Математика

§2. Координаты точки на плоскости

3. Расстояние между двумя точками.

Мы с вами умеем теперь говорить о точках на языке чисел. Например, нам уже нет необходимости объяснять: возьмите точку, находящуюся на три единицы правее оси и на пять единиц ниже оси . Достаточно сказать просто: возьмите точку .

Мы говорили уже, что это создает определенные преимущества. Так, мы можем рисунок, составленный из точек, передать по телеграфу, сообщить его вычислительной машине, которая совсем не понимает чертежей, а числа понимает хорошо.

В предыдущем пункте мы задали при помощи соотношений между числами некоторые множества точек на плоскости. Теперь попробуем последовательно переводить на язык чисел другие геометрические понятия и факты.

Мы начнем с простой и обычной задачи.

Найти расстояние между двумя точками плоскости.

Решение:
Как всегда, мы считаем, что точки заданы своими координатами, и тогда наша задача состоит в том, чтобы найти правило, по которому можно вычислить расстояние между точками, зная их координаты. При выводе этого правила, конечно, разрешается прибегать к чертежу, но само правило не должно содержать никаких ссылок на чертеж, а должно только показывать, какие действия и в каком порядке надо совершать над данными числами - координатами точек, чтобы получить искомое число - расстояние между точками.

Быть может, некоторым из читателей этот подход к решению задачи покажется странным и надуманным. Чего проще, скажут они, точки заданы, пусть даже координатами. Нарисуйте эти точки, возьмите линейку и измерьте расстояние между ними.

Этот способ иногда не так уж плох. Однако представьте себе опять, что вы имеете дело с вычислительной машиной. В ней нет линейки, и она не рисует, но зато считать она умеет настолько быстро, что это для неё вообще не составляет никакой проблемы. Заметьте, что наша задача поставлена так, чтобы правило вычисления расстояния между двумя точками состояло из команд, которые может выполнить машина.

Поставленную задачу лучше сначала решить для частного случая, когда одна из данных точек лежит в начале координат. Начните с нескольких числовых примеров: найдите расстояние от начала координат точек ; и .

Указание. Воспользуйтесь теоремой Пифагора.

Теперь напишите общую формулу для вычисления расстояния точки от начала координат.

Расстояние точки от начала координат определяется по формуле:

Очевидно, правило, выражаемое этой формулой, удовлетворяет поставленным выше условиям. В частности, им можно пользоваться при вычислении на машинах, которые способны умножать числа, складывать их и извлекать квадратные корни.

Теперь решим общую задачу

Даны две точки плоскости и найти расстояние между ними.

Решение:
Обозначим через , , , проекции точек и на оси координат.

Точку пересечения прямых и обозначим буквой . Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора получаем:

Но длина отрезка равна длине отрезка . Точки и , лежат на оси и имеют соответственно координаты и . Согласно формуле, полученной в п. 3 параграфа 2, расстояние между ними равно .

Аналогично рассуждая, получим, что длина отрезка равна . Подставляя найденные значения и в формулу получаем.

Расстояние между двумя точками плоскости.
Системы координат

Каждая точка А плоскости характеризуется своими координатами (х, у). Они совпадают с координатами вектора 0А , выходящего из точки 0 - начала координат.

Пусть А и В - произвольные точки плоскости с координатами (х 1 y 1) и (х 2 , у 2) соответственно.

Тогда вектор AB имеет, очевидно, координаты (х 2 - х 1 , y 2 - y 1). Известно, что квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат. Поэтому расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, определяется из условия

d 2 = (х 2 - х 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .

d = \/ (х 2 - х 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2

Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны координаты этих точек

Каждый раз, говоря о координатах той или иной точки плоскоси, мы имеем в виду вполне определенную систему координат х0у. А вообще-то систему координат на плоскости можно выбирать по-разному. Так, вместо системы координат х0у можно рассмотреть систему координат х"0у" , которая получается в результате поворота старых осей координат вокруг начальной точки 0 против часовой стрелки на угол α .

Если некоторая точка плоскости в системе координат х0у имела координаты (х, у), то в новой системе координат х"0у" она будет иметь уже другие координаты (х", у").

В качестве примера рассмотрим точку М, расположенную на оси 0х" и отстоящую от точки 0 на расстоянии, равном 1.

Очевидно, что в системе координат x0у эта точка имеет координаты (cos α , sin α ), а в системе координат х"0у" координаты (1,0).

Координаты любых двух точек плоскости А и В зависят от того, как в этой плоскости задана система координат. А вот расстояние между этими точками не зависит от способа задания системы координат. Это важное обстоятельство будет существенно использовано нами в следующем параграфе.

Упражнения

I. Найти расстояния между точками плоскости с координатами:

1) (3,5) и (3,4); 3) (0,5) и (5, 0); 5) (-3,4) и (9, -17);

2) (2, 1) и (- 5, 1); 4) (0, 7) и (3,3); 6) (8, 21) и (1, -3).

II. Найти периметр треугольника, стороны которого заданы уравнениями:

x + у - 1 = 0, 2x - у - 2 = 0 и у = 1.

III. В системе координат х0у точки М и N имеют координаты (1, 0) и (0,1) соответственно. Найти координаты этих точек в новой системе координат, которая получается и результате поворота старых осей вокруг начальной точки на угол в 30° против часовой стрелки.

IV. В системе координат х0у точки М и N имеют координаты (2, 0) и (\/ 3 / 2 , - 1 / 2) соответственно. Найти координаты этих точек в новой системе координат, которая получается в результате поворота старых осей вокруг начальной точки на угол в 30° по часовой стрелке.

Здесь будет калькулятор

Расстояние между двумя точками на прямой

Рассмотрим координатную прямую, на которой отмечены 2 точки: A A A и B B B . Чтобы найти расстояние между этими точками, нужно найти длину отрезка A B AB A B . Это делается при помощи следующей формулы:

Расстояние между двумя точками на прямой

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b| A B = ∣ a − b ∣ ,

где a , b a, b a , b - координаты этих точек на прямой (координатной прямой).

Ввиду того, что в формуле присутствует модуль, при решении не принципиально, из какой координаты какую вычитать (так как берется абсолютная величина этой разности).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a| ∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣

Разберем пример, чтобы лучше понять решение подобных задач.

Пример 1

На координатной прямой отмечены точка A A A , координата которой равна 9 9 9 и точка B B B с координатой − 1 -1 − 1 . Нужно найти расстояние между этими двумя точками.

Решение

Здесь a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a = 9 , b = − 1

Пользуемся формулой и подставляем значения:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10 A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Ответ

Расстояние между двумя точками на плоскости

Рассмотрим две точки, заданные на плоскости. Из каждой отмеченной на плоскости точки нужно опустить по два перпендикуляра: На ось O X OX O X и на ось O Y OY O Y . Затем рассматривается треугольник A B C ABC A B C . Так как он является прямоугольным ( B C BC B C перпендикулярно A C AC A C ), то найти отрезок A B AB A B , он же является и расстоянием между точками, можно с помощью теоремы Пифагора. Имеем:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2 A B 2 = A C 2 + B C 2

Но, исходя из того, что длина A C AC A C равна x B − x A x_B-x_A x B ​ − x A ​ , а длина B C BC B C равна y B − y A y_B-y_A y B ​ − y A ​ , эту формулу можно переписать в следующем виде:

Расстояние между двумя точками на плоскости

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} A B = (x B ​ − x A ​ ) 2 + (y B ​ − y A ​ ) 2 ​ ,

где x A , y A x_A, y_A x A ​ , y A ​ и x B , y B x_B, y_B x B ​ , y B ​ - координаты точек A A A и B B B соответственно.

Пример 2

Необходимо найти расстояние между точками C C C и F F F , если координаты первой (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , а второй - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Решение

X C = 8 x_C=8 x C ​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 y C ​ = − 1
x F = 4 x_F=4 x F ​ = 4
y F = 2 y_F=2 y F ​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt{(x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2}=\sqrt{(4-8)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 C F = (x F ​ − x C ​ ) 2 + (y F ​ − y C ​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Ответ

Расстояние между двумя точками в пространстве

Нахождение расстояния между двумя точками в этом случае происходит аналогично предыдущему за исключением того, что координаты точки в пространстве задаются тремя числами, соответственно, в формулу нужно добавить еще и координату оси аппликат. Формула примет такой вид:

Расстояние между двумя точками в пространстве

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} A B = (x B ​ − x A ​ ) 2 + (y B ​ − y A ​ ) 2 + (z B ​ − z A ​ ) 2 ​

Пример 3

Найти длину отрезка F K FK F K в пространстве, если координаты точек его концов таковы: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) и (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Ответ округлить до целого числа.

Решение

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=(-3;6;0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

По условию задачи нам нужно округлить ответ до целого числа.

В §§ 5, 6 и 10 этой главы мы рассмотрим некоторые простейшие задачи аналитической геометрии, к которым часто приводятся многие более сложные задачи. Одной из таких задач является задача о расстоянии между двумя точками.

Пусть в выбранной на плоскости прямоугольной системе координат заданы две точки Выразим расстояние d между этими двумя точками через их координаты.

Найдем проекции точек А и В на координатные оси (рис. 8). Будем иметь:

Через одну из данных точек, например А, проведем прямую параллельно оси абсцисс до пересечения в точке С с прямой

Из прямоугольного треугольника АСВ получим:

(здесь АС и СВ - длины сторон треугольника АСВ). Но так как

(гл. 1, § 3), то

Ясно, что здесь нужно брать арифметическое значение корня.

Таким образом, расстояние между двумя данными точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

Замечание. Если данные точки А к В будут располагаться на прямой, параллельной координатной оси, то треугольника ABC мы не получим, однако формула (3) и в эгом случае будет справедлива. Действительно, если, например, точки А к В будут лежать на прямой, параллельной оси Ох, то, очевидно, (гл. I, § 3). Это же получится и из формулы (3), так как в этом случае

С помощью координат определяют местоположение объекта на земном шаре. Координаты обозначаются по широте и долготе. Широты отсчитываются от линии экватора по обеим сторонам. В Северном полушарии широты положительные, в Южном полушарии – отрицательные. Долгота отсчитывается от начального меридиана либо на восток, либо на запад, соответственно получается либо восточная долгота, либо западная.

Согласно общепринятому положению, за начальный принят меридиан, который проходит через старую Гринвичскую обсерваторию в Гринвиче. Географические координаты местоположения можно получить с помощью GPS-навигатора. Этот прибор получает сигналы спутниковой системы позиционирования в системе координат WGS-84, единой для всего мира.

Модели навигаторов различаются по производителям, функционалу и интерфейсу. В настоящее время встроенные GPS-навигаторы имеются и в некоторых моделях сотовых телефонов. Но любая модель может записать и сохранить координаты точки.

Расстояние между координатами GPS

Для решения практических и теоретических задач в некоторых отраслях производства необходимо уметь определять расстояния между точками по их координатам. Для этого можно использовать несколько способов. Каноническая форма представления географических координат: градусы, минуты, секунды.

Для примера можно определить расстояние между следующими координатами: точка №1 - широта 55°45′07″ с.ш., долгота 37°36′56″ в.д.; точка №2 - широта 58°00′02″ с.ш., долгота 102°39′42″ в.д.

Наиболее простой способ - воспользоваться -калькулятором для расчета протяженности между двумя точками. В поисковике браузера необходимо задать следующие параметры для поиска: онлайн- для расчета расстояния между двумя координатами. В онлайн-калькуляторе вводятся значения широт и долгот в поля запросов для первой и второй координаты. При расчете онлайн-калькулятор выдал результат – 3 800 619 м.

Следующий способ более трудоемкий, но и более наглядный. Необходимо воспользоваться любой доступной картографической или навигационной программой. К программам, в которых можно создать точки по координатам и измерить расстояния между ними, относятся следующие приложения: BaseCamp (современный аналог программы MapSource), «Google Планета Земля», «SAS.Планета».

Все вышеперечисленные программы доступны для любого пользователя сети. К примеру, для расчета расстояния между двумя координатами в программе «Google Планета Земля» необходимо создать две метки с указанием координат первой точки и второй точки. Затем при помощи инструмента «Линейка» нужно соединить линией первую и вторую метки, программа автоматически выдаст результат промера и покажет путь на спутниковом снимке Земли.

В случае с примером, приведенным выше, программа «Google Планета Земля» выдала результат – протяженность расстояния между точкой №1 и точкой №2 составляет 3 817 353 м.

Почему возникает погрешность при определении расстояния

Все расчеты протяженности между координатами основаны на расчете длины дуги. В расчете длины дуги участвует радиус Земли. Но так как форма Земли близка к сплюснутому эллипсоиду, радиус Земли в определенных точках различается. Для расчетов расстояния между координатами принимается среднее значение радиуса Земли, что дает погрешность в измерении. Чем больше измеряемое расстояние, тем больше погрешность.