Верны те же формулы: \[{\large{S=v\cdot t \quad \quad \quad v=\dfrac St \quad \quad \quad t=\dfrac Sv}}\]
из одной точки в одном направлении со скоростями \(v_1>v_2\) .

Тогда если \(l\) - длина круга, \(t_1\) - время, через которое они окажутся в одной точке в первый раз, то:

То есть за \(t_1\) первое тело пройдет расстояние на \(l\) большее, чем второе тело.

Если \(t_n\) - время, через которое они в \(n\) –ый раз окажутся в одной точке, то справедлива формула: \[{\large{t_n=n\cdot t_1}}\]

\(\blacktriangleright\) Пусть два тела начали движение из разных точек в одном направлении со скоростями \(v_1>v_2\) .

Тогда задача легко сводится к предыдущему случаю: нужно найти сначала время \(t_1\) , через которое они окажутся в одной точке в первый раз.
Если на момент начала движения расстояние между ними \(\buildrel\smile\over{A_1A_2}=s\) , то:

Задание 1 #2677

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Два спортсмена стартуют в одном направлении из диаметрально противоположных точек круговой дорожки. Они бегут с разными непостоянными скоростями. Известно, что в тот момент, когда спортсмены впервые поравнялись, они прекратили тренировку. На сколько кругов больше пробежал спортсмен с большей средней скоростью, чем другой спортсмен?

Назовём спортсмена с большей средней скоростью первым. Сначала первому спортсмену нужно было пробежать полкруга, чтобы достичь места старта второго спортсмена. После этого ему предстояло пробежать столько же, сколько пробежал второй спортсмен (грубо говоря, после того, как первый спортсмен пробежал полкруга, ему до встречи надо было пробежать каждый метр дорожки, который пробежал второй спортсмен, причём столько же раз, сколько этот метр пробежал второй).

Таким образом, первый спортсмен пробежал на \(0,5\) круга больше.

Ответ: 0,5

Задание 2 #2115

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Кот Мурзик бегает от пса Шарика по кругу. Скорости Мурзика и Шарика постоянны. Известно, что Мурзик бежит в \(1,5\) раза быстрее Шарика и за \(10\) минут они в сумме пробегают два круга. За сколько минут Шарик пробежит один круг?

Так как Мурзик бежит в \(1,5\) раза быстрее Шарика, то за \(10\) минут Мурзик и Шарик в сумме пробегают такое же расстояние, которое пробежал бы Шарик за \(10\cdot (1 + 1,5) = 25\) минут. Следовательно, Шарик пробегает два круга за \(25\) минут, тогда один круг Шарик пробегает за \(12,5\) минут

Ответ: 12,5

Задание 3 #823

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из точки A круговой орбиты далёкой планеты одновременно в одном направлении вылетели два метеорита. Скорость первого метеорита на 10000 км/ч больше, чем скорость второго. Известно, что впервые после вылета они встретились через 8 часов. Найдите длину орбиты в километрах.

В тот момент, когда они впервые встретились, разница расстояний, которые они пролетели, равна длине орбиты.

За 8 часов разница стала \(8 \cdot 10000 = 80000\) км.

Ответ: 80000

Задание 4 #821

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Вор, укравший сумочку, убегает от хозяйки сумочки по круговой дороге. Скорость вора на 0,5 км/ч больше, чем скорость хозяйки сумочки, которая бегает за ним. Через сколько часов вор догонит хозяйку сумочки во второй раз, если длина дороги, по которой они бегают, равна 300 метрам (считайте, что в первый раз он её догнал уже после кражи сумочки)?

Первый способ:

Вор догонит хозяйку сумочки во второй раз в тот момент, когда расстояние, которое он пробежит, станет на 600 метров больше, чем расстояние, которое пробежит хозяйка сумочки (с момента кражи).

Так как его скорость на \(0,5\) км/ч больше, то за час он пробегает на 500 метров больше, тогда за \(1: 5 = 0,2\) часа он пробегает на \(500: 5 = 100\) метров больше. На 600 метров больше он пробежит за \(1 + 0,2 = 1,2\) часа.

Второй способ:

Пусть \(v\) км/ч – скорость хозяйки сумочки, тогда
\(v + 0,5\) км/ч – скорость вора.
Пусть \(t\) ч – время, через которое вор догонит хозяйку сумочки во второй раз, тогда
\(v\cdot t\) – расстояние, которое пробежит хозяйка сумочки за \(t\) ч,
\((v + 0,5)\cdot t\) – расстояние, которое пробежит вор за \(t\) ч.
Вор догонит хозяйку сумочки во второй раз в тот момент, когда пробежит ровно на 2 круга больше неё (то есть на \(600\) м = \(0,6\) км), тогда \[(v + 0,5)\cdot t - v\cdot t = 0,6\qquad\Leftrightarrow\qquad 0,5\cdot t = 0,6,\] откуда \(t = 1,2\) ч.

Ответ: 1,2

Задание 5 #822

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Два мотоциклиста стартуют одновременно из одной точки круговой трассы в разных направлениях. Скорость первого мотоциклиста в два раза больше, чем скорость второго. Через час после старта они встретились в третий раз (считайте, что в первый раз они встретились уже после старта). Найдите скорость первого мотоциклиста, если длина трассы 40 км. Ответ дайте в км/ч.

В тот момент, когда мотоциклисты встретились в третий раз, суммарное расстояние, которое они проехали, было \(3 \cdot 40 = 120\) км.

Так как скорость первого в 2 раза больше, чем скорость второго, то он проехал из 120 км часть в 2 раза большую, чем второй, то есть 80 км.

Так как встретились в третий раз они через час, то 80 км первый проехал за час. Его скорость 80 км/ч.

Ответ: 80

Задание 6 #824

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Два бегуна стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой дорожки, длина которой 400 метров. Через сколько минут бегуны поравняются в первый раз, если первый бегун за час пробегает на 1 километр больше, чем второй?

За час первый бегун пробегает на 1000 метров больше, чем второй, значит на 100 метров больше он пробежит за \(60: 10 = 6\) минут.

Изначальное расстояние между бегунами равно 200 метров. Они поравняются, когда первый бегун пробежит на 200 метров больше, чем второй.

Это произойдёт через \(2 \cdot 6 = 12\) минут.

Ответ: 12

Задание 7 #825

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из города M по круговой дороге длиной 220 километров вышел турист, а через 55 минут следом за ним из города M отправился автомобилист. Через 5 минут после отправления он догнал туриста в первый раз, а еще через 4 часа после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость туриста. Ответ дайте в км/ч.

Первый способ:

После первой встречи автомобилист догнал туриста (во второй раз) через 4 часа. К моменту второй встречи автомобилист проехал на круг больше, чем прошёл турист (то есть на \(220\) км).

Так как за эти 4 часа автомобилист обогнал туриста на \(220\) км, то скорость автомобилиста на \(220: 4 = 55\) км/ч больше, чем скорость туриста.

Пусть теперь скорость туриста \(v\) км/ч, тогда до первой встречи он успел пройти \ автомобилист успел проехать \[(v + 55)\dfrac{5}{60} = \dfrac{v + 55}{12}\ \text{км}.\] Тогда \[\dfrac{v + 55}{12} = v,\] откуда находим \(v = 5\) км/ч.

Второй способ:

Пусть \(v\) км/ч – скорость туриста.
Пусть \(w\) км/ч – скорость автомобилиста. Так как \(55\) минут \(+ 5\) минут \(= 1\) час, то
\(v\cdot 1\) км – расстояние, которое прошёл турист до первой встречи. Так как \(5\) минут \(= \dfrac{1}{12}\) часа, то
\(w\cdot \dfrac{1}{12}\) км – расстояние, которое проехал автомобилист до первой встречи. Расстояния, которые они проехали до первой встречи, равны: \ За следующие 4 часа автомобилист проехал больше, чем прошёл турист на круг (на \(220\) \ \

При использовании в упражнении величин, которые связаны с расстоянием (скорость, длина круга), решить их можно путем сведения к перемещению по прямой.

\

Наибольшую сложность у школьников Москвы и других городов, как показывает практика, вызывают задачи на круговое движение в ЕГЭ, поиск ответа в которых связан с применением угла. Для решения упражнения длину окружности можно задать как часть круга.

Повторить эти и другие алгебраические формулы вы можете в разделе «Теоретическая справка». Для того чтобы научиться применять их на практике, прорешайте упражнения по данной теме в «Каталоге».

Рассмотрим движение двух точек по окружности длины s в одном направлении при одновременном старте со скоростями v 1 и v 2 (v 1 > v 2 ) и ответим на вопрос: через какое время первая точка будет опережать вторую ровно на один круг? Считая, что вторая точка покоится, а первая приближается к ней со скоростью v 1 – v 2 . , получим, что условие задачи будет выполнено, когда первая точка поравняется в первый раз со второй. При этом первая точка пройдет расстояние, равное длине одного круга, и искомая формула ничем не отличается от формулы, полученной для задачи на движение вдогонку:

Итак, если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v 1 и v 2 соответственно (v 1 > v 2 соответственно), то первая точка приближается ко второй со скоростью v 1 — v 2 и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.

Задача 3 . Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Пусть скорость второго автомобиля х км/ч. Поскольку 40 минут составляют 2/3 часа и это - то время, за которое первый автомобиль будет опережать второй на один круг, составим по условию задачи уравнение

откуда 160 — 2х = 42, т. е. х = 59.

Ответ . 59 км/ч

Тренировочные задачи

Т3.1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 15 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, скорость второго равна 80 км/ч. Сколько минут с момента старта пройдет, прежде чем первый автомобиль будет опережать второй ровно на 1 круг?

Т3.2. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 90 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Т3.3. Два мотоцикла стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 20 км. Через сколько минут мотоциклы поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 12 км/ч больше скорости другого?

Т3.4. Часы со стрелками показывают 9 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в третий раз поравняется с часовой?

Т3.5. Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг?

Т3.6. Два тела движутся по окружности в одну сторону. Первое проходит круг на 3 минуты быстрее второго и догоняет второе каждые полтора часа. За сколько минут первое тело проходит один круг?

Т3.7. Две точки равномерно вращаются по окружности. Первая совершает оборот на 5 секунд быстрее второй и делает за минуту на 2 оборота больше, чем вторая. Сколько оборотов в минуту совершает вторая точка?

Т3.8. Из точки А круговой трассы одновременно начина­ ют равномерное движение в противоположных направлениях два тела. В момент их встречи первое тело проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи.

Демонстрационный вариант вступительного экзамена
в 8-й математический класс ГБОУ Лицей № 1535. 1 этап
1) Найти значение выражения:

Решение:

На рисунке изображен график движения туриста из города A в город B, причём по дороге им был сделан привал. Определить:
а) На каком расстоянии (в км) от города A турист сделал привал?
б) Какой была скорость туриста (в км/ч) после привала?
в) Какой была средняяскорость движения туриста (в км/ч) при движении из A в B?

Решение: а) ответ: 9; б) 18-9=9, 7-5=2, значит 9:2=4,5 км/ч; в) 18:5=3,6 км/ч.

3) Привести многочлен (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16) к стандартному виду/
Решение: (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16)=(p+3)(p 2 -16)-p(p 2 -p-16)=p 3 +3p 2 -16p-48- p 3 +p 2 +16p=4p 2 -48

4) Найти корень уравнения выражения: 8 15: x=4 17 · 2 6
Решение:

5) Пользуясь данными рисунка найти градусную меру угла α


Решение: 136°+44°=180°, значит, прямые параллельны. Следовательно, ∠ CBA=44°, ∠ BCA=56°, значит, ∠α=180°-44°-56°=80°.

6) Чему равен корень уравнения

Решение: умножаем все слагаемые на 30, знаменатели сократятся:

7) Найти значение числового выражения:

Решение:

8) Если одну из смежных сторон квадрата уменьшить на 2 см, а вторую - увеличить на 6 см, то получится прямоугольник, площадь которого равна площади прямоугольника, который получится из того же исходного квадрата, если одну из его смежных сторон не изменять, а другую увеличить на 3 см. Чему (в квадратных сантиметрах) равна площадь исходного квадрата?
Решение. Пусть x - сторона квадрата. Составим уравнение:
(x -2)(x +6)=x (x +3);
x 2 +4x -12=x 2 +3x ;
x =12
Площадь исходного квадрата равна 12 · 12=144 см 2 .

9) Задать формулой линейную функцию, график которой в системе координат 0xy проходит через точку Т(209,908) и не пересекается с графиком уравнения 9x+3y=14
Решение. Перепишем уравнение в виде

Формула линейной функции в общем виде y=kx+b. Если график искомой не пересекается с графиком данного уравнения, значит k=-3. Следовательно, 908=-3 · 209 + b, откуда b=1535.
Формула искомой линейной функции: y=-3x+1535

10) Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 24 кг, содержащий 45 % меди. Сколько килограммов чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал 40 % меди?
Решение. Если в сплаве меди с оловом 45 % меди, то значит, в нем 55 % олова. Если в новом сплаве 40 % меди, значит, в нем 60 % олова. Пусть x - количество кг чистого олова, которого надо прибавить к сплаву. Составим уравнение:
0,55 · 24 + x = 0,6 (x+24)
x-0,6x=0,6 · 24- 0,55 · 24
0,4x=0,05 · 24
x=3
Ответ: 3 кг.
Примечание репетитора по математике: подробнее о методах решения задач на сплавы и смеси можно почитать в статье Преимущества и недостатки различных методик решения задач на сплавы и смеси

11) По данным рисунка, на котором изображены графики двух линейных функций и парабола, найти абсциссу точки T.

Решение. Прямая y=5x и парабола y=x 2 пересекаются в двух точках. Найдем абсциссы этих точек с помощью уравнения 5x=x 2 . Отсюда x 1 =0; x 2 =5. Значит, ордината точки пересечения равна 25
Прямая, на которой лежит точка T, проходит через точки с координатами (5;25) и (0;27). Уравнение прямой в общем виде: y=kx+b. Подставляя вместо x и y координаты точек прямой, получаем систему уравнений:


Точка T имеет ординату, равную нулю. Следовательно

Ответ. 67,5.

12) Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два объекта. Первый объект к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второй, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найти длину трассы в метрах, если второй объект возвращается в точку А через 16 минут после встречи.
Примечание. В Интернете можно встретить сайты, где такого рода задачи решаются квадратным уравнением. Между тем, данная работа предназначена для поступающих в 8-й класс. То есть решать эту задачу, зная квадратное уравнение, которое проходят в 8-м классе, некорректно. Ни к чему пременять программу 8-го класса для решения задачи, адресованной семиклассникам. Ниже представлено решение, которое не требует квадратного уравнения
Решение. Пусть t - время до встречи объектов, v 1 - скорость первого объекта, v 2 - скорость второго объекта.
Тогда v 1 · t - v 2 · t = 100, так как на момент встречи первый объект прошел на 100 м больше. Так как v 2 t - путь, который прошел 1-й объект после встречи, v 1 - его скорость и вернулся он в точку А через 9 минут, то можно составить уравнение

Аналогично
. Три уравнения образуют собой систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Поделим 1-е уравнение на 2-е. Получится:

откуда

Таким образом,

Подставив это выражение в первое уравнение, получим t=12 мин

Подставив последнее выражение и t=12 в третье уравнение системы, получим:

отсюда

Согласно условию длину трассы в метрах можно определить, сложив путь первого объекта до встречи и путь второго объекта до встречи. То есть

Ответ. 700 метров

13) На стороне ML квадрата MNKL построен равносторонний треугольник MPL, причём точка P расположена внутри квадрата. Найти градусную меру угла LPK.
Решение

По условию ML=PL=KL; треугольник PLM - равносторонний, значит, все углы равны 60°, значит, ∠ PLK=30°. Таким образом, ∠LPK=(180°-30°) : 2=75°.

14) Разложить на множители: (решения написаны сразу же)

Александр Анатольевич, репетитор по математике. 8-968-423-9589. Имею успешный опыт подготовки учеников в этот лицей, в том числе и в 8-й класс математической специализации и в классы других специализаций. Готовящимся к поступлению в лицей № 1535, равно как и в другие лицеи, важно понимать, что реальные варианты на вступительных экзаменах несколько отличаются от демонстрационных. Поэтому необходимо уметь решать и другие похожие задания.

Движение по окружности

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут

следом за ним отправился мотоциклист.Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз.

Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/

Решение. Пусть х - скорость велосипедиста. Т.к. до первой встречи велосипедист ехал 30+10=40 мин, а мотоциклист 10 мин, то скорость мотоциклиста будет в четыре раза больше, т.е. 4х.

0,5х - это расстояние, которое проехал велосипедист после первой встречи до второй встречи за полчаса.30+0,5х - проехал мотоциклист после первой встречи до второй встречи. Это же расстояние равно 4х*0,5 км.Уравнение: 30 + 0,5x = 4x*0,5

30+0,5x=2x1,5x=30

x = 20 км/ч - скорость велосипедиста 4·20 = 80 км/ч - скорость мотоциклиста.

Ответ: 20 и 80.

Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях - через каждые 16мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?

Решение. Пусть скорость первого тела х м/мин, а второго у м/мин, и пусть длина окружности равна L.Тела начинают двигаться одновременно из одной точки.

За 112 мин первое тело пройдет дугу 112х, а второе 112у.

Причем, второе проходит окружность + дугу 112х. Уравнение 112у - 112х =L (1)

При движении в противоположных направлениях: 16у + 16х = L (2)

40 - 26 = 14 метров тела прошли навстречу друг другу за 12сек=1/5 мин: 12(х + у) = 14 (3)

Вычтем из (1) - (2). Получим 96у -128х = 0 -- 3у = 4х -- х= 3у/4.

Подставим в (3): 1/5 *(3у/4 +у) =14 у=40, х=30 - скорости тел.

Из (2) найдем L: 16(у+х) = 16(40 + 30) = 1120 - длина окружности.

Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг.

Пусть длина окружности равна S метров (в этой задаче и спорте её называют круговой лыжней и кругом).Пусть первый лыжник проходит 1 круг за х минут, тогда второй - за х+2 минуты. Скорость первого лыжника S/x м/мин, а второго S/(x+2) м/мин.

За 1 час первый проходит 60*S/x метров, а второй 60*S/(x+2) метров. А т.к. первый проходит на 1 круг больше, т.е. на S метров, то получаем уравнение:

60·S/x - 60·S/(x+2) = S, разделим обе части на S.

60/x - 60(x+2) =1 -- x2 + 2x - 120 = 0 -- x=10 (х=–12 не удовл. усл.)

Первый проходит круг за 10 минут, а второй за 12. Ответ: 12.

Два тела движутся по окружности в одну сторону. Первое проходит круг на 3 минуты быстрее второго и догоняет второе каждые полтора часа. За сколько минут первое тело проходит один круг?

Решение. Пусть длина окружности S.

Пусть первое тело проходит 1 круг за t минут, тогда за 1 минуту тело проходит путь S/t, аналогично второе - за минуту S/ (t+3) за 90 минут первое - 90*S/t, второе 90*S/(t+3).

составим уравнение:90S/t = 90S/(t+3) + S

90/t - 90/(t+3) = 1

t2 +3t - 270 = 0

t=15, t=-18 (не подходит)Ответ: 15.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 20 км. Через сколько минут мотоциклы поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 12 км/ч больше скорости другого?

Решение.Изначально расстояние между мотоциклистами равно 20:2 = 10 км.

Пусть второй догонит первого через t часов (первый раз). У первого скорость х км/ч, а у второго х+12 км/ч.

Разница пройденного пути 10 км. t(x+12) - tx = 10 tx +12t - tx = 10

12t = 10; t=10/12 часа = 10*60/12 минут = 50 минут.

Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи.

Решение. Пусть второе тело проходит до встречи х км, тогда первое проходит х+100 км. После встречи первое за 9 минут пройдет х метров со скоростью v1=x/9, а второе за 16 минут пройдет х+100 метров со скоростью v2=(х+100)/16.

До встречи время первого (х+100)/v1 = 9(x+100)/x, время второго до встречи х/v2= 16x/(x+100).

Приравняем 9(х+100)/х = 16х/(х+100)

9(х+100)2 = 16х2

3х+300=4х х=300

Весь путь равен х+х+100=700 Ответ: 700.