Рассмотрим расположение графиков взаимно обратных функций в декартовой системе координат и докажем следующее утверждение.

Лемма 1.1. Еслиa, b R , то точкиM 1 (a, b), M 2 (b, a) плоскости симметричны относительно прямойy = x .

Если a = b, то точки M1 , M2 совпадают и лежат на прямой y = x. Будем считать, что a 6= b. Прямая, проходящая через точки M1 , M2 , имеет уравнение y = −x+a+b, а потому перпендикулярна прямой y = x.

Поскольку середина отрезка M1 M2 имеет координатыa + 2 b ,a + 2 b ! , то

она лежит на прямой y = x. Следовательно, точки M1 , M2

Cледствие. Если функцииf: X −→ Y иϕ : Y −→ X взаимно обратные, то их графики симметричны относительно прямойy = x , если они построены в одной системе координат.

Пусть f = {(x, f(x)) | x X},ϕ = {(y, ϕ(y)) | y Y } - графики функций f и ϕ соответственно. Так как

(a, b) f (b = f(a), a X) (a = ϕ(b), b Y) (b, a)ϕ ,

то в силу доказанной леммы графики f иϕ симметричны относительно прямой y = x.

1.6 Свойства числовых множеств

1.6.1 Ограниченные числовые множества

Определение 1.26. ПустьX - непустое числовое множество. МножествоX называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое числоa , чтоx 6 a (x > a ) для любого элементаx X . При этом числоa называется верхней (нижней) границей множестваX . Множество, ограниченное снизу и сверху называют ограниченным.

С помощью логических символов ограниченность сверху множества X записывают следующим образом:

a R: x 6 a, x X.

Учитывая свойства модуля числа, можно дать следующее равносильное определение ограниченного множества.

Определение 1.27. Непустое числовое множествоX называют ограниченным, если существует такое положительное числоM , что

Определение 1.28. Элементa из числового множестваX называют максимальным (минимальным) элементом вX , еслиx 6 a (соответственно,x > a ) для любогоx изX , и пишут:a = max X (соответственно,a = min X ).

В силу аксиомы порядка (3.b) легко показать, что если множество X в R имеет максимальный (минимальный) элемент, то он единственен.

Отметим, что если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то оно ограничено сверху (снизу) и число a является верхней (нижней) границей множества X. Однако не всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет максимальный (минимальный) элемент.

Пример 1.5. Покажем, что множество X = = inf (а, b) = а.

Эти примеры показывают, в частности, что нижняя и верхняя грани могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.

В силу самого своего определения верхняя и нижняя грани множества единственны. В самом деле, если в некотором множестве, принадлежащем даже расширенной числовой прямой , существует наименьший (наибольший) элемент, то он единственен, так как из двух разных элементов множества больший из них не может быть наименьшим элементом, а меньший - наибольшим.

Всегда ли ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) границу? Действительно, так как верхних (нижних) границ бесконечно много, а среди бесконечного множества чисел не всегда найдется наибольшее (наименьшее, то существование супремума (инфинума) требует специального доказательства.

Теорема 7.3(1)

Всякое ограниченное сверху непустое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое – нижнюю.

Доказательство

Пусть непустое числовое множество А ограничено сверху, В - множество всех чисел, ограничивающих сверху множество А. Если то из определения числа, ограничивающего сверху

множество, следует, что a≤b. Следовательно, по свойству непрерывности действительных чисел существует такое число β, что для всех будет выполняться неравенство a≤β≤b. Неравенство , означает, что число β ограничивает сверху множество А, а неравенство - что число β является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих сверху множество А. Следовательно, β= sup A.

Аналогично доказывается, что ограниченное снизу числовое множество имеет нижнюю грань.

Ограниченное числовое множество

Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху , если существует число , такое что все элементы не превосходят :

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Ограниченное множество" в других словарях:

1) О. м. в метрическом пространстве X(с метрикой) множество А, диаметр к рого конечен. 2) О. м. в топологич. векторном пространстве Е(над полем k) множество В, к рое поглощается каждой окрестностью нуля U(т. е. существует такое). М. И.… … Математическая энциклопедия

В метрическом пространстве то же, что вполне ограниченное подпространство данного метрич. пространства. См. Вполне ограниченное пространство. А. В. Архангельский … Математическая энциклопедия

В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай… … Википедия

множество - набор комплект — множество Одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое… … Справочник технического переводчика

Множество - одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое целое». (Так определял множество основатель теории множеств, известный немецкий… … Экономико-математический словарь

См. Класс в логике. Философский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983. МНОЖЕСТВО … Философская энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения). Множество тип и структура данных в информатике, является реализацией математического объекта множество. Данные типа множество позволяют хранить ограниченное число значений… … Википедия

1) П. м. аналитической функции f(z) комплексных переменных z=(z1,...,zn), п 1, такое множество Рточек нек рой области Dкомплексного пространства С n, что: а) f(z) голоморфна всюду в; б) f(z) не продолжается аналитически ни в одну точку Р;в) для… … Математическая энциклопедия

генеральное множество (гм) текстов - объектом самого исследования выступает не сам подъязык, а некоторое множество текстов, являющееся в принципе бесконечным или, во всяком случае, открытым. Задается оно описательно, путем характеристики источников данных текстов. Именно они… … Толковый переводоведческий словарь