ссылки