Достаточный признак существования экстремума функции. Признаки локального возрастания и убывания функции

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда

Другими словами:

Алгоритм.

Находим область определения функции.

Находим производную функции на области определения.

Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (эти точки называют точками возможного экстремума , проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак.

Пример. Найти экстремумы функции .
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x = 2 .
Находим производную:

Нулями числителя являются точки x = -1 и x = 5 , знаменатель обращается в ноль при x = 2 . Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x = -2, x = 0, x = 3 и x = 6 .

Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.
В точке x = -1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x = -1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .
В точке x = 5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x = -1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .
Графическая иллюстрация.

Ответ: .

Второй достаточный признак экстремума функции.
Пусть ,

если , то - точка минимума;

если , то - точка максимума.

Как видите, этот признак требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .
Пример. Найти экстремумы функции .
Решение.
Начнем с области определения:

Продифференцируем исходную функцию:

Производная обращается в ноль при x = 1 , то есть, это точка возможного экстремума.
Находим вторую производную функции и вычисляем ее значение при x = 1 :Причем,

Теорема 12. {Первый достаточный признак экстремума) Пусть х 0 - критическая точка непрерывной функции f(х). Если f" (х) при переходе через точку x 0 меняет знак с «+» на «-», то x 0 - точка локального максимума. Если f "(х) при переходе через точку х 0 меняет знак с «-» на «+», то х 0 - точка локального минимума. Если f "(х) при переходе через точку x 0 не меняет знак, то х 0 не является точкой локального экстремума.

Доказательство. Пусть x 0 - точка возможного экстремума функции, причем

f "(x)>0 для xx Э U (x 0 ,Дельта);

f "(x) х 0 , A x Э U (x 0 ,Дельта). Тогда

при f "(x)>0 для xx Э U (x 0 ,Дельта); => f(x 0 )>f(x),

При f "(x) х 0 , A x Э U (x 0 ,Дельта). => f(x 0 )
следовательно A x Э U (x 0 ,Дельта): f (x 0 )> f (x ), т. е. точка х 0 является точка локального максимума.

Аналогично доказывается и существование точки локального минимума. Если f `(x ) сохраняет знак в окрестности точки х 0 , то в этой окрестности функция монотонна, т. е. точка х 0 не является точкой локального экстремума.

Аннотация
Данная работа преследует несколько целей. Первая из которых заключается в изложении нового подхода к Платоновым телам (ПТ) Второй, не менее важной, целью являет освещение роли Платоновых тел в контексте развития математики и науки в целом.

Платоновы тела также рассматриваются и с более общих позиций – их симметрия, связь с «золотым сечением», их влияния на развитие математики и всего теоретического естествознания. Обсуждаются результаты их использования в науке прошлых веков («Божественная пропорция» Пачоли, «Космический кубок» Кеплера, «икосаэдрическая идея» Клейна). Приводятся примеры современных научных открытий, основанных на ПТ (квазикристаллы, фуллерены, новый подход к созданию теории элементарных частиц).

Уделяется внимание и роли Платоновых тел в создании «Начал» Евклида. Согласно «гипотезе Прокла» развитие математики, начиная с Евклида, осуществлялось в двух направлениях: «Классическая математика» (позаимствовала в «Началах» аксиоматический подход, теорию чисел и теорию иррациональностей) и «Математика гармонии» (основана на ПТ и «золотом сечении»).

На основании проделанной работы делается вывод: по своему влиянию на развитие математики и науки в целом Платоновы тела вместе с «золотым сечением» можно поставить в один ряд не только с теоремой Пифагора (Кеплер), но и с натуральными и иррациональными числами.
Содержание:

Платоновы тела
Симметрия Платоновых тел
Связь Платоновых тел с «золотым сечением»
Гипотеза Прокла: с какой целью Евклид написал свои «Начала»?
Новый взгляд на развитие математики, вытекающий из гипотезы Прокла
«Космический кубок» Иоганна Кеплера
Платоновы тела и «золотое сечение» в «Божественной пропорции» Луки Пачоли
Икосаэдрическая идея Феликса Клейна
Квазикристаллы Дана Шехтмана
Фуллерены (Нобелевская Премия по химии - 1996)
Новые подходы в теории элементарных частиц
Экспериментальное доказательство проявления «золотого сечения» в квантовом мире
Сюрпризы для теоретического естествознания
Заключение: Платоновы тела как уникальные геометрические объекты науки и природы
Литература

Пока алгебра и геометрия двигались каждая своим путем,

их прогресс был медленным, а приложения ограниченными.

Но когда эти науки объединили свои усилия, они

позаимствовали друг у друга новые жизненные силы

и с тех пор быстрыми шагами направились к совершенству

(Жозеф Луи Лагранж)

1. Платоновы тела

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Но почему правильные многогранники называют Платоновыми телами?

Платон (428-348 до н.э.) в своих трудах много внимания уделил взглядам пифагорейцев на правильные тела, поскольку и сам считал, что вся Вселенная имеет форму додекаэдра, а материя состоит из атомов четырех типов, которые имеют форму тетраэдров, кубов, октаэдров и икосаэдров. Он первым воспел красоту правильных выпуклых многогранников, обладающих удивительной симметрией в трёхмерном пространстве. Грани этих многогранников – это правильные многоугольники с одинаковым числом сторон; в каждой вершине многогранников сходится одинаковое число рёбер. Примечательно, что все пять Платоновых тел в разные времена использовались в качестве игральных костей.

^ Теэтет Афинский (417 - 369 до н. э. ), современник Платона, дал математическое описание правильных многогранников и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

После них эстафету принял Евклид (365-300 до н.э.). В заключительной книге знаменитых «Начал» Евклид дал не только полный, подробный анализ Платоновых тел, но и простейшее геометрическое доказательство существования не более пяти правильных тел.

Теории многогранников посвящено много книг. Одной из наиболее известных является книга английского математика М. Венниджера «Модели многогранников». В русском переводе эта книга опубликована издательством «Мир» в 1974 г. Эпиграфом к книге выбрано высказывание Бертрана Рассела: « Математика владеет не только истиной, но и высокой красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».

Эта мысль Бертрана Рассела, прежде всего, может быть отнесена к правильным многогранникам, с которых и начинается книга М. Венниджера. Эти многогранники принято называть Платоновыми телами, названными так в честь древнегреческого философа Платона, который использовал правильные многогранники в своей космологии. Начнем наше рассмотрение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники.

Первый из них – это тетраэдр (Рис.1-а). В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников.

(а)

(б)

(г) (д)

Рисунок 1. Платоновы тела: (а) тетраэдр («Огонь»), (б) гексаэдр или куб («Земля»), (в) октаэдр («Воздух»), (г) икосаэдр («Вода»), (д) додекаэдр («Вселенский разум»)

Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром (Рис.1-б). В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью треугольными гранями – октаэдр.

Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится фигура с 20 треугольными гранями – икосаэдр (Рис.1-г). Следующая правильная форма многоугольника – квадрат. Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом (Рис. 1-в).

Наконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника –

пентагона. Если собрать 12 пентагонов таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще одно Платоново тело, называемое додекаэдром (Рис.1-д).

Следующим правильным многоугольником является шестиугольник. Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим плоскость, то есть, из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше шестиугольника не могут образовывать тел вообще. Из этих рассуждений вытекает, что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны.

2. Симметрия Платоновых тел

С давних времен Платоновы тела привлекали внимание исследователей своими исключительными симметрическими свойствами. Обычно для характеристики симметрии некоторого объекта приводится полная совокупность элементов симметрии. Например, группа симметрий снежинки имеет вид L 6 6Р. Это означает, что снежинка имеет одну ось симметрии шестого порядка L 6 , то есть, может 6 раз «самосовмещаться» при повороте вокруг оси, и 6 плоскостей симметрии. Группа симметрий цветка ромашки, имеющего 24 лепестка, имеет вид L 24 24Р, то есть, цветок имеет одну ось 24-го порядка и 24 плоскости симметрии. В таблице 1 приведены группы симметрий всех «Платоновых Тел».

Таблица 1. Группы симметрий Платоновых тел

Многогранник	Форма граней	Симметрия
Тетраэдр	Равносторонние треугольники	4L 3 3L 2 6Р
Куб	Квадраты	3L 4 4L 3 6L 2 9Р С
Октаэдр	Равносторонние треугольники	3L 4 4L 3 6L 2 9Р С
Додекаэдр	Равносторонние пятиугольники	6L 5 10L 3 15L 2 15Р С
Икосаэдр	Равносторонние треугольники	6L 5 10L 3 15L 2 15Р С

Анализ симметрий «Платоновых Тел», приведенных в Табл. 1, показывает, что группы симметрий куба и октаэдра, а также додекаэдра и икосаэдра совпадают. Это связано с тем, что додекаэдр дуален икосаэдру, а куб дуален октаэдру. Анализ этой таблицы показывает, что додекаэдр и икосаэдр выделяются своими симметрическими свойствами среди других Платоновых тел. Группа симметрий 6L 5 10L 3 15L 2 15Р С означает, что додекаэдр и икосаэдр обладают 6 линиями симметрии 5-го порядка L 5 , 10 линиями симметрии 3-го порядка L 3 , 15 линиями симметрии 2-го порядка L 2 , 15 плоскостями симметрии Р и центром симметрии С.

^ 3. Связь Платоновых тел с « золотым сечением».

Анализ Платоновых тел на Рис. 1 показывает, что два Платоновых тела - додекаэдр и двойственный ему икосаэдр непосредственно связаны с «золотым сечением». Действительно, гранями додекаэдра (Рис. 1-д) являются пентагоны, т.е., правильные пятиугольники, основанные на золотом сечении. Если внимательно посмотреть на икосаэдр (Рис. 1-г), то можно увидеть, что в каждой вершине икосаэдра сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что «золотое сечение» играет существенную роль в конструкции этих двух Платоновых тел.

Но существуют более глубокие математические подтверждения фундаментальной роли, которую играет золотое сечение в икосаэдре и додекаэдре. Известно, что эти тела имеют три специфические сферы. Первая (внутренняя) сфера вписана в тело и касается его граней. Обозначим радиус этой внутренней сферы через R i . Вторая или средняя сфера касается ее ребер. Обозначим радиус этой сферы через R m . Наконец, третья (внешняя) сфера описана вокруг тела и проходит через его вершины. Обозначим ее радиус через R c . В геометрии доказано, что значения радиусов указанных сфер для додекаэдра и икосаэдра,

имеющего ребро единичной длины, выражается через золотую пропорцию:
(Табл.2).

Таблица 2. Золотая пропорция в сферах додекаэдра и икосаэдра

Заметим, что отношение радиусов одинаково, как для икосаэдра, так и

для додекаэдра. Таким образом, если додекаэдр и икосаэдр имеют одинаковые вписанные сферы, то их описанные сферы также равны между собой. Доказательство этого математического результата дано в Началах Евклида.

В геометрии известны и другие соотношения для додекаэдра и икосаэдра, подтверждающие их связь с золотой пропорцией. Таким образом, существует огромное количество соотношений, полученных еще античными математиками, подтверждающих замечательный факт, что именно золотое сечение является главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра, и этот факт является особенно интересным с точки зрения так называемой « додекаэдро- икосаэдрической доктрины» .

Первый достаточный признак экстремума формулируется на основе изменения знака первой производной при переходе через критическую точку. О втором признаке экстремума речь пойдёт ниже в § 6.4.

Теорема (первый признак экстремума) : Если х 0 – критическая точка функции у= f (x ) и в некоторой окрестности точки х 0 , переходя через неё слева направо, производная меняет знак на противоположный, то х 0 является точкой экстремума. Причём, если знак производной меняется с «+» на «-», то х 0 – точка максимума, а f (x 0 ) – максимум функции, а если производная меняет знак с «-» на «+», то х 0 – точка минимума, а f (x 0 ) – минимум функции.

Рассмотренный экстремум носит локальный (местный) характер и касается некоторой малой окрестности критической точки.

Точки экстремума и точки разрыва делят область определения функции на интервалы монотонности.

Пример 6.3. В примере 6.1. мы нашли критические точки х 1 =0 и х 2 =2.

Выясним, действительно ли в этих точках функция у=2х 3 -6х 2 +1 имеет экстремум. Подставим в её производную
значениях , взятые слева и справа от точки х 1 =0 в достаточно близкой окрестности, например, х=-1 и х=1 . получим . Так как производная меняет знак с «+» на «-», тох 1 =0 – точка максимума, а максимум функции
. Теперь возьмем два значения х=1 их=3 из окрестности другой критической точки х 2 =2 . Уже показано, что
, а
. Так как производная меняет знак с «-» на «+», тох 2 =2 – точка минимума. А минимум функции
.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции непрерывной на отрезке
нужно вычислить её значение во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее .

6.3. Признаки выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции называется выпуклым на интервале, если он расположен ниже любой своей касательной на том интервале; вогнутым (выпуклым вниз) , если он расположен выше любой касательной на интервале .

6.3.1. Необходимые и достаточные признаки выпуклости и вогнутости графика

а) Необходимые признаки

Если график функции у= f (x ) выпуклый на интервале (a , b ) , то вторая производная
на этом интервале; если график вогнутый на (a , b ) , то
на (a , b ) .

Пусть график функцииу= f (x ) выпуклый (a , b ) (рис.6.3а). Если касательная скользит вдоль выпуклой кривой слева направо, то её угол наклона убывает (
), вместе с тем убывает и угловой коэффициент касательной, а значит, убывает первая производная
на(a , b ) . Но тогда производная первой производной как производная убывающей функции должна быть отрицательной, то есть
на(a , b ) .

Если график функции вогнутый на (a , b ) , то, рассуждая аналогично, видим, что при скольжении касательной вдоль кривой (рис. 6.3б) угол наклона касательной возрастает (
), возрастает вместе с ним и угловой коэффициент, а значит и производная. И тогда производная от производной как возрастающей функции должна быть положительной, то есть
на(a , b ) .

б) Достаточные признаки

Если для функции у= f (x ) во всех точках некоторого интервала будет
, то график функции вогнутый на этом интервале, а если
, то выпуклый .

«Правило дождя» : Чтобы запомнить какой знак второй производной связывать с выпуклой, а какой с вогнутой дугой графика, рекомендуем запомнить: «плюс вода» в вогнутой луночке, «минус вода» - в выпуклой луночке (рис. 6.4).

Точка графика непрерывной функции, в которой изменяется выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба .

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба).

Если в точке функция
дважды дифференцируема и вторая производная в этой точке равна нулю или не существует, и если при переходе через точкувторая производная
меняет знак, то точкаесть точка перегиба. Координаты точки перегиба
.

Точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует, называются критическими точками второго рода.

Пример 6.4. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривой
(кривая Гаусса).

Решение. Находим первую и вторую производные:
,. Вторая производная существует при любых. Приравниваем ее нулю и решим полученное уравнение
, где
, тогда
, откуда
,
- критические точки второго рода. Проверим смену знака второй производной при переходе через критическую точку
. Если
, например,
, то
, а если
, например,
, то
, то есть, вторая производная меняет знак. Следовательно,
- абсцисса точки перегиба, ее координаты
. Ввиду четности функции
, точка
, симметричная точке
, тоже будет точкой перегиба.

Билет №1

первообразной функцией Теорема Доказательство неопределённым интегралом

Точка (X 0 ;Y 0) называется точкой максимума точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X 0 ;Y 0), из δ-окрестности точки (X 0 ;Y 0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X 0 ;Y 0).

Докозательство:

Билет №2

Доказательство Геометрический смысл

частным приращением частной производной Геометрический смысл

Билет №3

19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y). Точка (X 0 ;Y 0) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая δ-окрестность точки (X 0 ;Y 0), что выполняется неравенство f(x;y)точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X 0 ;Y 0), из δ-окрестности точки (X 0 ;Y 0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X 0 ;Y 0). Пусть в стационарной точке (X 0 ;Y 0) и некоторой её окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (X 0 ;Y 0) значения A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy (X 0 ;Y 0). Обозначим Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Тогда: 1)если Δ><0; минимум, если A>0; 2)если Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Билет №4 Определённым интегралом Свойства Доказательство. в точке с координатами (x;y;z) .Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.Предположим, что функция u(x;y;z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D: Δu=(δu/δx)Δx+(δu/δy)Δy+(δu/δz)Δz+E 1 Δx+E 2 Δy+E 3 Δz, где E 1 , E 2 , E 3 стремятся к нулю при Δl→0. Разделим всё равенство на Δl. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/Δl)+E 3 (Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. Равенство можно представить так: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. Перейдя к пределу, получим Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

Билет №5

1. Первообразная функция. Теорема о разности двух первообразных (с доказательством). Неопределенный интеграл: определение Функция F(x) называется первообразной функцией f(x) на интервале (a;b), если для любого x∈(a;b) выполняется равенство F"(x)=f(x).Теорема . Если функция F(х) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся формулой F(x)+C, где С=const.Доказательство . Функция F(x)+C является первообразной f(x). Действительно, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функция f(x), т.е. Ф"(х)=f(x). Тогда для любого x∈(a;b) имеем (Ф(х)-F(x))"=Ф"(x)-F"(x)=f(x)-f(x)=0. А это означает, что Ф(х)-F(x)=C, C=const. Следовательно, Ф(x)=F(x)+C.Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx.

19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y). Точка (X 0 ;Y 0) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая δ-окрестность точки (X 0 ;Y 0), что выполняется неравенство f(x;y)точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X 0 ;Y 0), из δ-окрестности точки (X 0 ;Y 0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X 0 ;Y 0). 20. Достаточный признак существования экстремума функции z=f(x;y). (формулировка). Пусть в стационарной точке (X 0 ;Y 0) и некоторой её окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (X 0 ;Y 0) значения A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy (X 0 ;Y 0). Обозначим Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Тогда: 1)если Δ>0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) имеет экстремум: максимум, если A<0; минимум, если A>0; 2)если Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Билет №6

3. Вычисление определенного интеграла по отрезку. Формула Ньютона-Лейбница (вывод). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - какая-либо её первообразная на (F"(x)=f(x)), то имеет место формула ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a). Эта формула является формулой Ньютона-Лейбница.Рассмотрим тождество: F(b)-F(a)=F(x n)-F(x 0)=(F(x n)-F(x n -1))+(f(x n -1)-F(x n -2))+…(F(x 2)-F(x 1))+(F(x 1)-F(x 0)). Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа: f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a). Получим F(b)-F(a)=F’(c n)(x n -x n -1)+F’(c n -1)(x n -1 -x n -2)+F’(c 2)(x 2 -x 1)+F’(c 1)(x 1 -x 0)= ΣF’(Ci)ΔXi=Σf(Ci)ΔXi, то есть F(b)-F(a)= Σf(Ci)ΔXi, где Ci есть некоторая точка интервала (X i -1 ,X i). Так как функция y=f(x) непрерывна на , то она интегрируема на . Поэтому существует предел интегральной суммы, равной определенному интегралу от f(x) на . Переходя к пределу при λ=maxΔXi→0,получаем F(b)-F(a)=lim Σf(Ci)ΔXi, то есть ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a).

Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой

11. Свойство дифференцируемой функции: связь между дифференцируемостью функции z=f(x;y) и непрерывностью функции z=f(x;y) в точке (формулировка, доказательство). Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке М(x;y), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные. Доказательство . Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х 0 . Дадим в этой точке аргументу приращение Δх. Функция получит приращение Δу. Найдем limΔx→0(Δy). limΔx→0(Δy)= limΔx→0((Δy*Δx)/Δx))= limΔx→0(Δy/Δx)* limΔx→0(Δx)=f"(x0)*0=0. Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х 0 .

Билет №7

Необходимый признак экстремума.

Если непрерывная функция z=z(x,y) имеет в точке P0(x0,y0) экстремум, то все ее частные производные первого порядка в этой точке или равны нулю или не существуют

Докозательство: Частная производная функции z=f(x,y) по x в точке P0(x0,y0) есть производная функции одной переменной φ(x)=f(x,y0) в точке x-x0. Но в этой точке функция φ(x) имеет, очевидно, экстремум. Следовательно, φ’(x0)=0 .Так как φ’(x0)=f’x(x0,y0), то f’x(x0,y0)=0 Аналогично можно показать, что f’y(x0,y0)=0 . Теорема доказана.

Билет №8

6. Теорема о среднем (формулировка, доказательство, геометрический смысл). Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то существует точка С∈ такая, что ∫(от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a).Доказательство . По формуле Ньютона-Лейбница имеем ∫(от a до b) f(x)dx=F(x)|(от a до b)=F(b)-F(a), где F"(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F"(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).Геометрический смысл . Теорема при f(x)≥0 имеем простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором С∈ (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число f(c)=1/(b-a)∫(от a до b) f(x)dx называется средним значением функции f(x) на отрезке .

8. Частные приращения функции z=f(x;y). Частные производные: определение и их геометрический смысл. Пусть задана функция z=f(х;у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение ∆х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим ∆ x z. Итак, ∆ x z=f(x+∆x;y)–f(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: ∆ y z=f(x;у+∆y)–f(х;у).Если существует предел lim∆x→0(∆ x z/∆x)=lim∆x→0((f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), то он называется частной производной функции z=f(x;y) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: z" x , δz/δx; f" x , δf/δx. Геометрический смысл . Графиком функции z=f(x;y) является некоторая поверхность. График функции z=f(x 0 ;y 0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у=у 0 . Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что f" x (x 0 ;y 0)=tgα, где α - угол между осью Ох и касательной, проведённой к кривой z=f(x 0 ;y 0) в точке M 0 (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Аналогично f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

Билет №9

Доказательство Геометрический смысл

Касательной плоскостью Нормалью к поверхности

Билет №10

10. Определение дифференцируемой функции z=f(x;y) в точке. Определение полного дифференциала dz и его форма. Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х;у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, где α=α(∆x;∆y)→0 и β=β(∆x;∆y)→0 при ∆x→0 и ∆y→0. Главная часть приращения функции z=f(x;y), линейная относительно ∆x и ∆y, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz: dz=A*∆x+B*∆y. dz=(δz/δx)dx+(δz/δy)dy.

Билет №11

4. Определение определённого интеграла по отрезку. Основные свойства определённого интеграла по отрезку (с доказательством одно из них). Определённым интегралом по отрезку от функции f(x) называется предел интегральной суммы Σf(c i)Δx i , если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка на части, ни от выбора точек t внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (∆xi) стремится к нулю, т.е ∫(от a до b) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i .Свойства : 1)Если с - постоянное число и функция f(x) интегрируема на , то ∫(от a до b) с*f(x)dx=с*∫(от a до b) f(x)dx.2)Если функции f 1 (x) b f 2 (x) интегрируемы на , тогда интегрируема на их сумма и ∫(от a до b) (f 1 (x)+f 2 (x))dx=∫(от a до b) f 1 (x)dx+∫(от a до b) f 2 (x)dx. 3)∫(от a до b) f(x)dx= -∫(от b до a) f(x)dx. 4)Если функция f(x) интегрируема на и a

10. Определение дифференцируемой функции z=f(x;y) в точке. Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х;у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, где α=α(∆x;∆y)→0 и β=β(∆x;∆y)→0 при ∆x→0 и ∆y→0.

12. Свойство дифференцируемой функции: связь между дифференцируемостью функции z=f(x,y) существованием частных производных в точке (формулировка, доказательство). Теорема: Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют конечные частные производные, числено равны А и В Дано: Δz=AΔx+ВΔy+0(ρ) Доказать: Ǝ(δz/δx(x 0 ;y 0)=A Доказательство: Дадим x 0 →Δx, y=y 0 =>Δ x z=(A*Δx+0(│x│). ρ=√(Δx 2 +Δy 2)=│Δx│. Δ x z/Δx=A+0(│x│)/Δx. LimΔx→0 (Δ x z/Δx)=lim=A. δz/Δx(x 0 ;y 0)=A. Аналогично: Y 0 →Δy, x=x 0 =>Δ y Z. δz/Δy(x 0 ;y 0)=B.

Билет №12

Доказательство

Билет №13

2. Задача о площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определённого интеграла по отрезку. Определение определённого интеграла по отрезку. Пусть на отрезке задана функция y=f(x)≥0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу - осью Ох, сбоку прямые x=a и x=b, называется криволинейной трапецией. Найдём площадь этой трапеции. f(c 1)Δx 1 +f(c 2)Δx 2 +..+f(c n)Δx n =Σf(c i)Δx i =Sn. C уменьшением всех величин Δx i точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимаемся предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что λ=maxΔx i →0: S=lim n→∞ Sn=lim n→∞(λ→0) Σf(c i)Δx i , то есть S=∫(от a до b) f(x)dx. Итак, определённый интеграл от неопределённой функции численно равен площади криволинейной трапеции.Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на численные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке и обозначается ∫(от a до b) f(x)dx. Таким образом, ∫(от a до b) f(x)dx=lim n→∞(λ→0) Σf(c i)Δx i .

17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (определение). Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М 1 поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М 1 . Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости.

Билет №14

5. Теорема об оценке определённого интеграла по отрезку (формулировка, доказательство, геометрический смысл). Оценка интеграла. Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке , (aДоказательство . Так как для любого x∈ имеем m≤f(x)≤M, то ∫(от a до b) mdx≤ ∫(от a до b) f(x)dx≤∫(от a до b) Mdx. Получаем: m(b-a)≤∫(от a до b) f(x)dx≤M(b-a). Геометрический смысл . Площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть , а высоты равны m и M.

Билет №15

Билет №16

21. Производная функции u=u(x;y;z) по направлению l (определение). Предел LimΔl→0(Δu/Δl) называется производной функции u(x;y;z) по направлению вектора l в точке с координатами (x;y;z).

22. Градиент функции u=u(x;y;z) в точке (определение). Вектор с координатами (δu/δx; δu/δy; δu/δz) называется

Билет №17

7. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом (формулировка, доказательство). Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть (∫(от a до x) f(t)dt)" x =f(x). Доказательство . По формуле Ньютона-Лейбница имеем: ∫(от a до x) f(t)dt=F(t)|(от a до x)=F(x)-F(a). Следовательно, (∫(от a до x) f(t)dt)" x =(F(x)-F(a))" x =F"(x)-0=f(x). Это означает, что определённый интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

полное приращение непрерывной непрерывна

Билет №18

1. Первообразная функция. Теорема о разности двух первообразных (с доказательством). Неопределенный интеграл: определение, простейшие свойства неопределённого интеграла (с доказательством одно из них). Функция F(x) называется первообразной функцией f(x) на интервале (a;b), если для любого x∈(a;b) выполняется равенство F"(x)=f(x).Теорема . Если функция F(х) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся формулой F(x)+C, где С=const.Доказательство . Функция F(x)+C является первообразной f(x). Действительно, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функция f(x), т.е. Ф"(х)=f(x). Тогда для любого x∈(a;b) имеем (Ф(х)-F(x))"=Ф"(x)-F"(x)=f(x)-f(x)=0. А это означает, что Ф(х)-F(x)=C, C=const. Следовательно, Ф(x)=F(x)+C.Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx.Свойства : 1) Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции d(∫f(x)dx)=f(x)dx, (∫f(x)dx)"=f(x).d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F"(x)dx=f(x)dx. и (∫f(x)dx)"=(F(x)+C)"=F"(x)+0=f(x).2) Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: ∫dF(x)=F(x)+C.∫dF(x)=F"(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C.3) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫af(x)dx=a∫f(x)dx.4) Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.5) (Инвариантность формулы интегрирования). Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то и ∫f(u)du=F(u)+C, где u=φ(x) - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

22. Градиент функции u=u(x;y;z) в точке (определение, свойства). Связь между производной по направлению и градиентом функции (обоснование). Вектор с координатами (δu/δx; δu/δy; δu/δz) называется градиентом функции u=f(x;y;z) и обозначается gradU=(δu/δx; δu/δy; δu/δz). gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. Свойства : 1)gradC=0; 2)grad(c*u)=c*gradU; 3)grad(u+v)=gradU+gradV; 4)grad(u*v)=u*gradV+v*gradU, где u*v - скалярные произведения векторов u и v. Связь . Пусть задана функция u=u(x;y;z) и поле градиентов gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. Тогда производная Δu/Δl по направлению некоторого вектора l равняется проекции вектора GradU на вектор l.

Билет №19

4. Определение определённого интеграла по отрезку. Основные свойства определённого интеграла по отрезку (с доказательством одно из них). Определённым интегралом по отрезку от функции f(x) называется предел интегральной суммы Σf(c i)Δx i , если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка на части, ни от выбора точек t внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (∆xi) стремится к нулю, т.е ∫(от a до b) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i .Свойства : 1)Если с - постоянное число и функция f(x) интегрируема на , то ∫(от a до b) с*f(x)dx=с*∫(от a до b) f(x)dx. Доказательство. Составим интегральную сумму для функции с*f(x). Имеем Σс*f(c i)Δx i =с*Σf(c i)Δx i . Тогда lim n→∞ Σс*f(c i)Δx i =c*lim n→∞ f(c i)=с*∫(от a до b) f(x)dx. Отсюда вытекает, что функция с*f(x) интегрируема на и справедлива формула ∫(от a до b) с*f(x)dx= с*∫(от a до b) f(x)dx.2)Если функции f 1 (x) b f 2 (x) интегрируемы на , тогда интегрируема на их сумма и ∫(от a до b) (f 1 (x)+f 2 (x))dx=∫(от a до b) f 1 (x)dx+∫(от a до b) f 2 (x)dx. 3)∫(от a до b) f(x)dx= -∫(от b до a) f(x)dx. 4)Если функция f(x) интегрируема на и a

17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (определение). Теорема о существовании касательной плоскости (формулровка, доказательство). Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М 1 поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М 1 .Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости.Теорема . Если δF/δx; δF/δy; δF/δz определены в окрестности точки Мо и непрерывны в самой точке М 0 и одновременно в нуль не обращаются, то все касательные прямые к линиям на поверхности лежат в одной плоскости. Доказательство . L: система(x=x(t); y=y(t); z=z(t)). Касательная прямая (M 0 ;P) y=(x"(t 0); y"(t o); z"(t 0)). L∈Q (поверхность). F(x(t), y(t), z(t))=0 сложная функция переменной t. пользуемся правилом дифференцируемости сложной функции: (δF/δx)*(dx/dt)+(δF/δy)*(dy/dt)+(δF/δz)*(dz/dt)=0; (δF(M 0)/δx)*x"(t 0)+(δF(M 0)/δy)*y"(t 0)+(δF(M 0)/δz)*z"(t 0)=0; g=(x"(t 0),y"(t 0),z"(t 0)); обозначим n=(δF(M 0)/δx; δF(M 0)/δy; δF(M 0)/δz); n⊥g. Поскольку через данную точку можно провести бесконечное множество линий, лежащих на поверхности, а к ним бесконечное множество касательных прямых, следовательно все касательные прямые лежат в одной плоскости.

Билет №20

9. Полное приращение функции z=f(x;y). Непрерывность функции z=f(x;y) в точке (два определения). Пусть задана функция z=f(x;y). Дадим независимой переменной х приращение ∆х, а переменной у приращение ∆у. Тогда полное приращение ∆z функции определяется равенством: ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y). 1)Функция z=f(х;у) называется непрерывной в точке М 0 (х 0 ;у 0)∈ D(z), если её предел в этой точке совпадает со значением функции в данной точке, т.е. limX→X 0 \Y→Y 0 (f(x;y))= f(x 0 ;y 0). 2)Функция z=f(х;у) непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества

Билет №21

21. Производная функции u=u(x;y;z) по направлению l (определение, формула для вычисления, вывод формулы вычисления). Предел LimΔl→0(Δu/Δl) называется производной функции u(x;y;z) по направлению вектора l в точке с координатами (x;y;z).Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.Предположим, что функция u(x;y;z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D: Δu=(δu/δx)Δx+(δu/δy)Δy+(δu/δz)Δz+E 1 Δx+E 2 Δy+E 3 Δz, где E 1 , E 2 , E 3 стремятся к нулю при Δl→0. Разделим всё равенство на Δl. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/Δl)+E 3 (Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. Равенство можно представить так: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. Перейдя к пределу, получим Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

Билет №22

20. Достаточный признак существования экстремума функции z=f(x;y). (формулировка). Пусть в стационарной точке (X 0 ;Y 0) и некоторой её окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (X 0 ;Y 0) значения A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy (X 0 ;Y 0). Обозначим Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Тогда: 1)если Δ>0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) имеет экстремум: максимум, если A<0; минимум, если A>0; 2)если Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Билет №23

17. Касательная плоскость к поверхности (определение). Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М 1 поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М 1 .

18. Уравнения касательной плоскости к поверхности, заданной явно Явно. z=f(x;y) в точке Mo(Xo;Yo;Zo). K: (δz/δx)|M 0 (X-X 0)+(δz/δy)|M 0 (Y-Y 0)-(Z-Z 0)=0

Билет №24

Признаки локального возрастания и убывания функции.

Одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения.

Достаточный признак возрастания функции . Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции . Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х 1 и x 2 из интервала. Пусть x 1 существует число с∈(х 1 , x 2 ), такое, что

(1)

Число с принадлежит интервалу I, так как точки х 1 и x 2 принадлежат I. Если f"(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x 1 )) — это следует из формулы (1), так как x 2 — x 1 >0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )>f (х 2 ) — следует из формулы (1), так как x 2 —x 1 >0. Доказано убывание функции f на I.

Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).

Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f"(t) (см. Мгновенная скорость ). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t 1 ). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I.

Замечание 1.

Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

Замечание 2.

Для решения неравенств f" (х)>0 и f" (х)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции в точке.

Необходимое условие экстремума

Функция g(x) в точке имеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки и для всех точек x некоторой области: , выполнено соответственно неравенство

(в случае максимума) или (в случае минимума).

Экстремум функции находиться из условия: , если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.

Достаточное условие экстремума

1) Первое достаточное условие :

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом

Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.

2) Второе достаточное условие

Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точкепервая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точкаэкстремум функции g(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.