КА́НТОР Георг (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ; 1845, Петербург, - 1918, Галле, Германия), немецкий математик и мыслитель.

С 1856 г. жил в Германии . Окончил гимназию в Берлине , изучал математику в университетах Цюриха, Геттингена и Берлина. В 1867–1913 гг. работал в университете в Галле: ассистент, с 1872 г. - экстраординарный, а с 1879 г. - ординарный профессор. Научная деятельность Кантора прервалась в 1897 г. из-за тяжелой болезни.

Кантор - создатель теории множеств и теории трансфинитных чисел. В 1874 г. он установил существование неэквивалентных, то есть имеющих разные мощности бесконечных множеств, в 1878 г. ввел общее понятие мощности множеств (в предложенном им и принятом в математике обозначении мощностей множеств буквами еврейского алфавита , возможно, сказалось его еврейское - по отцу - происхождение). В главном труде «О бесконечных линейных точечных образованиях» (1879–84) Кантор систематически изложил учение о множествах и завершил его построением примера совершенного множества (так называемое множество Кантора).

В начале 20 в. на основе теории множеств была построена вся математика и возник ряд новых научных дисциплин - топология, абстрактная алгебра, теория функций действительного переменного, функциональный анализ и другие.

Теория множеств открыла новую страницу также в исследованиях оснований математики - работы Кантора позволили впервые отчетливо сформулировать современные общие представления о предмете математики, строении математических теорий, роли аксиоматики и понятии изоморфизма систем объектов, заданных вместе со связывающими их отношениями. Важный толчок исследованиям логических оснований математики дали обнаруженные в теории множеств парадоксы, в частности, открытая Кантором проблема мощности множества всех множеств (которое неизбежно оказалось бы больше самого себя). Кантор развил также теорию действительных чисел, которая (наряду с теориями К. Вейерштрасса и Р. Дедекинда) кладется в основание построения математического анализа.

В философии математики Кантор анализировал проблему бесконечности. Различая два вида математического бесконечного - несобственное (потенциальное) и собственное (актуальное, понимаемое как завершенное целое), - Кантор, в отличие от предшественников, настаивал на законности оперирования в математике понятием актуально бесконечного. Сторонник платонизма, Кантор в математическом актуально бесконечном видел одну из форм актуально бесконечного вообще, обретающего высочайшую завершенность в абсолютном Божественном бытии.

В проблеме существования в математике Кантор различал интрасубъективную, или имманентную (то есть внутреннюю логическую непротиворечивость), и транссубъективную, или транзистентную (то есть соответствие процессам внешнего мира), реальность математических объектов. В противовес Л. Кронекеру , отвергавшему все не связанные с построением или вычислением способы введения новых математических объектов, Кантор допускал конструирование любых логически непротиворечивых абстрактных математических систем. Плодотворность этого подхода была подтверждена развитием математики в 20 в.

Признание пришло к Кантору лишь к концу творческого периода его жизни. В 1890 г. он был избран первым президентом Математического общества Германии.

В русском переводе ряд статей Кантора вошли в сборник «Новые идеи в математике», №6, СПб., 1914.

КАНТОР Георг (1845-1918) - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории трансфинитных (бесконечных) множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19- 20 вв. Окончил Университет Берлина (1867), профессор Университета Халле (1879-1913). Главный труд: "Основы общего учения о многообразиях" (1902). Исследования К., инициированные необходимостью решения насущных проблем теории бесконечных рядов Фурье, стали основой для дальнейших фундаментальных исследований в направлении теории числовых множеств, где им были введены: общее определение множества, трансфинитные числа, общее понятие "мощность множества" (как количество элементов множества), мощности различных трансфинитных множеств. Под множеством К. понимал "...вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона...". Основополагающим в понятии множества является акт объединения различных объектов в единое целое, определяемое как множество. Элементами множеств могут быть любые объекты реальной дейсвительности, человеческой интуиции или интеллекта. Наличие в определении К. словосочетания "...совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона..." полностью определяет множество его элементами или законом (характеристическими признаками, свойствами), согласно которому происходит акт объединения различных объектов в единое целое - множество. Поэтому фундаментальным понятием теории множеств является не само понятие множества, а отношение принадлежности объектов множеству. К Аристотелю восходит традиция разделения бесконечности на актуальную и потенциальную: "Остается альтернатива, согласно которой бесконечное имеет потенциальное существование... Актуально бесконечное не существует" (Аристотель, "Физика"). Эта традиция продолжалась Декартом ("Бесконечность распознаваема, но не познаваема") и даже во времена К.Гаусса ("В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное; бесконечность - не более чем facon de parle /манера выражаться - С.С /, означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают"). К., как писал М.Клайн, отошел от давней традиции "уже тем, что рассматривал бесконечные множества как единые сущности, притом сущности, доступные человеческому разуму". Резко расходясь со своими коллегами-математиками во взглядах на математическую бесконечность, К. мотивировал необходимость введения актуально бесконечных множеств тем, что "потенциальная бесконечность в действительности зависит от логически предшествующей ей актуальной бесконечности". Классическим примером актуально бесконечного множества по К. являются десятичные разложения иррациональных чисел, т.к. каждый "конечный отрезок такого разложения дает лишь конечное приближение к иррациональному числу". К 1873 относится начало исследований К. по классификации актуально бесконечных множеств. Немного позднее К. определил бесконечное множество как множество, для которого существует взаимно однозначное соответствие с его собственным подмножеством (т.е. отличным от всего множества). Одним из следствий такого подхода стала, например, возможность установления взаимно однозначного соответствия между точками прямой линии и точками многообразия любой размерности. Основываясь на собственном определении бесконечных множеств, К. смог установить для каждой пары из них отношение эквивалентности (равномощности). В 1874 К. доказал несчетность множества всех действительных чисел, установив при этом существование пар бесконечных множеств, имеющих различные мощности (неэквивалентных множеств). Систематически основы своей теории математической бесконечности К. изложил в 1879-1884. Основанием иерархии бесконечностей К. стала доказанная в первой половине 1890-х широко известная теорема К.-Бернштейна: "если два множества А и В таковы, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством А и подмножеством множества В и между множеством В и подмножеством множества А, то возможно установить также и взаимно однозначное соответствие между множеством А и множеством В", т.е. установить равномощность (эквивалентность) множеств А и В. При этом, К. определял, что если множество А возможно поставить во взаимно однозначное соответствие с собственным подмножеством В, а множество В невозможно поставить во взаимно однозначное соответствие с собственным подмножеством А, то множество В по определению больше множества А. По мнению М.Клайна, такое определение обобщает на случай бесконечных множеств то, что "непосредственно очевидно в случае конечных множеств". Следуя данному подходу, К. доказал, что для любого "заданного множества всегда найдется множество, большее исходного" (например, множество всех подмножеств данного множества больше первоначального множества). То, что между двумя мощностями возможно установление отношений "равенство", "больше" и "меньше", дало К. основание назвать "числами" символы обозначения мощностей бесконечных множеств (для конечных множеств символы обозначения их мощности суть числа натурального ряда, определяющие количество элементов в каждом из эквивалентных конечных множеств). В отличие от чисел натурального ряда [ординальных чисел /от нем. Die Ordinalzahl (Ordnungzahl) - числительные порядковые - C.C.I, К. назвал кардинальными числами (от нем. Die Kardinalzahl - числительные количественные)] "числа" обозначения мощности бесконечных множеств. К. считал, что область определенных величин не исчерпывается конечными величинами, т.к. об "актуальном бесконечном также возможно доказательное знание". Если понятие мощности было расширенным понятием "количество" для бесконечных множеств, то понятие кардинального числа стало расширенным обобщением понятия "числа вообще". Расширение К. понятия "числа" в область Бесконечного ознаменовало переход математики на качественно новый уровень мышления. Фактически, мощность множеств по К. отражает в сознании человека-исследователя определенные отношения множеств, т.е. мощность множеств по К. - это наиболее общая характеристика эквивалентных бесконечных множеств. Больцано еще в начале 19 в. пришел к понятию взаимно однозначного соответствия между множествами (а, следовательно, и к понятию мощностей множеств и выражению их кардинальными числами). Однако под "количеством" до середины 19 в. понималась величина. А так как каждую величину посредством избранной единицы измерения возможно выразить числом, то представление о количестве ассоциировалось с понятием числа. Поэтом Больцано был вынужден отступить перед серьезными затруднениями, вытекавшими из понятия "количество". Математика того времени вообще определялась как наука , исследующая зависимости между величинами и выражающими их числами. Однако, как пишет В.А.Волков, "как бы ни были важны различные виды величин и зависимости между ними для практических приложений математики, они охватывают далеко не все богатства различных количественных отношений и пространственных форм действительного мира". К. также было введено в математику понятие "предельная точка производного множества", построен пример совершенного множества ("множество К."), сформулирована одна из аксиом непрерывности ("аксиома К."). Следствия из теории К. выявили противоречия в достаточно серьезно изученных областях оснований математики. Эти противоречия лидеры математики того времени назвали парадоксами (антиномиями) по одной той причине, что парадокс "может быть объяснен, а математиков не покидала надежда, что все встретившиеся трудности им в конце концов удастся разрешить". Теорию математической бесконечности К., в отличие от большинства ведущих математиков того времени, поддерживали Рассел и Гильберт. Рассел, считая К. одним из великих мыслителей 19 в., писал в 1910, что решение К. проблем, "издавна окутывающих тайной математическую бесконечность, является, вероятно, величайшим достижением, которым должен гордиться наш век /20 в. - С.С./". Гильберту в 1926 представлялось, что теория К. - это "самый восхитительный цветок математической мысли и одно из величайших достижений человеческой деятельности в сфере чистого мышления". А Э.Борель и А.Лебег уже в самом начале 20 в. обобщили понятие интеграла и развивали теории меры и измерений, в основании которых лежала теория К. К 1897 К. был вынужден прекратить активные математические исследования вследствие резкого сопротивления его идеям (в частности, со стороны Л.Кронекера, называвшего К. шарлатаном), выдвинув так называемый "закон сохранения невежества": "нелегко опровергнуть любое неверное заключение, коль скоро к нему пришли и оно получило достаточно широкое распространение, причем, чем менее оно понятно, тем более упорно его придерживаются". К. всегда разделял философские идеи Платона и верил в то, что в окружающем нас Мире "идеи существуют независимо от человека. И чтобы осознать реальность этих идей, необходимо лишь задуматься над ними". К., будучи в соответствии с давней религиозной традицией своей семьи ревностным лютеранином, в своих высказываниях часто применял и теологическую аргументацию. Особенно это проявилось после отхода его от занятий математикой.

История Философии: Энциклопедия. - Минск: Книжный Дом . А. А. Грицанов, Т. Г. Румянцева, М. А. Можейко . 2002 .

Смотреть что такое "КАНТОР Георг (1845-1918)" в других словарях:

Кантор, Георг - КАНТОР (Cantor) Георг (1845 1918), немецкий математик. Разработал основы так называемой теории множеств совокупностей объектов произвольной природы, рассматриваемых как одно целое. Идеи Кантора оказали большое влияние на развитие математики. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

- (Cantor) (1845 1918), немецкий математик. Разработал основы теории множеств, оказавшей большое влияние на развитие математики. * * * КАНТОР Георг КАНТОР (Cantor) Георг (1845 1918), немецкий математик. Разработал основы теории множеств, оказавшей… … Энциклопедический словарь

Родился 3 марта 1845 в Санкт-Петербурге и рос там до 11-летнего возраста. Отец семейства был членом Петербургской фондовой биржи. Когда он заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт. В 1860 году Георг закончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. Продолжил он образование в Федеральном политехнический институте в Цюрихе. Спустя год, после смерти отца, Георг получил наследство и перевёлся в Берлинский университет. Там он посещает посещает лекции Кронекера, Вейерштрасса, Куммера. Лето 1866 года Кантор провёл в университете Гёттингена, важном центре математической мысли. В 1967 году в Берлине получил степень доктора за работу по теории чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».

После непродолжительной работы преподавателем в Берлинской школе для девочек, Кантор занимает место в Галльском университете Мартина Лютера, где и пройдёт вся его карьера. В 1872 году он становится адъюнкт-профессором, тогда же, во время отпуска, завязывает дружбу с Рихардом Дедекиндом. В 34 года Кантор становится профессором математики. В 1879-84 он систематически излагает своё учение о бесконечности; «ввёл понятия предельной точки, производного множества, построил пример совершенного множества, развил одну из теорий иррациональных чисел, сформулировал одну из аксиом непрерывности» . Несмотря на такую успешную карьеру, мечтает о должности в более престижном университете, например, Берлинском. Однако, мечтам не удаётся воплотиться в жизнь: многие современники, в том числе Кронекер, который рассматривается сейчас как один из основателей конструктивной математики, с неприязнью относятся к канторовской теории множеств, поскольку та утверждает существование множеств, удовлетворяющих неким свойствам, -- без предоставления конкретных примеров множеств, элементы которых бы действительно удовлетворяли этим свойствам.

В 1984 году Кантор испытал приступ глубокой депрессии и на время отходит от математики, смещая свои интересы в сторону философии. Затем возвращается к работе. В 1897 году он прекращает научное творчество. Умер Кантор в Галле 6 января 1918.

Одна из актуальных проблем XIX века была проблема бесконечного деления отрезков и существование точки, принадлежавшей всем таким стягивающимся отрезкам. Эта задача требовала понятия действительного числа.

Построение Кантором теории действительного числа было опубликовано 1872 году, почти одновременно с теорией Вейерштрасса и Дедекинда. В своем построении Кантор исходит из наличия рациональных чисел. Затем он вводит фундаментальные последовательности Коши и приписывает им формальный предел. Далее, он рассматривает разбивает все последовательности на классы эквивалентности. К одному и тому же классу последовательности относятся тогда и только тогда, когда их разность стремится к нуль, то есть. Далее, формальные пределы равны друг другу, если они имеют две такие фундаментальные последовательности, которые эквивалентны друг другу или. Отношение порядка определяется следующим образом.

Таким образом, классы эквивалентности описывают некоторые вещественные числа. Назовем их вещественными числами первого порядка. Если мы попробуем образовать вещественное число большего порядка, составляя фундаментальные последовательности Коши, то получим опять множество вещественных чисел первого порядка. Иными словами, множество вещественных чисел замкнуто.

Кантор обращает внимание тот факт, что в определении вещественного числа лежит актуально бесконечное множество рациональных чисел: «...к определению какого-нибудь иррационального числа всегда принадлежит некоторое строго определенное множество первой мощность рациональных чисел».

Заметим, что построение Кантора можно обобщить на другие объекты, что была сделано Кантором и его последователями, «разработка теорий действительного числа была достаточно существенной предпосылкой создания теории множеств». Например, на основе своего построения вещественного числа Кантор впоследствии свою теорию трансфинитных чисел.

Кроме того, Кантор ввел понятие мощности множеств и доказал неэквивалентность иррациональных и рациональных чисел.

Ed., Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts , mit erl ä uternden anmerkungen sowie mit erg ä nzungen aus dem briefwechsel Cantor - Dedekind , Berlin, Verlag von Julius Springer, 1932

1. Период развития (1845−1871)

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор, создатель теории множеств, одного из величайших новых явлений в мире науки, родился в Петербурге 19 февраля ст. стиля (3 марта нов. стиля) 1845 г. Отец его Георг Вольдемар Кантор, родом из Копенгагена, прибыл в Петербург в молодости; он держал там маклерскую контору под собственным именем, иногда же под названием «Кантор и К.» Усердный и удачливый коммерсант, он достиг крупного успеха и оставил после смерти (1863 г.) весьма значительное состояние; по-видимому, он пользовался и в Петербурге, и позже в Германии высоким уважением. По болезни легких он в 1856 г. переселился с семьей в Германию; там он вскоре избрал местом пребывания Франкфурт на Майне, где жил на положении рантье. Мать Кантора, Мария, урожденная Бем, происходила из семьи, многие члены которой были одарены в разных областях искусства; влияние ее проявилось, без сомнения, в богатой фантазии сына. Дед его, Людвиг Бем, был капельмейстером; брат деда Иозеф, живший в Вене, был учителем знаменитого виолончелиста-виртуоза Иоахима; брат Марии Кантор был также музыкантом, а сестра ее Аннета имела дочь-художницу, преподававшую в Мюнхенской школе художественных ремесел. Художественная жилка заметна также у брата Георга Кантора, Константина, бывшего талантливым пианистом, и у сестры его Софии, особенно склонной к рисованию.

Одаренный мальчик, посещавший в Петербурге начальную школу, уже очень рано проявил страстное желание приступить к изучению математики. Отец его, однако, не согласился с этим, считая более обещающей в отношении заработка профессию инженера. Сын сначала подчинился; он посещал некоторое время гимназию в Висбадене, а также частные школы во Франкфурте на Майне; затем поступил, весной 1859 г., в провинциальное реальное училище Великого герцогства Гессенского в Дармштадте, где преподавали также латынь; оттуда он перешел в 1860 г. на общий курс Высшей ремесленной школы (позже Высшей технической школы). Отец руководил его образованием, предъявляя необычно высокие требования; особую важность придавал он воспитанию энергии, твердости характера и пронизывающей всю жизнь религиозности; в частности же он подчеркивал важность полного овладения основными современными языками. Отец наставлял его (в письме по поводу конфирмации в 1860 г.) держаться твердо, вопреки всякой вражде, и всегда добиваться своего; призыв этот не раз вспоминался сыну в часы тяжелых испытаний и, возможно, именно этому отцовскому воспитанию мы обязаны тем, что творческий дух его не был преждевременно сломлен и плоды его не были потеряны для потомства.

С течением времени глубокое влечение сына к математике не могло не подействовать на отца, письма которого свидетельствуют также об его уважении к науке. В письме из Дармштадта, датированном 25 мая 1862 г. и представляющем первое сохранившееся письмо Кантора, сын мог уже выразить отцу благодарность за одобрительное отношение к его планам: «Дорогой папа! Ты можешь себе представить, как обрадовало меня твое письмо; оно определяет мое будущее. Последние дни я провел в сомнении и неуверенности; и не мог прийти ни к какому решению. Долг и влечение постоянно были в борьбе. Теперь я счастлив, видя, что не огорчу тебя, последовав в моем выборе собственной склонности. Надеюсь, дорогой отец, что сумею еще доставить тебе радость, потому что душа моя, все мое существо живет в моем призвании; человек делает то, что он хочет и может, и к чему влечет его неведомый, таинственный голос!..»

Осенью 1862 г. Кантор приступил к занятиям в Цюрихе, откуда он, впрочем, уже после первого семестра ушел вследствие смерти отца. С осени 1863 г. он изучал математику, физику и философию в Берлине, куда триумвират Куммера, Вейерштрасса и Кронеккера привлекал лучшие дарования, возбуждая умы (тогда еще довольно узкого) круга слушателей в самых различных направлениях. Лишь весенний семестр 1866 г. провел он в Геттингене. Сильнейшее влияние на его научное развитие оказал, бесспорно, Вейерштрасс. Замечательно и характерно для широты взглядов Вейерштрасса, для его непредубежденного и проницательного суждения, с каким сочувственным пониманием и как рано оценил он нетрадиционные идеи своего ученика, ответив этим на глубокое уважение, которое тот неизменно оказывал ему в течение всей жизни, вопреки преходящим размолвкам. В берлинские годы Кантор входил не только в Математическое Общество, но и в более узкий круг молодых коллег, еженедельно встречавшихся в трактире Ремеля; к этому кругу принадлежали, не считая случайных гостей, Генох (будущий издатель “Fortschritte” («Успехов»), Лампе, Мертенс, Макс Симон, Томе; последний из них был особенно близок Кантору. Далее, к его товарищам по Берлинскому университету принадлежал Г. А. Шварц, бывший на два года старше; впоследствии, впрочем, он встретил идеи Кантора с сильнейшим недоверием, в противоположность своему учителю Вайерштрассу, и до самого конца жизни особо предостерегал от них, подобно Кронеккеру, своих студентов. 14 декабря 1867 г. двадцатидвухлетний студент защитил в Берлинском университете дипломную работу, возникшую из глубокого изучения Disquisitiones arithmeticae («Исследования по арифметике») и «Теории чисел» Лежандра и оцененную факультетом как “dissertatio docta et ingeniosa” («Ученое и остроумное рассуждение») * Эта работа примыкает к формулам Гаусса для решения диофантова уравнения ax 2 + a"x" 2 + a"x" 2 = 0; в ней устанавливается некоторое соотношение, не приведенное у Гаусса в явном виде. Детальное обсуждение работ Кантора содержится в написанной мною подробной его биографии, опубликованной в Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereininung, т. 39 (1930), стр.189−266, а также отдельной книгой: «Георг Кантор», Лейпциг и Берлин, 1930 ; он посвятил ее своим опекунам (одновременно опекунам его брата и сестры). На устном экзамене он получил “magna cum laude” («с особым отличием»). Из трех предложенных им для защиты тезисов особенно характерен третий: “In re mathematica ars propenendi questionem pluris facienda est quam solvendi” (В математике искусство постановки вопросов важнее искусства их решения». Возможно, даже полученные им в теории множеств результаты уступают по значению революционным постановкам вопросов, столь далеко вышедшим в своем влиянии за пределы его собственных трудов.

Кажется, Кантор в течение короткого времени преподавал в Берлине в женской школе; во всяком случае, в 1868 г, он вступил, выдержав государственный экзамен, в известную семинарию Шельбаха, готовившую учителей математики.

Докторская диссертация, давшая Кантор возможность стать весной 1869 г. приват-доцентом университета в Галле, принадлежит, вместе с несколькими небольшими заметками, опубликованными в 1868−72 годах, еще к первому, арифметическому кругу его интересов, к которому он редко возвращался впоследствии Эти занятия теорией чисел под руководством и при одобрении Кронеккера, не были, впрочем, для Кантора лишь случайным эпизодом. Напротив, он испытал глубокое внутреннее воздействие этой дисциплины, с ее особой чистотой и изяществом. Об этом свидетельствует, наряду с первым, также третий представленный им к защите тезис: “Numeris integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere” («Целые числа, подобно небесным телам, трактовать как единое целое, связанное законами и соотношениями»). К раннему времени, возможно уже к этому периоду, относится также установление связей между различными теоретико-числовыми функциями и дзета-функцией Римана (примыкающее к работе Римана о простых числах); эта работа была опубликована Кантором лишь в 1880 г., под влиянием заметки Липшица в парижских Comptes Rendus («Докладах»). О дальнейших теоретико-числовых интересах Кантора говорит, кроме его числовой таблицы , также сохранившийся до 1884 г., но не осуществленный план опубликовать в Acta Mathematica, работу о квадратичных формах .

Э. Гейне, бывший ординарным профессором в Галле в то время, когда Кантор защищал там диссертацию, сразу же понял, что в его молодом коллеге необычайная острота ума счастливо соединяется с богатейшей фантазией. Решающее значение имело то обстоятельство, что Гейне вскоре после переезда Кантора в Галле побудил его заняться теорией тригонометрических рядов. Ревностные труды над этим предметом не только завершились рядом существенных достижений, но и привели Кантора на путь к теории точечных множеств и трансфинитным порядковым числам. Работы , , и посвящены уточнению одного утверждения Римана о тригонометрических рядах (и сопутствовавшей этому полемике с Аппелем, в которой подробно рассматривалось понятие равномерной сходимости); в работе же Кантор доказывает теорему о единственности тригонометрического представления * Удивительно, что Кронеккер, вначале положительно отнесшийся к теореме единственности Кантора (ср. ), впоследствии полностью игнорирует этот результат; например, в “Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale” («Лекциях по теории простых и кратных интегралов») (1894) он представляет вопрос о единственности как еще открытый! . Он стремится обобщить этот результат, отказываясь от каких-либо предположений о поведении ряда на некотором исключительном множестве; это вынуждает его изложить в работе краткий набросок идей, «могущих быть полезными для выяснения отношений, возникающих во всех случаях, когда заданы числовые величины в конечном или бесконечном числе Здесь для точечных множеств вводятся предельные точки и производные (конечного порядка). С этой целью Кантор, с одной стороны, развивает свою теорию иррациональных чисел * . В работе Гейне «Элементы теории функций» (J. Math., 74, стр. 172–188, 1872) иррациональные числа вводятся способом, в точности следующим идеям Кантора; ср. введение к статье Гейне, а также работу Кантора “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” («К учению о трансфинитном») , вслед за теорией множеств обессмертившую его имя, где иррациональные числа рассматриваются как фундаментальные ряды. С другой стороны, для перехода к геометрии он вводит особую аксиому (аксиому Кантора), одновременно и независимо появившуюся в несколько иной формулировке в книге Дедекинда «Непрерывность и иррациональные числа».

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (по моему и, думаю, не только по моему мнению) - один из величайших математиков за всю историю человечества. Пафосно, может быть, чересчур, но зато искренне))

Теорию множеств (возможно, немножко не в том виде, в котором мы знаем ее сейчас), основал именно он.
В это трудно поверить, но он первый ввел в математике понятие множества и дал ему неформальное определение. И случилось это во второй половине XIX века.
Раньше множествами в математике не оперировали!
Та теория множеств, которую выдвинул Кантор впоследствии получила название Наивной теории множеств .

Понятие множества сейчас входит в число так называемых первичных, неопределяемых, понятий. Таких, как, предположим, точка в математике или информация в теории информации.
Сам Кантор определял множество следующим образом: «множество есть многое, мыслимое как единое» .

Кантор разработал программу стандартизации математики, в основу которой как раз было положено понятие множества . Любой математический объект должен был рассматриваться как «множество».
Например, натуральный ряд представляет собой множество, удовлетворяющее аксиомам Пеано. Каждое натуральное число в отдельности - тоже множество, но состоящее всего из одного элемента.

Сам термин "теория множеств" был введен в математику позднее. Кантор же называл свою теорию "Mengenlehre" - учение о множествах.

Появление Mengenlehre вызвало нешуточные битвы в математических кругах. Учение имело как горячих поклонников (среди выдающихся математиков того времени), так и ярых противников.

Но в своем первоначальном виде теория оказалась нежизнеспособна.

Вот что написано в Википедии:
Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

Виновником провала стал не кто иной как Бертран Рассел.
Однако теория эта успела безраздельно завладеть умами современников.

Вот что пишет о Канторе и его Mengenlehre Давид Гильберт (о котором я уже здесь рассказывала):

Никто и никогда не изгонит нас из его рая.
(с) Давид Гильберт. В защиту канторовой теории множеств.