досфера. Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и дви жению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псев досфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псев досфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере.

2.4. Гиперболическая элементарная геометрия.

В гиперболической геометрии понятие величины угла можно определить следующим образом.

Величина угла равна 2 если углов с общей вершиной, конгруэнтных данному углу, покрывают всю плоскость Лобачевского без наложений.

Для модели Клейна и модели Пуанкаре в круге повороты вокруг центра круга являются движениями. Поэтому в центре круга в обеих моделях величины ги перболических углов совпадают с величинами евклидовых углов. Центр круга гиперболическим движением можно перевести в любую другую точку. Для мо дели Пуанкоре движения сохраняют евклидовы углы, поэтому для нее понятие величины евклидова угла совпадает с понятием величины гиперболического уг ла. (Угол между двумя пересекающимися окружностями определяется как угол между касательными в точке пересечения.) Для модели Клейна движения не обязательно сохраняют евклидовы углы, поэтому для нее величина гиперболи ческого угла не обязательно совпадает с величиной евклидова угла.

Изопериметрическая задача в геометрии

Лобачевского

3.1. Теорема о максимальной площади треугольника в плоскости лобачевского

В геометрии Лобачевского решением изопериметрической задачи также яв ляется круг.

Для того чтобы доказать это утверждение, понадобится теорема о максималь ной площади треугольника с двумя фиксированными сторонами.

Теорема 3.1. Среди треугольников на плоскости Лобачевского с задан ными длинами двух сторон и максимальную площадь имеет тот, у которого угол равен сумме углов и Доказательство Обозначим через, углы треугольника. Воспользу

емся моделью Пуанкаре в круге. Вершину поместим в центр модели. Рас смотрим евклидову окружность и евклидову прямую, содержащие гипербо лические прямые и соответственно. Они пересекаются в двух точках

и ′ . Докажем, что площадь гиперболического треугольника равна удвоенной величине евклидова угла′ , который мы обозначим через. Действительно, угол между хордой и окружностью также равен, так как угол между хордой и касательной равен вписанному углу. Так как сумма углов евклидова треугольника равна + + 2 = , то

() = − (+ +) = 2 .

Таким образом, треугольник имеет максимальную площадь тогда и толь ко тогда, когда угол ′ максимален. Поскольку длины сторон и фик сированы, а меняется лишь угол между ними, можно считать фиксированными 18

точки и; тогда точка может перемещаться по окружности с центром

Очевидно, что угол ′ максимален, если евклидова прямая′ касается окружности. Это, в свою очередь означает, что евклидов угол′ - пря мой. Последнее условие равносильно тому, что2 = \′ + \′ = +

Сопоставив это с выведенной ранее формулой () = 2 и формулой

() = − − − для площади треугольника, получаем требуемое

Заключение

В данной выпускной квалификационной работе проделано следующие. Выписаны основные определения. Доказаны леммы необходимые для решения изопериметрической задачи. Доказана теорема о том, что в геометрии Евклида фигурой максимальной площади при заданном периметре является круг. Описаны модели геометрии Лобачевского модель Клейна, модель Пуанаре, мо дель псевдосферы,а так же элементарная гиперболическая геометрия. Был выведен критерий о максимальной площади треугольника в геометрии Лоба чевского, который поможет при решении аналога изопериметрической задачи в геометрии Лобачевского.

Литература

1. Протасов В.Ю.,Максимумы и минимумы в геометрии. М.: МЦНМО, 2005.

2. Прасолов В.В.,Тихомиров В.М.,Геометрия.–М.:МЦНМО, 2007. -2-е изд., пе рераб. и доп.-328 с.

3. Савин П.,Энциклопедический словарь юного математика.– М.: 1989. - 352 с

4. Горшкова Л.С.,Сорокина М.В.,Основания геометрии: учебное пособие для студентов педагогических вузов –Пенза: Пензенский государственный педа гогический университет им. В. Г. Белинского, 2009. – 144 с.

5. Заметка под ред. А. Скопенкова,Простое доказательство изопериметриче ской теоремы для плоскости Лобачевского.arXiv:1009.0897v1 5 Sep 2010

6. Саженков А.Н.,Вайгант В.А.,Матукеви О.Ю.,Саженкова Т.В.,Славский В.В.,Дронов В.С.,Функциональный анализ.Практикум. Под общей редак цией А.Н. Саженкова: Учебное пособие. Барнаул: Издательство Алтайского госуниверситета,201.

(согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 м от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, - например, рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян . В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи , то есть к 2000 году до н. э. , приводится приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника . Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал вывод о большой вероятности того, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около XVIII века до н. э.

Приблизительно в 400 г. до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Приблизительно в 300 г. до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора.

Формулировки

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

Алгебраическая формулировка:

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через , а длины катетов через и :

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади . То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора:

Доказательства

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы . Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Следующее доказательство алгебраической формулировки - наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры .

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим её основание через H . Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC . Введя обозначения

получаем

Что эквивалентно

Сложив, получаем

, что и требовалось доказать

Доказательства методом площадей

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость

Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол - 180°.
Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

Что и требовалось доказать.

Доказательство Евклида

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника - BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, - это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно - AB=AK, AD=AC - равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата - 90°).

Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.

Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.

Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства - симметрия и движение.

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок рассекает квадрат на две одинаковые части (так как треугольники и равны по построению).

Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки , мы усматриваем равенство заштрихованных фигур и .

Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Доказательство методом бесконечно малых

Следующее доказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди , жившему в первой половине XX века.

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и наблюдая изменение стороны a , мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников):

Пользуясь методом разделения переменных, находим

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения (в данном случае катет ). Тогда для константы интегрирования получим

Вариации и обобщения

Подобные геометрические фигуры на трех сторонах

Обобщение для подобных треугольников, площадь зеленых фигур A + B = площади синей C

Теорема Пифагора с использованием подобных прямоугольных треугольников

Обобщение теоремы Пифагора сделал Евклид в своей работе Начала , расширив площади квадратов на сторонах до площадей подобных геометрических фигур :

Если построить подобные геометрические фигуры (см. Евклидова геометрия) на сторонах прямоугольного треугольника, тогда сумма двух меньших фигур будет равняться площади большей фигуры.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями A , B и C построенных на сторонах с длиной a , b и c , имеем:

Но, по теореме Пифагора, a 2 + b 2 = c 2 , тогда A + B = C .

И наоборот, если мы сможем доказать, что A + B = C для трех подобных геометрических фигур без использования теоремы Пифагора, тогда мы сможем доказать саму теорему, двигаясь в обратном направлении. Например, стартовый центральный треугольник может быть повторно использован как треугольник C на гипотенузе, и два подобных прямоугольных треугольника (A и B ), построенные на двух других сторонах, которые образуются в результате деления центрального треугольника его высотой. Сумма двух меньших площадей треугольников тогда, очевидно, равна площади третьего, таким образом A + B = C и, выполняя предыдущее доказывания в обратном порядке, получим теорему Пифагора a 2 + b 2 = c 2 .

Теорема косинусов

Теорема Пифагора - это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике:

где θ - угол между сторонами a и b .

Если θ равен 90 градусов, тогда cosθ = 0 и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Произвольный треугольник

В любой выбранный угол произвольного треугольника со сторонами a, b, c впишем равнобедренный треугольник таким образом, чтобы равные углы при его основании θ равнялись выбранному углу. Предположим, что выбранный угол θ расположен напротив стороны, обозначенной c . В результате мы получили треугольник ABD с углом θ, что расположен напротив стороны a и стороны r . Второй треугольник образуется углом θ, что расположен напротив стороны b и стороны с длиной s , как показано на рисунке. Сабит Ибн Курра утверждал, что стороны в этих трех треугольниках связаны следующим образом:

Когда угол θ приближается к π/2, основание равнобедренного треугольника уменьшается, и две стороны r и s перекрывают друг друга все меньше и меньше. Когда θ = π/2, ADB превращается в прямоугольный треугольник, r + s = c и получаем начальную теорему Пифагора.

Рассмотрим один из доводов. Треугольник ABC имеет такие же углы, как и треугольник ABD, но в обратном порядке. (Два треугольника имеют общий угол при вершине B, оба имеют угол θ и также имеют одинаковый третий угол, по сумме углов треугольника) Соответственно, ABC - подобен отражению ABD треугольника DBA, как показано на нижнем рисунке. Запишем соотношение между противоположными сторонами и прилегающими к углу θ,

Так же отражение другого треугольника,

Перемножим дроби и добавим эти два соотношения:

что и требовалось доказать.

Обобщение для произвольных треугольников через параллелограммы

Обобщение для произвольных треугольников,
площадь зеленого участка = площади синего

Доказательство тезиса, что на рисунке выше

Сделаем дальнейшее обобщение для непрямоугольных треугольников, используя параллелограммы на трех сторонах вместо квадратов. (квадраты - частный случай.) Верхний рисунок демонстрирует, что для остроугольного треугольника площадь параллелограмма на длинной стороне равна сумме параллелограммов на двух других сторонах, при условии что параллелограмм на длинной стороне построен, как изображено на рисунке (размеры, отмеченные стрелками, одинаковые и определяют стороны нижнего параллелограмма). Эта замена квадратов параллелограммами имеет четкое сходство с начальной теоремой Пифагора, считается, что её сформулировал Папп Александрийский в 4 г. н. э.

Нижний рисунок показывает ход доказательства. Посмотрим на левую сторону треугольника. Левый зеленый параллелограмм имеет такую же площадь, как левая часть синего параллелограмма, потому что они имеют такое же основание b и высоту h . Кроме того, левый зеленый параллелограмм имеет такую же площадь, как левый зеленый параллелограмм на верхнем рисунке, потому что они имеют общее основание (верхняя левая сторона треугольника) и общую высоту, перпендикулярную к этой стороне треугольника. Аналогично рассуждая для правой стороны треугольника докажем, что нижний параллелограмм имеет такую же площадь, как у двух зеленых параллелограммов.

Комплексные числа

Теорему Пифагора используют, чтобы найти расстояние между двумя точками в декартовой координатной системе , и эта теорема справедлива для всех истинных координат: расстояние s между двумя точками (a, b ) и (c, d ) равно

Не возникает проблем с формулой, если к комплексным числам относиться как к векторам с действительными компонентами x + i y = (x , y ). . Например, расстояние s между 0 + 1i и 1 + 0i рассчитываем как модуль вектора (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), или

Тем не менее, для операций с векторами с комплексными координатами необходимо провести определенное усовершенствование формулы Пифагора. Расстояние между точками с комплексными числами (a , b ) и (c , d ); a , b , c , и d все комплексные, сформулируем используя абсолютные величины. Расстояние s основано на векторной разнице (a − c , b − d ) в следующем виде: пусть разница a − c = p + i q , где p - действительная часть разницы, q - мнимая часть, и i = √(−1). Аналогично, пусть b − d = r + is . Тогда:

где - это комплексное сопряженное число для . Например, расстояние между точками (a , b ) = (0, 1) и (c , d ) = (i , 0) , рассчитаем разницей (a − c , b − d ) = (−i , 1) и в результате мы бы получили 0, если бы не были использованы комплексные сопряженные. Следовательно, используя усовершенствованную формулу, получим

Модуль определен следующим образом:

Стереометрия

Значительным обобщением теоремы Пифагора для трехмерного пространства является теорема де Гуа , названная в честь Ж.-П. де Гуа: если тетраэдр имеет прямой угол (как в кубе), тогда квадрат площади грани, лежащей напротив прямого угла, равен сумме квадратов площадей других трех граней. Этот вывод может быть обобщен как «n -мерная теорема Пифагора»:

Теорема Пифагора в трехмерном пространстве связывает диагональ AD с тремя сторонами.

Другое обобщение: Теорема Пифагора может быть применена для стереометрии в следующем виде. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, как показано на рисунке. Найдем длину диагонали BD по теореме Пифагора:

где три стороны образуют прямоугольный треугольник. Используем горизонтальную диагональ BD и вертикальное ребро AB, чтобы найти длину диагонали AD, для этого снова используем теорему Пифагора:

или, если все записать одним уравнением:

Этот результат - это трехмерное выражение для определения величины вектора v (диагональ AD), выраженного через его перпендикулярные составляющие {v k } (три взаимно перпендикулярные стороны):

Это уравнение можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора для многомерного пространства. Однако, результат на самом деле есть не что иное, как неоднократное применение теоремы Пифагора к последовательности прямоугольных треугольников в последовательно перпендикулярных плоскостях.

Векторное пространство

В случае ортогональной системы векторов имеет место равенство, которое тоже называют теоремой Пифагора:

Если - это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида - и означает, что длина вектора равна корню квадратному суммы квадратов его компонентов.

Аналог этого равенства в случае бесконечной системы векторов имеет название равенства Парсеваля .

Неевклидова геометрия

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и, фактически, не действительна для неевклидовой геометрии, в том виде, в котором записана выше. (То есть теорема Пифагора оказывается своеобразным эквивалентом постулату Евклида о параллельности ) Другими словами, в неевклидовой геометрии соотношение между сторонами треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника (скажем a , b и c ), которые ограничивают собой октант (восьмую часть) единичной сферы, имеют длину π/2, что противоречит теореме Пифагора, потому что a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Рассмотрим здесь два случая неевклидовой геометрии - сферическая и гиперболическая геометрия; в обоих случаях, как и для евклидова пространства для прямоугольных треугольников, результат, который заменяет теорему Пифагора, следует из теоремы косинусов .

Однако, теорема Пифагора остается справедливой для гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему, скажем A +B = C . Тогда соотношение между сторонами выглядит так: сумма площадей кругов с диаметрами a и b равна площади круга с диаметром c .

Сферическая геометрия

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом R (например, если угол γ в треугольнике прямой) со сторонами a , b , c соотношение между сторонами будет иметь такой вид:

Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов , которое справедливо для всех сферических треугольников:

где cosh - это гиперболический косинус. Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников:

где γ - это угол, вершина которого противоположна стороне c .

где g ij называется метрическим тензором . Он может быть функцией позиции. Такие криволинейные пространства включают Риманову геометрию как общий пример. Это формулировка также подходит для Евклидова пространства при применении криволинейных координат. Например, для полярных координат:

Векторное произведение

Теорема Пифагора связывает два выражения величины векторного произведения. Один из подходов к определению векторного произведения требует, чтобы он удовлетворял уравнению:

в этой формуле используется скалярное произведение . Правая сторона уравнения называется детерминант Грамма для a и b , что равно площади параллелограмма, образованного этими двумя векторами. Исходя из этого требования, а также требования о перпендикулярности векторного произведения к его составляющим a и b следует, что, за исключением тривиальных случаев из 0- и 1-мерного пространства, векторное произведение определено только в трех и семи измерениях. Используем определение угла в n -мерном пространстве:

это свойство векторного произведения дает его величину в таком виде:

Через фундаментальное тригонометрическое тождество Пифагора получаем другую форму записи его величины:

Альтернативный подход к определению векторного произведения использует выражение для его величины. Тогда, рассуждая в обратном порядке, получаем связь со скалярным произведением:

См. также

Примечания

History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics
( , С. 351) С. 351
( , Vol I, p. 144)
Обсуждение исторических фактов приведено в ( , С. 351) С. 351
Kurt Von Fritz (Apr., 1945). «The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum». The Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
Льюис Кэррол, «История с узелками», М., Мир, 1985, с. 7
Asger Aaboe Episodes from the early history of mathematics . - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
Pythagorean Proposition , by Elisha Scott Loomis
Euclid’s Elements : Book VI, Proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle.»
Lawrence S. Leff cited work . - Barron"s Educational Series. - P. 326. - ISBN 0764128922
Howard Whitley Eves §4.8:...generalization of Pythagorean theorem // Great moments in mathematics (before 1650) . - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
Tâbit ibn Qorra (full name Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 AD) was a physician living in Baghdad who wrote extensively on Euclid’s Elements and other mathematical subjects.
Aydin Sayili (Mar. 1960). «Thâbit ibn Qurra"s Generalization of the Pythagorean Theorem». Isis 51 (1): 35–37. DOI :10.1086/348837 .
Judith D. Sally, Paul Sally Exercise 2.10 (ii) // Cited work . - P. 62. - ISBN 0821844032
For the details of such a construction, see George Jennings Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem // Modern geometry with applications: with 150 figures . - 3rd. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
Arlen Brown, Carl M. Pearcy Item C : Norm for an arbitrary n -tuple ... // An introduction to analysis . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 See also pages 47-50.
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica . - 3rd. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
Rajendra Bhatia Matrix analysis . - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
Stephen W. Hawking cited work . - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
Eric W. Weisstein CRC concise encyclopedia of mathematics . - 2nd. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
Alexander R. Pruss

Всегда лежат в той же плоскости. Следовательно, планарные гиперболические треугольники также описывают треугольники, возможные в любых гиперболических пространствах высокой размерности.

Определение

Гиперболический треугольник состоит из трёх неколлинеарных точек и трёх отрезков между ними .

Свойства

Гиперболические треугольники имеют некоторые свойства, которые аналогичны свойствам треугольников в евклидовой геометрии :

Гиперболические треугольники имеют некоторые свойства, аналогичные свойствам треугольников на сферической или эллиптической геометрии :

Два треугольника с той же суммой углов равны по площади.
Существует верхняя граница для площади треугольников.
Существует верхняя граница для радиуса вписанной окружности .
Два треугольника конгруэнтны тогда и только тогда, когда они переходят друг в друга в результате конечного числа отражений относительно прямой.
Два треугольника с равными соответствующими углами конгруэнтны (то есть все подобные треугольники конгруэнтны).

Гиперболические треугольники имеют некоторые свойства, которые противоположны свойствам треугольников в сферической или эллиптической геометрии :

Сумма углов треугольника меньше 180°.
Площадь треугольника пропорциональна дефициту его суммы углов (до 180°).

Гиперболические треугольники имеют также некоторые свойства, которых нет в других геометриях:

Некоторые гиперболические треугольники не имеют описанной окружности , что бывает в случае, когда по меньшей мере одна из вершин является идеальной точкой или когда все из вершин лежат на орицикле или на одностороннем гиперцикле .
Гиперболические треугольники тонкие , существует максимальное расстояние δ от точки на стороне до других двух сторон. Этот принцип приводит к появлению δ-гиперболических пространств .

Треугольники с идеальными вершинами

Определение треугольника можно обобщить, если разрешить вершинам лежать на идеальной границе гиперплоскости, при этом стороны должны лежать внутри плоскости. Если пара сторон является асимптотически параллельными (то есть расстояние между ними стремится к нулю при стремлении к идеальной точке , но они не пересекаются), то они заканчиваются в идеальной вершине , представленной омега-точкой .

Говорят, что такая пара сторон образует нулевой угол.

Треугольник с нулевым углом невозможен в евклидовой геометрии для прямолинейных сторон, лежащих на разных прямых. Однако такие нулевые углы возможны для касающихся окружностей .

Треугольник с одной идеальной вершиной называется омега-треугольником .

Специальные виды треугольников с идеальными вершинами:

Треугольник параллельности

Треугольник, в котором одна вершина является идеальной точкой, один угол прямой - третий угол является углом параллельности для стороны между прямым углом и третьим углом.

Треугольник Швайкерта

Треугольник, в котором две вершины являются идеальными точками, а оставшийся угол является прямым . Это один из первых гиперболических треугольников (1818), который описал Фердинанд Карл Швайкерт.

Идеальный треугольник

Треугольник, в котором все вершины являются идеальными точками. Такой треугольник является самым большим из возможных треугольников в геометрии Лобачевского, поскольку имеет нулевую сумму углов.

Стандартизованная кривизна Гаусса

Связи между углами и сторонами аналогичны связям между такими же объектами в сферической тригонометрии . Масштаб длины для сферической геометрии и геометрии Лобачевского можно, например, определить как длину стороны равностороннего треугольника с фиксированными углами.

Масштаб длины наиболее удобен, если длины измеряются в терминах абсолютной длины (специальной единицы длины, аналогичной отношению между расстояниями в сферической геометрии). Выбор масштаба длины делает формулы проще .

Синус угла A равен гиперболическому синусу противоположной углу стороны A , делённому на гиперболический синус гипотенузы c .

sin ⁡ A = s h a s h c . {\displaystyle \sin A={\frac {\mathrm {sh} \,a}{\,\mathrm {sh} \,c\,}}.\,}

Косинус угла A равен гиперболическому тангенсу прилежащего катета b , делённому на гиперболический тангенс гипотенузы c .

cos ⁡ A = t h b t h c . {\displaystyle \cos A={\frac {\mathrm {th} \,b}{\,\mathrm {th} \,c\,}}.\,}

Тангенс угла A равен гиперболическому тангенсу противоположного катета a , делённого на гиперболический синус прилежащего катета b .

t g A = t h a s h b . {\displaystyle \mathrm {tg} \,A={\frac {\mathrm {th} \,a}{\,\mathrm {sh} \,b\,}}.}

Гиперболический косинус прилежащего катета b угла A равен косинусу угла B, делённому на синус угла A.

ch(b) = cos ⁡ B sin ⁡ A . {\displaystyle {\textrm {ch(b)}}={\frac {\cos B}{\sin A}}.}

Гиперболический косинус гипотенузы c равен произведению гиперболических косинусов катетов a и b .

ch(c) = ch(a) ch(b) . {\displaystyle {\textrm {ch(c)}}={\textrm {ch(a)}}{\textrm {ch(b)}}.} ch(H) = cos ⁡ A cos ⁡ B sin ⁡ A sin ⁡ B = c t g A c t g B {\displaystyle ={\frac {\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}=\mathrm {ctg} \,A\mathrm {ctg} \,B}

Отношения между углами

cos ⁡ A = c h a sin ⁡ B {\displaystyle \cos A=\mathrm {ch} \,a\sin B} sin ⁡ A = cos ⁡ B c h b {\displaystyle \sin A={\frac {\cos B}{\mathrm {ch} \,b}}} t g A = cot ⁡ B c h c {\displaystyle \mathrm {tg} \,A={\frac {\cot B}{\mathrm {ch} \,c}}} cos ⁡ B = c h b sin ⁡ A {\displaystyle \cos B=\mathrm {ch} \,b\sin A} c h c = c t g A c t g B {\displaystyle \mathrm {ch} \,c=\mathrm {ctg} \,A\mathrm {ctg} \,B}

Площадь

Площадь прямоугольного треугольника равна:

Площадь = π 2 − ∠ A − ∠ B {\displaystyle ={\frac {\pi }{2}}-\angle A-\angle B} Area = 2 arctan ⁡ (t h (a 2) t h (b 2)) {\displaystyle {\textrm {Area}}=2\arctan(\mathrm {th} \,({\frac {a}{2}})\mathrm {th} \,({\frac {b}{2}}))} .

Угол параллельности

Экземпляр омега-треугольника с прямым углом даёт конфигурацию для проверки угла параллельности в треугольнике.

В случае, когда угол B = 0, a = c = ∞ {\displaystyle \infty } и th (∞) = 1 {\displaystyle {\textrm {th}}(\infty)=1} , получаем cos ⁡ A = th(b) . {\displaystyle \cos A={\textrm {th(b)}}.} (b = прилежащий катет)

Равносторонний треугольник

Тригонометрические формулы для прямоугольных треугольников дают также отношения между сторонами s и углами A равностороннего треугольника (треугольника, у которого все стороны имеют одинаковую длину и все углы равны):

Cos ⁡ A = th 1 2 s th (s) {\displaystyle \cos A={\frac {{\textrm {th}}{\frac {1}{2}}s}{{\textrm {th}}(s)}}}

C h 1 2 s = cos ⁡ (1 2 A) sin ⁡ (A) = 1 2 sin ⁡ (1 2 A) {\displaystyle \mathrm {ch} \,{\frac {1}{2}}s={\frac {\cos({\frac {1}{2}}A)}{\sin(A)}}={\frac {1}{2\sin({\frac {1}{2}}A)}}}

В 4 веке до н. э. древнегреческий ученый Эвклид свёл накопленные к тому времени математические знания в своём труде «Начала», проанализировав труды своих предшественников, возвысился до создания невиданной по тем временам точно обоснованной теории. Она опирается на ряд определений и аксиом. Исходной точкой его логической системы является положение о том, что выдвигаемые им постулаты очевидны, их справедливость признается всеми несомненной.

Имеется пять постулатов:

1. Через две точки проходит единственная прямая.

2. Ограниченную прямую линию можно непрерывно продолжить.

3. Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше суммы двух прямых углов, эти прямые пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше суммы двух прямых углов.

Пятый постулат (так называемый постулат «о параллельных») вследствие его сравнительной сложности и малой наглядности вызвал большое число попыток доказать его как теорему, вывести его из остальных аксиом. С первого века до н.э. до 1820 математики пытались доказать справедливость пятого постулата, используя первые четыре, но преуспели лишь в замене его различными эквивалентными допущениями, такими, как «две параллельные линии всюду равно удалены друг от друга» или «любые три точки, не расположенные на одной прямой, принадлежат окружности».

Ближе всех подошел к цели иезуит, логик и математик Джироламо Саккери (1667–1733) в своей работе «Эвклид, очищенный от пятен, или Геометрическая попытка установить самые первые начала всей геометрии». Он начал свои исследования с так называемого четырехугольника Саккери (рис. 1), т.е. с четырехугольника BCED , у которого BC = DE , а углы при вершинах C и E прямые.

Рисунок 1

Заметив, что углы при вершинах B и D обязательно равны, Саккери рассмотрел поочередно три гипотезы: верхние углы четырехугольника тупые, прямые и острые. Он доказал, что любая из этих гипотез, если ее принять для какого-нибудь одного такого четырехугольника, остается в силе для всех таких четырехугольников. Саккери намеревался обосновать гипотезу о том, что верхние углы прямые, доказав, что любая другая гипотеза приводит к противоречию. Вскоре он отверг гипотезу о тупом угле (и тем самым лишил себя возможности открыть эллиптическую геометрию), поскольку, как и все геометры до 1854, рассматривал второй постулат как утверждение о том, что прямая имеет бесконечную длину, и отказываться от этого постулата он не хотел. Точно также Саккери в конце концов отверг и гипотезу об остром угле, но прежде, чем принять это ошибочное решение, он, сам того не ведая, открыл многие теоремы геометрии, получившей впоследствии название гиперболической.

А.Кэли (1821–1895) и Ф.Клейн (1849–1925) прояснили связь между двумя упомянутыми вариантами, разработав в аналитической форме то, что ими было названо «эллиптической» и «гиперболической» геометриями. Евклидова геометрия является предельным случаем каждой из них, и это верно в отношении любой из аналитических формул таких геометрий. Большие круги (геодезические) на сфере, являющейся поверхностью постоянной положительной кривизны (т.е. сумма углов криволинейного треугольника больше суммы двух прямых.), играют роль прямых и порождают эллиптическую геометрию; аналогичным образом, на поверхности постоянной отрицательной кривизны (сумма углов криволинейного треугольника меньше суммы двух прямых) геодезические круги порождают гиперболическую геометрию.

Примером поверхности положительной кривизны является поверхность шара. Условимся считать «прямой» на сфере любую окружность большого круга, т.е. окружность, получаемую при пересечении сферы плоскостью, проходящей через центр шара. Оказывается, что все прямые здесь пересекаются. Следовательно, в такой геометрии не существует параллельных прямых. Можно построить и другие наглядные и поучительные модели эллиптической и гиперболической геометрий, но важно сознавать, что все эти модели содержатся в более общем подходе Римана.

В 1854 Б.Риман (1826–1866) заметил, что из неограниченности пространства еще не следует его бесконечная протяженность. Смысл этого утверждения станет яснее, если представить, что в неограниченной, но конечной вселенной астроном в принципе мог бы увидеть в телескоп, обладающий достаточно высокой разрешающей способностью, свой собственный затылок (если отвлечься от небольшой детали, связанной с тем, что свет, отраженный от затылка, достиг бы глаза астронома через тысячи миллионов лет). В своем доказательстве того, что внешний угол при любой вершине треугольника больше внутреннего угла при любой из двух остальных вершин, Евклид неявно использовал бесконечную длину прямой. Из этой теоремы тотчас же следует теорема о том, что сумма любых двух углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Если отказаться от бесконечной длины прямой, то гипотеза Саккери о тупом угле становиться верной и из нее следует, что сумма углов треугольника больше суммы двух прямых. Такое положение дел было давно известно в сферической тригонометрии, где стороны треугольника являются дугами больших кругов. Риман внес эпохальный вклад, распространив представление о конечном, но неограниченном пространстве с двух на три и большее число измерений.

Ф.Клейн (1849–1925) первым увидел, как избавить сферическую геометрию от одного из ее недостатков – того, что две лежащие в одной плоскости «прямые» (два больших круга на сфере) имеют не одну общую точку, а две (рис. 2).

Рисунок 2

Так как для каждой точки существует одна-единственная точка-антипод (диаметрально противоположная точка), а для любой фигуры существует ее дубликат из точек-антиподов, мы можем, ничем не жертвуя, но многое приобретая, абстрактно отождествить обе точки такой пары, объединив их в одну. Таким образом можно изменить смысл термина «точка», условившись впредь называть «одной точкой» пару диаметрально противоположных точек. Иначе говоря, точки так называемой «эллиптической» плоскости представлены на единичной сфере парами точек-антиподов или диаметрами, соединяющими точки-антиподы. Вся эллиптическая прямая замкнута, как окружность, но, поскольку каждая из ее точек представлена двумя точками-антиподами на единичной сфере, полная длина эллиптической прямой равна половине длины окружности большого круга, т.е. ее полная длина равна.

Карл Гаусс первым подошел к проблеме с современной точки зрения, согласно которой геометрию, отрицающую пятый постулат, надлежит развивать ради нее самой, не ожидая, что при этом возникнет какое-то противоречие. Письма Гаусса к друзьям говорят о том, что к 1816 он преодолел традиционный предрассудок относительно неизбежности противоречия и развил «антиевклидову» геометрию, удовлетворяющую гипотезе Саккери об остром угле. В этом же направлении работали и два других выдающихся ученых того времени – Янош Бойяи и Н.И.Лобачевский. В 1833 году Бойяи опубликовал свои исследования как приложение (по-латыни «»Appendix») к курсу математики, написанному его отцом Фаркашем Бойяи. В «Аппендиксе» Янош Бойяи в чрезвычайно сжатой форме изложил основы неэвклидовой геометрии. Его отец послал экземпляр «Аппендикса» Карлу Гауссу. В ответном письме Гаусс писал, что не может хвалить работу Яноша, так как это значило бы хвалить самого себя, потому что результаты этой работы почти сплошь совпадали с теми результатами, которые были давно получены им самим. Ответ Гаусса произвел на Яноша Бойяи столь тягостное впечатление, что он даже не поверил ему. Он не знал в это время, что приоритет открытия новой геометрии уже принадлежал русскому математику Лобачевскому. Именно поэтому по сегодняшний день эту геометрию называют геометрией Лобачевского.

Один из подходов к построению гиперболической геометрии исходит из некоторых фундаментальных аксиом порядка, справедливых и в евклидовой, но не в эллиптической геометрии. Если считать «точки» исходными понятиями, то запись [ABC ] означает, что точка B лежит «между» точками A и C (это первичное отношение мы принимаем, не пытаясь его определить). Первые четыре аксиомы порядка утверждают, что 1) существует по крайней мере две точки; 2) если A и B – две различные точки, то существует по крайней мере одна точка C , для которой [ABC ]; 3) эта точка C отлична от точки A и 4) порядок влечет за собой , но не . «Отрезок» AB , по определению, состоит из точек P , для которых , а «луч» A/B («исходящий из A в другую сторону, чем B ») – из точек Q , для которых [QAB ]. «Прямая» AB состоит из отрезка AB , точек A , B и двух лучей A/B , B/A . Пятая аксиома утверждает, что если C и D – различные точки на прямой AB , то A лежит на прямой CD (из этой же аксиомы следует, что прямые AB и CD совпадают). Шестая аксиома дает нам точку вне данной прямой, а седьмая, сформулированная М.Пашем (1843–1931), позволяет определить плоскость как множество всех точек, коллинеарных с парами точек на одной или двух сторонах данного треугольника.

Большая часть вклада Бойяи связана с теми разделами гиперболической геометрии, которые принадлежат и евклидовой геометрии. Его «абсолютная геометрия» может быть выведена из геометрии порядка, если к последней добавить еще одно фундаментальное отношение, а именно «конгруэнтность». Это отношение определяется пятью аксиомами типа «Если ABC и A B C  – два треугольника, таких, что BC  B C , CA  C A , AB  A B , а D и D  – еще две точки, такие, что [BCD ] и [B C D ] и BD  B D , то AD  A D ». Эти аксиомы служат основой теории длины и позволяют распространить отношение конгруэнтности с пар точек на углы. Определив обычным образом окружность, можно рассматривать первые четыре постулата Евклида как теоремы и доказать его первые двадцать восемь предложений, заменив слово «параллельные» на «не пересекающиеся». Однако необходимо тщательно избегать любого обращения к обычному представлению о сумме углов треугольника; например, нельзя более утверждать, что углы, опирающиеся на один и тот же сегмент окружности, равны, так как доказательство этого предложения зависело бы от суммы углов треугольника. С другой стороны, можно доказать, что три высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, построить теорию правильных многоугольников и правильных многогранников (с небольшими оговорками). Уточнив понятие параллельности (определив как параллельные лучи, которые просто не пересекаются), можно показать, что параллельность – отношение симметричное и транзитивное (т.е. если прямая r параллельна прямой s , то s параллельна r ; если r параллельна s , а s параллельна t , то r параллельна t ).

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 Гиперболические треугольники максимальной площади с двумя заданными сторонами Е. И. Алексеева Аннотация. На плоскости Лобачевского рассматривается аналог очень простой задачи евклидовой геометрии: каким будет треугольник максимальной площади с двумя заданными сторонами и какой будет эта площадь. 1. Введение Каким будет треугольник максимальной площади с двумя заданными сторонами, и какой будет эта площадь? Очевидно, что в геометрии Евклида искомый треугольник будет прямоугольным. В статье дается ответ на вопрос, каким будет соответствующий треугольник (который мы в дальнейшем будем называть треугольником максимальной площади) в геометрии Лобачевского. При этом оказывается, что треугольник максимальной площади не является прямоугольным, но обладает многими свойствами, аналогичными свойствам евклидова прямоугольного треугольника (см. табл. 1). Геометрия Евклида Геометрия Лобачевского 1) α = β + γ = π ; 1) α = β + γ < π ;) центр описанной окружности лежит в середине стороны; 3) S = b c ; 4) cos α = 0 = const; 5) a = b + c.) центр описанной окружности лежит в середине стороны; 3) sin S = th b th c ; 4) cos α = th b th c const; 5) sh a = sh b + sh c. Таблица 1. Как видно из табл. 1, в каком-то смысле аналогом евклидова прямоугольного треугольника в геометрии Лобачевского можно считать и треугольник максимальной площади. Благодарность. Автор благодарит П. В. Бибикова за постановку задачи и внимание к работе. 1

2 . Модель Пуанкаре в круге Существует несколько моделей геометрии Лобачевского, но нам будет удобнее рассматривать модель Пуанкаре в круге (см. [, 6]). В этой модели плоскостью Лобачевского является внутренность единичного круга. Граница этого круга называется абсолютом. Точками являются обычные евклидовы точки, принадлежащие плоскости Лобачевского, а прямыми дуги евклидовых окружностей, ортогональных абсолюту, и диаметры абсолюта (рис. 1). Углы измеряются как обычные евклидовы углы между кривыми. O P Рис. 1. Рис.. Треугольник в модели Пуанкаре в круге состоит из дуг окружностей, и сумма его углов меньше π (рис.). Поэтому естественно ввести величину δ, называемую дефектом и равную π α β γ, где α, β и γ углы треугольника. Легко видеть, что дефект треугольника обладает следующими свойствами: 1) δ > 0;) 1 = δ 1 = δ ; 3) = 1 δ = δ 1 + δ. Видно, что дефект треугольника удовлетворяет всем свойствам площади. Оказывается (см. ), что в геометрии Лобачевского S() = δ = π сумма углов. В этом состоит одно из существенных отличий геометрии Лобачевского от геометрии Евклида: в евклидовой геометрии нельзя выразить площадь треугольника через его углы. 3. Ключевая теорема При решении различных задач геометрии Лобачевского, связанных с площадью треугольника, оказывается полезной следующая теорема (см. также ). Теорема 1 (ключевая теорема). Пусть вершина неевклидова треугольника совпадает с центром модели Пуанкаре и точка симметрична относительно абсолюта 1. Тогда S() = τ, где τ =. 1 Т.е. точка является образом точки при инверсии относительно абсолюта.

3 " Рис. 3. Доказательство. Рассмотрим евклидову окружность ω, содержащую неевклидову сторону треугольника (рис. 3). Поскольку окружность ω ортогональна абсолюту, она переходит в себя при инверсии относительно абсолюта и, следовательно, проходит через точку (см. ). Угол между хордой и окружностью ω равен τ как угол между хордой и касательной. Поэтому сумма евклидовых углов евклидова треугольника равна α + β + γ + τ = π, откуда S() = π (α + β + γ) = τ. Упражнение 1. Используя ключевую теорему, решите следующие задачи (см. ). 1) Постройте в неевклидовом треугольнике отрезок X, делящий площадь пополам. Верно ли, что отрезок X является медианой?) Постройте в неевклидовом треугольнике точку T, такую, что площади треугольников T, T и T равны. Верно ли, что точка T является точкой пересечения медиан? Упражнение. Рассмотрим на плоскости Лобачевского отрезок и прямую c. Найдите на прямой c точку, такую, что площадь треугольника минимальна. Упражнение 3. Докажите аналог ключевой теоремы на сфере: множеством точек, образующих с данным отрезком треугольники постоянной площади, является окружность, проходящая через точки и, симметричные точкам и относительно центра сферы. 4. Треугольники максимальной площади и их свойства Теперь мы готовы решить основную задачу: найти неевклидов треугольник максимальной площади с двумя фиксированными сторонами и. Не умаляя общности рассуждений, будем считать, что вершина совпадает с центром модели Пуанкаре. Зафиксируем сторону. Тогда вершина лежит на неевклидовой окружности ψ с центром в точке и фиксированным радиусом. Так как центр окружности ψ совпадает с центром модели Пуанкаре, эта окружность совпадает с евклидовой (но другого радиуса). По ключевой теореме треугольник имеет площадь, равную, где точка симметрична точке относительно абсолюта. Площадь треугольника будет максимальна тогда, когда угол максимален, т.е. когда отрезок касается окружности ψ (рис. 4). Итак, для построения треугольника максимальной площади достаточно построить касательную к окружности ψ. 3

4 " O Рис. 4. Рис. 5. Треугольник максимальной площади может быть охарактеризован рядом эквивалентных свойств, которые аналогичны свойствам евклидова прямоугольного треугольника (см. табл. 1). Теорема. Пусть неевклидов треугольник с фиксированными сторонами = b и = c. Тогда следующие условия эквивалентны: (0) имеет максимальную площадь; (1) α = β + γ < π ; () центр описанной окружности совпадает с серединой стороны; (3) sin S = th b th c ; (4) cos α = th b th c const; (5) sh a = sh b + sh c. Доказательство. Для доказательства рассмотрим описанную выше конструкцию. По ключевой теореме τ = = S, где S площадь треугольника. (0) (1) Если треугольник имеет максимальную площадь, то = π, то есть имеет место равенство τ + α = π (π α β γ) + α = π. Отсюда следует, что α = β + γ. Обратно, если выполнено равенство α = β + γ, то = τ + α = π и площадь треугольника максимальна. (1) () См. рис. 5. (0) (3) Применим евклидову теорему синусов к евклидовому треугольнику. Имеем E = sin E, где через sin τ E и E обозначены евклидовы длины евклидовых отрезков и соответственно. Известно (см. ), что евклидова длина l и неевклидова длина ρ отрезка, один из концов которого совпадает с центром модели Пуанкаре, связаны формулой l = th ρ, поэтому E = th b и E = 1 E = 1. Подставляя эти значения в предыдущее равенство, th c получаем sin = sin S. Поэтому треугольник имеет максимальную площадь тогда th b th c и только тогда, когда sin S = th b th c. (0) (4) Рассмотрим евклидов треугольник. Если гиперболический треугольник имеет максимальную площадь, то cos α = E = th b th c. Обратно, если выполнено равенство E cos α = th b th c, то евклидов угол прямой и площадь неевклидова треугольника максимальна. (4) (5) Для доказательства воспользуемся неевклидовой теоремой косинусов: ch a = ch b ch c sh b sh c cos α. Подставляя значение cos α из (4), после упрощений получаем (5). Аналогично доказывается и обратная импликация. 4

5 Упражнение 4. Используя аналог ключевой теоремы для сферы (см. упражнение 3), постройте сферический треугольник максимальной площади (см. также ). Попробуйте также найти аналоги свойств (1) (5) для этого треугольника. Упражнение 5. Рассмотрим евклидов остроугольный треугольник P Q и проведем в нем высоты P и Q. Докажите, что неевклидов треугольник имеет максимальную площадь а) в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости относительно прямой P Q (рис. 6); б) в модели Пуанкаре внутри окружности с центром в точке, ортогональной описанной окружности четырехугольника P Q (рис. 7). P Рис. 6. Q P Рис. 7. Q Замечания. 1. Когда b, c 0, свойства (1) (5) из теоремы переходят в соответствующие евклидовы свойства (см. табл. 1), что еще раз демонстрирует аналогию между треугольником максимальной площади и прямоугольным треугольником.. Если b, c, то из свойства (4) следует, что угол α стремится к 0 (рис. 9), в то время как в евклидовом прямоугольном треугольнике α = π = const (рис. 8). Этот факт наиболее ярко отражает разницу между прямоугольным треугольником и треугольником максимальной площади. Рис. 8. Рис Формулу (5) можно назвать неевклидовой теоремой Пифагора, т.к. она имеет тот же вид, что и в геометрии Евклида, с той оговоркой, что в ней присутствуют не стороны, а гиперболические синусы от их половин. 5

6 Ключевая теорема и формула E = th c объясняют, почему во многих формулах, связанных с площадью треугольника, встречаются именно половина площади и половины сторон. Упражнение 6. Используя доказательство равносильности свойств (0) и (3), докажите формулу ctg S = cth b cth c cos α sin α для вычисления площади произвольного неевклидова треугольника через две стороны и угол между ними. Используя ключевую теорему, попробуйте также доказать другие неевклидовы формулы, связанные с площадью треугольника (см. ). 5. Применение: изопериметрическая задача Пользуясь свойствами треугольника максимальной площади можно решить аналог т.н. изопериметрической задачи: какой будет фигура максимальной площади при заданном периметре? В геометрии Евклида ответ хорошо известен: эта фигура является кругом (см. ). Оказывается, что в геометрии Лобачевского решением этой задачи также является круг (см. также ). Теорема 3. В геометрии Лобачевского фигурой максимальной площади с заданным периметром является круг. Доказательство. Мы построим доказательство аналогично евклидовому доказательству, предложенному Штейнером (см. ). Пусть F искомая фигура с площадью S и периметром L (доказательство существования такой фигуры в геометрии Лобачевского аналогично доказательству для евклидовой геометрии; см. ). Так же, как в евклидовой геометрии (см. ) доказывается, что фигура F выпукла, и отрезок, который делит периметр фигуры F пополам, делит и ее площадь пополам. Назовем такой отрезок диаметром. Рис. 10. Рис. 11. Пусть теперь произвольная точка границы фигуры F и диаметр фигуры F (рис. 10). Докажем, что треугольник имеет максимальную площадь. Предположим противное. Рассмотрим половину фигуры F, отсекаемую диаметром и содержащую точку. Ее площадь будет состоять из площади треугольника и площадей двух оставшихся сегментов, прикрепленных к сторонам и. Если двигать стороны и, меняя угол 6

7 между ними, то половина площади F будет меняться, причем сегменты будут двигаться вместе со сторонами, тем самым сохраняя периметр L/. Таким образом можно добиться, чтобы площадь треугольника стала максимальной (рис. 11). Тогда отразим полученную фигуру относительно диаметра и получим новую фигуру F периметра L и с площадью большей S противоречие. Итак, для любой точки границы фигуры F площадь треугольника максимальна. По свойству () теоремы имеем O = O = O = const, а значит, фигура F является кругом с диаметром. Список литературы Бибиков П. В., Ткаченко И. В. О трисекции и бисекции треугольника на плоскости Лобачевского // Мат. Просвещение. Сер. 3, вып. 11, 007. С Ефимов Н. В. Высшая геометрия. М.: Физматлит, 003. Заславский А. А. Геометрические преобразования. М.: МЦНМО, 003. Крыжановский Д. А. Изопериметры. М.: Физматгиз, Норден А. П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. М.: ГИИТЛ, Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. 3-е изд. М.: МЦНМО, 004. Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. М.: МЦНМО, 005. Шварцман О. В. Комментарий к статье П. В. Бибикова и И. В. Ткаченко «О трисекции и бисекции треугольника на плоскости Лобачевского» // Мат. Просвещение. Сер. 3, вып. 11, 007. С Maehara H. The problem of thirteen spheres a proof for undergraduates // European Journal of ombinatorics 8, 007. P Schmidt E. eweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel im hyperbolischen und sphrärischen Raum jeder Dimensionenzahl // Math. Z. 49, P

Восьмая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Десятая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 8 апреля 2012 года Решения задач 8 9 класс 1. (Ю. Блинков) В трапеции стороны и параллельны,

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал П. В. Бибиков, Теоремы Штейнера и Понселе в геометриях Евклида и Лобачевского, Матем. просв., 2008, выпуск 12, 177 184 Использование Общероссийского математического

Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

Девятая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Одиннадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 14 апреля 2013 года Решения задач 8 9 класс 1. (И. Богданов) В треугольнике биссектриса

Сибирский математический журнал Май июнь, 2001. Том 42, 3 УДК 514.17 НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Аннотация: Пусть выпуклой

Одиннадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Тринадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 12 апреля 2015 года Решения задач 8 9 класс 1. (Ю. Блинков) В треугольнике высота

Тринадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Пятнадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 16 апреля 017 года Решения задач 8 9 класс 1. (Е. Бакаев) На стороне треугольника

Экзаменационная работа по геометрии на тему Симедиана Ученика 9 кл. Ц.О. 218 Зерцалова Андрея Руководитель: Блинков Юрий Александрович Москва 2012 г. Оглавление: Введение.......................................

Работа по геометрии на тему Симедиана Ученика 9 кл. Ц.О. 218 Зерцалова Андрея Руководитель: Блинков Юрий Александрович Москва 2012 г. Краткое содержание В работе рассматривается понятие симедианы. В отличие

Глава 6 Элементы сферической геометрии. План. Открытые сферические круги, открытые и замкнутые подмножества сферы, непрерывные кривые на сфере, линейная связность и компоненты подмножества сферы, сферическая

Десятая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Двенадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 13 апреля 2014 года Решения задач 8 9 класс 1. (Ю. Блинков) В треугольнике: = 45, H

Двенадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Четырнадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 17 апреля 2016 года Решения задач 8 9 класс 1. (А. Блинков) В шестиугольнике равны

Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

АМ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ВАРИНЬОНА РЕШАЕТ ЗАДАЧИ Г Б Филипповский, г Киев Французский математик и механик Пьер Вариньон (65 7), который руководил «Журналом учёных» в Париже и написал учебник по элементарной геометрии,

МЕТОДИЧЕСКИЙ ИЙ ЛАРЕЦ ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ, МЕНЕЛАЯ И ВАН-ОБЕЛЯ ЗАНЯТИЕ (ЧАС) ЧЕВА И МЕНЕЛАЙ ЧЕВА И ВАН-ОБЕЛЬ Помимо того что теорема Чевы имеет широкое применение и сильна сама по себе, она бывает весьма эффективна,

МИНИТЕРТО ОБРЗОНИЯ И НУКИ РОИЙКОЙ ФЕДЕРЦИИ НООИБИРКИЙ ГОУДРТЕННЫЙ УНИЕРИТЕТ ПЕЦИЛИЗИРОННЫЙ УЧЕБНО-НУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 9 класс Задачи с окружностями Новосибирск ведение Одним из самых значительных результатов

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решите уравнение (x+)(x) + (x) x + = x О т в е т: { + ; 5} Решение Найдем область определения уравнения (ОДЗ): x ; x> Далее воспользовавшись свойствами

МОУ Лицей при ТПУ СПРАВОЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ Планиметрия Томск 003 . ТРЕУГОЛЬНИКИ.. Прямоугольный треугольник... Метрические соотношения b катеты с гипотенуза h высота AH = c BH =.... Площадь b S =. b) +

Тринадцатая олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина Заочный тур. Решения 1. (А.Заславский) (8) Нарисуйте на клетчатой бумаге четырехугольник с вершинами в узлах, длины сторон которого различные простые

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Планиметрия (часть II) Задание 5 для

Метод ключевых задач Задачи, в которых фигурируют середины отрезков Задача. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Пример. В четырехугольнике = = 90. Точки и

Треугольники Основные сведения Обычно будем обозначать треугольник буквами, C (записываем треугольник C или символически C), при этом буквы, C обозначают как точки вершины треугольника, так и величины

Дополнения к семинару 6 Элементы сферической геометрии Упражнение 6.1. Опишите все тройки точек сферы, являющиеся вершинами некоторых сферических треугольников. Сколько различных сферических треугольников

ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ НОВОАЛЕКСАНДРОВСКОГО РАЙОНА МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА 6» УТВЕРЖДЕНА ПЕДАГОГИЧЕСКИМ СОВЕТОМ МОУ СОШ 6 Протокол 1 от

Глава 6 Элементы сферической геометрии План. Открытые сферические круги, открытые и замкнутые подмножества сферы, непрерывные кривые на сфере, линейная связность и компоненты подмножества сферы, сферическая

1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего

Произвольный треугольник В приведенных ниже формулах используются следующие обозначения: а) с длины сторон АВС лежащие против углов А В и С соответственно б) высоты медианы l l l биссектрисы в) радиус

Четверть 1 1. Сумма углов выпуклого п угольника равна (п 2) 180. 2. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 3. Свойства параллелограмма: 1)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С) Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) Корянов АГ, г Брянск koynov@milu Прокофьев АА, г Москва pokof@yndexu СОДЕРЖАНИЕ стр Взаимное

Серия «Зачет на 5» Зайцева И.А. ОКРУЖНОСТЬ 8 класс НОЯБРЬСК «Окружность» 3 Вопросы к зачету по главе VIII «О К Р У Ж Н О С Т Ь». Каково взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения

1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Биссектриса, медиана и

Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

1. См. рис. 4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами. 5. Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности. 1 Вопросы

Название темы Колво часов Приложение к рабочей программе по геометрии Учебно-тематический план Геометрия 7 класс (часа в неделю, всего 70 часов) Характеристика деятельности обучающихся Глава. Простейшие

Оглавление 1. Выпуклые и невыпуклые многоугольники и их свойства...2 2. Четырехугольник и его свойства...2 3. Средняя линия треугольника. Свойство средней линии треугольника...3 4. Средняя линия треугольника.

Рабочая программа по геометрии Приложение к ООП ООО МБОУ «СОШ 0» (утв. приказом 5 от.08.06) Рабочая программа по геометрии 7-9 классы УМК, используемое в образовательном процессе: Л.С. Атанасян, В. Ф.

Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. В. Акопян, О некоторых классических конструкциях в геометрии Лобачевского, Матем. просв., 2009, выпуск 13, 155 170 Использование Общероссийского математического

ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) (типовые задания С) Корянов АГ, г Брянск koynov@milu Прокофьев АА, г Москва, pokof@yndexu СОДЕРЖАНИЕ стр

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Тема: «Избранные методы и приемы решения геометрических задач» 1. Применение геометрических преобразований При введении вспомогательных фигур часто используются

Решение задач заочного тура 0 I Математический блок Задача Найдите число натуральных корней уравнения Ответ: 00 0 решений Решение задачи Представим число в виде Тогда правая часть данного уравнения равна

Серия «Зачет на 5» Догадова Н.А., Зайцева И.А. ОКРУЖНОСТЬ 8 класс ГЕОМЕТРИЯ Серия «Зачет на 5» основана в 2003 году. Составители: Догадова Н.А., Зайцева И.А. Окружность. 8 класс: Учебное пособие для подготовки

Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Еще раз о замечательных точках треугольника I Точка пересечения высот (ортоцентр) Теорема 1 Точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC делит его высоту BB 1 на отрезки, отношение которых,

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С) Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) Корянов АГ, г Брянск akoyanov@mailu Прокофьев АА, г Москва aapokof@yandexu СОДЕРЖАНИЕ

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Теорема Пифагора Мы готовы вывести важнейшую теорему геометрии теорему Пифагора. С помощью теоремы Пифагора выполняются многие геометрические вычисления.

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

МОУ «СОШ 7» Практическая часть к билетам по геометрии 9 класс г. Ноябрьск Учитель: Зайцева И.А. Для заметок ГЕОМЕТРИЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА В каждом билете три вопроса. В первом вопросе предлагается

Научно-исследовательская работа Свойства ортоцентрических треугольников Выполнила: Метшина Алина Рафиковна учащаяся класса МБОУ СОШ Руководитель: Морозова Татьяна Николаевна учитель математики Оглавление

Треугольники и окружности Определения Признаки равенства Свойства Треуго льник простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками,

Планируемые результаты обучения геометрии в 7-9 классах Геометрические фигуры Выпускник научится: пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающего мира и их взаимного расположения; распознавать

МАТЕМАТИКА ВСЁ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ: ОТ ПЕРИМЕТРА ДО ПЛОЩАДИ ИСКУССТВО ССТВС РЕШАТЬ ЗАДАЧИ АЧИ Окончание Начало в (7) 0 Пусть, и середины сторон, и квадрата, площадь которого равна Найдите

Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

1. Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными. Свойство: Сумма смежных углов 180 о. МОL + LON = 180 o 2. Свойство:

Math-NetRu Общероссийский математический портал А Руинский, Заметки об окружности Апполония, Матем обр, 1999, выпуск 2-3(9-10), 87 94 Использование Общероссийского математического портала Math-NetRu подразумевает,

Mpg 2012/3/1 12:45 page 165 #165 165 Еще раз о точке Фейербаха П. А. Кожевников Знаменитая теорема Фейербаха гласит, что в любом треугольнике окружность девяти точек 1) касается вписанной окружности. 2)

1. Требования к уровню подготовки выпускников уметь: - пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающего мира; - распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение; -

Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.. ПЛОЩАДИ 5... Понятие площади. Площади подобных фигур. Площадь треугольника (выражение через основание и высоту и формула Герона) и трапеции. Важным геометрическим

Муниципальное образование Павловский район Краснодарского края Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 4 ст. Атаманской УТВЕРЖДЕНО Решение педсовета протокол

0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Рабочая программа по геометрии для 7-9 класса составлена на основе авторской Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия. Сборник рабочих программ 7 9 классы: пособие для учителей общеобразоват.

8.3 класс, Геометрия 2016-2017 уч.год Тема модуля 7 «Подобные треугольники. Окружность» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Тема Знать Уметь Знать: - определения пропорциональных отрезков

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Докажите, для любых неотрицательных чисел, и выполняется неравенство 6+ + 5 5 + 7 +. Решение. Сложив почленно три известных

Глава 3 Теорема Жордана План. Замкнутая кривая, незамкнутая кривая, незамкнутая кривая без самопересечений, замкнутая кривая без самопересечений, теорема Жордана о кривой без самопересечений, лежащей на