Эффективные методы решения
определенных и несобственных интегралов

Данная статья содержит дополнительные материалы по методам решения определенных и несобственных интегралов. Предполагается, что читатель владеет средними или высокими навыками интегрирования. Если это не так, пожалуйста, начните с азов, предназначенных для чайников: Неопределенный интеграл, примеры решений .

Где неопределенный интеграл – там неподалёку и Определенный интеграл , с формулой Ньютона-Лейбница вы тоже должны быть знакомы не понаслышке. Кроме того, уметь решать простейшие задачи на вычисление площади плоской фигуры .

Урок предназначен для тех, кто хочет научиться быстрее и эффективнее решать определенные и несобственные интегралы. Сначала я рассмотрю особенности интегрирования четной и нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку. Затем мы разберем задачу о нахождении площади круга с помощью определенного интеграла. Эта задача важна еще и тем, что знакомит вас с распространенным приемом интегрирования определенного интеграла – тригонометрической подстановкой . Она еще нигде не рассматривалась – новый материал!

Второй раздел предназначен для читателей, знакомых с несобственными интегралами . Аналогично, рассмотрим несобственные интегралы от четных, нечетных функций по симметричному интервалу. В том числе более редкие типы несобственных интегралов, которые не вошли в основную статью: когда нижний предел стремится к «минус бесконечности», когда оба предела стремятся к бесконечности, когда в обоих концах отрезка интегрирования функция терпит бесконечный разрыв (это уже интеграл второго рода). И совсем редкий несобственный интеграл – с точкой разрыва на отрезке интегрирования.

Если вам интересно что-то конкретное, сразу ссылки :

• Определённый интеграл от чётной функции по симметричному отрезку
• Вычисление площади круга , тригонометрическая подстановка
• Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
• Несобственный интеграл 2-го рода с разрывами на обоих концах отрезка
• Несобственные интегралы с разрывом на отрезке интегрирования

Метод решения определенного интеграла от четной функции

Рассмотрим определенный интеграл вида . Легко заметить, что отрезок интегрирования симметричен относительно нуля.

Если функция подынтегральная является чётной , то интеграл можно вычислить по половине отрезка, а результат – удвоить : .

Многие догадались, почему так, тем не менее, рассмотрим конкретный пример с чертежом:

Пример 1

О чётности функции много говорилось в методическом материале Графики и свойства элементарных функций . Повторим один раз: функция является чётной, если для неё выполняется равенство . Как проверить функцию на чётность? Нужно вместо «икс» подставить .

В данном случае:
, значит, данная функция является чётной.

Согласно правилу, на симметричном относительно нуля отрезке наш интеграл от чётной функции можно вычислить следующим образом:

А сейчас геометрическая интерпретация. Да, продолжаем мучить несчастную параболу….

Любая чётная функция, в частности , симметрична относительно оси :

Определенный интеграл численно равен площади плоской фигуры, которая заштрихована зеленым цветом. Но, в силу чётности подынтегральной функции, а значит, симметричности её графика относительно оси , достаточно вычислить площадь фигуры, заштрихованной синим цветом, а результат – удвоить. Одинаковые же половинки!
Именно поэтому справедливо действие

Аналогичная история происходит с любой чётной функцией по симметричному относительно нуля отрезку:

Некоторые скажут: «Да зачем это всё нужно, можно ведь и так вычислить определенный интеграл». Можно. Давайте вычислим:

Но удобно ли было подставлять отрицательный нижний предел? Не очень-то. Кстати, ненулевой процент студентов допустит ошибку в знаках. Гораздо проще и приятнее подставить ноль. Замечу, что это еще был простой демонстрационный пример, на практике всё бывает хуже.

Кроме того, рассматриваемый прием часто применяется при вычислении двойных интегралов , тройных интегралов , где вычислений и так хватает.

Короткий разминочный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Вычислить определенный интеграл

Полное решение и ответ в конце урока.

Обратите внимание, что когда вам предложено просто вычислить определенный интеграл, то чертеж выполнять не нужно! Иллюстрация к Примеру 1 дана только для того, чтобы было понятно правило. Как раз данному моменту посвящена следующая простая задачка:

Пример 3

1) Вычислить определенный интеграл .
2) Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями и осью на интервале .

Это две разные задачи! Об этом уже говорилось в статье Как вычислить площадь плоской фигуры? Сначала разберемся с первым пунктом:

1) Подынтегральная функция является чётной, отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому:

Определенный интеграл получился отрицательным и так бывает!

2) Теперь найдем площадь плоской фигуры. Вот здесь без чертежа обойтись трудно:

Если у вас возникло затруднение с наивным косинусом, пожалуйста, обратитесь к статье Геометрические преобразования графиков .

На отрезке график функции расположен ниже оси , поэтому:

Заметьте, что чётность косинуса никто не отменял, поэтому мы опять споловинили отрезок, и удвоили интеграл.

Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла
Тригонометрическая подстановка

Это очень важная задача, поскольку будет рассмотрен типовой интеграл и приём решения, который неоднократно встретится в будущем.

Но сначала небольшое напоминание по уравнению окружности . Уравнение вида задаёт окружность с центром в точке радиуса . В частности, уравнение задаёт окружность радиуса с центром в начале координат.

Пример 4

Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью, заданной уравнением

– это окружность с центром в начале координат радиуса .

Выполним чертёж:

Сначала вычислим площадь круга с помощью известной школьной формулы. Если радиус круга , то его площадь равна:

Для того чтобы вычислить площадь круга с помощью определенного интеграла, необходимо из уравнения окружности выразить функцию «игрек» в явном виде:

Верхняя полуокружность задается уравнением
Нижняя полуокружность задается уравнением

Особые параноики, как я, могут подставить несколько точек окружности в эти уравнения, и убедиться в справедливости вышеизложенных утверждений.

Как вычислить площадь круга? В данном примере круг симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно вычислить площадь сектора в 1-й четверти (заштрихован синим цветом), затем результат умножить на 4.

Таким образом:

Такой же, но неопределенный интеграл рассматривался в примере 6 урока Сложные интегралы , он решался длительным и трудоёмким методом сведения интеграла к самому себе. Можно пойти тем же путём, но для определенного интеграла существует удобный и эффективный метод тригонометрической замены :

Проведём замену:

Почему именно такая замена, очень скоро станет понятно, а пока найдем дифференциал:

Выясним, во что превратится корень, я распишу очень подробно:

Если в ходе решения вы не сможете догадаться применить формулу наподобие , то, увы, схлопочете от преподавателя «приходите в следующий раз».

После преобразования корня отчетливо видно, почему проведена замена , особое внимание обращаю на коэффициент при синусе – «двойке», этот коэффициент нужно подбирать таким образом, чтобы при возведении в квадрат всё хорошо вынеслось за скобки и из-под корня.

Осталось вычислить новые пределы интегрирования:
Если , то

Новый нижний предел интегрирования:
Новый верхний предел интегрирования:

Таким образом:

Площадь сектора необходимо умножить на 4, следовательно, площадь всей окружности:

Вероятно, у некоторых возник вопрос, зачем вообще мучиться с интегралом, если есть короткая школьная формула ? А фишка состоит в том, что возможность очень точно вычислить площадь круга появилась только с развитием математического анализа (хотя уже в древности площадь круга рассчитывали с приличной точностью).

Разобранный пример можно решить в общем виде, то есть найти площадь круга, ограниченного окружностью произвольного радиуса: . В результате получится как раз формула !

Следует отметить, что к решению данной задачи можно было применить и другой подход – вычислить площадь верхнего полукруга с помощью интеграла , а затем удвоить результат. Но в силу чётности подынтегральной функции решение элементарно сводится к оптимальной версии:

Еще раз подчёркиваю важность проведенной тригонометрической замены, она встретится на практике ни раз и ни два. Поэтому для закрепления материала чуть более сложное задание для самостоятельного решения:

Пример 5

Вычислить определенный интеграл

По условию требуется вычислить определенный интеграл, поэтому чертеж выполнять не нужно. Хорошо подумайте над коэффициентом в замене . Если возникнут трудности с интегралом после замены, вернитесь к уроку Интегралы от тригонометрических функций . Будьте внимательны! Полное решение и ответ в конце урока.

Метод решения определенного интеграла от нечетной функции
по симметричному относительно нуля отрезку

Вам понравится.

Рассмотрим тот же определенный интеграл с симметричным относительно нуля отрезком интегрирования: .
Если подынтегральная функция является нечётной , то .

Почему такой интеграл равен нулю?

Пример 6

Вычислить определенный интеграл

Выполним чертеж:

Вот, заодно и график функции , который ещё нигде у меня не встречался, график представляет собой перевёрнутую кубическую параболу.

Проверим нашу функцию на четность/нечетность:
, значит, данная функция является нечётной, и её график симметричен относительно начала координат. Из симметрии графика следует равенство площадей, которые заштрихованы красным и синим цветом .

При вычислении определенного интеграла площадь, которая заштрихована синим цветом, формально является отрицательной. А площадь, которая заштрихована красным цветом – положительной. Поскольку площади равны и формально противоположны по знаку, то они взаимно уничтожаются, следовательно .

И еще раз подчеркиваю разницу между заданиями:

1) Любой определенный интеграл (само собой он должен существовать) – это всё равно формально площадь (пусть даже отрицательная). В частности, поэтому , так как в силу нечётности функции площади взаимно уничтожатся. Что и проиллюстрировано на конкретном примере.

2) Задача на нахождение площади – это совершенно другая задача . Так, если бы нам было предложено найти площадь фигуры в данном примере, то её следовало бы вычислить следующим образом:

Еще несколько коротких примеров на тему данного правила:

И, аналогично для любой нечетной функции и симметричного относительно нуля отрезка.

Применять ли данный метод на практике? На самом деле вопрос не такой простой. Когда вам предложен сложный пример с большим количеством вычислений, то можно, и даже уместно указать, что такой интеграл равен нулю, сославшись на нечетность функции и симметричность отрезка интегрирования относительно нуля. Как говорится, знание – сила, а незнание – рабочая сила.

Но когда вам предложен короткий пример, то преподаватель вполне обоснованно может заставить прорешать его подробно: взять интеграл и подставить пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница. Например, вам предложено вычислить тот же определенный интеграл . Если вы сразу запишите, что и поясните словами, почему получается ноль, то это будет не очень хорошо. Намного лучше «прикинуться дурачком» и провести полное решение:

А то, что интеграл равен нулю, вы будете знать заранее;-) И это знание 100%-но позволит избежать ошибки.

Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом

Второй раздел статьи предназначен для тех, кто хорошо разобрался с уроком Несобственные интегралы. Примеры решения , или, по крайне мере, понял бОльшую его часть. Речь пойдет о несобственных интегралах первого рода с бесконечным нижним пределом: .

Пример 7

Чем отличается данный интеграл от «обычного» несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом? По технике решения практически ничем. Так же нужно найти первообразную (неопределенный интеграл), так же нужно использовать предел при вычислении интеграла. Отличие состоит в том, что необходимо устремить нижний предел интегрирования к «минус бесконечности»: .

Из вышесказанного следует очевидная формула для вычисления такого несобственного интеграла:

В данном примере, подынтегральная функция непрерывна на и:
, то есть, несобственный интеграл расходится.

Вот тут, главное, быть аккуратным в знаках , и не забывать, что . Нужно внимательно разобраться, что куда стремится.

Пример 8

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Метод решения несобственного интеграла
с бесконечными пределами интегрирования

Очень интересный случай. Несобственный интеграл первого рода с бесконечными пределами интегрирования имеет следующий вид:

Как его решить? Данный интеграл нужно представить в виде суммы двух несобственных интегралов:
(всё гениальное просто) и смотреть по ситуации:
Примечание : вместо ноля может быть любое число, но ноль обычно удобнее всего.

Пример 9

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой . Представляем интеграл в виде суммы двух интегралов:

и разделываемся с ними по отдельности:

Таким образом:
, то есть несобственный интеграл существует и сходится.

Теперь обратим внимание на подынтегральную функцию. Она является чётной .
В несобственных интегралах с бесконечными пределами (а значит, симметричным интервалом интегрирования) чётностью пользоваться МОЖНО . Аналогично определенному интегралу, промежуток выгодно споловинить, а результат – удвоить:

Почему такое возможно? График подынтегральной чётной функции симметричен относительно оси . Следовательно, если половина площади конечна (интеграл сходится) – то симметричная половина площади тоже конечна. Если половина площади бесконечна (интеграл расходится), следовательно, симметричная половина тоже будет расходиться. И не забываем о третьем случае: если половины не существует, то второй, и всего интеграла – тоже. Например:
– данного предела не существует, а значит, не существует и несобственного интеграла .

Переходим ещё к более любопытному случаю:

Пример 10

Исследовать несобственный интеграл на сходимость.

Обратите внимание на задание – здесь в условии уже не констатируется факт существования интеграла.

Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой, и мы в академичном стиле распиливаем пациента на две части:

Решаем первый:

и второй:

И, несмотря на то, что оба интеграла по отдельности расходятся – итогового интеграла в общем случае не существует , ибо сумма не определена. Почему? Потому что переменная «а» может стремиться к «минус бесконечности», например, БЫСТРЕЕ, чем переменная «бэ» к «плюс бесконечности» (или наоборот) .

Но существует особый частный случай – когда обе переменные стремятся к бесконечностям одинаково. Это выражается пределом:

и называется сходимостью интеграла по Коши . Само же значение предела называют главным значением несобственного интеграла .

И поскольку условие требовало от нас исследования , то здесь будет грамотным следующий ответ : в общем случае несобственного интеграла не существует, однако имеет место сходимость по Коши и главное значение интеграла равно нулю. Главное значение принято обозначать так:

А сейчас очень важный момент : подынтегральная функция является нечётной , и как вы правильно догадываетесь, в несобственных интегралах с бесконечными пределами нечётностью пользоваться НЕ СЛЕДУЕТ!!!

В этом состоит отличие от определенного интеграла . Там можно смело записать, что , а здесь так поступать не следует . Почему? Потому что в ряде случаев, как, например, в рассмотренном примере, получится автоматическая ошибка , что не соответствует действительности.

Тонкость же состоит в том, что интегралы от некоторых нечётных функций и в самом деле равны нулю! И как раз этой тонкости посвящен следующий пример для самостоятельного решения.

Несобственный интеграл

с несколькими особенностями.

Если функция определена на интервале (a,b) и неограниченна в точках a и b и при некотором выборе точки с (a,b) существуют несобственные интегралы на полуинтервалах (a,c] и подынтегральная функция определена. Но x=1 - особая точка.

Для сходимости интеграла необходима сходимость интегралов

Рассмотрим сначала

П


ри b1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] не имеет предела  данный и, как следствие, исходный интегралы расходятся.

Примечание.

Если не обратить внимания на особую точку и применить формулу Ньютона- Лейбница, то можно получить неверный ответ ln1/3.Поэтому прежде чем исследовать несобственный интеграл на сходимость, полезно внимательно изучить подынтегральную функцию,найти ее особые точки и построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке выглядит примерно так:

Следовательно,расходится весь интеграл,отметим только,что на интервале  .(8)

0 a b X 0 a b X

рис.,поясняющий интеграл (7) рис.,поясняющий интеграл (8)

Если же функция определена на интервале (a,b) и неограниченна в точках a и b и при некотором выборе точки с (a,b) существуют несобственные интегралы на полуинтервалах (a,c] и подынтегральная функция определена. Но x=1 - особая точка.

Для сходимости интеграла необходима сходимость интегралов

Рассмотрим сначала

П

ри b1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] не имеет предела  данный и, как следствие, исходный интегралы расходятся.

Примечание. Если не обратить внимания на особую точку и применить формулу Ньютона-Лейбница, то можно получить неверный ответ ln1/3.Поэтому прежде чем исследовать несобственный интеграл на сходимость,полезно внимательно изучить подынтегральную функцию,найти ее особые точки и построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке выглядит примерно так(рисунок 5)

ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ

ИНТЕГРАЛОВ.

1)Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f непрерывна на

т

.е. сходится,а для fg=1/x

И
нтеграл расходится,функция fg=1/x не интегрируема в несобственном смысле на (0,1]

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЗНАКОПОСТОЯННЫХ ФУНКЦИЙ.

В курсе математического анализа встречаются несобственные интегралы,значение которых точно вычислить затруднительно,например (8.1)

и

тогда перед студентом ставится задача:исследовать несобственный интеграл на сходимость,не вычисляя его значения.Для этого необходимо применять следующие методы:

ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ.

Основной признак для исследования сходимости несобтвенных интегралов от знакопостоянных функций.Суть его сводится к подбору так называемой функции сравнения,несобственный интеграл от которой на заданном промежутке легко вычислить,и дать заключение о сходимости исходного интеграла,используя следующие утверждения:

П

усть функции f(x) и g(x) неотрицательны на полуинтервале :

В

случае,если подынтегральная функция имеет особую точку x=b ,необходимо искать функцию сравнения в виде

И

сследование которой при замене переменной y=x-b приведёт нас к тоько что рассмотренному случаю на интервале (0;a]

Пример 10:

С
ледовательно,расходится весь интеграл,отметим только,что на интервале }