Если в контуре с индуктивностью L течёт ток I, то в момент размыкания цепи возникает индукционный ток и им совершается работа. Эта работа совершается за счёт энергии исчезнувшего при размыкании цепи магнитного поля. На основании закона сохранения и превращения энергию магнитного поля превращается главным образом в энергию электрического поля, за счёт которой происходит нагревание проводников. Работа может быть определена из соотношения

Так как , то

Уменьшение энергии магнитного поля равно работе тока, поэтому

(16.18)

Формула справедлива для любого контура и показывает, что энергия магнитного поля зависит от индуктивности контура и силы тока, протекающего по нему.

Рассчитаем энергию однородного магнитного поля длинного соленоида, индуктивность которого определяется по формуле L = μμ 0 n 2 V. B этом случае формула энергии примет вид

Учитывая, что напряжённость поля внутри бесконечно длинного соленоида Н=In, получаем

(16.19)

Выразим энергию через индукцию магнитного поля B= μμ 0 H:

(16.20)

(16.21)

Вследствие того, что магнитное поле соленоида однородно и локализовано внутри соленоида, энергия распределена по объёму соленоида с постоянной плотностью

(16.22)

Учитывая последние три формулы, получаем

Учитывая правило Ленца, можно заметить, что явление самоиндукции аналогично проявлению инертности тел в механике. Так, вследствие инертности тело не мгновенно приобретает определённую скорость, а постепенно. Так же постепенно происходит и его торможение. То же самое, как мы видели, происходит и с силой тока при самоиндукции. Эту аналогию можно провести и дальше.

и

эти уравнения эквивалентны.

т.е. m ~L , υ~I

Эквивалентны и формулы

Примеры решения задач

Пример . В магнитном поле, изменяющемся по закону B=B 0 cosωt (B 0 =5мТл,

ω=5с -1), помещён круговой проволочный виток радиусом r=30см, причём нормаль к витку образует с направлением поля угол α=30º. Определите ЭДС индукции, возникающую в витке в момент времени t=10с.

Дано : B=B 0 cosωt; B 0 =5мТл=5∙10 -3 Тл; ω=5с -1 ; r=30см=0,3 м; α=30º; t=10 с.

Найти: ε i .

Решение: Согласно закону Фарадея,

, (1)

Где магнитный поток, сцепленный с витком при произвольном его расположении относительно магнитного поля.

По условию задачи B=B 0 cosωt, а площадь кольца S=πr 2 , поэтому

Ф=πr 2 B 0 cosωt∙cosα. (2)

Подставив выражение (2) в формулу (1) и продифференцировав, получаем искомую ЭДС индукции в заданный момент времени:

Ответ: ε i =4,69 мВ.

Пример В соленоиде длиной ℓ=50см и диаметром d=6см сила тока равномерно увеличивается на 0,3А за одну секунду. Определите число витков соленоида, если сила индукционного тока в кольце радиусом 3,1 см из медной проволоки (ρ=17нОм∙м), надетом на катушку, I к =0,3 А.

Дано: ℓ=50см=0,5 м; d=6см=0,06м;
;r к =3,1см=3.1∙10 -2 м; ρ=17нОм∙м=17∙10 -9 Ом∙м; I к =0,3 А.

Найти : N.

Решение . При изменении силы тока в соленоиде возникает ЭДС самоиндукции

(1)

где
- индуктивность соленоида. Подставив это выражение в (1)

с учётом

.

ЭДС индукции, возникающая в одном кольце, в N раз меньше, чем найденное значение ЭДС самоиндукции в соленоиде, состоящем из N витков, т.е.

. (2)

Согласно закону Ома, сила индукционного тока в кольце

, (3)

где
- сопротивление кольца. Поскольку ℓ к =πd, а S к =πr к 2 , выражение (3) примет вид

Подставив в эту формулу выражение (2), найдём искомое число витков соленоид

.

Ответ : N=150

Пример В однородном магнитном поле подвижная сторона (её длина ℓ=20см) прямоугольной рамки (см. рисунок) перемещается перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью υ=5 м/с. Определите индукцию В магнитного поля, если возникающая в рамке ЭДС индукции ε i =0,2 В.

Дано: ℓ=20см=0,2 м; υ=5 м/с; ε i =0,2 В.

Найти : B.

Р
ешение . При движении в магнитном поле подвижной стороны рамки поток Ф вектора магнитной индукции сквозь рамку возрастает, что, согласно закону Фарадея,

, (1)

приводит к возникновению ЭДС индукции.

Поток вектора магнитной индукции, сцепленный с рамкой,

Подставив выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что B и ℓ - величины постоянные, получаем

откуда искомая индукция магнитного поля

Ответ : В=0,2 Тл.

Пример В однородном магнитном поле с индукцией В=0,2 Тл равномерно вращается катушка, содержащая N=600 витков, с частотой n=6 с -1 . Площадь S поперечного сечения катушка 100см 2 . Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Определите максимальную ЭДС индукции вращающейся катушки.

Дано: В=0,2 Тл; N=600; n=6 с -1 ; S=100см 2 =10 -2 м 2 .

Найти : (ε i) max .

Решение . Согласно закону Фарадея,

где Ф – полный магнитный поток, сцеплённый со всеми витками катушки. При произвольном расположении катушки относительно магнитного поля

Ф=NBScosωt, (1)

где круговая частота ω=2πn. Подставив ω в (1), получим

ε i =-NBS2πn(-sin2πnt)=2πnNBSsin2πnt,

ε i =(ε i) max при sin2πnt=1, поэтому

(ε i) max =2πnNBS

Ответ : (ε i) max =45,2 В.

Пример Однослойная длинная катушка содержит N=300 витков, плотно прилегающих друг к другу. Определите индуктивность катушки, если диаметр проволоки d=0,7 мм (изоляция ничтожной толщины) и она намотана на картонный цилиндр радиусом r=1 см. .

Дано: N=300; d=0,7 мм=7∙10 -4 м; r=1 см=10 -2 м.

Найти : L.

Решение . Индуктивность катушки

(1)

где Ф – полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками катушки; I - сила тока в катушке.

Учитывая, что полный магнитный поток

(N-число витков катушки; В – магнитная индукция; S – площадь поперечного сечения катушки); магнитная индукция в катушке без сердечника

(μ 0 – магнитная постоянная; ℓ- длина катушки), длина катушки

(d-диаметр проволоки; витки вплотную прилегают друг к другу), площадь поперечного сечения катушки

Получим осле подстановки записанных выражений в формулу (1) искомую индуктивность катушки:

Ответ: L=1,69 мГн.

Пример Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффициентом трансформации k=0,1 включена в сеть с источником переменного напряжения с ЭДС ε 1 =220 В. Пренебрегая потерями энергии в первичной обмотке, определите напряжение U 2 на зажимах вторичной обмотки, если её сопротивление R 2 =5 Ом и сила тока в ней I 2 =2А.

Дано: k=0,1; ε 1 =220 В; R 2 =5 Ом; I 2 =2А.

Найти : U 2 .

Решение . В первичной обмотке под действием переменной ЭДС ε 1 возникает переменный ток I 1 , создающий в сердечнике трансформатора переменногый магнитный поток Ф, который пронизывает вторичную обмотку. Согласно закону Ома, для первичной обмотки

где R 1 – сопротивление первичной обмотки. Падение напряжения I 1 R 1 при быстропеременных полях мало по сравнению с ε 1 и ε 2 . Тогда можем записать:

(1)

ЭДС взаимной индукции, возникающая во вторичной обмотке,

(2)

Из выражений (1) и (2) получаем

,

где
- коэффициент трансформации, а знак «-» показывает, что ЭДС в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе. Следовательно, ЭДС во вторичной обмотке

Напряжение на зажимах вторичной обмотки

U 2 = ε 2 -I 2 R 2 = kε 1 -I 2 R 2 .

Ответ : U 2 =12 В.

Пример Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из проволоки диаметром d=0,4 мм имеет длину ℓ=0.5 м и поперечное сечение S=60см 2 . За какое время при напряжении U=10 В и силе тока I=1,5 А в обмотке выделится количество теплоты, равное энергии поля внутри соленоида? Поле считать однородным.

Дано: d=0,4 мм=0,4∙10 -4 м; ℓ=0,5 м; S=60см 2 =6∙10 -3 м 2 ; I=1,5А; U=10В; Q=W.

Найти : t.

Решение . При прохождении тока I при напряжении U в обмотке за время t выделяется теплота

Энергия поля внутри соленоида

(2)

где
(N – общее число витков соленоида). Если витки вплотную прилегают друг к другу, то ℓ=Nd, откуда
. Подставив выражение для В иN в (2), получаем

. (3)

Согласно условию задачи, Q=W. Приравняв выражение (1) и (3),найдём искомое время:

Ответ: t =1,77 мс.

Пример Катушка без сердечника длиной ℓ=50 см содержит N=200 витков. По катушке течёт ток I=1А. Определите объёмную плотность энергии магнитного поля внутри катушки..

Дано : ℓ=50 см=0,5 м; N=200; I=1 А.

Найти : ω.

Решение . Объёмная плотность энергии магнитного поля (энергия единицы объёма)

, (1)

где
- энергия магнитного поля (L - индуктивность катушки); V=Sℓ- объём катушки (S - площадь катушки; ℓ- длина катушки).

Магнитная индукция поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью μ равна

.

Полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида,

.

Учитывая, что Ф=LI, получаем формулу для индуктивности соленоида:

(2)

Подставив выражение (2) в формулу (1) с учётом того, что
, найдём искомую объёмную плотность энергии магнитного поля внутри катушки:

И на тела, обладающие магнитным моментом, независимо от состояния их движения, магнитная составляющая электромагнитного поля .

Магнитное поле может создаваться током заряженных частиц и/или магнитными моментами электронов в атомах (и магнитными моментами других частиц, хотя в заметно меньшей степени) (постоянные магниты).

Энергия магнитного поля , создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностью L, равна где I — сила тока в контуре.

Энергия магнитного поля катушки с индуктивностью L, создаваемого током I, равна

Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.

Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток I . С данным контуром сцеплен магнитный поток (см. (126.1)) Ф = LI, причем при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ = L dI . Однако для изменения магнитного потока на величину dФ (см. § 121) необходимо совершить работу dА = I dФ = LI dI. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна

Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром,

Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия магнитного поля локализована в пространстве. Это соответствует представлениям теории поля.

Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризу-ющих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный слу-чай — однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (130.1) выражение (126.2), получим

Так как I = Bl/ (m 0 mN ) (см. (119.2)) и В = m 0 mH (см. (109.3)), то

(130.2)

где Sl = V — объем соленоида.

Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия (см. (130.2)) заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью

(130.3)

Выражение (130.3) для объемной плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный формуле (95.8) для объемной плотности энергии электростатического поля, с той разницей, что электрические величины заменены в нем магнитными. Формула (130.3) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднород-ных полей. Выражение (130.3) справедливо только для сред, для которых зависимость В от Н линейная, т.е. оно относится только к

1. Полученное нами выражение энергии магнитного взаимодействия токов в отсутствие ферромагнетиков

по своей форме соответствует представлению о магнитном взаимодействии токов на расстоянии. В этом отношении оно вполне аналогично выражению энергии покоящихся электрических зарядов (15.5):

Действительно, входящий в уравнение (79.6) член

может быть истолкован как энергия магнитного взаимодействия токов и а член

как «собственная» энергия тока т. е. как энергия взаимодействия бесконечно тонких нитей тока, на которые может быть

так что представляет собой некое среднее расстояние между контурами токов и

2 Нетрудно, однако, выразить магнитную энергию токов в форме интеграла по всему объему поля этих токов и тем самым, как и в случае электрического поля (§ 16), получить возможность интерпретировать энергию в духе теории близкодействия как энергию поля, а не как энергию взаимодействия токов.

С этой целью мы воспользуемся формулами (79.7) и (65.9):

Выражая согласно уравнению (62.7), через получим

Но, согласно общей формуле векторного анализа (44,

причем, согласно уравнению (62.10), rot А можно заменить через В:

Внося это выражение под знак интеграла и применив теорему Гаусса [уравнение (17], получим

Если мы распространим интегрирование на весь объем полного поля токов, то интеграл по пограничной поверхности этого поля обратится в нуль, и выражение для примет вид

При этом под полным магнитным полем токов в соответствии с определением полного поля электрических зарядов (см § 16) понимается область пространства V, охватывающая все взаимодействующие токи и все поле этих токов. Если, как это обычно

бывает, поле токов простирается в бесконечность, то под полным полем можно и нужно понимать все бесконечное пространство при непременном условии (см. § 16), что подынтегральные выражения в интересующих нас интегралах по пограничной поверхности поля (в данном случае убывают при удалении этой поверхности в бесконечность быстрее, чем

Если все токи расположены в конечной области пространства, то это условие выполнено, ибо при удалении в бесконечность произведение убывает не медленнее, чем (см. § 46, с. 217).

3. С точки зрения теории поля, формула (81.3) может быть истолкована следующим образом: магнитная энергия локализована в поле и распределена по его объему со вполне определенной плотностью , равной

В квазистационарных магнитных полях оба приведенных понимания магнитной энергии (как энергии взаимодействия токов и как энергии поля), разумеется, совершенно равноправны, ибо вытекают они из математически эквивалентных друг другу выражений (79.6) и (81.3) (ср. § 16). Однако при переходе к быстропеременным электромагнитным полям эквивалентность этих выражений нарушается, и мы убедимся в следующей главе, что лишь представление о локализации магнитной энергии в поле может быть согласовано с данными опыта.

4. Заметим, что наша исходная формула (79.7), как неоднократно упоминалось, справедлива лишь при условии отсутствия в поле ферромагнетиков. Этим ограничивается, таким образом, и область приложимости всех формул этого параграфа.

Так как в отсутствие ферромагнетиков

то формулы (81.3) и (81.4) могут быть записаны также следующим образом:

Таким образом, при заданной напряженности поля энергия единицы его объема пропорциональна магнитной проницаемости среды. В случае поля в вакууме

5. Рассмотрим энергию магнитного поля двух токов находящихся в произвольной диа- и парамагнитной среде.

Если суть напряженности поля, создаваемого каждым из этих токов в отдельности, то

и общая энергия поля токов будет равна

Очевидно, что первый и последний члены правой части этого равенства (обозначим их через могут быть названы собственной энергией каждого из токов а второй член - взаимной энергией этих токов

Данные в § 65 выражения коэффициентов взаимной индукции и самоиндукции (65.7), как указывалось, применимы лишь в однородной магнитной среде Сравнивая же выражение (81.7) с выражением энергии (79.5):

получаем для более общего случая произвольной (но не ферромагнитной) среды:

Так как при заданной конфигурации проводников пропорциональны соответственно то определяемые формулой (81.8) значения индукционных коэффициентов зависят лишь от геометрической конфигурации проводников и от магнитной проницаемости среды, но не от силы токов в проводниках. При значения эти должны совпадать со значениями коэффициентов индукции, определяемых формулой (65.7).

Уравнения (81.8) представляют собой наиболее общее, годное при определение коэффициентов индукции. Из этого определения явствует, что коэффициенты индукции являются, в сущности, мерой энергии магнитного поля токов (при заданной силе этих токов). С этим наиболее существенным значением коэффициентов индукции, как легко убедиться, неразрывно связана как роль этих коэффициентов в определении пондеромоторных сил, испытываемых токами в магнитном поле (§ 51 и 65), так и роль их в определении электродвижущих сил индукции (§ 78).

Приведем теперь два примера вычисления коэффициента самоиндукции, при решении которых удобнее всего исходить непосредственно из энергетического определения (81.8) этого коэффициента.

Пример 1. Самоиндукция кругового тока. Цилиндрический провод радиуса согнут так, что он образует окружность радиуса По нему протекает ток Объем проводника обозначим через объем окружающего его пространства через V, а энергию поля тока в V и в соответственно через :

Если провести опирающуюся на контур провода условную перегородку (рис. 71, на котором изображено сечение провода меридиональной плоскостью), то поле тока вне проводника можно будет считать обладающим потенциалом причем потенциал этот будет испытывать на перегородке скачок [см. уравнение (54.4), остающееся, очевидно, справедливым и в произвольной магнитной среде]. Энергия внешнего поля тока выразится при этом формулой

Ввиду того, что получаем на основании уравнения (43):

следовательно, на основании теоремы Гаусса получаем

причем поверхностный интеграл должен быть распространен, во-первых, по границе объема V, образуемой поверхностью проводника (интеграл по внешней поверхности полного поля равен нулю), и, во-вторых, по обеим сторонам поверхности разрыва потенциала. Последний из этих поверхностных интегралов, очевидно, равен

где есть слагающая В по направлению положительной нормали к (см. рис. 71).

Таким образом,

Предположим теперь для определенности, что пространство вне провода заполнено однородным магнетиком проницаемости тогда как проницаемость проводника равна Предположим, далее, что радиус провода о

весьма мал по сравнению с радиусом образуемой им окружности и рассмотрим участок провода длины I, удовлетворяющий условию Ввиду того, что участок этот можно считать прямолинейным. Так как, кроме того, , то поле внутри провода и в непосредственной близости от его поверхности будет лишь весьма незначительно отличаться от поля бесконечно длинного прямолинейного тока и с достаточной точностью будет определяться формулами,

где есть расстояние рассматриваемой точки поля от оси провода. Таким образом, вне провода на достаточно близком расстоянии от его поверхности поле рассматриваемого нами тока совпадает с полем линейного тока той же силы, сосредоточенного на оси провода. С другой стороны, поле тока должно совпадать с полем линейного тока и на больших расстояниях от поверхности провода на которых распределение тока по сечению провода сказываться не может. Так как любая точка внешнего пространства V удовлетворяет хотя бы одному из этих условий (ввиду того, что либо либо то при определении поля во всем пространстве V мы можем считать ток сосредоточенным на оси провода. Стало быть, входящий в выражение для интеграл должен равняться потоку индукции посылаемому этим линейным круговым током радиуса через концентрическую окружность радиуса образованную пересечением внутренней стороны поверхности провода с плоскостью Следовательно, если обозначить через коэффициент взаимной индукции двух концентрических окружностей радиусов то, согласно уравнению (65.6),

Так как при указанных условиях индукция (и напряженность) магнитного поля у поверхности провода касательна к этой поверхности, то первый член в выражении для равен нулю и, стало быть,

Обращаясь к выражению для и внося в него приведенное выше значение напряженности получим

Итак, общая энергия поля тока равна

откуда на основании (81.8) следует:

Величина является мерой энергии запасенной внутри провода, и может быть названа его «внутренней» самоиндукцией, а величина являющаяся мерой энергии может быть названа «внешней» самоиндукцией провода Обозначая внешнюю и внутреннюю самоиндукции через можем написать На обоих концах проводника внутренний и внешний его цилиндры соединены между собой, так что совокупность обоих цилиндров составляет замкнутую проводящую цепь, по которой циркулирует ток При этом направление тока во внешнем цилиндре, разумеется, обратно направлению его во внутреннем цилиндре. Подобную цепь тока мы будем условно называть здесь и в § 106 и 107 кабелем, хотя термин этот имеет, конечно, более широкое значение.

Если длина кабеля достаточно велика по сравнению с его радиусом, то вблизи средней его части поле протекающего по кабелю тока будет такое же, как и в случае кабеля бесконечной длины. Понятие самоиндукции бесконечного кабеля, разумеется, смысла не имеет, ибо при увеличении длины кабеля общая энергия его поля, а стало быть, и самоиндукция кабеля растут до бесконечности. Целесообразно, однако, ввести в рассмотрение самоиндукцию единицы длины бесконечного кабеля, понимая под этим меру той доли энергии его поля, которая заключается между двумя перпендикулярными кабелю плоскостями, находящимися на единичном расстоянии друг от друга. Если мы условимся отмечать звездочкой все величины, относящиеся к единице длины кабеля, то по аналогии с уравнением (81.8) можно написать

Наконец, вне цилиндра также равно нулю (ибо по внутренней и по внешней обкладкам кабеля протекают токи равной величины и противоположного направления). Следовательно, энергия приходящаяся на единицу длины кабеля, сосредоточена в пространстве между его обкладками, т. е. в полом цилиндре длины 1, внутренний и внешний радиусы которого равны Итак,

где означает проницаемость среды, заключенной между обкладками кабеля. Сравнивая это с предыдущим уравнением, получим окончательно:

Катушка индуктивности является пассивным компонентом электронных схем, основное предназначение которой является сохранение энергии в виде магнитного поля. Свойство катушки индуктивности чем-то схоже с конденсатором, который хранит энергию в виде электрического поля.

Индуктивность (измеряется в Генри) — это эффект возникновения магнитного поля вокруг проводника с током. Ток, протекающий через катушку индуктивности, создает магнитное поле, которое имеет связь с электродвижущей силой (ЭДС) оказывающее противодействие приложенному напряжению.

Возникающая противодействующая сила (ЭДС) противостоит изменению переменного напряжения и силе тока в катушке индуктивности. Это свойство индуктивной катушки называется индуктивным сопротивлением. Следует отметить, что индуктивное сопротивление находится в противофазе к емкостному реактивному сопротивлению конденсатора в цепи переменного тока. Путем увеличения числа витков можно повысить индуктивность самой катушки.

Накопленная энергия в индуктивности

Как известно магнитное поле обладает энергией. Аналогично тому, как в полностью заряженном конденсаторе существует запас электрической энергии, в индуктивной катушке, по обмотке которой течет ток, тоже существует запас — только уже магнитной энергии.

Энергия, запасенная в катушке индуктивности равна затраченной энергии необходимой для обеспечения протекания тока I в противодействии ЭДС. Величина запасенной энергии в индуктивности можно рассчитать по следующей формуле:

где L — индуктивность, I — ток, протекающий через катушку индуктивности.

Гидравлическая модель

Работу катушки индуктивности можно сравнить с работой гидротурбины в потоке воды. Поток воды, направленный сквозь еще не раскрученную турбину, будет ощущать сопротивление до того момента, пока турбина полностью не раскрутится.

Далее турбина, имеющая определенную степень инерции, вращаясь в равномерном потоке, практически не оказывая влияния на скорость течения воды. В случае же если данный поток резко остановить, то турбина по инерции все еще будет вращаться, создавая движение воды. И чем выше инерция данной турбины, тем больше она будет оказывать сопротивление изменению потока.

Также и индуктивная катушка сопротивляется изменению электрического тока протекающего через неё.

Индуктивность в электрических цепях

В то время как конденсатор оказывает сопротивление изменению переменного напряжения, индуктивность же сопротивляется переменному тока. Идеальная индуктивность не будет оказывать сопротивление постоянному току, однако, в реальности все индуктивные катушки сами по себе обладают определенным сопротивлением.

В целом, отношение между изменяющимися во времени напряжением V(t) проходящим через катушку с индуктивностью L и изменяющимся во времени током I(t), проходящим через нее можно представить в виде дифференциального уравнения следующего вида:

Когда переменный синусоидальной ток (АС) протекает через катушку индуктивности, возникает синусоидальное переменное напряжение (ЭДС). Амплитуда ЭДС зависит от амплитуды тока и частоте синусоиды, которую можно выразить следующим уравнением:

где ω является угловой частотой резонансной частоты F:

Причем, фаза тока отстает от напряжения на 90 градусов. В конденсаторе же все наоборот, там ток опережает напряжение на 90 градусов. Когда индуктивная катушка соединена с конденсатором (последовательно либо параллельно), то образуется LC цепь, работающая на определенной резонансной частоте.

Индуктивное сопротивление ХL определяется по формуле:

где ХL — индуктивное сопротивление, ω — угловая частота, F — частота в герцах, и L индуктивность в генри.

Индуктивное сопротивление — это положительная составляющая импеданса. Оно измеряется в омах. Импеданс катушки индуктивности (индуктивное сопротивление) вычисляется по формуле:

Схемы соединения катушек индуктивностей

Параллельное соединение индуктивностей

Напряжение на каждой из катушек индуктивностей, соединенных параллельно, одинаково. Эквивалентную (общую) индуктивность параллельно соединенных катушек можно определить по формуле:

Последовательное соединение индуктивностей

Ток, протекающий через катушки индуктивности соединенных последовательно, одинаков, но напряжение на каждой катушке индуктивности отличается. Сумма разностей потенциалов (напряжений) равна общему напряжению. Общая индуктивность последовательно соединенных катушек можно высчитать по формуле:

Эти уравнения справедливы при условии, что магнитное поле каждой из катушек не оказывает влияние на соседние катушки.

На практике катушка индуктивности имеет последовательное сопротивление, созданное медной обмоткой самой катушки. Это последовательное сопротивление преобразует протекающий через катушку электрический ток в тепло, что приводит к потере качества индукции, то есть добротности. Добротность является отношением индуктивности к сопротивлению.

Добротность катушки индуктивности может быть найдена через следующую формулу:

где R является собственным сопротивлением обмотки.

Катушка индуктивности. Формула индуктивности

• L = индуктивность в генри
• μ 0 = проницаемость свободного пространства = 4π × 10 -7 Гн / м
• μ г = относительная проницаемость материала сердечника
• N = число витков
• A = Площадь поперечного сечения катушки в квадратных метрах (м 2)
• l = длина катушки в метрах (м)

• L = индуктивность в нГн
• l = длина проводника
• d = диаметр проводника в тех же единицах, что и l

• L = индуктивность в мкГн
• r = внешний радиус катушки
• l = длина катушки
• N = число витков

• L = индуктивность в мкГн
• r = средний радиус катушки
• l = длина катушки
• N = число витков
• d = глубина катушки

• L = индуктивность в мкГн
• r = средний радиус катушки
• N = число витков
• d = глубина катушки

Конструкция катушки индуктивности

Катушка индуктивности представляет собой обмотку из проводящего материала, как правило, медной проволоки, намотанной вокруг либо железосодержащего сердечника, либо вообще без сердечника.

Применение в качестве сердечника материалов с высокой магнитной проницаемостью, более высокой чем воздух, способствует удержанию магнитного поля вблизи катушки, тем самым увеличивая ее индуктивность. Индуктивные катушки бывают разных форм и размеров.

Большинство изготавливаются путем намотки эмалированного медного провода поверх ферритового сердечника.

Некоторые индуктивные катушки имеют регулируемый сердечник, при помощи которого обеспечивается изменение индуктивности.

Миниатюрные катушки могут быть вытравлены непосредственно на печатной плате в виде спирали. Индуктивности с малым значением могут быть расположены в микросхемах с использованием тех же технологических процессов, которые используются при создании транзисторов.

Применение катушек индуктивности

Индуктивности широко используются в аналоговых схемах и схемах обработки сигналов. Они в сочетании с конденсаторами и другими радиокомпонентами образуют специальные схемы, которые могут усилить или отфильтровать сигналы определенной частоты.

Катушки индуктивности получили широкое применение начиная от больших катушек индуктивности, таких как дроссели в источниках питания, которые в сочетании с конденсаторами фильтра устраняют остаточные помехи и другие колебания на выходе источника питания, и до столь малых индуктивностей, которые располагаются внутри интегральных микросхем.

Две (или более) катушки индуктивности, которые соединены единым магнитным потоком, образуют , являющимся основным компонентом схем работающих с электрической сетью электроснабжения. Эффективность трансформатора возрастает с увеличением частоты напряжения.

По этой причине, в самолетах используется переменное напряжение с частотой 400 герц вместо обычных 50 или 60 герц, что в свою очередь позволяет значительно сэкономить на массе используемых трансформаторов в электроснабжении самолета.

Так же индуктивности используются в качестве устройства для хранения энергии в импульсных стабилизаторах напряжения, в высоковольтных электрических системах передачи электроэнергии для преднамеренного снижения системного напряжения или ограничения ток короткого замыкания.

Катушка индуктивности – электронный компонент, представляющий собой винтовую либо спиральную конструкцию, выполненную с применением изолированного проводника. Основным свойством катушки индуктивности, как понятно из названия – индуктивность. Индуктивность – это свойство преобразовать энергию электрического тока в энергию магнитного поля. Величина индуктивности для цилиндрической или кольцевой катушки равна

Где ψ - потокосцепление, µ0 = 4π*10-7 – магнитная постоянная, N – количество витков, S – площадь поперечного сечения катушки.

Также катушке индуктивности присущи такие свойства как небольшая ёмкость и малое активное сопротивление, а идеальная катушка и вовсе их лишена. Применение данного электронного компонента отмечается практически повсеместно в электротехнических устройствах. Цели применения различны:

Подавление помех в электрической цепи;
- сглаживание уровня пульсаций;
- накопление энергетического потенциала;
- ограничение токов переменной частоты;
- построение резонансных колебательных контуров;
- фильтрация частот в цепях прохождения электрического сигнала;
- формирование области магнитного поля;
- построение линий задержек, датчиков и т.д.

Энергия магнитного поля катушки индуктивности

Электрический ток способствует накоплению энергии в магнитном поле катушки. Если отключить подачу электричества, накопленная энергия будет возвращена в электрическую цепь. Значение напряжения при этом в цепи катушки возрастает многократно. Величина запасаемой энергии в магнитном поле равна примерно тому значению работы, которое необходимо получить, чтобы обеспечить появление необходимой силы тока в цепи. Значение энергии, запасаемой катушкой индуктивности можно рассчитать с помощью формулы.

Реактивное сопротивление

При протекании переменного тока , катушка обладает кроме активного, еще и реактивным сопротивлением, которое находится по формуле

По формуле видно, что в отличие от конденсатора , у катушки с увеличением частоты, реактивное сопротивление растет, это свойство применяется в фильтрах частот.

При построении векторных диаграмм важно помнить, что в катушке, напряжения опережает ток на 90 градусов.

Добротность катушки

Еще одним важным свойством катушки является добротность. Добротность показывает отношение реактивного сопротивления катушки к активному.

Чем выше добротность катушки, тем она ближе к идеальной, то есть она обладает только главным своим свойством – индуктивностью.

Конструкции катушек индуктивности

Конструктивно катушки индуктивности могут быть представлены в разном исполнении. Например, в исполнении однослойной или многослойной намотки проводника. При этом намотка провода может выполняться на диэлектрических каркасах разных форм: круглых, квадратных, прямоугольных. Нередко практикуется изготовление бескаркасных катушек. Широко применяется методика изготовления катушек тороидального типа.

Индуктивность катушки можно изменять, добавляя в конструкцию катушки ферромагнитный сердечник. Внедрение сердечников отражается на подавлении помех. Поэтому практически все дроссели, предназначенные для подавления высокочастотных помех, как правило, имеют ферродиэлектрические сердечники, изготовленные на основе феррита, флюкстрола, ферроксона, карбонильного железа. Низкочастотные помехи хорошо сглаживаются катушками на пермалоевых сердечниках или на сердечниках из электротехнической стали.