О локализации энергии: в самом поле носителем энергии является само поле. Убедимся в этом на примере плоского конденсатора, пренебрегая краевым эффектом. Подстановка в формулу W = CU 2 /2 выражения С = εε 0 S/h дает W=CU 2 /2=εε 0 SU 2 /2h=½εε 0 (U/h) 2 Sh. Апоскольку U/h = E и Sh = V (объем между обкладками кон­денсатора), то W=(εε 0 E 2 /2)V=(ED/2)V(4.8).

Полученная формула справедлива для однородного поля, за­полняющего объем V. В случае неоднородного поля энергия Wдля изотропныхдиэлектриков определяется формулой

Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в объеме dV. Из последних двух формул следует, что электрическая энергия распределена в пространстве с объемной плотностью w =εε 0 E 2 /2=ED/2(4.10). Эта формула справедлива только в случае изотропногодиэлектрика, для которого выполняется соотно­шение D = εε 0 е.

Работа поля при поляризации диэлектрика .При одном и том же значении Е величина w при наличии диэлектрика оказывается в ε раз больше, чем при отсутствии диэлектрика. Под энергией поля в диэлектрике следует понимать всю энергию, которую нужно затратить на возбуждение электрического поля, а она складывается из собственной электрической энергии и той дополнительной работы, которая совершается при поляризации диэлектрика. Чтобы в этом убедиться, подставим в (4.10) вместо D величи­ну ε 0 Е + Р, тогда w =ε 0 E 2 /2+EP/2 (4.11). Первое слагаемое здесь совпадает с плотностью энергии поля E в вакууме. Подсчитаем работу, которую совершает электрическое поле на поляризацию единицы объема диэлектрика, т. е. на смещение зарядов р" + и р"_ соответственно по и против поля - при возрастании напряженности от Е до Е + dE. Пренебрегая членами второго порядка малости: д А=ρ’ + Edl + +ρ’ – Edl_ ,где dl + и dl_ - дополнительные смещения при увеличении поля наdE. Учитывая, что

р"_=–р" + , получаем д А=ρ’ + (dl + –dl_)E=ρ’ + dl E, где dl=dl + -dl_- дополнительное смещение положительных за­рядов относительно отрицательных. p" + dl = EdP, и δA = EdP. (4.12). Так как Р = χε 0 Е, то

Отсюда вся работа на поляризацию единицы объема диэлек­трика A=EP/2 (4.13), что совпадает со вторым слагаемым формулы (4.11).Т. о., объемная плотность энергии w= ED/2 вклю­чает в себя собственную энергию поля ε 0 E 2 /2 и энергию ЕР/2, связанную с поляризацией вещества.

Система двух заряженных тел. Представим систему из двух заряженных тел в вакууме. Пусть одно тело создает в окружающем пространстве поле e 1; a другое - поле Е 2 . Результирующее поле Е = Е 1 + Е 2 и квадрат этой величины Е 2 = Е 2 1 + Е 2 2 +2E 1 E 2 . Поэтому полная энергия Wданной системы согласно (4.9) равна сумме трех интегралов:

(4.14). Первые два интеграла в (4.14) пред­ставляют собой собственную энергию первого и второго заряженных тел (W 1 и W 2), последний интеграл - энергию их взаимодействия (W 12)-

Силы при наличии диэлектрика. Электрострикция. На диэлектрик в электрическом поле действуют пондермоторные силы. Эти силы возникают и в тех случаях, когда диэлектрик в целом не заряжен. Причиной их возникновения является действие неоднородного электрического поля на дипольные молекулы поляризованного диэлектрика (как известно, на диполи в неоднородном электрическом поле действует сила, направленная в сторону возрастания данного поля). Причем эти силы обусловлены неоднородностью не только макрополя, но и микрополя, создаваемого в основном ближайшими молекулами поляризованного диэлектрика. Под действием указанных электрических сил поляризованный диэлектрик деформируется. Это явление называют электрострикацией

Силы в жидком диэлектрике . Сила взаимодействия обкладок плоского конденсатора в жидком диэлектрике в е раз меньше, чем в вакууме (где ε = 1). Этот результат можно обобщить: при заполнении всего пространства, где есть элект­рическое поле, жидким или газообразным диэлектриком силы взаимодействия между заряженными проводниками (при неиз­менных зарядах на них) уменьшаются в е раз: F = F 0 /ε . (4.17)=>два точечных заряда q 1 и q 2 , находящи­еся на расстоянии г друг от друга внутри безграничного жидко­го или газообразного диэлектрика, взаимодействуют с силой F=|q 1 q 2 |/4πεε 0 r 2 (4.18), т. е. тоже в ε раз меньшей, чем в вакууме. Эта формула выра­жает закон Кулона для точечных зарядов в безграничном диэ­лектрике.В однородном жидком или газообразном диэлектрике, заполняющем все пространство, где есть поле, как напряженность Е, так и сила F, действующая на точечный заряд q, в ε раз меньше Е 0 и F 0 при отсутствии диэлектрика. А это значит, что сила F, действующая на точечный заряд q, определяется в этом случае такой же формулой, как и в вакууме: F = qE, (4.19), где E - напряженность поля в диэлектрике в том месте, куда помешают сторонний заряд q. Только в этом случае по силе F формула (4.19) позволяет определить поле Е в диэлектрике. Следует обратить внимание, что на сам сторонний заряд - он сосредоточен на каком-то небольшом теле - будет действовать другое поле - не то, что в самом диэлектрике.

Постоянный электрический ток. Плотность тока. Уравнение непрерывности. Закон Ома для однородного проводника. Избыточный заряд внутри однородного проводника с током. Электрическое поле проводника с током.

Носителями тока в проводящей среде могут быть электроны, ионы, или другие части­цы. При отсутствии электрического поля носители тока совершают хаотическое движение, и через любую по­верхность S проходит в обе стороны в среднем одинаковое чис­ло носителей того и другого знака, так что ток через поверхность S равен нулю. При включении же электрического поля на хаотическое движение носителей накладывается упо­рядоченное движение с некоторой средней скоростью u и через поверхность S появится ток. Т. о., электрический ток - это упорядоченный перенос электрических зарядов. Количественной мерой электрического тока служит сила тока I, т. е. заряд, переносимый сквозь рассматриваемую по­верхность S в единицу времени: I = dq/dt[A]. Ток может быть распределен по поверхности, через которую он протекает, неравномерно. Поэтому для более детальной характеристики тока вводят век­тор плотности тока j. Модуль этого вектора численно равен от­ношению силы тока dI через элементарную площадку, расположенную в данной точке перпендикулярно направлению движе­ния носителей, к ее площади dS ┴ : j = dI/dS ┴ . За направление вектора j принимают направление вектора скорости и упорядо­ченного движения положительных носителей. Если носителя­ми являются как положительные, так и отрицательные заряды, то плотность тока определяется ф–лой

j=p + u + + p_u_,(5.1), где р + и р_ - объемные плотности положительного и отрицате­льного зарядов-носителей; u + и u_ - скорости их упорядочен­ного движения. В проводниках же, где носителями являются только электроны (р_< 0 и u + = 0), плотность тока j = ρ_u_(5.2). Зная вектор плотности тока в каждой точке поверхности S,можно найти и силу тока через эту поверх­ность как поток вектора j: I=∫jdS (5.3)

Уравнение непрерывности. Представим в некоторой проводящей среде, где течет ток, замкнутую поверхность S. Для замкнутых поверхностей векторы нормалей, а следовате­льно, и векторы dS принято брать наружу, поэтому интеграл ∮jdSдает заряд, выходящий в единицу времени наружу из объ­ема V, охватываемого поверхностью S. В силу закона сохране­ния заряда этот интеграл равен убыли заряда в единицу времени внутри объема V:

∮jdS= –dq/dt; ∮jdS=0 (5.4) Это уравнение непрерывности. В случае постоянного тока распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным, т. е. в правой части dq/dt = 0. Преобразу­ем последние два уравнения к дифференциальной форме. Для этого представим заряд q как jρdF и правую часть (5.4) как

Здесь взят знак частной производной р по времени, поскольку р может зависеть не только от времени, но и от координат. Итак,

Получим, что дивергенция вектора j в некоторой точке равна убыли плотности заряда в единицу времени в той же точке:Ñ . j=–д ρ/д t. (5.6). Отсюда вытекает условие стационарности(когда д ρ/д t=0): Ñ . j=0.(5.7)

Оно означает, что в случае постоянного тока поле вектора j не име­ет источников.

Закон Ома для однородного проводника. Cила тока, протекающего по однородному проводнику, пропорциональна разности потенциалов на его концах (напряжению U): I = U/R (5.8), где R - электрическое сопротивление проводника.

Закон Ома в локальной форме . Если поперечное сечение цилиндра dS, а его длина dl, то на основа­нии (5.8) и (5.9) можно записать для такого элементарного цилиндра jdS=Edl/(ρdl/dS)=E/ρ=σE, где σ=1/р - удельная электропроводимость среды. Т. о., соотношение (5.10) устанавливает связь между величинами, относящимися к одной и той же точке про­водящей среды.

О заряде внутри проводника с током. Если ток постоянный, то избыточный заряд внутри однородного проводника всюду равен нулю. В самом деле, для постоянного тока справедливо уравнение (5.5). Перепишем его с учетом закона (5.10) в виде ∮σEdS=0, где интеграл взят по произвольной замкнутой поверхности S внутрипроводника. Для однородного проводника величину а можно вынести из-под интеграла: σ∮EdS=0. Оставшийся интеграл согласно теореме Гаусса пропорциона­лен алгебраической сумме зарядов внутри замкнутой поверхно­сти S, т. е. пропорционален избыточному заряду внутри этой поверхности. Но из последнего равенства видно, что этот интеграл равен нулю (т.к. σ≠0), а значит, равен нулю и избы­точный заряд. В силу произвольности поверхности S: избыточный заряд всюду внутри про­водника равен нулю.

Электрическое поле проводника с током . При протека­нии тока на поверхности проводника (область неоднородности) выступает избыточный заряд, а это означает, что снаружи проводника имеется нормальная составляющая вектора Е. Далее, из непре­рывности тангенциальной составляющей вектора Е приходим к выводу о нали­чии и тангенциальной составляющей этого вектора вблизи поверхности проводника. Таким образом, вектор Е вблизи поверхно­сти проводника составляет (при наличии тока) с нормалью к ней некоторый не рав­ный нулю угол. Если токи стационарны, то распределение электриче­ских зарядов в проводящей среде не меняется во времени, хотя и происходит движение за­рядов: в каждой точке на место уходящих зарядов непрерывно поступают новые. Эти движущиеся заряды создают такое же кулоновское поле, что и неподвижные заряды той же конфигу­рации. Стало быть, электрическое поле стационарных токов - поле потенциальное. Кулоновское поле внутри про­водников при равновесии зарядов равно нулю. Электрическое поле у стационарных токов есть также кулоновское поле, одна­ко заряды, его возбуждающие, находятся в движении. Поэтому поле Е у стационарных токов существует и внутри проводников с током.

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ.

Электрический заряд q - физическая величина, определяющая интенсивность электромагнитного взаимодействия.

[q] = l Кл (Кулон).

Атомы состоят из ядер и электронов. В состав ядра входят положительно заряженные протоны и не имеющие заряда нейтроны. Электроны несут отрицательный заряд. Количество электронов в атоме равно числу протонов в ядре, поэтому в целом атом нейтрален.

Заряд любого тела: q = ±Ne , где е = 1,6*10 -19 Кл - элементарный или минимально возможный заряд (заряд электрона), N - число избыточных или недостающих электронов. В замкнутой системе алгебраическая сумма зарядов остается постоянной:

q 1 + q 2 + … + q n = const.

Точечный электрический заряд - заряженное тело, размеры которого во много раз меньше расстояния до другого наэлектризованного тела, взаимодействующего с ним.

Закон Кулона

Два неподвижных точечных электрических заряда в вакууме взаимодействуют с силами, направленными по прямой, соединяющей эти заряды; модули этих сил прямо пропорциональны произведению зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:

Коэффициент пропорциональности

где - электрическая постоянная.

где 12 - сила, действующая со стороны второго заряда на первый, а 21 - со стороны первого на второй.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. НАПРЯЖЕННОСТЬ

Факт взаимодействия электрических зарядов на расстоянии можно объяснить наличием вокруг них электрического поля - материального объекта, непрерывного в пространстве и способного действовать на другие заряды.

Поле неподвижных электрических зарядов называют электростатическим.

Характеристикой поля является его напряженность.

Напряженность электрического поля в данной точке - это вектор, модуль которого равен отношению силы, действующей на точечный положительный заряд, к величине этого заряда, а направление совпадает с направлением силы.

Напряженность поля точечного заряда Q на расстоянии r от него равна

Принцип суперпозиции полей

Напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей каждого из зарядов системы:

Диэлектрическая проницаемость среды равна отношению напряженностей поля в вакууме и в веществе:

Она показывает во сколько раз вещество ослабляет поле. Закон Кулона для двух точечных зарядов q и Q , расположенных на расстоянии r в среде c диэлектрической проницаемостью:

Напряженность поля на расстоянии r от заряда Q равна

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ТЕЛА В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРО-СТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Между двумя большими пластинами, заряженными противоположными знаками и расположенными параллельно, поместим точечный заряд q .

Так как электрическое поле между пластинами с напряженностью однородное, то на заряд во всех точках действует сила F = qE , которая при перемещении заряда на расстояние вдоль совершает работу

Эта работа не зависит от формы траектории, то есть при перемещении заряда q вдоль произвольной линии L работа будет такой же.

Работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории, а определяется исключительно начальным и конечным состояниями системы. Она, как и в случае с полем сил тяжести, равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

Из сравнения с предыдущей формулой видно, что потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле равна:

Потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня и поэтому сама по себе не имеет глубокого смысла.

ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЕ

Потенциальным называется поле, работа которого при переходе из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории. Потенциальными являются поле силы тяжести и электростатическое поле.

Работа, совершаемая потенциальным полем, равна изменению потенциальной энергии системы, взятой с противоположным знаком:

Потенциал - отношение потенциальной энергии заряда в поле к величине этого заряда:

Потенциал однородного поля равен

где d - расстояние, отсчитываемое от некоторого нулевого уровня.

Потенциальная энергия взаимодействия заряда q с полем равна .

Поэтому работа поля по перемещению заряда из точки с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 составляет:

Величина называется разностью потенциалов или напряжением.

Напряжение или разность потенциалов между двумя точками - это отношение работы электрического поля по перемещению заряда из начальной точки в конечную к величине этого заряда:

[U]=1Дж/Кл=1В

НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ И РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ

При перемещении заряда q вдоль силовой линии электрического поля напряженностью на расстояние Δ d поле совершает работу

Так как по определению, то получаем:

Отсюда и напряженность электрического поля равна

Итак, напряженность электрического поля равна изменению потенциала при перемещении вдоль силовой линии на единицу длины.

Если положительный заряд перемещается в направлении силовой линии, то направление действия силы совпадает с направлением перемещения, и работа поля положительна:

Тогда , то есть напряженность направлена в сторону убывания потенциала.

Напряженность измеряют в вольтах на метр:

[E]=1 B/м

Напряженность поля равна 1 В/м, если напряжение между двумя точками силовой линии, расположенными на расстоянии 1 м, равна 1 В.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ

Если независимым образом измерять заряд Q , сообщаемый телу, и его потенциал φ, то можно обнаружить, что они прямо пропорциональны друг другу:

Величина С характеризует способность проводника накапливать электрический заряд и называется электрической емкостью. Электроемкость проводника зависит от его размеров, формы, а также электрических свойств среды.

Электроёмкостъ двух проводников - отношение заряда одного из них к разности потенциалов между ними:

Емкость тела равно 1 Ф , если при сообщении ему заряда 1 Кл оно приобретает потенциал 1 В.

КОНДЕНСАТОРЫ

Конденсатор - два проводника, разделенные диэлектриком, служащие для накопления электрического заряда. Под зарядом конденсатора понимают модуль заряда одной из его пластин или обкладок.

Способность конденсатора накапливать заряд характеризуется электроемкостью, которая равна отношению заряда конденсатора к напряжению:

Емкость конденсатора равна 1 Ф, если при напряжении 1 В его заряд равен 1 Кл.

Емкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин S , диэлектрической проницаемости среды, и обратно пропорциональна расстоянию между пластинами d :

ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО КОНДЕНСАТОРА.

Точные эксперименты показывают, что W=CU 2 /2

Так как q = CU , то

Плотность энергии электрического поля

где V = Sd - объем, занимаемый полем внутри конденсатора. Учитывая, что емкость плоского конденсатора

а напряжение на его обкладках U=Ed

получаем:

Пример. Электрон, двигаясь в электрическом поле из точки 1 через точку 2, увеличил свою скорость от 1000 до 3000 км/с. Определите разность потенциалов между точками 1 и 2.

Пусть одно тело создает в окружающем пространстве поле Е, а другое поле Е2

Результирующее поле Е=Е+Е2 и квадрат этой величины

Полная энергия в данной системе равна сумме трех интегралов

Первые два интеграла представляют собой собственную энергию первого и второго заряженных тел, последний интеграл энергию их взаимодействия W 12 из формулы следует.

1. Собственная энергия каждого заряженного тела величина положительная. Положительной является всегда и полная энергия, Энергия же взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной.

2. При всех возможных перемещениях заряженных тел собственная энергия тел остается поэтому её можно считать аддитивной постоянной в выражении для полной энергии W 1,2 В частности, именно так ведет себя энергия системы двух точечных зарядов при изменении расстояния между ними

3. В отличие от вектора Е энергия электрического поля-величина не аддитивная, т.е.

Энергия поля Е является суммой Е1 и Е2 не равна сумме энергий обоих полит из-за взаимной энергии W1 ,2 При возрастании Е в н раз энергия поля увеличивается в н ра3

Силы при наличии диэлектрика э

Опыт показывает, что на диэлектрик в электрическом поле действуют силы (их, иногда называют пондеромоторными) причиной их возникновения является действия неоднородного электрического поля на дипольные молекулы поляризованного диэлектрика. Под действием пондеромоторных сил поляризованный диэлектрик деформируется. Это явление называют электрострикцией. Вследствие электрострикции в диэлектрике возникают механическое напряжения. Во многих случаях эти силы можно вычислить с помощью закона сокращения энергии.

Электрический метод определения сил

В Случае когда заряженные проводника отключены от источников напряжения, заряды на проводниках остаются постоянными. Работа А перемещение проводников и диэлектриков совершается целиком за счет убыли электрической энергии W системы или её поля.

Для бесконечно малых перемещений можно записать

Символ –q показывает что убыль энергии системы должна быть вычислена при постоянных зарядов на проводах.

При бесконечно малом поступательном перемещении dx этого тела в направлении работа искомой силы F на перемещении d x

Где Fx – проекция силы F на положительное направление оси Х после подстановки в выратени для SA и делится на dx получили

Если перемещения происходят при постоянном потенциале на проводниках то

Энергия заряженных тел, в конечном счете, представляет собой силу взаимодействия между двумя телами. Выходит, что одно заряженное тело не обладает энергией? На самом деле это не так энергией оно обладает, но определить наличие этой энергии, не возможно не имея второго тела обладающего зарядом.

Скажем, к примеру, если мы имеем материальную точку имеющую заряд +q. Эта точка находится в вакууме, и поблизости её нет никаких других зарядов. В такой системе, не будет наблюдаться не каких изменений энергии. Ничего никуда не будет двигаться.

Рисунок 1 — точечный заряд

Но как только мы поместим по близости другую материальную точку с зарядом -q тут же возникнут силы взаимодействия между ними. Заряды, так как они разноименные будут стремиться друг к другу. И если им не чего не помешает, в итоге они скомпенсируют друг друга. В результате в системе произойдут некоторые изменения энергии.

Допустим внеся, заря -q мы также введем некую противодействующую силу, которая не даст нашим зарядам скомпенсировать друг друга. То в этом случае наша система будет обладать энергией в явном виде. В виде силы притяжения между зарядами.

Рисунок 2 — взаимодействие двух точечных зарядов

Если отойти от абстракции с “некоторыми” зарядами и силами, то у нас получится совершенно обычный плоский конденсатор. У которого имеются разноименно заряженные обкладки, а силу противодействия представляет диэлектрик между ними, не дающий нашему конденсатору разрядится.

Рисунок 3 — заряженный конденсатор

Энергия же заряженного конденсатора общеизвестна и имеет вид:

Формула 1 — энергия заряженного конденсатора

Величина силы в таком случае будет зависеть от величины зарядов и от расстояния, на котором они находятся. Ну, с величиной заряда как бы все понятно. Чем больше заряд, тем больше сила. По аналогии с механикой, чем больше сковородка, тем больнее будет, когда она упадет на ногу.

А вот с расстоянием не совсем все понятно. Используя все туже механику для упрощения понимания. Представьте, что Вы поднимаете стул, на котором вы сейчас сидите. Не забудьте при этом с него встать. При этом Вы находитесь на поверхности земли и прилагаете некоторые усилия в зависимости от массы этого самого стула. Масса в данном случае аналог заряда. Строго говоря, все это не обязательно представлять Вы можете все это проделать, преодолев свою природную лень.

Далее находясь на орбите земли, скажем на МКС МИР. Вы проделываете те же действия, то есть встаете со стула и поднимете его. Усилие потребуется значительно меньше, так как Вы находитесь далеко от земли и ее притяжение значительно слабее. То есть сила взаимодействия между землей и стулом зависит от расстояния между ними. А вот здесь Вам потребуется Ваше воображение и не только потому что упомянутая МКС затоплена в океане но и потому что побывать на орбите только для того чтобы проверить правдивость данной статьи событие весьма мало вероятное. Также и в конденсаторе сила взаимодействия зависит от расстояния, на котором находятся заряды.