В ряде задач математики и её приложений требуется по известному значению тригонометрической функции найти соответствующее значение угла, выраженное в градусной или в радианной мере. Известно, что одному и тому же значению синуса соответствует бесконечное множество углов, например, если $\sin α=1/2,$ то угол $α$ может быть равен и $30°$ и $150°,$ или в радианной мере $π/6$ и $5π/6,$ и любому из углов, который получается из этих прибавлением слагаемого вида $360°⋅k,$ или соответственно $2πk,$ где $k$ - любое целое число. Это становится ясным и из рассмотрения графика функции $y=\sin x$ на всей числовой прямой (см. рис. $1$): если на оси $Oy$ отложить отрезок длины $1/2$ и провести прямую, параллельную оси $Ox,$ то она пересечет синусоиду в бесконечном множестве точек. Чтобы избежать возможного разнообразия ответов, вводятся обратные тригонометрические функции, иначе называемые круговыми, или аркфункциями (от латинского слова arcus - «дуга»).
Основным четырем тригонометрическим функциям $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm{tg}\,x$ и $\mathrm{ctg}\,x$ соответствуют четыре аркфункции $\arcsin x,$ $\arccos x,$ $\mathrm{arctg}\,x$ и $\mathrm{arcctg}\,x$ (читается: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс). Рассмотрим функции \arcsin x и \mathrm{arctg}\,x, поскольку две другие выражаются через них по формулам:
$\arccos x = \frac{π}{2} − \arcsin x,$ $\mathrm{arcctg}\,x = \frac{π}{2} − \mathrm{arctg}\,x.$
Равенство $y = \arcsin x$ по определению означает такой угол $y,$ выраженный в радианной мере и заключенный в пределах от $−\frac{π}{2}$ до $\frac{π}{2},$ синус которого равен $x,$ т. е. $\sin y = x.$ Функция $\arcsin x$ является функцией, обратной функции $\sin x,$ рассматриваемой на отрезке $\left[−\frac{π}{2},+\frac{π}{2}\right],$ где эта функция монотонно возрастает и принимает все значения от $−1$ до $+1.$ Очевидно, что аргумент $y$ функции $\arcsin x$ может принимать значения лишь из отрезка $\left[−1,+1\right].$ Итак, функция $y=\arcsin x$ определена на отрезке $\left[−1,+1\right],$ является монотонно возрастающей, и её значения заполняют отрезок $\left[−\frac{π}{2},+\frac{π}{2}\right].$ График функции показан на рис. $2.$
При условии $−1 ≤ a ≤ 1$ все решения уравнения $\sin x = a$ представим в виде $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0,±1,± 2,… .$ Например, если
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ то $x = (−1)^n \frac{π}{4}+πn,$ $n = 0, ±1, ±2, … .$
Соотношение $y=\mathrm{arcctg}\,x$ определено при всех значениях $x$ и по определению означает, что угол $y,$ выраженный в радианной мере, заключей в пределах
$−\frac{π}{2}
и тангенс этого угла равен x, т. е. $\mathrm{tg}\,y = x.$ Функция $\mathrm{arctg}\,x$ определена на всей числовой прямой, является функцией, обратной функции $\mathrm{tg}\,x$, которая рассматривается лишь на интервале
$−\frac{π}{2}
Функция $у = \mathrm{arctg}\,x$ монотонно возрастающая, её график дан на рис. $3.$
Все решения уравнения $\mathrm{tg}\,x = a$ могут быть записаны в виде $x=\mathrm{arctg}\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$
Заметим, что обратные тригонометрические функции широко используются в математическом анализе. Например, одной из первых функций, для которых было получено представление бесконечным степенным рядом, была функция $\mathrm{arctg}\,x.$ Из этого ряда Г. Лейбниц при фиксированном значении аргумента $x=1$ получил знаменитое представление числа к бесконечным рядом
К обратным тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: арксинус , арккосинус , арктангенс , арккотангенс , арксеканс и арккосеканс .
Поскольку исходные тригонометрические функции периодические, то обратные функции, вообще говоря, являются многозначными . Чтобы обеспечить однозначное соответствие между двумя переменными, области определения исходных тригонометрических функций ограничивают, рассматривая лишь их главные ветви . Например, функция \(y = \sin x\) рассматривается лишь в промежутке \(x \in \left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\). На этом интервале обратная функция арксинус определена однозначно.
Функция арксинус
Арксинусом числа \(a\) (обозначается \(\arcsin a\)) называется значение угла \(x\) в интервале
\(\left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\), при котором
\(\sin x = a\). Обратная функция \(y = \arcsin x\) определена при \(x \in \left[ { -1,1} \right]\), область ее значений равна
\(y \in \left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\).
Функция арккосинус
Арккосинусом числа \(a\) (обозначается \(\arccos a\)) называется значение угла \(x\) в интервале \(\left[ {0,\pi} \right]\),
при котором \(\cos x = a\). Обратная функция \(y = \arccos x\) определена при
\(x \in \left[ { -1,1} \right]\), область ее значений принадлежит отрезку
\(y \in \left[ {0,\pi} \right]\).
Функция арктангенс
Арктангенсом числа a
(обозначается \(\arctan a\)) называется значение угла \(x\) в открытом интервале
\(\left({-\pi/2, \pi/2} \right)\), при котором \(\tan x = a\).
Обратная функция \(y = \arctan x\) определена при всех \(x \in \mathbb{R}\), область значений арктангенса равна
\(y \in \left({-\pi/2, \pi/2} \right)\).
Функция арккотангенс
Арккотангенсом числа \(a\) (обозначается \(\text{arccot } a\)) называется значение угла \(x\) в открытом интервале
\(\left[ {0,\pi} \right]\), при котором
\(\cot x = a\). Обратная функция \(y = \text{arccot } x\) определена при всех
\(x \in \mathbb{R}\), область ее значений находится в интервале
\(y \in \left[ {0,\pi} \right]\).
Функция арксеканс
Арксекансом числа \(a\) (обозначается \(\text{arcsec } a\)) называется значение угла \(x\), при котором
\(\sec x = a\). Обратная функция \(y = \text{arcsec } x\) определена при
\(x \in \left({ - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right)\), область ее значений
принадлежит множеству
\(y \in \left[ {0,\pi /2} \right) \cup \left({\pi /2,\pi } \right]\).
Функция арккосеканс
Арккосекансом числа \(a\) (обозначается \(\text{arccsc } a\) или \(\text{arccosec } a\)) называется значение угла \(x\), при котором
\(\csc x = a\). Обратная функция \(y = \text{arccsc } x\) определена при
\(x \in \left({ - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right)\), область ее значений
принадлежит множеству \(y \in \left[ { - \pi /2,0} \right) \cup \left({0,\pi /2} \right]\).
Главные значения функций арксинус и арккосинус (в градусах)
\(x\) | \(-1\) | \(-\sqrt 3/2\) | \(-\sqrt 2/2\) | \(-1/2\) | \(0\) | \(1/2\) | \(\sqrt 2/2\) | \(\sqrt 3/2\) | \(1\) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\arcsin x\) | \(-90^\circ\) | \(-60^\circ\) | \(-45^\circ\) | \(-30^\circ\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) |
\(\arccos x\) | \(180^\circ\) | \(150^\circ\) | \(135^\circ\) | \(120^\circ\) | \(90^\circ\) | \(60^\circ\) | \(45^\circ\) | \(30^\circ\) | \(0^\circ\) |
Главные значения функций арктангенс и арккотангенс (в градусах)
\(x\) | \(-\sqrt 3\) | \(-1\) | \(-\sqrt 3/3\) | \(0\) | \(\sqrt 3/3\) | \(1\) | \(\sqrt 3\) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\arctan x\) | \(-60^\circ\) | \(-45^\circ\) | \(-30^\circ\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) |
\(\text{arccot } x\) | \(150^\circ\) | \(135^\circ\) | \(120^\circ\) | \(90^\circ\) | \(60^\circ\) | \(45^\circ\) | \(30^\circ\) |
Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции
09.07.2015 8495 0Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Изучение нового материала
1. Обратные тригонометрические функции
Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.
Пример 1
Решим уравнение: a ) sin x = 1/2; б) sin x = а.
а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x 1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x 1 . По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения: где k ∈ Z .
б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а. Тогда решения данного уравнения можно записать в виде Эти две формулы можно объединить в одну: при этом
Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.
Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции. Такая задача является многозначной - существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению. Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.
Арксинус числа a (arcsin , синус которого равен а, т. е.
Арккосинус числа a (arccos а) - такой угол а из промежутка , косинус которого равен а, т. е.
Арктангенс числа a (arctg а) - такой угол а из промежутка тангенс которого равен а, т. е. tg а = а.
Арккотангенс числа a (arcctg а) - такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е. ctg а = а.
Пример 2
Найдем:
Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:
Пример 3
Вычислим
Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим: Учтено, что и cos a ≥ 0. Итак,
Свойства функции | Функция |
|||
у = arcsin х | у = arccos х | у = arctg х | у = arcctg х |
|
Область определения | х ∈ [-1; 1] | х ∈ [-1; 1] | х ∈ (-∞; +∞) | х ∈ (-∞ +∞) |
Область значений | y ∈ [ -π/2 ; π /2 ] | y ∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0; π) |
Четность | Нечетная | Ни четная, ни нечетная | Нечетная | Ни четная, ни нечетная |
Нули функции (y = 0) | При х = 0 | При х = 1 | При х = 0 | у ≠ 0 |
Промежутки знакопостоянства | у > 0 при х ∈ (0; 1], у < 0 при х ∈ [-1; 0) | у > 0 при х ∈ [-1; 1) | у > 0 при х ∈ (0; +∞), у < 0 при х ∈ (-∞; 0) | у > 0 при x ∈ (-∞; +∞) |
Монотонность | Возрастает | Убывает | Возрастает | Убывает |
Связь с тригонометрической функцией | sin у = х | cos у = х | tg у = х | ctg у = х |
График |
Приведем еще ряд типичных примеров, связанных с определениями и основными свойствами обратных тригонометрических функций.
Пример 4
Найдем область определения функции
Для того чтобы функция у была определена, необходимо выполнение неравенства которое эквивалентно системе неравенств Решением первого неравенства является промежуток х ∈ (-∞; +∞), второго - Этот промежуток и является решением системы неравенств, а следовательно, и областью определения функции
Пример 5
Найдем область изменения функции
Рассмотрим поведение функции z = 2х - х2 (см. рисунок).
Видно, что z ∈ (-∞; 1]. Учитывая, что аргумент z функции арккотангенса меняется в указанных пределах, из данных таблицы получим, что Таким образом, область изменения
Пример 6
Докажем, что функция у = arctg х нечетная. Пусть Тогда tg а = -х или х = - tg а = tg (- a ), причем Следовательно, - a = arctg х или а = - arctg х. Таким образом, видим, что т. е. у(х) - функция нечетная.
Пример 7
Выразим через все обратные тригонометрические функции
Пусть Очевидно, что Тогда Так как
Введем угол Так как то
Аналогично поэтому и
Итак,
Пример 8
Построим график функции у = cos (arcsin х).
Обозначим а = arcsin x , тогда Учтем, что х = sin а и у = cos а, т. е. x 2 + у2 = 1, и ограничения на х (х ∈ [-1; 1]) и у (у ≥ 0). Тогда графиком функции у = cos (arcsin х) является полуокружность.
Пример 9
Построим график функции у = arccos (cos x ).
Так как функция cos х изменяется на отрезке [-1; 1], то функция у определена на всей числовой оси и изменяется на отрезке . Будем иметь в виду, что у = arccos (cos x ) = х на отрезке ; функция у является четной и периодической с периодом 2π. Учитывая, что этими свойствами обладает функция cos x , теперь легко построить график.
Отметим некоторые полезные равенства:
Пример 10
Найдем наименьшее и наибольшее значения функции Обозначим тогда Получим функцию Эта функция имеет минимум в точке z = π/4, и он равен Наибольшее значение функции достигается в точке z = -π/2, и оно равно Таким образом, и
Пример 11
Решим уравнение
Учтем, что Тогда уравнение имеет вид: или откуда По определению арктангенса получим:
2. Решение простейших тригонометрических уравнений
Аналогично примеру 1 можно получить решения простейших тригонометрических уравнений.
Уравнение | Решение |
tgx = а | |
ctg х = а |
Пример 12
Решим уравнение
Так как функция синус нечетная, то запишем уравнение в виде Решения этого уравнения: откуда находим
Пример 13
Решим уравнение
По приведенной формуле запишем решения уравнения: и найдем
Заметим, что в частных случаях (а = 0; ±1) при решении уравнений sin х = а и cos х = а проще и удобнее использовать не общие формулы, а записывать решения на основании единичной окружности:
для уравнения sin х = 1 решения
для уравнения sin х = 0 решения х = π k ;
для уравнения sin х = -1 решения
для уравнения cos х = 1 решения х = 2π k ;
для уравнения cos х = 0 решения
для уравнения cos х = -1 решения
Пример 14
Решим уравнение
Так как в данном примере имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решение: откуда найдем
III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)
1. Дайте определение и перечислите основные свойства обратных тригонометрических функций.
2. Приведите графики обратных тригонометрических функций.
3. Решение простейших тригонометрических уравнений.
IV. Задание на уроках
§ 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;
§ 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);
§ 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).
V. Задание на дом
§ 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;
§ 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);
§ 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).
VI. Творческие задания
1. Найдите область определения функции:
Ответы :
2. Найдите область значений функции:
Ответы:
3. Постройте график функции:
VII. Подведение итогов уроков
Функция, обратная косинусу
Областью значений функции y=cos x (см. рис. 2) является отрезок. На отрезке функция непрерывна и монотонно убывает.
Рис. 2
Значит, на отрезке определена функция, обратная функции y=cos x. Эту обратную функцию называют арккосинусом и обозначают y=arccos x .
Определение
Aрккосинусом числа а, если |а|1, называют угол, косинус которого принадлежит отрезку; его обозначают arccos а.
Таким образом, arccos а есть угол, удовлетворяющий следующим двум условиям: сos (arccos a)=a, |а|1; 0? arccos a ?р.
Например, arccos, так как cos и; arccos, так как cosи.
Функция y = arccos x (рис. 3) определена на отрезке, областью ее значений является отрезок. На отрезке функция y=arccos x непрерывна и монотонно убывает от р до 0 (поскольку y=cos х - непрерывная и монотонно убывающая функция на отрезке); на концах отрезка она достигает своих экстремальных значений: arccos(-1)= р, arccos 1= 0. Отметим, что arccos 0 = . График функции y = arccos x (см. рис. 3) симметричен графику функции y = cos x относительно прямой y=x .
Рис. 3
Покажем, что имеет место равенство arccos(-x) = р-arccos x.
В самом деле, по определению 0 ? arcсos х? р. Умножая на (-1) все части последнего двойного неравенства, получаем - р? arcсos х? 0. Прибавляя р ко всем частям последнего неравенства, находим, что 0? р-arccos х? р.
Таким образом, значения углов arccos(-х) и р - arccos х принадлежат одному и тому же отрезку. Поскольку на отрезке косинус монотонно убывает, то на нем не может быть двух различных углов, имеющих равные косинусы. Найдем косинусы углов arccos(-х) и р-arccos х. По определению cos (arccos x) = - x, по формулам приведения и по определению имеем: cos (р - - arccos х) = - cos (arccos х)= - х. Итак, косинусы углов равны, значит, равны и сами углы.
Функция, обратная синусу
Рассмотрим функцию y=sin х (рис. 6), которая на отрезке [-р/2;р/2] возрастающая, непрерывная и принимает значения из отрезка [-1; 1]. Значит, на отрезке [- р/2; р/2] определена функция, обратная функции y=sin x.
Рис. 6
Эту обратную функцию называют арксинусом и обозначают y=arcsin x. Введем определение арксинуса числа а .
Арксинусом числа а, если называют угол (или дугу), синус которого равен числу а и который принадлежит отрезку [-р/2; р/2]; его обозначают arcsin а.
Таким образом, arcsin а есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -р/2 ? arcsin а? р/2. Например, так как sin и [- р/2; р/2]; arcsin , так как sin = и [- р/2; р/2].
Функция y=arcsin х (рис. 7) определена на отрезке [- 1; 1], областью ее значений является отрезок [-р/2;р/2]. На отрезке [- 1; 1] функция y=arcsin x непрерывна и монотонно возрастает от -р/2 до р/2 (это следует из того, что функция y=sin x на отрезке [-р/2; р/2] непрерывна и монотонно возрастает). Наибольшее значение она принимает при x =1: arcsin 1 = р/2, а наименьшее - при х = -1: arcsin (-1) = -р/2. При х = 0 функция равна нулю: arcsin 0 = 0 .
Покажем, что функция y = arcsin x является нечетной, т.е. arcsin (-х) = - arcsin х при любом х [- 1; 1].
Действительно, по определению, если |x| ?1, имеем: - р/2 ? arcsin x ? ? р/2. Таким образом, углы arcsin (-х) и - arcsin х принадлежат одному и тому же отрезку [- р/2; р/2].
Найдем синусы этих углов: sin (arcsin(-х)) = - х (по определению); поскольку функция y=sin x нечетная, то sin (-arcsin х)= - sin (arcsin x)= - х. Итак, синусы углов, принадлежащих одному и тому же промежутку [-р/2; р/2], равны, значит, равны и сами углы, т.е. arcsin (-х)= - arcsin х. Значит, функция y=arcsin x - нечетная. График функции y=arcsin x симметричен относительно начала координат.
Покажем, что arcsin (sin x) = х для любого х [-р/2; р/2].
Действительно, по определению -р/2 ? arcsin (sin x) ? р/2, а по условию -р/2 ? x ? р/2. Значит, углы х и arcsin (sin x) принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции y=sin x. Если синусы таких углов равны, то равны и сами углы. Найдем синусы этих углов: для угла х имеем sin x, для угла arcsin (sin x) имеем sin (arcsin(sin x)) = sin x. Получили, что синусы углов равны, следовательно, и углы равны, т.е. arcsin (sin x) = х. .
Рис. 7
Рис. 8
График функции arcsin (sin|x|) получается обычными преобразованиями, связанными с модулем, из графика y=arcsin (sin x) (изображен штриховой линией на рис. 8). Искомый график y=arcsin (sin |x-/4|) получается из него сдвигом на /4 вправо вдоль оси абсцисс (изображен сплошной линией на рис. 8)
Функция, обратная тангенсу
Функция y=tg x на промежутке принимает все числовые значения: E (tg x)=. На этом промежутке она непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на промежуткеопределена функция, обратная функции y = tg x. Эту обратную функцию называют арктангенсом и обозначают y = arctg x .
Арктангенсом числа а называют угол из промежутка, тангенс которого равен а. Таким образом, arctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: tg (arctg a) = a и 0 ? arctg a ? р.
Итак, любому числу х всегда соответствует единственное значение функции y = arctg x (рис. 9) .
Очевидно, что D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Функция y = arctg x является возрастающей, поскольку функция y = tg x возрастает на промежутке. Нетрудно доказать, что arctg(-x) = - arctgx, т.е. что арктангенс - нечетная функция.
Рис. 9
График функции y = arctg x симметричен графику функции y = tg x относительно прямой y = x, график y = arctg x проходит через начало координат (ибо arctg 0 = 0) и симметричен относительно начала координат (как график нечетной функции).
Можно доказать, что arctg (tg x) = x, если x.
Функция, обратная котангенсу
Функция y = ctg x на промежутке принимает все числовые значения из промежутка. Область ее значений совпадает с множеством всех действительных чисел. В промежутке функция y = ctg x непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на этом промежутке определена функция, обратная функции y = ctg x. Функцию, обратную котангенсу, называют арккотангенсом и обозначают y = arcctg x .
Арккотангенсом числа а называют угол, принадлежащий промежутку, котангенс которого равен а.
Таким образом, аrcctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: ctg (arcctg a)=a и 0 ? arcctg a ? р.
Из определения обратной функции и определения арктангенса следует, что D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Арккотангенс является убывающей функцией, поскольку функция y = ctg x убывает в промежутке.
График функции y = arcctg x не пересекает ось Ох, так как y > 0 R. При х = 0 y = arcctg 0 =.
График функции y = arcctg x изображен на рисунке 11.
Рис. 11
Отметим, что для всех действительных значений х верно тождество: arcctg(-x) = р-arcctg x.
Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x , при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны . Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x . Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y .
Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.
Арксинус (y = arcsin
x
) - это функция, обратная к синусу (x = sin
y
Арккосинус (y = arccos
x
) - это функция, обратная к косинусу (x = cos
y
), имеющая область определения и множество значений .
Арктангенс (y = arctg
x
) - это функция, обратная к тангенсу (x = tg
y
), имеющая область определения и множество значений .
Арккотангенс (y = arcctg
x
) - это функция, обратная к котангенсу (x = ctg
y
), имеющая область определения и множество значений .
Графики обратных тригонометрических функций
Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x . См. разделы Синус, косинус , Тангенс, котангенс .
y = arcsin x
y = arccos
x
y = arctg
x
y = arcctg
x
Основные формулы
Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.
arcsin(sin
x)
= x
при
sin(arcsin
x)
= x
arccos(cos
x)
= x
при
cos(arccos
x)
= x
arctg(tg
x)
= x
при
tg(arctg
x)
= x
arcctg(ctg
x)
= x
при
ctg(arcctg
x)
= x
Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции
См. также: Вывод формул обратных тригонометрических функцийФормулы суммы и разности
при или
при и
при и
при или
при и
при и
при
при
при
при
при
при
при
при
при
при
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.