В десятом классе школьники будут проходить такой раздел в алгебре, как тригонометрия. Она будет изучаться на протяжении большого количества уроков.

Сама по себе тригонометрия, как наука, появилась более двух тысячелетий назад. Так как обычных алгебраических операций было бы недостаточно, чтобы выразить тригонометрические функции, ученым пришлось ввести новые обозначения. Данная наука изучает соотношения между сторонами треугольника и его углами. Во многих геометрических, алгебраических задачах появляется необходимость сталкиваться с данной областью. Задачи по физике также приводят иногда к тригонометрическим функциям.

Школьники уже изучили основные тригонометрические функции, научились строить их графики, преобразовывать, основные формулы в тригонометрии, пользоваться таблицей значений часто встречаемых в тригонометрии аргументов и т.д. К изучению данного видеоурока они уже справлялись с большим количеством тригонометрических выражений и уравнений.

В некоторых примерах появляется необходимость преобразовать формулу суммы тригонометрической функции в произведение. С помощью этого действия можно сократить и упростить огромные выражения, решить уравнения, системы уравнений и т.д.

Видеозапись «Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения» является отличным сопровождающим материалом при изучении данной темы. Учителя могут воспользоваться примерами, которые заданы в ресурсе, определениями и формулами. Мультимедийный файл имеет отличное качество. Его можно воспроизвести во время урока. Это поможет школьникам сконцентрироваться на изучаемый предмет.

Вначале видеоурока диктор говорит о том, что на экране будут выведены некоторые формулы суммы, которые помогут при решении тригонометрических уравнений.

В первую очередь рассматривается сумма синусов. Первое выражение представляет собой сумму синуса суммы двух аргументов и синуса разности этих же аргументов. Каждый член расписывается по формулам, изученным ранее. Они выводятся в правой части экрана для того, чтобы напомнить школьникам.

При полной записи, раскрытии скобок и упрощения мы получаем произведение. Производится замена переменными. Х-ом обозначают сумму аргументов, у-ом - разность. Подставляя в полученное выражение, мы получаем первую формулу преобразования сумм в произведение в тригонометрии.

Чтобы школьники запомнили формулу, недостаточно показать способ ее получения. Необходимо попробовать решить на примере. Приводится сумма синусов некоторых значений. Преобразовывается по формуле в произведение.

Вторая формула, получение которой будет показано пошагово - это разность синусов. Чтобы не проделать дополнительно предыдущие шаги, можно воспользоваться уже полученной формулой для суммы. Необходимо вспомнить, что синус является нечетной функцией. Если записать разность в виде суммы и подставить минус в формулу от суммы, то получим новое правило преобразования разности в произведение.

Аналогичным образом приводится пример. Диктор подробно рассказывает его решение.

Сумма и разность косинусов с примерами приводятся в таком же порядке. Аналогичным образом используются ранее изученные формулы, приводится замена и выводится результат. При выведении формулы разности можно прибегнуть к тому, что косинус является четной функцией.

При решении уравнения левая часть преобразовывается в произведение. Как известно, оно будет равняться нулю, когда некоторое из множителей будет также равняться нулю. Поэтому преобразование в произведение будет очень полезным.

Напоследок приводится еще один пример, более сложный. Можно подсказать школьникам правильно направление, и они справятся с примером самостоятельно, если поняли принцип в целом.

Видеозапись будет очень полезной для школьников, которые обучаются дома. С помощью него можно освоить важные формулы, без которых решение тригонометрических уравнений будет сложным и иногда невозможным.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения

Сегодня мы рассмотрим еще несколько тригонометрических формул, которые позволяют сумму (разность) синусов или косинусов разложить на множители. Эти формулы вам пригодятся при решении тригонометрических уравнений.

Первая формула - СУММА СИНУСОВ.

Рассмотрим выражение sin(s + t) + sin(s - t) , где sи t аргументы тригонометрических сункций.

Применим уже известные формулы синус суммы и синус разности:

sin(x - y) = sin xcos y - cos xsin y,

тогдавыражениеsin(s + t ) будетиметьвидsin s cos t + coss sin t

а выражение sin(s - t) будет иметь вид sins cost - coss sint ,

тогда получим:

sin(s + t ) + sin(s - t ) = (sin s cos t + coss sin t ) + (sin s cos t - coss sin t )

Раскрываемскобки:

sin s cos t + coss sin t + sin s cos t - coss sin t

проводим вычисления:

coss sint - coss sint =0

sin s cos t + sin s cos t = 2 sin s cos t.

sin(s + t ) + sin(s - t ) = (sin s cos t + coss sin t ) + (sin s cos t - coss sin t )=sin s cos t + coss sin t + sin s cos t - cos s sin t =2 sin s cos t.

Таким образом получим, что выражение sin(s + t) + sin(s - t)= 2 sins cost .

Введем новые переменные х= s +t и у= s - t .

Сложим почленно эти равенства, то получим

х +у = s +t + s - t .

х +у = 2s

Найдем значение s

s = .

Во втором случае вычтем почленно эти равенства и получим

х - у = s + t - (s - t)

х - у = s + t - s + t

х - у = 2t

Найдем значение t

Ввыраженииsin(s + t) + sin(s - t)= 2 sin s cos t

заменим sи t на введенные нами новые переменные:

s +t заменим на х

s - t заменим на у

s на

t на .

Тогда получим:

sinх + sinу= 2 sincos

(сумма синусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих аргументов на косинус их полуразности).

sin 7х + sin3х =2 sin cos =2 sin5х cos2х.

Вторая формула - РАЗНОСТЬ СИНУСОВ.

Для того, чтобы мы смогли применить уже выведенную формулу суммы синусов двух аргументов sinх + sinу= 2 sincos

Воспользуемся тем, что синус - функция нечетная, т.е. - sinу = sin(- у),

sinх - sinу = sinх + sin(- у)

Теперь применим формулу суммы синусов, получим

2 sin cos = 2 sin cos .

sin х - sin у = sin х + sin(- у) =2 sin cos = 2 sin cos .

Следовательно, получили формулу разность синусов:

sinх - sinу =2 sin cos (разность синусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих аргументов на косинус их полусуммы).

Пример. Упростить выражение sin 77° - sin 17°.

sin 77° - sin 17° =2 sin cos = 2 sin cos 47º.

(так как sin 30º= , то)= 2 ∙ ∙ cos= cos.

Третья формула - СУММА КОСИНУСОВ.

Для выражения cos (s + t) + cos (s - t) применим уже известные нам формулы косинус суммы и косинус разности:

cos (x - y) = cos xcos y + sin x sin y,

В выражение cos (s + t) + cos (s - t) подставим значения из формул и получим:

cos (s + t )+ cos(s - t ) = cos s cos t - sin s sin t + cos s cos t + sin s sin t =2 cos s cos t

Значитcos (s + t )+ cos(s - t ) =2 cos s cos t

Введем новые переменные х= s +t и у= s - t . Как при выведении формулы СУММЫ СИНУСОВ.

s +t заменим на х

s - t заменим на у

s на

t на .

И получим формулу суммы косинусов

cos х+ cosу =2 cos cos

(сумма косинусов двух аргументов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих аргументов на косинус их полуразности).

Пример. Упростить выражение cos(х+2у) + cos(3х - 2у).

cos(х+2у) + cos(3х - 2у) = 2 coscos =

2cos 2х cos(- х + 2у)= 2cos 2х cos(-(х - 2у)) (а так как cos(- t) = cost, то)=

2cos2х cos(х - 2у).

Четвертая формула - РАЗНОСТЬ КОСИНУСОВ.

Для выражения cos (s + t) - cos (s - t) применим уже известные нам формулы косинус суммы и косинус разности:

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x - y) = cos xcos y + sin x sin y, получим

cos (s + t ) - cos(s - t ) = cos s cos t - sin s sin t - cos s cos t - sin s sin t = - 2sin s sin t . Введемновыепеременныех = s + t и у = s - t , значит, s = иt = . Подставив введенные обозначения в формулу:

cos (s +t ) - cos(s - t ) = - 2sins sint , получим формулу разность косинусов:

cosх - cosу = -2sin sin (разность косинусов двух аргументов равна взятому со знаком «минус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих аргументов на синус их полуразности).

Пример. Упростить выражение cos - cos.

cos - cos = - 2sin sin = - 2 sin sin (таккакsin = , то)=

2 ∙ ∙ sin = - sin.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение cos6х + cos2х =0.

Решение. Преобразовав сумму косинусов в произведение по формуле:

(cos х + cosу = 2 cos cos,

получим 2cos4х cos2х = 0. Это уравнение обращается в верное равенство, если

ПРИМЕР 2. Решить уравнение sin7х + sin3х - sin5х =0.

Решение. Для суммы первого и второго слагаемых применим формулу сумма синусов

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

(sin7х + sin3х) - sin5х =0

2 sincos - sin5х =0

sin5х(2 cos2х - 1) = 0.

sin5х = 0 или 2 cos2х - 1 = 0,

Решений уравнения sint = a принята для а=0:

sint = 0 при t = πk,

тогда получаем

х = , (пи эн, деленное на пять)

Используя Табличные значения косинуса и определение решения уравнения cost = a, где (| а | 1) записывая в общем виде:

t = arccosа + 2πk

второе уравнение cos2х= имеет следующие решения

2х= arccos + 2πn,

(плюс минус пи на шесть плюс пи эн).

Данный видеоурок составлен для учеников 10 класса. С помощью нее они смогут изучить тему «Преобразования произведений тригонометрических выражений в суммы». Сопровождается обучающий материал спокойным мужским голосом. С помощью нее можно провести интересный и познавательный урок в школе. Благодаря иллюстрациям и определениям, которые выводятся понятным текстом на экран, школьники смогут быстрее и эффективнее понять данную тему.

Несмотря на то, что тригонометрия, как наука, появилась достаточно давно, она не утратила свою актуальность и по сей день. В различных науках появляются задачи, при решениях которых школьникам придется столкнуться с данной областью. По этой причине, они должны уметь справляться с примерами различной сложности, рассматривать функции, содержащие синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы и т.д.

Так как тригонометрия содержит в себе огромное количество формул, без которых упрощения того или иного выражения заняло бы огромное количество времени. Поэтому очень важным является запоминание и понимание этих формул. Если понять способ их выведения, можно с легкостью их запомнить и применять на практике. Для того чтобы они остались в памяти на долгое время, необходимо укрепить их на практике. Поэтому, необходимо учителям задавать на дом большое количество тригонометрических выражений и уравнений школьникам.

Данный видеоурок составлен профессионалами. Он имеет последовательную структуру, нет никакой лишней и ненужной информации, которая отклоняется от учебного плана.

Школьникам уже известно, как необходимо преобразовывать тригонометрические уравнения суммы в произведение. Как же выполняться при необходимости обратный процесс? Иногда для упрощения того или иного выражения это будет являться необходимостью.

Начинается рассмотрения с приведения примера. Записывается произведения синуса некоторого tна косинус такого же значения. Преобразовывается данное выражение через дробь, где в числителе мы видим сумму синуса суммы аргументов и разности, деленную на 2.

Аналогичным образом преобразовывается произведение синус некоторого s на синус t.

Для того чтобы закрепить данные выражения практикой предлагается решить некоторые примеры. В первом из них предлагается найти числовой ответ для выражения, представляющее собой произведение синуса 2х на косинус 9х. При решении данного примера используется ранее изученная формула. На экране выводится подробное решение примера, также показывается, какая именно формула используется.

Далее рассматривается еще один пример, где предлагается преобразовать произведение в сумму. С правой стороны выводятся все выкладки и объяснения. Понять, как решается этот пример не так сложно, ведь диктор все подробно комментирует.

Третий пример предлагает упросить выражение, которое состоит из произведения трех синусов некоторых градусных величин. При упрощении используется формула преобразования произведения синусов в сумму. При решении данного примера обращается внимание на то, что функция косинуса является четной функцией. Таким образом, правильно определяются знаки. Выводится ответ. Решение достаточно объемное, однако, если пошагово его рассмотреть, то ничего непонятного не останется.

Четвертый же пример содержит тригонометрическое уравнение, при решении которого необходимо использовать изученные формулы, как на данном уроке, так и на предыдущих видео.

Как уже было сказано, с помощью данной презентации можно провести интересный урок для десятиклассников. Скачать материал могут и репетиторы и школьники. С помощью него, можно визуально показать ученику пошаговое решение примеров, на подобии которых будут попадаться школьникам, как во время выполнения домашних заданий, так и на самостоятельных и контрольных работах в школе.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Преобразование произведений тригонометрических выражений в суммы

Вам уже известно, что любая математическая формула на практике применяется справа налево и слева направо. Следовательно, применяя формулу в обратном направлении, мы можем произведение тригонометрической функции преобразовать в сумму.

Рассмотрим пример:

из формулы преобразования сумм синусов аргументов ес и тэ в произведениеsin(s +t ) + sin(s - t ) = 2 sins cost

можно получить еще одну формулу:

sins cost = (произведение синуса аргумента эс на косинус аргумента тэ равно полусумме синуса суммы аргументов эс и тэ и синуса разности аргументов эс и тэ, причем разность берется так, что из аргумента, стоящего под знаком синуса, вычитается угол, стоящий под знаком косинуса.)

sin(s + t ) + sin(s - t ) = 2 sin s cos t

sins cost =

Аналогично, из формулы преобразования сумм косинусов аргументов ес и тэ в произведение cos (s +t )+ cos(s - t ) =2 coss cost получим

coss cost = (произведение косинусов аргументов эс и тэ равно полусумме косинуса суммы этих аргументов и косинуса их разности).

И из формулы преобразования разности косинусов аргументов ес и тэ в произведениеcos (s +t ) - cos(s - t ) = - 2sins sint имеем

sins sint = (произведение синусов аргументов эс и тэ равно полуразности косинуса разности этих аргументов и косинуса их суммы).

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1. Преобразовать произведение в сумму sin2х cos9х.

Решение. При решении будем использовать формулу sins cost = , где s= 2х, t=9х. Тогда запишем

sin2хcos 9х = = (учитывая, что

sin (-у) = - sin у, получим ) = (полуразность синуса одиннадцати икс и синуса семи икс).

Ответ: sin2х cos9х=.

ПРИМЕР 2. Преобразовать произведение в сумму cos(2х - у) cos(х + 4у) (произведение косинуса аргумента два икс минус игрек на косинус аргумента икс плюс четыре игрек).

Решение. При решении будем использовать формулу coss cost = , где s= (2х-у), t=(х+4у). Тогда

cos(2х - у) cos(х + 4у) = = раскроем скобки = , произведем вычисления и получим

= (полусумма косинуса аргумента три икс плюс три игрек и косинуса аргумента икс минус пять игрек).

ПРИМЕР 3. Упростить выражение sin20°sin40° sin80°.

Решение. Применим формулу: sins sint = .

sin 20°sin 40° sin 80°= ∙ sin 80°= ∙ sin 80°=

(учтем, что косинус - функция четная, значит,

= ∙ sin 80° Так как cos60°=

= ∙ sin 80°= ∙) ∙ sin 80°=

(заметим, что sin 80°= sin(90° - 10°)= cos10°, значит получим, что)

= ∙) ∙ cos10° = раскроем скобки = ∙ cos10° - ∙ cos10°

(применим формулу coss cost =)

= ∙ - ∙ cos10°= ∙() - ∙ cos10°=

раскроем скобки

(вспомним, что =)

Ответ: sin20°sin40° sin80° = .

ПРИМЕР 4. Решить уравнение 2 sin2х cos9х - sin11х =0.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу

sin s cos t = , гдеs=2x, a t=9x получим:

2 ∙ - sin11х = sin11х = .

Итак, данное уравнение равносильно уравнению = 0(минус синус семи икс равно нулю). Значит, = πn, откуда х = , .

Ключ к успеху при суммировании лежит в нашей способности преобразовывать одну сумму в другую - либо упрощающую исходную, либо приближающую нас к цели. А выучив несколько основных правил преобразования и поупражнявшись в их применении, можно легко овладеть такой способностью.

Пусть К - некоторое конечное множество целых чисел. Суммы по элементам из К можно преобразовывать, исходя из трех простых правил:

Распределительный закон разрешает вводить и выводить постоянные под знак и за знак . Сочетательный закон позволяет разбивать одну сумму на две или объединять две суммы в одну. Переместительный закон гласит, что члены суммы можно переставлять в любом требуемом порядке; здесь - некоторая перестановка множества всех целых чисел. Например, если и если то три этих закона утверждают соответственно, что

Уловку Гаусса из гл. 1 можно рассматривать как одно из применений этих трех основных законов. Предположим, мы хотим

вычислить сумму арифметической прогрессии общего вида

Согласно переместительному закону, заменив к на получим

Два этих уравнения можно сложить, используя сочетательный закон:

А теперь применим распределительный закон и вычислим тривиальную сумму:

Разделив на 2, выясняем, что

Правую часть можно запомнить как среднее первого и последнего членов, а именно как помноженное на число членов, т. е. на

Важно иметь в виду, что функция в общей форме переместительного закона (2.17) считается перестановкой всех целых чисел. Другими словами, для каждого целого должно существовать в точности одно целое к, такое, что . В противном случае переместительный закон может и не выполняться - упр. 3 тому наглядный пример. Преобразования типа с или где с - целая константа, всегда представляют собой перестановки, поэтому с ними все в порядке.

Впрочем, можно слегка ослабить ограничение на перестановку: достаточно всего лишь, чтобы существовало в точности одно целое к, такое, что когда - элемент индексного множества К. Если (т. е. если не принадлежит К), то не существенно, как часто имеет место равенство поскольку подобное к не участвует в сумме. Так, к примеру, можно утверждать, что

ибо имеется в точности одно к, такое, что когда - четное.

Нотация Айверсона, позволяющая получать 0 или 1 в качестве значений логических выражений внутри некоторой формулы, может быть использована вкупе с распределительным, сочетательным и переместительным законами для выявления дополнительных свойств сумм. Вот, к примеру, важное правило объединения различных множеств индексов: если - некоторые множества целых чисел, то

Это вытекает из общих формул

Обычно используется правило (2.20) либо для объединения двух почти непересекающихся индексных множеств, как в случае

либо для выделения отдельного члена суммы, как в случае

Подобная операция выделения члена составляет основу метода приведения, зачастую позволяющего вычислить ту или иную сумму в замкнутой форме. Суть этого метода заключается в том, чтобы начать с подлежащей вычислению суммы и обозначить ее

(Обозначай и властвуй.) Затем мы переписываем двумя способами, выделяя как последний, так и первый члены:

Теперь можно заняться последней суммой и попытаться выразить ее через Если попытка окажется удачной, мы получим уравнение, решением которого и будет искомая сумма.

Воспользуемся, к примеру, этим подходом для нахождения суммы геометрической прогрессии общего вида

В соответствии с общей схемой приведения (2.24) сумма переписывается в виде

а сумма в правой части равняется распределительному закону. Таким образом, и, разрешая это уравнение относительно получаем

(При х = 1 данная сумма, разумеется, равна просто Правую часть этой формулы можно запомнить как разность первого входящего и первого не входящего в сумму членов, деленную на разность 1 и знаменателя прогрессии.

Все это было довольно простым делом, поэтому давайтека испытаем метод приведения на несколько более трудной сумме,