Формирование умений и навыков. Тема

В разделе узнаете:

· числовые выражения и их виды;

· чем отличаются числовое выражение и выражение с переменными;

· что такое допустимые значения переменных в выражении;

· какие выражения называют целыми;

· как вычислять значения выражения с переменными;

· о способах упрощения выражений;

· какова равенство е тождественностью и как ее доказывать;

· как применить изученный материал на практике

§1. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Из курса математики 5-6 классов вы знаете, что такое числовое выражение. Вспомните соответствующую формулировку и сравните его с приведенным в учебнике.

Запись, в которой используются только числа, знаки арифметических действий и скобки, называется числовым выражением.

Например, записи 15 + 3,15 - 3, 15 ∙ 3,15: 3 являются числовыми

выражениями. их называют соответственно суммой, разностью, произведением и частным чисел 15 и 3. В каждом из этих выражений числа 15 и 3 являются компонентами выражения. Выражение 15 3 также является числовым. Его называют степенью числа 15. В нем число 15 - основание степени, а число 3 - показатель степени.

Если выполнить арифметическое действие в выражении, то получим число - значение числового выражения. Например, значением выражения 15 + 3 является число 18.

Обратите внимание:

числовое выражение показывает, какое арифметическое действие (действия) надо выполнить над числами, но не показывает результат этого действия (действий).

Вы знаете, что действия сложения и вычитания являются действиями первой ступени, действия умножения и деления - второй ступени, а возведение в степень - третьей степени. Вычисляя значение числового выражения, сначала выясняют, действия которых ступеней содержит выражение, а затем выполняют действия, придерживаясь известного вам порядка выполнения действий.

Задача 1. Найдите значение числового выражения:

1)35 - 15 + 9; 2) 35: 7 + 4 . 2 3 .

Решения. 1. Данное выражение содержит только действия первой ступени, поэтому эти действия выполняют по порядку написания слева направо:

2. Выражение 35: 7 + 4 ∙ 2 3 содержит действия трех ступеней, сначала выполняют действие третьей ступени, затем действия второй ступени (слева направо), а после этого - действие первой ступени:

35: 7 + 4 ∙ 2 3 = 35: 7 + 4 ∙ 8 = 5 + 4 ∙ 8 = 5 + 32 = 37.

Зависит ли значение числового выражения от того, какие в нем расставлены скобки? Так. Например, выражение 4 + (30: 6 - 1) и 4 + 30: (6 - 1) имеют разные значения: 4 + (30: 6 - 1) = 8, а 4 + 30: (6 - 1) = 10. Следовательно, можем записать:

4 + (30: 6 - 1) ≠ 4 + 30: (6 - 1).

Обратите внимание:

скобки в выражении меняют порядок выполнения действий.

Задача 2. Можно ли найти значение числового выражения

25: (3 ∙ 8 - 23 - 1)?

Решения. Данное выражение содержит деления числа 25 на выражение, стоящее в скобках. Выполнив действия в скобках, получим: 3 ∙ 8 - 23 - 1 = 24 - 23 - 1 = 0. Следовательно, чтобы найти значение заданного выражения, надо число 25 поделить на 0. А это сделать невозможно. Поэтому значение данного числового выражения найти нельзя.

Коротко говорят: «Данное выражение не имеет значения» или «Данное выражение не имеет смысла».

Обратите внимание:

Делить на 0 нельзя;

Выражение, содержащее деление на ноль не имеет смысла.

Обобщим сведения о порядке выполнения действий в выражениях.

Порядок выполнения действий в выражениях.

1. В выражении, которое содержит действия только одной ступени, действия выполняют в том порядке, в котором они записаны.

2. В выражении, содержащем действия трех степеней, первыми выполняют действия старшего степени в том порядке, в котором они записаны.

3. В выражении со скобками сначала выполняют действия в скобках, а затем - другие действия по известному порядку.

Узнайте больше

1. В курсе математики 5 - 6 классов и в этом параграфе вы встречали предложения, которые содержат слова «называют» или «называется». Это определение понятий. В определении раскрывается содержание понятия. Например, в определении числового значения указывается свойство, с помощью которой можно отличать числовое выражение от любых других записей. Раньше вам встречались записи 3 * 5 + 4, 2 ∙ 3 = 6, (а + 100) ∙ 2. Их нельзя считать числовыми выражениями, поскольку они не удовлетворяют определение числового выражения. Действительно, первая запись содержит знак *, что не является знаком арифметического действия. Вторая запись содержит знак равенства, а третий - букву.

2. Граве Дмитрий Александрович (1863-1939) - выдающийся математик, основатель отечественной алгебраической школы, академик Академии наук УССР (1919), почетный член АН СССР (1929). Окончил Санкт-Петербургский университет (1885). В 1896 г. защитил диссертацию на степень доктора математики «Об основных задачах математической теории построения географических карт». Работал профессором Харьковского (1897), а затем Киевского (1899) университетов. У1934 стал первым директором Института математики АН УССР. Создал в Киеве научную алгебраическую школу. Основные работы относятся к алгебре, прикладной математики, механики, кибернетики, астрономии. Его «Трактат из алгебраического анализа», который увидел мира 1938, имел значительное влияние на развитие математики 20 в.

Его учениками были Бы. Делоне, Н. Кравчук, М. Чеботарев, О. Шмідтта др.

ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ

1. Что называется числовым выражением? Приведите примеры.

2. Что называют значением числового выражения?

3. Каков порядок выполнения действий в числовом выражении без скобок?

4. В каком порядке надо выполнять действия в числовом выражении со скобками?

5. В любом случае числовое выражение не имеет смысла?

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ

1 . Является числовым выражением запись:

1)14: 2 + 5; 3)24 – 14 = 10; 5)4 ∙ х = 20;

2) 27 > 4 ∙ 3; 4) 5 - 2 ∙ 5,2; 6) 8 4 + 4 2 ?

Ответ объясните.

2 . Приведите пример выражения, для двух чисел:

1) суммой; 2) разницей; 3) произведением; 4) долей; 5) степенью.

3 . Правильно, что значением числового выражения: 1) буква; 2) слово; 3) предложение; 4) сам числовое выражение; 5) число, которое получили, выполнив действие в заданном выражении на одно действие; 6) число, которое получили, правильно выполнив действие в заданном выражении на одно действие; 7) число, которое получили, правильно выполнив какое-то одно действие в заданном выражении на несколько действий; 8) число, которое получили, правильно выполнив все действия в исходном выражении на несколько действий?

4 . В каком порядке надо выполнять действия в числовом выражении, содержащем действия: 1) первой степени; 2) второй степени; 3) первой и второй ступеней; 4) третьей степени; 5) второго и третьего степеней; 6) всех трех степеней?

5 . Правильно, что скобки в выражении: 1) не изменяют порядок выполнения действий; 2) изменяют порядок выполнения действий?

6 . Приведите примеры числовых выражений, которые: 1) имеют смысл; 2) не имеют смысла.

7 . Правильно, что не имеет смысла выражение:

1)5 - 0; 3)5 ∙ 0; 5)5 - (3 - 3); 7)5 ∙ (3 - 3);

2)5 + 0; 4)5: 0; 6)5 + (3 - 3); 8)5: (3 - 3)?

8 . Значением какого выражения является число 2:

9 . Значением какого выражения является число 5:

2) (4 2 + 9) : 5?

10 . Назовите порядок выполнения действий для вычисления значения числового выражения 5 + 2 ∙ 4 - 18: 3 2 . Найдите значение выражения.

11 . Даны числа 2,5 и 4. Составьте числовое выражение, которое является их:

1) суммой; 2) разницей; 3) произведением; 4) долей. Сколько числовых выражений можно получить? Найдите значение этих выражений.

12 . Даны числа 2 и 3. Составьте выражения для подъема одного числа в степень другого. Сколько числовых выражений можно получить? Найдите значение этих выражений.

13 . Даны числа 5 и 2. Составьте числовое выражение, которое является: 1) суммой чисел; 2) разностью чисел; 3) произведением чисел; 4) долей чисел; 5) степенью, в котором одно число возвышается в степень другого. Найдите значение этих выражений.

14 . Найдите значение выражения:

2) 14,275 + 10,8;

4) 84,6 - 12,49;

5) 12,3 ∙ 5,8;

6) 0,28 ∙ 0,125;

Какими правилами выполнения действий с десятичными дробями вы воспользовались?

15 . Найдите значение выражения:

1) 42,5 + 12,52;

2) 34,6 - 15,54;

3) 2,8 ∙ 0,15;

16 . Выполните действия:

Какими правилами выполнения действий с обычными дробями вы воспользовались?

17 . Выполните действия:

4) 5 : 7 s_1.files/image011.png" alt="7klas_1.files/image004.gif" width="10" height="42" />.

18 . Вычислите:

Сформулируйте правило возведение числа а в степень n, которым вы воспользовались.

19 . Вычислите:

20 . Вычислите:

1) -45,2 + 12,15;

4) -2,5 ∙ 1,2;

5) -2,8 ∙ (-);

6) – 14 : (-43).

Сформулируйте правила выполнения действий с рациональными числами, которыми вы воспользовались.

21 . Вычислите:

1)-14,7 + 10,15;

22 . Изменят скобки порядок выполнения действий в выражении 20 + 5 ∙ 2 3 - 6: 2, если их расставить так:

1) (20 + 5) ∙ 2 3 - 6: 2;

2) 20 + (5 ∙ 2 3 - 6) : 2;

3) (20 + 5 ∙ 2 3) - 6: 2;

4) 20 + 5 ∙ (2 3 - 6: 2)?

Ответ объясните.

23 . В каком порядке надо выполнять действия в числовом выражении со скобками, содержащий действия: 1) первой и второй ступеней; 2) второго и третьего степеней; 3) всех трех степеней? Сколько случаев нужно рассмотреть? Приведите примеры.

1) произведение суммы чисел 3,5 и -4,5 и числа 42;

2) разность числа 4,67 и произведения чисел 2,18 и 0,5;

3) сумма квадрата числа 3 и числа 5 ;

4) разность куба числа 4 и числа -0,1;

5) произведение числа 3 и квадрата числа ;

6) доля суммы чисел 3,2 и и числа 0,5.

25 . Запишите в виде выражения и найдите его значение:

1) произведение числа -2,5 и суммы чисел 34,8 и -2,8;

2) разность квадрата числа 1,2 и куба числа 4;

3) сумма числа 5 и частного чисел 5 и 7;

4) доля числа 2,5 и произведению чисел 1 и .

26 . Проверьте, имеет ли смысл выражение:

1) 2,5 - (1,4 - 7 ∙ 0,2);

3) 5 ∙ 2,04 +

4) 2 : (17,5 – 8 ∙ 2)

Нужно выполнять все действия? Ответ объясните.

27 . Имеет ли смысл выражение:

2) 12 + 28: (15 ∙ 0,2 - 3)?

29 . Составьте числовое выражение, значение которого равно:

30 . Найдите значение выражения:

1) 0,12 ∙ 10 + 2,4 ∙ 5 ∙ 12 ∙ 9: 1,8;

2) (15 ∙ 0,012 + 15: 10 2) : 0,66 - 1,8 2 ;

4) (3,4 + 5,1) ∙ 1 + (1 – 2 ) : .

31 . Найдите значение выражения:

1) 2,5 ∙ 2 3 + 7,5 ∙ (0,04 + 1,62) - 1,8: 90;

2) (4 – 3 ) : 1 + 4 ∙ (- ) + 2,5.

32 . Выполните действия:

1) 6 - 5 : 4 + ∙ + : ;

2) – 3,6;

3) 1,2: (0,171: 0,9 - 0,028 ∙ 2,5) + 0,8 ∙ (3 + 1 – 3 ) - 0,075: 3: 400;

Какие-нибудь математические выражения мы можем записать разными способами. В зависимости от наших целей, того, хватает ли нам данных и т.д. Числовые и алгебраические выражения различаются тем, что первые мы записываем только числами, объединенными с помощью знаков арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и скобок.

Если вместо чисел ввести в выражение латинские буквы (переменные), оно станет алгебраическим. В алгебраических выражениях используются буквы, числа, знаки сложения и вычитания, умножения и деления. А также может быть использован знак корня, степени, скобки.

В любом случае, числовое это выражение или алгебраическое, оно не может быть просто случайным набором знаков, чисел и букв – в нем должен быть смысл. Это значит, что буквы, числа, знаки должны быть связаны какими-то отношениями. Правильный пример:7х + 2: (у + 1). Плохой примеру) : + 7х - * 1.

Выше было упомянуто слово «переменная» - что оно значит? Это латинская буква, вместо которой можно подставить число. И если мы говорим о переменных, в этом случае алгебраические выражения можно назвать алгебраической функцией.

Переменная может принимать различные значения. И подставляя какое-то число на ее место, мы можем найти значение алгебраического выражения при этом конкретном значении переменной. Когда значение переменной другое, другим будет и значение выражения.

Как решать алгебраические выражения?

Для вычисления значений нужно делать преобразование алгебраических выражений . А для этого вам еще нужно учесть несколько правил.

Во-первых: областью определения алгебраических выражений являются все возможные значения переменной, при которых это выражение может иметь смысл. Что подразумевается? Например, нельзя подставлять такое значение переменной, при котором пришлось бы делить на нуль. В выражении1/(х – 2)из области определения надо исключить 2.

Во-вторых, запомните, как упрощать выражения: раскладывать на множители, выносить за скобки одинаковые переменные и т.п. Например: если поменять местами слагаемые, сумма от этого не изменится (у + х = х +у). Аналогично и произведение не изменится, если поменять местами множители (х*у = у*х).

А вообще для упрощения алгебраических выражений отлично служат формулы сокращенного умножения . Тем, кто их еще не выучил, обязательно надо это сделать – все равно пригодятся не раз:

находим разность переменных, возведенных в квадрат: х 2 – у 2 = (х – у)(х + у);

находим сумму, возведенную в квадрат: (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 ;

вычисляем разность, возведенную в квадрат: (х – у) 2 = х 2 – 2ху + у 2 ;

возводим сумму в куб: (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3 или (х + у) 3 = х 3 + у 3 + 3ху(х + у);

возводим в куб разность: (х – у) 3 = х 3 – 3х 2 у + 3ху 2 – у 3 или (х – у) 3 = х 3 – у 3 – 3ху(х – у);

находим сумму переменных, возведенных в куб: х 3 + у 3 = (х +у)(х 2 – ху + у 2);

вычисляем разность переменных, возведенных в куб: х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2);

используем корни: ха 2 + уа + z = х(а – а 1)(а – а 2), а 1 и а 2 – это корни выражения ха 2 + уа + z.

Еще вам стоит иметь представление о видах алгебраических выражений. Они бывают:

рациональные, и те в свою очередь подразделяются на:

целые(в них нет деления на переменные, нет извлечения корней из переменных и нет возведения в дробную степень): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b ).Область определения – все возможные значения переменных;

дробные(кроме остальных математических операций, вроде сложения, вычитания, умножения, в этих выражениях делят на переменную и возводят в степень (с натуральным показателем): (2/b – 3/a + с/4) 2 . Область определения – все значения переменных, при которых выражение не равно нулю;

иррациональные– чтобы алгебраическое выражение считалось таковым, в нем должно присутствовать возведение переменных в степень с дробным показателем и/или извлечение корней из переменных: √а + b 3/4 . Область определения – все значения переменных, исключая те, при которых выражение под корнем четной степени или под дробной степенью становится отрицательным числом.

Тождественные преобразования алгебраических выражений – еще один полезный прием для их решения.Тождество – такое выражение, которое будет верным при любых входящих в область определения переменных, которые в него подставят.

Выражение, которое зависит от некоторых переменных, может быть тождественно равно другому выражению, если то зависит от тех же переменных и если значения обоих выражений равны, какие бы значения переменных не были выбраны. Другими словами, если выражение можно выразить двумя разными способами (выражениями), значения которых одинаковые, эти выражения тождественно равны. Например: у + у = 2у, или х 7 = х 4 *х 3 , или x +y +z = z + x +y.

При выполнении заданий с алгебраическими выражениями тождественное преобразование служит для того, чтобы одно выражение можно было заменить на другое, тождественное ему. К примеру, заменить х 9 на произведение х 5 *х 4 .

Примеры решения

Чтобы было понятнее, разберем несколько примеров преобразования алгебраических выражений . Задания такого уровня могут попасться в КИМах на ЕГЭ.

Задание 1 : Найти значение выражения ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 -1).

Решение: ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 – 1) = (12х (12х -1))/х*(12х – 1) = 12.

Задание 2: Найти значение выражения (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3).

Решение: (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3) = (2х – 3)(2х + 3)(2х + 3 – 2х + 3)/(2х – 3)(2х + 3) = 6.

Заключение

При подготовке к школьным контрольным, экзаменам ЕГЭ и ГИА вы всегда можете использовать этот материал как подсказку. Держите в памяти, что алгебраическим выражением называется комбинация из чисел и переменных, выраженных латинскими буквами. А еще знаков арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление), скобок, степеней, корней.

Используйте формулы сокращенного умножения и знания о тождественных равенствах, чтобы преобразовывать алгебраические выражения.

Пишите нам свои замечания и пожелания в комментариях – нам важно знать, что вы нас читаете.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

I. Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.

Примеры алгебраических выражений:

2m -n; 3· (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение — выражением с переменной.

II. Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.

Примеры. Найти значение выражения:

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.

Решение .

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).

Примеры. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?

Решение. Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!

В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.

В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.

В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2.

В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.
IV. Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.

Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.

Тождество – это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Примеры.

a) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Решение . Вспомним распределительное свойство (закон) умножения:

(a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).

1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

б) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения:

4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.

Решение. Применим законы (свойства) сложения:

a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
(a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).

4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.

6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5.

в) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.

Решение. Применим законы (свойства) умножения:

a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
(a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).

Числовое выражение – это любая запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Числовое выражение может состоять и просто из одного числа. Напомним, что основными арифметическими действиями являются «сложение», «вычитание», «умножение» и «деление». Этим действиям соответствуют знаки «+», «-», «∙», «:».

Конечно же, чтобы у нас получилось числовое выражение, запись из чисел и арифметических знаков должна быть осмысленной. Так, например, такую запись 5: + ∙ нельзя назвать числовым выражением, так как это случайный набор символов, не имеющий смысла. Напротив, 5 + 8 ∙ 9 - уже настоящее числовое выражение.

Значение числового выражения.

Сразу скажем, что если мы выполним действия указанные в числовом выражении, то в результате мы получим число. Это число называется значением числового выражения .

Попробуем вычислить, что у нас получится в результате выполнения действий нашего примера. Согласно порядку выполнения арифметических действий , сначала выполним операцию умножения. Умножим 8 на 9. Получим 72. Теперь сложим 72 и 5. Получим 77.
Итак, 77 – значение числового выражения 5 + 8 ∙ 9.

Числовое равенство.

Можно это записать таким образом: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Здесь мы впервые использовали знак «=» («Равно»). Такая запись, при которой два числовых выражения разделены знаком «=», называется числовым равенством . При этом, если значения левой и правой части равенства совпадают, то равенство называют верным . 5 + 8 ∙ 9 = 77 – верное равенство.
Если же мы напишем 5 + 8 ∙ 9 = 100, то это уже будет неверное равенство , так как значения левой и правой части данного равенства уже не совпадают.

Следует отметить, что в числовом выражении мы также можем использовать скобки. Скобки влияют на порядок выполнения действий. Так, например, видоизменим наш пример, добавив скобки: (5 + 8) ∙ 9. Теперь сначала нужно сложить 5 и 8. Получим 13. А затем умножить 13 на 9. Получим 117. Таким образом, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значение числового выражения (5 + 8) ∙ 9.

Чтобы правильно прочитать выражение, нужно определить какое именно действие выполняется последним для вычисления значения данного числового выражения. Так, если последнее действие вычитание, то выражение называют «разностью». Соответственно, если последнее действие сумма - «суммой», деление – «частным», умножение – «произведением», возведение в степень – «степенью».

Например, числовое выражение (1+5)(10-3) читается так: «произведение суммы чисел 1 и 5 на разность чисел 10 и 3».

Примеры числовых выражений.

Приведем пример более сложного числового выражения:

\[\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\]

В данном числовом выражении используются простые числа, обыкновенные и десятичные дроби. Также используются знаки сложения, вычитания, умножения и деления. Черта дроби также заменяет знак деления. При кажущейся сложности, найти значение данного числового выражения довольно просто. Главное уметь выполнять операции с дробями, а также внимательно и аккуратно делать вычисления, соблюдая порядок выполнения действий.

В скобках у нас выражение $\frac{1}{4}+3,75$ . Преобразуем десятичную дробь 3,75 в обыкновенную.

$3,75=3\frac{75}{100}=3\frac{3}{4}$

Итак, $\frac{1}{4}+3,75=\frac{1}{4}+3\frac{3}{4}=4$

Далее, в числителе дроби \[\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\] у нас выражение 1,25+3,47+4,75-1,47. Для упрощения данного выражения применим переместительный закон сложения, который гласит: «От перемены мест слагаемых сумма не изменяется». То есть, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

В знаменателе дроби выражение $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac{1}{2}=4:2=2$

Получаем $\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}=4:\frac{8}{2}=4:4=1$

Когда числовые выражения не имеют смысла?

Рассмотрим еще один пример. В знаменателе дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ значением выражения $3\centerdot 3-9$ является 0. А, как мы знаем, деление на нуль невозможно. Следовательно, у дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ нет значения. Про числовые выражения, у которых нет значения, говорят, что они «не имеют смысла».

Если мы в числовом выражении помимо чисел будем использовать буквы, то у нас получится уже

Урок на тему:"Алгебраические выражения с переменными и действия с ними"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Развивающие и обучающие пособия в интернет-магазине "Интеграл"
Электронная рабочая тетрадь по алгебре для 7 класса
Мультимедийное учебное пособие для 7-9 классов "Алгебра за 10 минут"

Числовые выражения

Чем больше мы изучаем математику, тем чаще нам приходится сталкиваться с разными определениями. Очень важно понимать смысл различных математических терминов и грамотно строить свою речь при доказательствах, объяснениях решения, вопросах и ответах на уроке.

Дадим название, привычным нам с первого класса, записям. Запись, составленную из чисел, математических знаков, скобок, т.е. составленную со смыслом, называют числовым выражением.

Примеры числовых выражений:

3 + 3: 2; 4 -5 * 0,2; (2 + 4) : 3; - 8 * 20.

А вот подобные записи:

- + 5; :(2

не являются числовыми выражениями, так как не имеют смысла, а являются просто набором математических символов.

Если два числовых выражения соединить знаком "=" , то получится числовое равенство.
Необходимо очень хорошо запомнить очередность выполнения действий в числовом выражении. Сначала выполняется возведение в степень, потом умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Если присутствуют скобки, то сначала выполняется действие в скобках.

Пример.
Вычислить значение выражения: 3 2 * 2 + 2 * 3.

Решение.
Cначала возводим в степень: 9 * 2 + 2 * 3. потом производим умножение: 18 + 6 и затем - сложение.
Ответ: 24.

Если упростить числовое выражение или, говоря более понятным языком, решить пример, мы получим число, которое называется значением числового выражения.

Алгебраические выражения

Если в числовом выражении все или часть цифр заменить буквами получим – алгебраическое выражение.

Примеры алгебраических выражений:

3 + 2а; 2 - (4 - х) : у; а + с.

Запись вида:

+ : у.

не является алгебраическим выражением, так как не имеет смысла.

Буквы в алгебраическом выражении называются переменными.
Название очень легко запомнить. Переменная - значит, может меняться. Меняется естественно не сама буква, а числа, которые вместо буквы можно подставить в выражение. Переменные могут принимать практически любые числовые значения.
Если заменить переменные их числовыми значениями и решить пример, мы получим значение выражения при данном значении переменных.

Пример.
Есть выражение а + с , найти значение этого выражения, при а= 5; с= 3 и при а= 2; с= 7 . В первом случае ответ будет восьми, во втором - девяти.

Иногда, если вместо переменной подставить определенное число, то выражение потеряет смысл, например, если в выражение 1: х вместо х подставить число 0.

Все возможные значения переменной, при которых полученное после подстановки числовое выражение имеет смысл, называется областью определения данного выражения.

Примеры.
1) 2 + х. X может принимать любые значения, значит область определения - все числа.
2) 2: х. Область определения - все числа, кроме 0.
3) 3: (х + 5). Область определения - все числа, кроме -5.
4) 6: (а - с). Область определения - все числа, при условии а ≠ с.