лат. reductio ad absurdum) - вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения - антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем установления его несовместимости с заведомо истинным суждением. Часто доказательство от противного опирается на двузначности принцип.

Отличное определение

Неполное определение ↓

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО

обоснование суждения путем опровержения методом "приведения к нелепости" (reductio ad absurdum) нек-рого другого суждения, – именно того, к-рое является отрицанием обосновываемого (Д. от п. 1-го вида) или того, отрицанием к-рого является обосновываемое (Д. от п. 2-го вида); "приведение к нелепости" состоит в том, что из опровергаемого суждения выводится к.-л. явно ложное заключение (напр., формальнологическое противоречие), что и свидетельствует о ложности этого суждения. Необходимость различения двух видов Д. от п. вытекает из того, что в одном из них (именно, в Д. от п. 1-го вида) имеет место логический переход от двойного отрицания суждения к утверждению этого суждения (т.е. применяется т.н. правило снятия двойного отрицания, разрешающее переход от A к А, см. Двойного отрицания законы), в то время как в другом такого перехода нет. Ход рассуждения в Д. от п. 1-го вида: требуется доказать суждение А; в целях доказательства предполагаем, что суждение А неверно, т.е. что верно его отрицание: ? (не-А), и, опираясь на это предположение, логически выводим к.-л. ложное суждение, напр. противоречие, – осуществляем "приведение к нелепости" суждения А; это свидетельствует о ложности нашего предположения, т.е. доказывает, истинность двойного отрицания: A; применение к A правила снятия двойного отрицания завершает доказательство суждения А. Ход рассуждения в Д. от п. 2-го вида: требуется доказать суждение?; в целях доказательства предполагаем верным суждение А и приводим это предположение к нелепости; на этом основании заключаем, что А ложно, т.е. что верно?. Различение двух видов Д. от п. важно потому, что в так называемой интуиционистской (конструктивной) логике закон снятия двойного отрицания не имеет места, в силу чего не допускаются и Д. от п., существенно связанные с применением этого логического закона. См. также Косвенное доказательство. Лит.: Тарский?., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Асмус В. Ф., Учение логики о доказательстве и опровержении, [М.], 1954; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Черч?., Введение в математич. логику, пер. с англ., [т.] 1, М., 1960.

Часто при доказательстве теорем пользуются методом доказательства от противного . Суть этого метода помогает понять загадка. Попробуйте её разгадать.

Представьте себе страну, в которой приговорённому к казни предлагается выбрать одну из двух одинаковых на вид бумаг: на одной написано «смерть», на другой - «жизнь». Враги оклеветали одного жителя этой страны. И, чтобы у него не осталось никаких шансов спастись, сделали так, что на обороте обоих бумажек, из которых он должен выбрать одну, было написано «смерть». Друзья узнали об этом и сообщили осуждённому. Он попросил никому об этом не рассказывать. Вытащил одну из бумажек. И остался жить. Как ему это удалось?

Ответ. Осуждённый проглотил выбранную им бумажку. Чтобы установить, какой жребий ему выпал, судьи заглянули в оставшуюся бумажку. На ней было написано: «смерть». Это доказывало, что ему повезло, он вытащил бумажку, на которой было написано: «жизнь».

Как в случае, о котором рассказывает загадка, при доказательстве возможны только два случая: можно… или нельзя… Если удастся убедится, что первое невозможно (на бумажке, которая досталась судьям, написано: «смерть»), то сразу можно сделать вывод, что справедлива вторая возможность (на второй бумажке написано: «жизнь»).

Доказательство методом «от противного» осуществляется так.

1) Устанавливают, какие варианты в принципе возможны при решении задачи или доказательстве теоремы. Вариантов может быть два (например, перпендикулярны ли не перпендикулярны рассматриваемые прямые); вариантов ответа может быть три и больше (например, какой получается угол: острый, прямой или тупой).

2) Доказывают. Что не может выполняться ни один из тех вариантов, которые нам необходимо отбросит. (Например, если надо доказать, что прямые перпендикулярные, смотрим, что получается, если рассматривать не перпендикулярные прямые. Как правило, удаётся установить, что в этом случае какой-либо из выводов противоречит тому, что дано в условии, а потому невозможен.

3) На основании того, что все нежелательные выводы отброшены и только один (желательный) остался нерассмотренным, делаем вывод, что именно он верный.

Решим задачу, используя доказательство от противного.

Дано: прямые а и b такие, что любая прямая, которая пересекает а, пересекает и b.

Используя метод доказательства «от противного», доказать, что а ll b.

Доказательство.

Возможны только два случая:

1) прямые а и b параллельны (жизнь);

2) прямые а и b не параллельны (смерть).

Если удастся исключить нежелательный случай, то останется сделать вывод, что имеет место второй из двух возможных. Чтобы отбросить нежелательный случай, давайте подумаем, что произойдёт, если прямые а и b пересекаются:

По условию любая прямая, которая пересекает а, пересекает и b. Поэтому, если удастся найти хотя бы одну прямую, которая пересекает а, но не пересекает b, этот случай надо будет отбросить. Таких прямых можно найти сколько угодно: достаточно провести через любую точку К прямой а, кроме точки М прямую КС, параллельную b:

Поскольку отброшен один из двух возможных случаев, можно сразу сделать вывод, что а ll b.

Остались вопросы? Не знаете, как доказать теорему?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

МЕТОД ОТ ПРОТИВНОГО (далее МОП) - научно-прикладной метод, названный по имени выдающегося украинского просветителя, основателя целого ряда научных школ и направлений Василия Козьмича Противного. В.К.Противный родился 29 февраля 1513 г по старому стилю в селе Нижние Лопухи близ Чернигова. Вася с детства был слабым и хлипким мальчиком и постоянно, начиная с детского сада, подвергался насмешкам сверстников, что в дальнейшем предопределило его скверный характер.

В дальнейшем слова "делать все назло окружающим" фактически стали девизом жизни В.К.Противного. Так, назло всем он покинул родные Холмогоры и поступил в МГУ им. Ломоносова (а не в суворовское училище, как хотел его отец), назло всем никогда ни на ком не женился (хотя его бабушка Василиса Противная нашла ему за всю жизнь как минимум 14 невест), назло всем, сославшись на грибной сезон, не стал получать медаль Филдса - высшую награду в области математики.

Суть метода от Противного можно передать следующими пунктами:
1. Делается неверное предположение.
2. Выясняется, что следует из этого предположения на основании известных знаний.
3. Осуществляется заход в тупик.
4. Делается верный вывод о том, что неверное предположение неверно.

Многие ученые, философы, исследователи и даже деятели искусств стали ярыми приверженцами идей украинского просветителя. Например, так впервые в медицинской практике была использована лоботомия, когда была сделана попытка разрешить извечный философский спор о первичности материи или сознания с помощью медицинского эксперимента. Так ученик В.К.Противного Лобачевский создал неевклидову геометрию, так его почитатель Чайковский написал гимн альтернативной любви - вальс "Голубой Дунай", и так далее.

Метод от Противного часто применяется в настоящее время в самых разных областях человеческой жизни. Например, для воспитания художественного вкуса москвичей им с успехом пользуется московский мэр Лужков, устанавливая в городе скульптуры Церетели. Руководство ГУВД, пользуясь этим методом, решило найти убийц известной журналистки Политковской, так как другие методы в виду особой сложности дела результатов не дают. Вооруженные МОП московские милиционеры знают - последовательно выявив всех непричастных, они автоматически выйдут на след убийц.

Вся жизнь и даже смерть В.К.Противного явилась яркой иллюстрацией его метода. Ученый трагически ушел из жизни 29 февраля 1613 г в возрасте 112 лет, повесившись назло своей бабушке Василисе Противной, не давшей Василию Козьмичу попробовать варенье из холодильника. Несмотря на двоякое отношение к В.К.Противному из-за его скверного характера, большинство ученых и исследователей все-таки считают МОП одним из наиболее мощных орудий современной науки в целом и математики в частности.
____________________________________

Василий Козьмич Противный, выдающийся украинский просветитель (1513 - 1613)

Выражаю благодарность

Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждения. Само рассуждение называется доказательством теоремы.

Теорема обратная данной – это теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – ее условие. Например: Теорема : В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обратная теорема : Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным.

Следствие – это утверждение, которое выводится непосредственно из теоремы. Например: следствием из теоремы о высоте равнобедренного треугольника является: Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Доказательство методом от противного заключается в следующем:

1) Делается предположение противоположное тому, что надо доказать.

2) Затем, исходя из предположения, путем рассуждений приходят к противоречию либо с условием, либо с известным фактом.

3) На основании полученного противоречия делается вывод о том, что предположение неверно, а значит верно то, что требовалось доказать.

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны .

Дано :

DАВС – пр/уг

ВС=В 1 С 1

Доказать :

DАВС = DА 1 В 1 С 1

Доказательство :

1. Приложим к DАВС к DА 1 В 1 С 1 , так чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1 , вершина В с вершиной В 1 , а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой АВ.

2. Так как АВ= А 1 В 1 Þ они совпадут.

3. ÐСА 1 С 1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 ÞÐСА 1 С 1 – развернутый и Þточки С, А 1 и С 1 – лежат на одной прямой.

4. Рассмотрим DСВС 1 – р/б (ВС= В 1 С 1 по условию)Þ ÐС = ÐС 1 (по свойству)

5. Таким образом, DАВС = DА 1 В 1 С 1 – по гипотенузе и острому углу. (ч.т.д.)

Билет №9.

Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой.

Перпендикулярные прямые – это две прямые, которые при пересечении образуют четыре прямых угла.(показать на рисунке)

Перпендикуляр к прямой – это отрезок, опущенный из точки на прямую под прямым углом. Точка пересечения отрезка и прямой называется основанием перпендикуляра (показать на рисунке)

Теоремы :

1)Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один.

2)Две прямые перпендикулярные к одной и той же прямой не пересекаются.

Признак равнобедренного треугольника.

Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным.

Дано :

ÐА = ∠С

Доказать :

DАВС – р/б

Доказательство:

1. Мысленно скопируем DАВС и перевернем копию – получим DСВА.

2. Наложим DСВА на DАВС, так чтобы вершина С копии совместилась с вершиной А DАВС.

3. Так как ÐА = ÐС (по условию) Þ ÐА копии и ÐС треугольника при наложении совпадут, так же ÐС копии и ÐА треугольника при наложении совпадут.

4. Отрезок СВ копии наложится на луч АВ треугольника и отрезок АВ копии наложится на луч СВ треугольника.

5. Так как две прямые могут иметь только одну общую точку пересечения ⇒

т. В 1 совпадет с точкой В и ⇒ АВ совместится с СВ ⇒ АВ=СВ

6. Из того, что АВ=СВ ⇒ по определению ΔАВС - равнобедренный(ч.т.д.)

Билет №10.

Равнобедренный треугольник.

Треугольник , у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона – основанием . (показать на рисунке)

Свойство равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.(показать на рисунке)

Признак равнобедренного треугольника : Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. (показать на рисунке)

Теорема о высоте равнобедренного треугольника : Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. (показать на рисунке)

Следствия из теоремы о высоте равнобедренного треугольника :

1) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. (показать на рисунке)

2) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и медианой. (показать на рисунке)

Занятие рассчитано на 2академ. часа.

Цель: изучить различные методы доказательств (прямое рассуждение, метод «от противного» и обратное рассуждение), иллюстрирующие методологию рассуждений. Рассмотреть метод математической индукции.

Теоретический материал Методы доказательств

При доказательстве теорем применяется логическая аргументация. Доказательства в информатике  неотъемлемая часть проверки корректности алгоритмов. Необходимость доказательства возникает, когда нам нужно установить истинность высказывания вида (АВ). Существует несколько стандартных типов доказательств, включающих следующие:

Прямое рассуждение (доказательство).

Предполагаем, что высказывание А истинно и показываем справедливость В. Такой способ доказательства исключает ситуацию, когда A истинно, a B  ложно, поскольку именно в этом и только в этом случае импликация (АВ) принимает ложное значение (см. табл).

Таким образом, прямое доказательство идет от рассмотрения аргументов к доказательству тезиса, т. е. истинность тезиса непосредственно обосновывается аргументами. Схема этого доказательства такая: из данных аргументов (а, b, с, ...) необходимо следует доказываемый тезис q.

По этому типу проводятся доказательства в судебной практике, в науке, в полемике, в сочинениях школьников, при изложении материала учителем и т. д.

Примеры:

1. Учитель на уроке при прямом доказательстве тезиса “Народ  творец истории”, показывает; во-первых , что народ является соз­дателем материальных благ, во-вторых , обосновывает огромную роль народных масс в политике, разъясняет, как в современную эпоху народ ведет активную борьбу за мир и демократию, в-треть­их , раскрывает его большую роль в создании духовной культуры.

2. На уроках химии прямое доказательство о горючести сахара может быть представлено в форме категорического силлогизма: Все углеводы - горючи. Сахар - углевод. Сахар горюч.

В современном журнале мод “Бурда” тезис “Зависть - ко­рень всех зол” обосновывается с помощью прямого доказатель­ства следующими аргументами: “Зависть не только отравляет людям повседневную жизнь, но может привести и к более серь­езным последствиям, поэтому наряду с ревностью, злобой и ненавистью, несомненно, относится к самым плохим чертам характера. Подкравшись незаметно, зависть ранит больно и глубоко. Че­ловек завидует благополучию других, мучается от сознания того, что кому-то больше повезло”".

2. Обратное рассуждение (доказательство ) . Предполагаем, что высказывание В ложно и показываем ошибочность А. То есть, фактически, прямым способом проверяем истинность импликации ((не В)(не А)), что согласно таблицы, логически эквивалентно истинности исходного утверждения (АВ).

3. Метод «от противного».

Этот метод часто используется в математике. Пусть а - тезис или теорема, которую надо доказать. Предполагаем от противного, что а ложно, т. е. истинно не-а (или ). Из допущениявыводим следствия, которые противоречат действительности или ранее доказанным теоремам. Имеем
, при этом- ложно, значит, истинно его отрицание, т.е. , которое по закону двузначной классической логики (→а ) дает а. Значит, истинно а , что и требовалось доказать.

Примеров доказательства “от противного” очень много в школьном курсе математики. Так, пример, доказывается теорема о том, что из точки, лежащей вне прямой, на эту прямую можно опустить лишь один перпендикуляр. Методом “от противного” доказывается и следующая теорема: “Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны”. Доказательство этой теоремы пpямо начинается словами: “Предположим противное, т. е. что прямые АВ и CD не параллельны”.