Электрическим диполем (диполем ) называют систему, состоящую из двух равных, но противоположных по знаку точечных электрических зарядов, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (плечо диполя).

Основной характеристикой диполя (рис.4) является его электрический , илидипольный момент – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному и равный произведению заряда на плечо диполя:

Рис.4. Электрический диполь.

Единицей электрического момента диполя является кулон-метр .

Поместим диполь в однородное электрическое поле напряжённостью (рис.5). На каждый из зарядов диполя действуют силы
=qи

= -q; эти силы противоположно направлены и создают момент пары сил. Как видно из рисунка, он равен

M=qElsin = pEsin, (9)

Или в векторной форме

=
(10)

Рис.5. Диполь в однородном электрическом поле.

Таким образом, на диполь в однородном электрическом поле действует вращающий момент, зависящий от электрического момента, ориентации диполя в поле и напряжённости поля.

Рассмотрим теперь диполь в неоднородном электрическом поле. Простоты ради предположим, что диполь расположен вдоль силовой линии. На него действуют силы

+ = + и - = - ,

где + и - -напряжённости поля соответственно в месте нахождения положительного и отрицательного зарядов (на рис.6 - > +). Значение равнодействующей этих сил

F= F_ - F+ = qE_ - qE+ = q (E_ - E+). (11)

Рис.6. Силы, действующие на диполь.

Введём отношение (E_ - E+)/l , характеризующее среднее изменение напряжённости, приходящееся на единицу длины диполя. Так как обычно плечо невелико, то приближенно можно считать

(Е_ - Е+)/l = dE/dx, (12)

где dE/dx – производная от напряженности электрического поля по направлению оси ОХ, являющаяся мерой неоднородности электрического поля вдоль соответствующего направления. Из (12) следует

Е_ - E+ = l dE/dx,

Тогда формулу (5) можно представить в виде

F = ql dE/dx = p dE/dx.

Итак, на диполь действует сила, зависящая от его электрического момента и степени неоднородности поля dE/dx.

Если диполь ориентирован в неоднородном электрическом поле не вдоль силовой линии, то на него дополнительно действует еще и вращающий момент. Так что свободный диполь практически всегда будет втягиваться в область больших значений напряженности поля.

1.4. Дипольный эквивалентный электрический генератор сердца.

В возбужденном миокарде всегда имеются много диполей (назовем их элементарными). Потенциал поля каждого диполя в неограниченной среде подчиняется уравнению:

, где (13)

G – сумма членов, которые пропорциональны l 3 /r 4 , l 4 /r 5 и т.д.

 - потенциал в точке регистрации, l – величина диполя,

I – сила тока,  - удельное сопротивление среды (рис.7).

Рис.7. Элементарный диполь.

При изучении потенциалов на значительном удалении от сердца, когда выполняется условие rl, первый член правой части уравнения (13) намного превосходит остальные. Поэтому в первом приближении вторым и последующими членами можно пренебречь. Это заведомо справедливо в случае точечных диполей, у которых l0. Первый член в правой части уравнения (13) именуют дипольным потенциалом (потенциалом точечного диполя).

Потенциал ( 0) электрического поля сердца складывается из дипольных потенциалов элементарных диполей. Поскольку в каждый момент кардиоцикла возбуждается сравнительно небольшой участок миокарда, расстояния от всех диполей до точки измерения потенциала примерно равны друг другу, и  0 приближенно описывается уравнением:

, (14)

в котором r – одинаковое для всех диполей расстояние до точки измерения потенциала, m – количество диполей. Сумму проекций в этом выражении можно рассматривать как проекцию вектора дипольного момента () одного токового диполя, у которого

. (15)

Этот диполь называют эквивалентным диполем сердца . Таким образом, потенциал внешнего электрического поля сердца можно представить в виде дипольного потенциала одного эквивалентного диполя:

, (16)

где  - угол между и направлением регистрации потенциала;D 0 – модуль вектора .

Модель, в которой электрическая активность миокарда заменяется действием одного точечного диполя и потенциалы внешнего поля описываются выражением (11) называют дипольным эквивалентным электрическим генератором сердца.

Два равных по величине заряда противоположного знака, +Q и -Q , расположенных на расстоянии l друг от друга, образуют электрический диполь. Величина Ql называется дипольным моментом и обозначается символом р . Дипольным моментом обладают многие молекулы, например двухатомная молекула СО (атом С имеет небольшой положительный заряд, а О - небольшой отрицательный заряд); несмотря на то что молекула в целом нейтральна, в ней происходит разделение зарядов из-за неравного распределения электронов между двумя атомами. (Симметричные двухатомные молекулы, такие, как O 2 , не обладают дипольным моментом.)

Рассмотрим вначале диполь с моментом р = Ql , помещенный в однородное электрическое поле напряженностью Е . Дипольный момент можно представить в виде вектора р , равного по абсолютной величине Ql и направленного от отрицательного заряда к положительному. Если поле однородно, то силы, действующие на положительный заряд QE , и отрицательный, -QE , не создают результирующей силы, действующей на диполь. Однако они приводят к возникновению вращающего момента, величина которого относительно середины диполя О равна:

или в векторной записи τ = рЕ .
В результате диполь стремится повернуться так, чтобы вектор р был параллелен Е . Работа W , совершаемая электрическим полем над диполем, когда угол θ изменяется от θ 1 до θ 2 , дается выражением:

В результате работы, совершаемой электрическим полем, уменьшается потенциальная энергия U диполя;
если положить U = 0 , когда , то

U= - W = -pEcosQ = -рЕ

Если электрическое поле неоднородно, то силы, действующие на положительный и отрицательный заряды диполя, могут оказаться неодинаковыми по величине, и тогда на диполь, кроме вращающего момента, будет действовать еще и результирующая сила.

Итак, мы видим, что происходит с электрическим диполем, помещенным во внешнее электрическое поле. Обратимся теперь к другой стороне дела. Предположим, что внешнее поле отсутствует, и определим электрическое поле, создаваемое самим диполем (способное действовать на другие заряды). Для простоты ограничимся точками, расположенными на перпендикуляре к середине диполя, подобно точке Р на рис. 22.26, находящейся на расстоянии r от середины диполя. (Заметим, что r на рис. 22.26 не является расстоянием от каждого из зарядов до Р , которое равно (r 2 + l 2 /4) 1/2 , и именно его следует подставить в формулу.) Напряженность электрического поля в точке Р равна Е = Е + + Е - , где Е + и Е - - напряженности поля, создаваемые соответственно положительным и отрицательным зарядами, равные между собой по абсолютной величине:

Их Y-компоненты в точке Р взаимно уничтожаются, и по абсолютной величине напряженность электрического поля Е равна

Вдали от диполя (r » l ) это выражение упрощается:

Видно, что напряженность электрического поля диполя убывает с расстоянием быстрее, чем для точечного заряда (как 1/r 3 вместо 1/r 2). Этого и следовало ожидать: на больших расстояниях два заряда противоположных знаков кажутся столь близкими, что нейтрализуют друг друга. Зависимость вида 1/r 3 справедлива и для точек, не лежащих на перпендикуляре к середине диполя.

Заключение

Существуют два вида электрических зарядов - положительные и отрицательные. Эти названия следует понимать алгебраически: всякий заряд содержит в единицах системы СИ плюс или минус столько-то кулонов (Кл). Электрический заряд сохраняется: если в результате какого-либо процесса возникает некоторое количество заряда одного знака, то непременно появляется равное количество заряда противоположного знака на этом же или на других телах; суммарный же заряд останется равен нулю. Согласно атомной теории, источником электрического заряда является атом, который состоит из положительно заряженного ядра, окруженного отрицательно заряженными электронами. Заряд электрона равен -е = -1,6 x 10 -19 Кл. Проводниками являются вещества, в которых имеется достаточно электронов, обладающих свободой передвижения, в то время как вещества, у которых мало свободных электронов, оказываются изоляторами. Тело с избытком электронов заряжено отрицательно, а тело, в котором электронов меньше нормального количества, заряжено положительно. Тело может приобретать заряд одним из трех способов: трением, когда электроны переходят с одного тела на другое; за счет электропроводности, когда заряд при контакте переходит с одного заряженного тела на другое, и посредством индукции, когда разделение зарядов происходит при приближении к телу заряженного предмета без прямого контакта между ними.

Электрические заряды взаимодействуют друг с другом. Между зарядами противоположного знака возникает сила притяжения. Заряды одного знака отталкиваются. Сила, с которой один точечный заряд действует на другой, пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними {закон Кулона):

Заряд или группа зарядов создают в пространстве электрическое поле. Силу, действующую на заряженный предмет, можно объяснить существованием в месте его расположения электрического поля. Напряженность электрического поля Е в любой точке пространства представляет собой отнесенную к единице заряда силу, действующую на положительный пробный заряд q в этой точке: Е = F/q . Электрическое поле графически представляют в виде силовых линий, которые начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Направление силовой линии в каждой точке соответствует направлению силы, которая действует на малый положительный пробный заряд, помещенный в эту точку; плотность силовых линий пропорциональна Е . Электростатическое поле (т.е. поле в отсутствие движущихся зарядов) внутри хорошего проводника равно нулю; силовые линии вблизи заряженного проводника перпендикулярны его поверхности.

Электрический диполь - это система из двух равных по величине зарядов противоположного знака +Q и -Q , находящихся на расстоянии l . Величина р = QI называется дипольным моментом. Диполь, помещенный в однородное электрическое поле, испытывает действие момента сил (если р и Е не параллельны) и не испытывает действия результирующей силы. Создаваемое диполем электрическое поле убывает обратно пропорционально третьей степени расстояния r от диполя (Е ~ 1/r 3) при r » l .

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Часто возникает необходимость найти характеристики электрического поля, создаваемого системой зарядов, локализованных в небольшой области пространства. Примером такой системы зарядов могут служить атомы и молекулы, состоящие из электрически заряженных ядер и электронов. Если требуется найти поле на расстояниях, которые значительно больше размеров области расположения частиц, то нет необходимости пользоваться точными, но громоздкими формулами, достаточно ограничится более простыми приближенными выражениями.
 Пусть электрическое поле создается набором точечных зарядов q k (k = 1, 2, …, N) , расположенных в пределах небольшой области пространства, характерные размеры которой обозначим l (рис. 285).

Рис. 285
 Для расчета характеристик электрического поля, в некоторой точке A , находящейся на расстоянии r , значительно превышающем l , все заряды системы можно «объединить» и рассматривать систему зарядов как точечный заряд Q , величина которого равна сумме зарядов исходной системы

 Этот заряд можно мысленно расположить в любой точке области расположения системы зарядов q k (k = 1, 2, …, N) , так как при l << r , изменение положения в пределах малой области незначительно повлияет на изменение поля в рассматриваемой точке.
 В рамках такого приближения напряженность и потенциал электрического поля определяются по известным формулам

 Если суммарный заряд системы равен нулю, то указной приближение является слишком грубым, приводящим к выводу об отсутствии электрического поля.
 Более точное приближение можно получить, если мысленно собрать отдельно положительные и отрицательные заряды рассматриваемой системы. Если их «центры» смещены друг относительно друга, то электрическое поле такой системы может быть описано как поле двух точечных зарядов, равных по величине и противоположных по знаку, смещенных друг относительно друга. Более точную характеристику системы зарядов в этом приближении мы дадим немного позднее, после изучения свойств электрического диполя.
Электрическим диполем называется система, состоящая из двух точечных зарядов одинаковых по величине и противоположных по знаку, расположенных на малом расстоянии друг от друга.
 Рассчитаем характеристики электрического поля, создаваемого диполем, состоящего из двух точечных зарядов +q и −q , расположенных на расстоянии a друг от друга (рис. 286).

рис. 286
 Сначала найдем потенциал и напряженность электрического поля диполя на его оси, то есть на прямой, проходящей через оба заряда. Пусть точка A , находится на расстоянии r от центра диполя, причем будем считать, что r >> a . В соответствии с принципом суперпозиции потенциал поля в данной точке описывается выражением

На последнем шаге мы пренебрегли вторым малой величиной (a/2) 2 по сравнению с r 2 . Величину вектора напряженности электрического поля также можно вычислить на основании принципа суперпозиции

Напряженность поля можно вычислить, используя соотношение между потенциалом и напряженностью поля E x = −Δφ/Δx . В данном случае вектор напряженности направлен вдоль оси диполя, поэтому его модуль рассчитывается следующим образом


Обратите внимание, что поле диполя ослабевает быстрее поля точечного заряда, так потенциал поля диполя убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, а напряженность поля − обратно пропорционально кубу расстояния.
 Аналогичным, но более громоздким, способом можно найти потенциал и напряженность поля диполя в произвольной точке, положение которой определим с помощью полярных координат: расстояния до центра диполя r и угла θ (рис. 287).

рис. 287
 По принципу суперпозиции потенциал поля в точке A равен

Учитывая, что r >> a , формулу (6) можно упростить с помощью приближений

в этом случае получаем

 Вектор напряженности электрического поля E удобно разложить на две составляющие: радиальную E r , направленную вдоль прямой, соединяющей данную точку с центром диполя, и перпендикулярную ей E θ (рис. 288).

рис. 288
 При таком разложении каждая компонента направлена вдоль направления изменения каждой из координат точки наблюдения, поэтому может быть найдена из соотношения, связывающего напряженность поля и изменение потенциала.
 Для того, чтобы найти компоненты вектора напряженности поля, запишем отношение изменения потенциала, при смещении точки наблюдения в направлении соответствующих векторов (рис. 289).

рис. 289
Радиальная составляющая тогда выразится соотношением


 Для расчета перпендикулярной составляющей следует учесть, что величина малого смещения в перпендикулярном направлении выражается через изменение угла следующим образом Δl = rΔθ.
Поэтому величина этой компоненты поля равна


 При выводе последнего соотношения использована тригонометрическая формула для разности косинусов и приближенное соотношение, справедливое при малых Δθ :
sinΔθ ≈ Δθ.
 Полученные соотношения полностью определяют поле диполя в произвольной точке и позволяют построить картину силовых линий этого поля (рис. 290).

рис. 290
 Теперь обратим внимание, что во всех формулах, определяющих потенциал и напряженность поля диполя, фигурирует только произведение величины одного из зарядов диполя на расстояние между зарядами. Поэтому именно это произведение является полной характеристикой электрических свойств и называется дипольным моментом системы. Так как диполь является системой двух точечных зарядов, то он обладает осевой симметрией, осью которой является прямая, проходящая через заряды. Следовательно, для задания полной характеристики диполя следует указать и ориентацию оси диполя. Проще всего это сделать, задавая вектор дипольного момента , величина которого равна дипольному моменту, а направление совпадает с осью диполя

где a − вектор, соединяющий отрицательный и положительный заряды диполя 1 . Такая характеристика диполя весьма удобна и позволяет во многих случая упрощать формулы, придавая им векторный вид. Так, например, потенциал поля диполя в произвольной точке, описываемый формулой (6), может быть записан в векторной форме

 После введения векторной характеристики диполя, его дипольного момента, появляется возможность использовать еще одну упрощающую модель − точечный диполь: систему зарядов, геометрическими размерами которой можно пренебречь, но обладающей дипольным моментом 2 .
Рассмотрим поведение диполя в электрическом поле.

рис. 291
 Пусть два точечных заряда, находящиеся на фиксированном расстоянии друг от друга, помещены в однородное электрическое поле. Со стороны поля на заряды действуют силы F = ±qE , равные по величине и противоположные по направлению. Суммарная сила, действующая на диполь равна нулю, однако эти силы приложены к различным точкам, поэтому суммарный момент этих отличен от нуля, а равен

где α − угол меду вектором напряженности поля и вектором дипольного момента. Наличие момента силы, приводит к тому, что дипольный момент системы стремится повернуться по направлению вектора напряженности электрического поля.
 Обратите внимание, что и момент силы, действующий на диполь, полностью определяется его дипольным моментом. Как мы показали ранее, если сумма сил, действующих на систему, равна нулю, то суммарный момент сил не зависит от оси, относительно которой этот момент рассчитывается. Положению равновесия диполя соответствуют как направление по полю α = 0 , так и против него α = π , однако легко показать, что первое положение равновесия устойчиво, а второе нет.
Если электрический диполь находится в неоднородном электрическом поле, то силы, действующие на заряды диполя различны, поэтому результирующая сила отлична от нуля.
 Для упрощения, будем считать, что ось диполя совпадает с направлением вектора напряженности внешнего электрического поля. Совместим ось x системы координат с направлением вектора напряженности (рис. 292).

рис. 292
 Результирующая сила, действующая на диполь, равна векторной сумме сил, действующих на заряды диполя,

 Здесь E(x) − напряженность поля в точке расположения отрицательного заряда, E(x + a) − напряженность в точке положительного заряда. Так как расстояние между зарядами мало, разность напряженностей представлена как произведение скорости изменения напряженности на размер диполя. Таким образом, в неоднородном поле, на диполь действует сила, направлена в сторону возрастания поля, или диполь втягивается в область более сильного поля.
 В заключение вернемся к строгому определению дипольного момента произвольной системы зарядов. Вектор дипольного момента, системы, состоящей из двух зарядов (рис. 293),

рис. 293
может быть записан в виде

Если теперь пронумеровать заряды, то эта формула приобретает вид

где величины зарядов понимаются в алгебраическом смысле, с учетом их знаков. Последняя формула допускает очевидное обобщение (обоснованием которого является принцип суперпозиции) на систему произвольного числа зарядов

 Эта формула определяет дипольный момент произвольной системы зарядов, с ее помощью произвольная система зарядов может быть заменена на точечный диполь (рис. 294).

рис. 294
 Положение диполя внутри области расположения зарядов произвольно, естественно, если электрическое поле рассматривается на расстояниях значительно превышающих размеры системы.

 Задания для самостоятельной работы.
 1. Докажите, что для произвольной системы зарядов, алгебраическая сумма которых равна нулю, дипольный момент, определяемый по формуле (11), не зависит от выбора системы отсчета.
 2. Определите «центры» положительных и отрицательных зарядов системы, по формулам аналогичным, формулам для координат центра масс системы. Если все положительный и все отрицательные заряды собрать в своих «центрах», то получим диполь, состоящий из двух зарядов. Покажите, что его дипольный момент совпадает с дипольным моментом, рассчитанным по формуле (11).
 3. Получите двумя способами формулу, выражающую силу взаимодействия точечного диполя и точечного заряда, находящегося на оси диполя: во-первых, найдите силу, действующую на точечный заряд со стороны диполя; во-вторых, найдите силу, действующую на диполь со стороны точечного заряда; в-третьих, убедитесь, что эти силы равны по модулю и противоположны по направлению.

1 Направление вектора дипольного момента, в принципе можно задать и противоположным, но исторически сложилось задание направления дипольного момента от отрицательного к положительному заряду. При таком определении силовые линии как бы являются продолжением вектора дипольного момента.
  2 Очередная, абсурдная на первый взгляд, но удобная абстракция − материальная точка, имеющая два заряда, разнесенных в пространстве.

Варламов А.А. Электрический диполь и его электрический момент //Квант. - 1985. - № 11. - С. 21-23.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

В большинстве своем нас окружают электрически нейтральные тела. Однако утверждать, что они не принимают никакого участия в электрических взаимодействиях, было бы неправильно. Достаточно вспомнить, например, что два заряда, помещенные в какой-нибудь диэлектрик, взаимодействуют слабее, чем в вакууме. Причиной тому - молекулы диэлектрика. Хотя диэлектрик состоит из нейтральных молекул, они способны создать собственное электрическое поле, которое и ослабляет электрическое взаимодействие зарядов.

Рассмотрим простейший пример электрически нейтральной системы - электрический диполь. Так называют совокупность двух равных по модулю, но противоположных по знаку точечных электрических зарядов ±q , находящихся на некотором расстоянии l друг от друга (рис. 1).

Поле диполя

Электрическое поле диполя можно найти в любой интересующей нас точке, опираясь на принцип суперпозиции («Физика 9», § 42). Сделаем это, например, для точки А (рис. 2).

Напряженность поля в этой точке равна векторной сумме напряженностей, создаваемых точечными зарядами +q и -q :

\(~\vec E = \vec E_+ + \vec E_-\) ,

\(~E = E_+ - E_- = \frac{kq}{\left(r - \frac{l}{2} \right)^2} - \frac{kq}{\left(r + \frac{l}{2} \right)^2} = \frac{2kqlr}{\left(r^2 - \frac{l^2}{4} \right)^2}\) .

где r - расстояние от середины диполя до точки А .

На больших расстояниях, когда r >> l получаем

\(~E = \frac{2kql}{r^3} = p \cdot \frac{2k}{r^3}\) ,

где р = ql называется электрическим моментом диполя. Говоря точнее, ql - это модуль дипольного электрического момента \(~\vec p\), а направлен этот вектор от отрицательного заряда к положительному. Электрический момент - основная характеристика диполя. В данном случае он определяет электрическое поле диполя на больших расстояниях от него.

Как видно из последнего выражения, вдали от диполя напряженность поля убывает с расстоянием как \(~\frac{1}{r^3}\), то есть быстрее, чем поле точечного заряда (пропорциональное \(~\frac{1}{r^2}\)). Это справедливо не только для точек, которые лежат на линии, проходящей через заряды +q и -q , но и для любых других точек, достаточно удаленных от диполя.

Диполь в электрическом поле

Посмотрим, как ведет себя диполь, попав во внешнее электрическое поле. Сначала - в однородное поле с напряженностью \(~\vec E\) (рис. 3).

На заряды диполя действуют равные по модулю, но противоположные по направлению силы \(~+q \vec E\) и \(~-q \vec E\), которые стремятся развернуть диполь. Относительно оси, проходящей через центр диполя (точку О ) и перпендикулярной плоскости чертежа, каждая сила создает вращающий момент, равный произведению модуля силы на соответствующее плечо (см. рис. 3)\[~qE \cdot \frac{l}{2} \sin \alpha\].

Суммарный вращающий момент будет равен

\(~M = 2 qE \cdot \frac{l}{2} \sin \alpha = qlE \sin \alpha = p \cdot E \sin \alpha\) .

Таким образом, при заданных значениях Е и α вращающий момент М определяется величиной дипольного момента р .

Под действием вращающего момента диполь будет поворачиваться, пока не займет положение, изображенное на рисунке 3 штриховой линией. В этом положении равны нулю как сумма сил, так и сумма моментов сил, действующих на диполь. Это означает, что диполь находится в равновесии. При этом вектор электрического момента диполя сонаправлен с вектором напряженности поля.

Следовательно, в однородном внешнем электрическом поле диполь поворачивается и располагается так, чтобы его дипольный момент был ориентирован по полю. Заметим, что такое положение является положением его устойчивого равновесия.

Пусть теперь диполь находится в неоднородном внешнем поле. Разумеется, и здесь возникает вращающий момент, разворачивающий диполь вдоль поля (рис. 4). Но в этом случае на заряды действуют неодинаковые но модулю силы, равнодействующая которых отлична от нуля. Поэтому диполь будет еще и перемещаться поступательно, втягиваясь в область более сильного поля (убедитесь в этом самостоятельно).

Диполи в природе

Молекулы многих веществ похожи на электрические диполи - равные по модулю положительные и отрицательные заряды в них разделены в пространстве. Примерами таких дипольных молекул могут служить, скажем, молекулы соляной кислоты НСl , состоящие из положительных ионов водорода (Н +) и отрицательных ионов хлора (Сl -). Молекулы самого распространенного на земле вещества - воды Н 2 О состоят из двух положительных ионов водорода и одного отрицательного иона кислорода (рис. 5). Хотя это системы не двух, а трех зарядов, но ведут себя они как электрические диполи - центр положительного заряда находится на некотором расстоянии от центра отрицательного заряда, а суммарный положительный заряд равен но модулю суммарному отрицательному заряду.

Есть также вещества, у которых молекулы в обычных условиях диполями не являются, поскольку центры положительных и отрицательных зарядов в них совпадают. Но во внешнем электрическом поле заряды противоположных знаков несколько смещаются относительно друг друга и молекулы становятся электрическими диполями.

Заметим, что именно благодаря существованию диполей происходит такое важное физическое явление, как поляризация диэлектриков («Физика 9», § 47). Интересно, что весь поляризованный диэлектрик ведет себя подобно диполю. Движение такого «диполя» в неоднородном электрическом поле было исторически первым замеченным людьми электрическим явлением (вспомните притяжение наэлектризованным телом легких предметов).

УДК 612.014.421 (075.8)

ББК 28.707.1 я 73

Утверждено Научно-методическим советом университета в качестве
учебно-методического пособия 29.11.2006 г., протокол № 3

Рецензенты: зав. каф. гистологии, цитологии и эмбриологии Белорусского государственного медицинского университета, проф. Б. А. Слука; ст. науч. сотр. Белорусского национального технического университета, доц. Г. И. Олефир

Лещенко, В. Г.

Л 54 Электрические поля биотканей и методы их регистрации: учеб.-метод. пособие / В. Г. Лещенко. – Минск: БГМУ. 2007. – 19 с.

ISBN 978–985–462–678–9.

Рассматриваются основные характеристики электрических полей, образующихся точечными зарядами и простейшей электронейтральной системой - диполем, а также методы описания и регистрации электрических полей, создаваемых органами и тканями человека. Достаточно подробно рассмотрено формирование электрокардиограммы и способы ее регистрации.

Предназначено для студентов всех факультетов.

УДК 612.014.421 (075.8)

ББК 28.707.1 я 73

ISBN 978–985–462–678–9 © Оформление. Белорусский государственный

медицинский университет, 2007

1. Электрическое поле и его основные характеристики

Все тела в природе состоят из атомов, которые, в свою очередь, состоят из положительно заряженных ядер и отрицательно заряженных электронов. Именно электростатические силы притяжения удерживают атомы и молекулы в устойчивом состоянии. Электрические взаимодействия определяют физическое и химическое строение атомов и молекул, свойства твердых тел, газов, жидкостей и биологических структур. Знание законов взаимодействия электрических зарядов между собой и с внешними электрическими полями необходимо для понимания процессов формирования электрических полей органов и тканей, методов регистрации и механизмов воздействия внешних электрических полей на биологические объекты.

В природе известны два вида электрических зарядов, которые были условно названы положительными и отрицательными. В международной системе (СИ) единицей электрического заряда является 1 Кулон (Кл) - это заряд, который проходит за 1 секунду через поперечное сечение проводника при токе в 1 Ампер (А): 1 Кл = 1А·1 с. Наименьшим элементарным отрицательным зарядом обладает электрон, а таким же по величине, но положительным - протон. Величина элементарного заряда равна
е = 1,6·10 –19 Кл.

Одним из важнейших законов природы является закон сохранения электрического заряда : в замкнутой системе тел алгебраическая сумма электрических зарядов всегда остается постоянной при любых взаимодействиях этих тел между собой.

Опыт показывает, что заряды одного знака всегда отталкиваются, а разных - притягиваются. Сила взаимодействия между точечными зарядами q 1 и q 2 , расположенных на расстоянии r друг от друга, определяется законом Кулона :

где - постоянная электрического взаимодействия; а ε - относительная диэлектрическая проницаемость среды, в которой находятся заряды.

Способность электрических зарядов взаимодействовать на расстоянии объясняется тем, что каждый из них создает вокруг себя электрическое поле, которое оказывает силовое воздействие на любой внесенный в него другой заряд. Поэтому, чтобы определить наличие электрического поля в какой-либо точке среды, в нее помещают пробный заряд q 1 . Сила F действия поля на этот заряд будет пропорциональна величине внесенного заряда q 1 , где отношение не зависит от величины пробного заряда, а является силовой характеристикой электрического поля, которую называют напряженностью . Если напряженность поля известна, то сила, действующая на любой заряд q 1 , внесенный в это поле, равна

Как видно из (1.1), закон Кулона применим только для точечных зарядов и шаров, а формула (1.2) - для любых зарядов и полей. Из векторного равенства (1.2) следует, что сила, действующая на положительный заряд, имеет такое же направление, как и вектор напряженности поля, а сила, действующая на отрицательный заряд, - противоположное ему.

Электрические поля принято изображать силовыми линиями . Это направленные линии, касательные к которым совпадают с направлением вектора напряженности поля в этой точке. Силовые линии электростатического поля всегда направлены от положительных зарядов к отрицательным, т. е. начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Электрическое поле называют однородным , если его напряженность одинакова по величине и направлению во всех точках пространства: Такие поля изображаются параллельными равноотстоящими друг от друга силовыми линиями.

Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q 0 , находят, пользуясь законом Кулона, по следующей формуле:

. (1.3)

Эта формула справедлива и для поля, создаваемого заряженным шаром радиуса R в окружающем его пространстве, т. е. при r ≥ R . Такое поле неоднородно, так как различно по величине и по направлению в разных точках пространства. На рисунке 1 стрелками показаны силовые линии электрических полей, создаваемых положительным и отрицательным точечными зарядами, а концентрическими окружностями - линии равного потенциала.

Рис. 1 . Силовые и эквипотенциальные линии электрических полей точечных зарядов

Если электрическое поле создается не одним зарядом, а несколькими, то для определения напряженности результирующего поля следует применить принцип суперпозиции полей : напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых в этой точке среды каждым из зарядов :

Поскольку на заряд q , помещенный в электрическое поле, действует сила F = qE , то он может переместиться вдоль силовой линии на расстояние S и совершить работу А = FS = qES . Это означает, что любой заряд q , находящийся в электрическом поле, обладает потенциальной энергией
W пот = А , которая пропорциональна величине этого заряда q . Но отношение j уже не зависит от величины заряда, а является энергетической характеристикой поля , называемой его электрическим потенциалом φ . Единицей потенциала в СИ является 1 Вольт: . Совокупность всех точек поля, имеющих одинаковый электрический потенциал, образует эквипотенциальную поверхность , которая всегда перпендикулярна линиям напряженности поля.

Потенциал электрического поля, создаваемого точечным зарядом q 0 , определяется формулой:

В этом случае поверхностями равного потенциала являются сферы радиуса r , тогда как силовые линии, идущие из центра сферы по радиусам, перпендикулярны этим сферам (рис. 1).

Если электрическое поле создает не один заряд, а система зарядов, то потенциалэлектрического поля , создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в данной точке среды каждым из зарядов :

φ = φ 1 + φ 2 + φ 3 + … + φ n . (1.6)

Очевидно, что определение потенциала сложного поля значительно проще, чем вычисление его напряженности, требующей нахождения векторной суммы.

Если электрическое поле перемещает заряд q из одной точки поля в другую, то оно совершает работу А (Дж):

А = W пот1 – W пот2 = q (φ 1 – φ 2) = qU . (1.7)

Величина U = φ 1 – φ 2 называется разностью потенциалов или напряжением между двумя точками поля и тоже измеряется в вольтах.

Следует обратить внимание на очень важное свойство электрического поля: работа в электрическом поле не зависит от траектории перемещения заряда из т. 1 в т. 2, а определяется только разностью потенциалов между ними.

Из формулы (1.7) следует также, что при перемещении заряда по
эквипотенциальной поверхности работа не совершается, т. к. φ 1 = φ 2 и
А = U = 0.

В общем случае напряженность Е электрического поляравна градиенту потенциала с обратным знаком:

поэтому, зная распределение потенциала φ(r ) в пространстве,можно найти распределение напряженности поля Е (r ) и наоборот. Знак «– » указывает, что вектор напряженности направлен против градиента потенциала, т. е. в сторону наибыстрейшего уменьшения потенциала. Для однородного поля, силовые линии которого параллельны оси Ох , соотношение (1.8) принимает вид:

. (1.9)

Значения напряженности и потенциала электрического поля, создаваемого точечным или сферическим зарядом q 0 , определяются формулами (1.3) и (1.5).

Таким образом, электрически заряженная система тел всегда создает вокруг себя электрическое поле. Но оказывается, что электрически нейтральная система зарядов тоже может создавать вокруг себя электрическое поле. Простейшей такой системой является электрический диполь.

Электрический диполь и его поле

Электрический диполь представляет собой электрически нейтральную систему, состоящую из двух равных по величине, но противоположных по знаку точечных зарядов (+q ) и (–q ), расположенных на некотором расстоянии l друг от друга. Хотя такая система электрически нейтральна, она создает вокруг себя электрическое поле.

Рассчитаем потенциал этого поля в произвольной точке А, расположенной на расстояниях r 1 и r 2 от положительного и отрицательного зарядов диполя (рис. 2). Суммарный потенциал в т. А равен:

j А = j + + j – , (2.1)

где произведена замена r 1 · r 2 ≈ r 2 . Учитывая, что (r 2 – r 1) ≈ l cos δ, получим:

j А . (2.2)

Видно, что потенциал φ поля прямо пропорционален величине р = ql ,которая называется дипольным моментом и является важнейшей электрической характеристикой диполя. Дипольный момент - это вектор, направленный вдоль оси диполя от (–q ) к (+q ). Зная этот вектор, можно вычислить потенциал в любой точке поля, пользуясь формулой (2.2). Из (2.2) в частности следует, что в плоскости, проходящей через середину диполя перпендикулярно его оси (δ = 90 о), потенциал равен нулю, положителен со стороны положительного заряда и отрицателен со стороны отрицательного заряда. Примерное распределение эквипотенциальных поверхностей поля диполя приведено на рисунке 3.

Рис. 3. Линии равного потенциала электрического поля диполя

Таким образом, зная дипольный момент, можно вычислить потенциал поля диполя в любой точке пространства, пользуясь соотношением (2.2). Но на практике, в частности в электрографии, часто приходится решать обратную задачу: необходимо определить величину и направление электрического момента диполя, измеряя разность потенциалов (напряжение) между разными точками А и В создаваемого им поля.

Найдем связь дипольного момента и напряженияU АВ = φ А – φ В между двумя равноудаленными от центра диполя точками А и В (r A = r B = r ) (рис. 4).

Рис. 4. К определению связи между дипольным моментом и напряжениемU АВ

Расчет, который здесь не приводится, дает следующее выражение для вычисления напряжения между этими точками:

~ . (2.3)

Из (2.3) видно, что разность потенциалов между точками А и В прямо пропорциональна проекции вектора дипольного момента на линию АВ, соединяющую эти точки. Необходимо учитывать, что с удалением от диполя напряжение убывает как , т. е. обратно пропорционально квадрату расстояния от диполя. Поэтому, чтобы полностью определить величину и направление вектора , надо знать как минимум две его проекции на разные направления АВ и ВС, при этом точки регистрации потенциалов А, В и С должны быть равноудалены от центра диполя (r A = r B = r C), а отрезки АВ и ВС должны быть видны из центра диполя под одинаковыми углами β. В связи с этим наиболее удобным способом выбора точек регистрации потенциала являются вершины правильного многоугольника, в центре которого находится диполь . В простейшем случае это будут вершины равностороннего треугольника.

Отметим, что диполь - простейшая, но не единственная нейтральная система зарядов, создающая вокруг себя электрическое поле (рис. 5).

К простым электронейтральным системам относятся также квадруполь (2 положительных и 2 отрицательных равных по модулю заряда), октуполь (4 положительных и 4 отрицательных заряда) и др., которые называют одним словом мультиполи .

Рис. 5. Электрически нейтральные мультиполи:

а - диполь; в - квадруполь; с - октуполь

Потенциалы полей, создаваемых ими, быстро убывают с расстоянием. Так, если потенциал поля точечного заряда убывает с расстоянием как , то потенциал поля диполя - как , квадруполя - как , октуполя - как и т. д.

Электрическое поле создают не только указанные простейшие мультиполи, но и более сложные электрически нейтральные системы, в том числе биологические ткани и органы.

Из математической физики известно, что любое стационарное электрическое поле, сформированное электрически нейтральной системой зарядов, можно приближенно представить как сумму электрических полей, создаваемых диполем, квадруполем, октуполем и т. д. Наибольший вклад в это суммарное поле, как правило, вносит диполь , поэтому обычно ограничиваются рассмотрением только дипольной составляющей сложного поля, что во многих случаях оказывается полностью оправданным.

Электростатический диполь хорошо описывает электрическое поле в непроводящих средах, т. е. в диэлектриках, где нет свободных зарядов и поэтому нет и токов проводимости. Однако многие биоткани - кровь, лимфа, спинномозговая жидкость, мышцы, нервная ткань, и др. - являются хорошими проводниками , и в них под действием электрических полей возникают электрические токи.

В этих условиях электрическое поле, создаваемое биотканями, более правильно рассматривать не как поле электростатического диполя, а как поле, образованное токовым диполем . Такое представление в электрокардиографии впервые было развито еще Гельмгольцем, а затем подробно рассмотрено другими исследователями.

Токовый диполь представляет собой вектор, равный произведению полного тока на расстояние d между его истоком и стоком .