Проверка статистических гипотез: гипотеза о равенстве средних для двух выборки
Работа носит вспомогательный характер, должна служить фрагментом других лабораторных работ.
Ни одно грамотное социологическое исследование не может обойтись без выдвижения гипотез. По большому счету можно вообще сказать, что главная его цель - это опровержение или подтверждение какого-либо предположения исследователя о социальной реальности на основе собранных им эмпирических данных. Мы выдвигаем гипотезу, собираем данные и делаем на основе статистического материала вывод. Но именно эта цепочка гипотеза-данные-вывод и содержит в себе массу вопросов, с которыми сталкивается практически любой начинающий исследователь. Основной из таких вопросов заключается в следующем: как перевести выдвинутую нами гипотезу на математический язык для того, чтобы ее потом можно было соотнести со статистическим массивом и, обработав с помощью методов математической статистики, опровергнуть или подтвердить? Здесь мы постараемся ответить на этот вопрос на примере проверки гипотез о равенстве средних.
Проверка статистических гипотез о равенстве средних
Под статистической гипотезой понимаются различного рода предположения относительно характера или параметров распределения случайной переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты в случайной выборке.
Следует иметь в виду, что проверка статистической гипотезы имеет вероятностный характер. Также как мы никогда не можем на 100% быть уверены в том, что какой-либо выборочный параметр совпадает с параметром генеральной совокупности, мы никогда не можем абсолютно точно сказать, верна или ложна выдвинутая нами гипотеза.
Для того чтобы проверить статистическую гипотезу необходимо следующее:
1. Преобразовать содержательную гипотезу в статистическую: сформулировать нулевую и альтернативную статистические гипотезы.
2. Определить зависимые или независимые у нас выборки.
3. Определить объем выборок.
4. Выбрать критерий.
5. Выбрать уровень значимости, контролирующий допустимую вероятность ошибки первого рода, и определить область допустимых значений.
7. Отвергнуть или принять нулевую гипотезу.
Теперь рассмотрим каждый из шести пунктов более подробно.
Формулировка гипотезы
В статистических задачах часто бывает нужно сравнить средние двух разных выборок . Например, нас может интересовать разница средних зарплат мужчин и женщин, средних возрастов неких групп <А> и <В> и т.д. Или же, сформировав две независимые экспериментальные группы, мы можем сравнивать их средние с целью проверить, насколько различается, скажем, воздействие двух разных лекарств на кровяное давление или насколько размер группы влияет на отметки студентов. Иногда бывает так, что мы разбиваем совокупность на две группы попарно, то есть, имеем дело с близнецами, супружескими парами или одним и тем же человеком до и после какого-либо эксперимента и т.д. Чтобы стало более ясно, рассмотрим характерные примеры, где применяются различные критерии о равенстве средних.
Пример №1. Фирма разработала два разных препарата, понижающих давление (назовем их препараты Х и Y ) и хочет узнать различается или нет воздействие данных лекарств на больных, страдающих гипертонией. Из 50 человек с соответствующим заболеванием случайно выбираются 20 и случайно эти 20делятся на две группы по 10 человек. Первая группа в течение недели пользуется препаратом Х , вторая - препаратом Y . Затем у всех больных измеряется давление. Выдвигаемая содержательная гипотеза: препараты Х и Y по-разному влияют на кровяное давление больных .
Пример №2. Исследователь хочет узнать, как влияет продолжительность лекции на успеваемость студентов. Допустим, он избрал следующий путь: из 200 студентов случайно выбрал 50 человек и в течение месяца наблюдал за их успеваемостью. Далее он увеличил продолжительность лекций на 10 минут и в течение следующего месяца смотрел на успеваемость все тех же50 студентов. Потом он сравнил результаты каждого студента до и после увеличения продолжительности лекции. Выдвигаемая содержательная гипотеза: продолжительность лекции влияет на успеваемость студента .
Пример №3. Из 200 студентов случайно были выбраны 80 человек, и эти 80 человек разделили на две группы по 40. Одной группе задавали вопрос без установки: <Сколько вы готовы заплатить за натуральный йогурт?>, а второй группе задавали вопрос с установкой: <Сколько вы готовы заплатить за натуральный йогурт, если известно, что люди, потребляющие йогуртовые культуры, страдают на 10-15% меньше от заболеваний желудка?> Исследователь предполагал, что положительная информация о продукте, содержащаяся во втором вопросе, повлияет на респондента, и люди, отвечающие на вопрос с установкой, будут готовы заплатить за йогурт больше, нежели те, которым был предложен вопрос без установки. Выдвигаемая содержательная гипотеза: постановка вопроса влияет на ответ респондента .
Перед нами три примера, каждый из которых демонстрирует формулировку содержательной гипотезы. Теперь преобразуем наши содержательные гипотезы в статистические, но для начала немного скажем о статистических гипотезах в целом.
Наиболее частый подход к формулировке статистических гипотез - это выдвижение двух двусторонних гипотез :
Как видно из формулы, нулевая гипотеза говорит о том, что какой-либо параметр выборки или, скажем, разница между параметрами двух выборок равна некоему числу а . Альтернативная гипотеза утверждает обратное: интересующий нас параметр не равен а . Таким образом, данные две гипотезы содержат в себе все возможные варианты исходов.
Также возможна формулировка односторонних гипотез :
Иногда такие гипотезы оказываются более осмысленными. Обычно они имеют место в том случае, когда вероятность того, что наш параметр может оказаться больше (или меньше) а равна нулю, то есть такое невозможно.
Теперь сформулируем нулевую и альтернативную статистические гипотезы для наших трех примеров.
Таблица №1.
|
Пример №1 |
Пример №2 |
Пример №3 |
|
|
Препараты Х и Y по-разному влияют на кровяное давление больных |
Продолжительность лекции влияет на успеваемость студентов |
Постановка вопроса влияет на ответ респондента |
|
|
Задача исследователя |
4.Найти среднее арифметическое разностей для всех студентов, обозначаемое | ||
|
Нулевая гипотеза | |||
|
Смысл нулевой гипотезы |
исредние генеральных совокупностей, из которых взяты выборки со среднимии. Нулевая гипотеза говорит о том, что влияние обоих лекарств на давление в среднем незначительно, и если даже выборочные средние не равны, то это объясняется лишь погрешностью выборки или иными не зависящими от нас причинами |
Среднее разностей для студентов в генеральной совокупности. Нулевая гипотеза говорит о том, что на самом деле нет разницы между средним баллом студента до и после увеличения продолжительности лекции, и если даже выборочное среднее разностей отлично от нуля, то это объясняется лишь погрешностью выборки или иными не зависящими от нас причинами |
Посколькусовпадает св примере №1, то объяснения можно найти в первой колонке (см. пример 1) |
|
Альтернативная гипотеза | |||
|
Вывод относительно содержательной гипотезы |
Если мы принимаем нулевую гипотезу - препараты оказывают одинаковое влияние (разницы между средними нет), то мы отвергаем содержательную гипотезу, в противном случае - мы принимаем содержательную гипотезу |
Если мы принимаем нулевую гипотезу - продолжительность лекции не влияет на успеваемость, то мы отвергаем содержательную гипотезу и наоборот |
Если мы принимаем нулевую гипотезу - вопрос не влияет на выбор респондента, то мы отвергаем содержательную гипотезу и наоборот. |
Рассмотрим использование MS EXCEL при проверке статистических гипотез о среднем значении распределения в случае неизвестной дисперсии. Вычислим тестовую статистику t 0 , рассмотрим процедуру «одновыборочный t -тест», вычислим Р-значение (Р- value ).
Материал данной статьи является продолжением статьи . В указанной статье даны основные понятия проверки гипотез (нулевая и альтернативная гипотезы, тестовые статистики, эталонное распределение, Р-значение и др. ).
СОВЕТ : Для проверки гипотез потребуется знание следующих понятий:
- , и их .
Формулировка задачи. Из генеральной совокупности имеющей с неизвестным μ (мю) и неизвестной дисперсией взята выборка размера n. Необходимо проверить статистическую гипотезу о равенстве неизвестного μ заданному значению μ 0 (англ. Inference on the mean of a population, variance unknown).
Примечание : Требование о нормальности исходного распределения, из которого берется выборка , не является обязательным. Но, необходимо, чтобы были выполнены условия применения .
Сначала проведем проверку гипотезы , используя доверительный интервал , а затем с помощью процедуры t -тест. В конце вычислим Р-значение и также используем его для проверки гипотезы .
Пусть нулевая гипотеза Н 0 утверждает, что неизвестное среднее значение распределения μ равно μ 0 . Соответствующая альтернативная гипотеза Н 1 утверждает обратное: μ не равно μ 0 . Это пример двусторонней проверки , т.к. неизвестное значение может быть как больше, так и меньше μ 0 .
Если упрощенно, то проверка гипотезы заключается в сравнении 2-х величин: вычисленного на основании выборки среднего значения Х ср и заданного μ 0 . Если эти значения «отличаются больше, чем можно было бы ожидать исходя из случайности», то нулевую гипотезу отклоняют.
Поясним фразу «отличаются больше, чем можно было бы ожидать исходя из случайности». Для этого, вспомним, что распределение Выборочного среднего (статистика Х ср ) стремится к нормальному распределению со средним значением μ и стандартным отклонением равным σ/√n, где σ – стандартное отклонение распределения, из которого берется выборка (не обязательно нормальное ), а n – объем выборки (подробнее см. ).
К сожалению, в нашем случае дисперсия а, значит, и стандартное отклонение , неизвестны, поэтому вместо нее мы будем использовать ее оценку - s 2 и, соответственно, стандартное отклонение выборки s.
Известно, что если вместо неизвестной дисперсии распределения σ 2 мы используем дисперсию выборки s 2 , то распределением статистики Х ср является с n-1 степенью свободы .
Таким образом, знание распределения статистики Х ср и заданного , позволяют нам формализовать с помощью математических выражений фразу «отличаются больше, чем можно было бы ожидать исходя из случайности».
В этом нам поможет доверительный интервал (как строится доверительный интервал нам известно из статьи ). Если среднее выборки попадает в доверительный интервал, построенный относительно μ 0 , то для отклонения нулевой гипотезы оснований нет. Если не попадает, то нулевая гипотеза отвергается.
Воспользуемся выражением для Доверительного интервала , которое мы получили в статье .
Напомним, что доверительный интервал обычно определяют через количество стандартных отклонений , которые в нем укладываются. В нашем случае в качестве стандартного отклонения берется стандартная ошибка s/√n.
Количество стандартных отклонений зависит от количества степеней свободы используемого t-распределения и уровня значимости α (альфа) .
Для визуализации проверки гипотезы методом доверительного интервала в создана .
Примечание : Перечень статей о проверке гипотез приведен в статье .
t-тест
Ниже приведем процедуру проверки гипотезы в случае неизвестной дисперсии . Данная процедура имеет название t -тест :
В MS EXCEL верхний α
/2-квантиль
вычисляется по формуле
=СТЬЮДЕНТ.ОБР(1-α
/2; n-1)
Учитывая симметричность t-распределения
относительно оси ординат, верхний
α
/2-квантиль
равен обычному α
/2-квантилю
со знаком минус:
=-СТЬЮДЕНТ.ОБР(α
/2; n-1)
Также в MS EXCEL имеется специальная формула для вычисления двухсторонних квантилей
:
=СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(α
; n-1)
Все три формулы вернут один и тот же результат.
Примечание : Подробнее про квантили распределения можно прочитать в статье .
Примечание : Если вместо t-распределения использовать стандартное нормальное распределение, то мы получим необоснованно более узкий доверительный интервал , тем самым мы будем чаще необоснованно отвергать нулевую гипотезу , когда она справедлива (увеличим ошибку первого рода ).
Отметим, что различие в ширине интервалов зависит от размера выборки n (при уменьшении n различие увеличивается) и от уровня значимости (при уменьшении α различие увеличивается). Для n=10 и α = 0,01 относительная разница в ширине интервалов составляет порядка 20%. При большом размере выборки n (>30), различием в интервалах часто пренебрегают (для n=30 и α = 0,01 относительная разница составляет 6,55%). Это свойство используется в функции Z.ТЕСТ() , которая вычисляет р-значение (см. ниже) с использованием нормального распределения (аргумент σ должен быть опущен или указана ссылка на стандартное отклонение выборки ).
В случае односторонней гипотезы речь идет об отклонении μ только в одну сторону: либо больше либо меньше μ 0 . Если альтернативная гипотеза звучит как μ>μ 0 , то гипотеза Н 0 отвергается в случае t 0 > t α ,n-1 . Если альтернативная гипотеза звучит как μ<μ 0 , то гипотеза Н 0 отвергается в случае t 0 < - t α ,n-1 .
Вычисление Р-значения
При проверке гипотез большое распространение также получил еще один эквивалентный подход, основанный на вычислении p -значения (p-value).
СОВЕТ : Подробнее про p -значение написано в статье .
Если p-значение , вычисленное на основании выборки , меньше чем заданный уровень значимости α , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза . И наоборот, если p-значение больше α , то нулевая гипотеза не отвергается.
Другими словами, если p-значение меньше уровня значимости α , то это свидетельство того, что значение t -статистики , вычисленное на основе выборки при условии истинности нулевой гипотезы , приняло маловероятное значение t 0 .
Формула для вычисления p-значения зависит от формулировки альтернативной гипотезы :
- Для односторонней гипотезы μ<μ 0 p-значение вычисляется как =СТЬЮДЕНТ.РАСП(t 0 ; n-1; ИСТИНА)
- Для другой односторонней гипотезы μ>μ 0 p-значение вычисляется как =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(t 0 ; n-1; ИСТИНА)
- Для двусторонней гипотезы p-значение вычисляется как =2*(1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(ABS(t 0);n-1;ИСТИНА))
Соответственно, t 0 =(СРЗНАЧ(выборка )-μ 0)/ (СТАНДОТКЛОН.В(выборка )/ КОРЕНЬ(СЧЁТ(выборка ))) , где выборка – ссылка на диапазон, содержащий значения выборки .
В файле примера на листе Сигма неизвестна показана эквивалентность проверки гипотезы через доверительный интервал , статистику t 0 (t -тест) и p -значение .
Примечание : В MS EXCEL нет специализированной функции для одновыборочного t-теста . При больших n можно использовать функцию Z.ТЕСТ() с опущенным 3-м аргументом (подробнее про эту функцию см. статью ). Функция СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ() предназначена для .
3. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ СРЕДНИХ
Используется для проверки предложения о том, что среднее значения двух показателей, представленных выборками, значимо различаются. Существует три разновидности критерия: один – для связанных выборок, и два для несвязных выборок (с одинаковыми и разными дисперсиями). Если выборки не связны, то предварительно нужно проверить гипотезу о равенстве дисперсий, чтобы определить, какой из критериев использовать. Так же как и в случае сравнения дисперсий имеются 2 способа решения задачи, которые рассмотрим на примере.
ПРИМЕР 3. имеются данные о количестве продаж товара в двух городах. Проверить на уровне значимости 0,01 статистическую гипотезу о том, что среднее число продаж товара в городах различно.
| 23 | 25 | 23 | 22 | 23 | 24 | 28 | 16 | 18 | 23 | 29 | 26 | 31 | 19 |
| 22 | 28 | 26 | 26 | 35 | 20 | 27 | 28 | 28 | 26 | 22 | 29 |
Используем пакет «Анализ данных». В зависимости от типа критерия выбирается один из трех: «Парный двухвыборочный t-тест для средних» - для связных выборок, и «Двухвыборочных t-тест с одинаковыми дисперсиями» или «Двухвыборочных t-тест с разными дисперсиями» - для несвязных выборок. Вызовите тест с одинаковыми дисперсиями, в открывшемся окне в полях «Интервал переменной 1» и «Интервал переменной 2» вводят ссылки на данные (А1-N1 и А2-L2, соответственно), если имеются подписи данных, то ставят флажок у надписи «Метки» (у нас их нет, поэтому флажок не ставится). Далее вводят уровень значимости в поле «Альфа» - 0,01. Поле «Гипотетическая средняя разность» оставляют пустыми. В разделе «Параметры вывода» ставят метку около «Выходной интервал» и поместив курсор в появившемся поле напротив надписи, щелкают левой кнопкой в ячейке В7. вывод результата будет осуществляться начиная с этой ячейки. Нажав на «ОК» появляется таблица результата. Сдвиньте границу между столбцами В и С, С и D, D и Е увеличив ширину столбцов В, С и D так, чтобы умещались все надписи. Процедура выводит основные характеристики выборки, t-статистику, критические значения этих статистик и критические уровни значимости «Р(Т<=t) одностороннее» и «Р(Т<=t) двухстороннее». Если по модулю t-статистика меньше критического, то средние показатели с заданной вероятностью равны. В нашем случае│-1,784242592│ < 2,492159469, следовательно, среднее число продаж значимо не отличается. Следует отметить, что если взять уровень значимости α=0,05, то результаты исследования будут совсем иными.
Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями |
||
| Среднее | 23,57142857 | 26,41666667 |
| Дисперсия | 17,34065934 | 15,35606061 |
| Наблюдения | 14 | 12 |
| Объединенная дисперсия | 16,43105159 | |
| Гипотетическая разность средних | 0 | |
| df | 24 | |
| t-статистика | -1,784242592 | |
| P(T<=t) одностороннее | 0,043516846 | |
| t критическое одностороннее | 2,492159469 | |
| P(T<=t) двухстороннее | 0,087033692 | |
| t критическое двухстороннее | 2,796939498 | |
Лабораторная работа №3
ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
Цель: Освоить методы построения линейного уравнения парной регрессии с помощью ЭВМ, научиться получать и анализировать основные характеристики регрессионного уравнения.
Рассмотрим методику построения регрессионного уравнения на примере.
ПРИМЕР. Даны выборки факторов х i и у i . По этим выборкам найти уравнение линейной регрессии ỹ = ах + b. Найти коэффициент парной корреляции. Проверить на уровне значимости а = 0,05 регрессионную модель на адекватность.
| Х | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Y | 6,7 | 6,3 | 4,4 | 9,5 | 5,2 | 4,3 | 7,7 | 7,1 | 7,1 | 7,9 |
Для нахождения коэффициентов a и b уравнения регрессии служат функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК, категории «Статистические». Вводим в А5 подпись «а=» а в соседнюю ячейку В5 вводим функцию НАКЛОН, ставим курсор в поле «Изв_знач_у» задаем ссылку на ячейки В2-K2, обводя их мышью. Результат 0,14303. Найдем теперь коэффициент b. Вводим в А6 подпись «b=», а в В6 функцию ОТРЕЗОК с теми же параметрами, что и функции НАКЛОН. Результат 5,976364. следовательно, уравнение линейной регрессии есть у=0,14303х+5,976364.
Построим график уравнения регрессии. Для этого в третью строчку таблицы введем значения функции в заданных точках Х (первая строка) – у(х 1). Для получения этих значений используются функция ТЕНДЕНЦИЯ категории «Статистические». Вводим в А3 подпись «Y(X) и, поместив курсор в В3, вызываем функцию ТЕНДЕНЦИЯ. В полях «Изв_знач_у» и «Изв_знач_х» даем ссылку на В2-K2 и В1-K1. в поле «Нов_знач_х» вводим также ссылку на В1-K1. в поле «Константа» вводят 1, если уравнение регрессии имеет вид y=ax+b, и 0, если у=ах. В нашем случае вводим единицу. Функция ТЕНДЕНЦИЯ является массивом, поэтому для вывода всех ее значений выделяем область В3-K3 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат – значения уравнения регрессии в заданных точках. Строим график. Ставим курсор в любую свободную клетку, вызываем мастер диаграмм, выбираем категорию «Точеная», вид графика – линия без точек (в нижнем правом углу), нажимаем «Далее», в поле «Диагноз» вводим ссылку на В3-K3. переходим на закладку «Ряд» и в поле «Значения Х» вводим ссылку на В1-K1, нажимаем «Готово». Результат – прямая линия регрессии. Посмотрим, как различаются графики опытных данных и уравнения регрессии. Для этого ставим курсор в любую свободную ячейку, вызываем мастер диаграмм, категория «График», вид графика – ломанная линия с точками (вторая сверху левая), нажимаем «Далее», в поле «Диапазон» вводим ссылку на вторую и третью строки В2-K3. переходим на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» вводим ссылку на В1-K1, нажимаем «Готово». Результат – две линии (Синяя – исходные, красная – уравнение регрессии). Видно, что линии мало различаются между собой.
| а= | 0,14303 |
| b= | 5,976364 |
Для вычисления коэффициента корреляции r xy служит функция ПИРСОН. Размещаем график так, чтобы они располагались выше 25 строки, и в А25 делаем подпись «Корреляция», в В25 вызываем функцию ПИРСОН, в полях которой «Массив 2» вводим ссылку на исходные данные В1-K1 и В2-K2. результат 0,993821. коэффициент детерминации R xy – это квадрат коэффициента корреляции r xy . В А26 делаем подпись «Детерминация», а в В26 – формулу «=В25*В25». Результат 0,265207.
Однако, в Excel существует одна функция, которая рассчитывает все основные характеристики линейной регрессии. Это функция ЛИНЕЙН. Ставим курсор в В28 и вызываем функцию ЛИНЕЙН, категории «Статистические». В полях «Изв_знач_у» и «Изв_знач_х» даем ссылку на В2-K2 и В1-K1. поле «Константа» имеет тот же смысл, что и функции ТЕНДЕНЦИЯ, у нас она равна 1. поле «Стат» должно содержать 1, если нужно вывести полную статистику о регрессии. В нашем случае ставим туда единицу. Функция возвращает массив размеров 2 столбца и 5 строк. После ввода выделяем мышью ячейку В28-С32 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат – таблица значений, числа в которой имеют следующий смысл:
Коэффициент а | Коэффициент b |
| Стандартная ошибка m o | Стандартная ошибка m h |
| Коэффициент детерминации R xy | Среднеквадратическое отклонение у |
| F – статистика | Степени свободы n-2 |
| Регрессионная сумма квадратов S n 2 | Остаточная сумма квадратов S n 2 |
| 0,14303 | 5,976364 |
| 0,183849 | 0,981484 |
| 0,070335 | 1,669889 |
| 0,60525 | 8 |
| 1,687758 | 22,30824 |
Анализ результата: в первой строчке – коэффициенты уравнения регрессии, сравните их с рассчитанными функциями НАКЛОН и ОТРЕЗОК. Вторая строчка – стандартные ошибки коэффициентов. Если одна из них по модулю больше, чем сам коэффициент, то коэффициент считается нулевым. Коэффициент детерминации характеризует качество связи между факторами. Полученное значение 0,070335 говорит об очень хорошей связи факторов, F – статистика проверяет гипотезу о адекватности регрессионной модели. Данное число нужно сравнить с критическим значением, для его получения вводим в Е33 подпись «F-критическое», а в F33 функцию FРАСПОБР, аргументами которой вводим соответственно «0,05» (уровень значимости), «1» (число факторов Х) и «8» (степени свободы).
| F-критическое | 5,317655 |
Видно, что F-статистика меньше, чем F-критическое, значит, регрессионная модель не адекватна. В последней строке приведены регрессионная сумма квадратов 
и остаточные суммы квадратов . Важно, чтобы регрессионная сумма (объясненная регрессией) была намного больше остаточной (не объясненная регрессией, вызванная случайными факторами). В нашем случае это условие не выполняется, что говорит о плохой регрессии.
Вывод: В ходе работы я освоил методы построения линейного уравнения парной регрессии с помощью ЭВМ, научился получать и анализировать основные характеристики регрессионного уравнения.
Лабораторная работа № 4
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
Цель: освоить методы построения основных видов нелинейных уравнений парной регрессии с помощью с помощью ЭВМ (внутренне линейные модели), научиться получать и анализировать показатели качества регрессионных уравнений.
Рассмотрим случай, когда нелинейные модели с помощью преобразования данных можно свести к линейным (внутренне линейные модели).
ПРИМЕР. Построить уравнение регрессии у = f(х) для выборки х п у п (f = 1,2,…,10). В качестве f(х) рассмотреть четыре типа функций – линейная, степенная, показательная и гиперболу:
у = Ах + В; у = Ах В; у = Ае Вх; у = А/х + В.
Необходимо найти их коэффициенты А и В, и сравнив показатели качества, выбрать функцию, которая наилучшим образом описывает зависимость.
| Прибыль Y | 0,3 | 1,2 | 2,8 | 5,2 | 8,1 | 11,0 | 16,8 | 16,9 | 24,7 | 29,4 |
| Прибыль X | 0,25 | 0,50 | 0,75 | 1,00 | 1,25 | 1,50 | 1,75 | 2,00 | 2,25 | 2,50 |
Введем данные в таблицу вместе с подписями (ячейки A1-K2). Оставим свободными три строчки ниже таблицы для ввода преобразованных данных, выделим первые пять строк, проведя по левой серой границе по числам от 1 до 5 и выбрать какой-либо цвет (светлый – желтый или розовый) раскрасить фон ячеек. Далее, начиная с A6, выводим параметры линейной регрессии. Для этого в ячейку A6 делаем подпись «Линейная» и в соседнюю ячейку B6 вводим функцию ЛИНЕЙН. В полях «Изв_знач_x» даем ссылку на B2-K2 и B1-K1, следующие два поля принимают значения по единице. Далее обводим область ниже в 5 строчек и левее в 2 строки и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат - таблица с параметрами регрессии, из которых наибольший интерес представляет коэффициент детерминации в первом столбце третий сверху. В нашем случае он равен R 1 = 0,951262. Значение F-критерия, позволяющего проверить адекватность модели F 1 = 156,1439
(четвертая строка, первый столбец). Уравнение регрессии равно
y = 12,96 x +6,18 (коэффициенты a и b приведены в ячейках B6 и C6).
| Линейная | 12,96 | -6,18 |
| 1,037152 | 1,60884 | |
| 0,951262 | 2,355101 | |
| 156,1439 | 8 | |
| 866,052 | 44,372 |
Определим аналогичные характеристики для других регрессий и в результате сравнения коэффициентов детерминации найдем лучшую регрессионную модель. Рассмотрим гиперболическую регрессию. Для ее получения преобразуем данные. В третьей строке в ячейку A3 введем подпись «1/x» а в ячейку B3 введем формулу «=1/B2». Растянем автозаполнением данную ячейку на область B3-K3. Получим характеристики регрессионной модели. В ячейку А12 введем подпись «Гипербола», а в соседнюю функцию ЛИНЕЙН. В полях «Изв_знач_y» и «Изв_знач_x2 даем ссылку на B1-K1 и преобразованные данные аргумента x – B3-K3, следующие два поля принимают значения по единице. Далее обводим область ниже 5 строчек и левее в 2 строки и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Получаем таблицу параметров регрессии. Коэффициент детерминации в данном случае равен R 2 = 0,475661, что намного хуже, чем в случае линейной регрессии. F-статистика равна F 2 = 7,257293. Уравнение регрессии равно y = -6,25453x 18,96772 .
| Гипербола | -6,25453 | 18,96772 |
| 2,321705 | 3,655951 | |
| 0,475661 | 7,724727 | |
| 7,257293 | 8 | |
| 433,0528 | 477,3712 |
Рассмотрим экспоненциальную регрессию. Для ее линеаризации получаем уравнение , где ỹ = ln y, ã = b, = ln a. Видно, что надо сделать преобразование данных – y заменить на ln y. Ставим курсор в ячейку А4 и делаем заголовок «ln y». Ставим курсор в В4 и вводим формулу LN (категория «Математические»). В качестве аргумента делаем ссылку на В1. Автозаполнением распространяем формулу на четвертую строку на ячейки В4-K4. Далее в ячейке F6 задаем подпись «Экспонента» и в соседней G6 вводим функцию ЛИНЕЙН, аргументами которой будут преобразованные данные В4-K4 (в поле «Изв_знач_ y»), а остальные поля такие же как и для случая линейной регрессии (B2-K2, 1, 1). Далее обводим ячейки G6-H10 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат R 3 = 0,89079, F 3 = 65,25304, что говорит об очень хорошей регрессии. Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии b = ã; ставим курсор в J6 и делаем заголовок «а=», а в соседней К6 формулу «=ЕХР(Н6)», в J7 даем заголовок «b=», а в К7 формулу «=G6». Уравнение регрессии есть y = 0,511707· e 6,197909 x .
| Экспонента | 1,824212 | -0,67 | a= | 0,511707 | |
| 0,225827 | 0,350304 | b= | 6,197909 | ||
| 0,89079 | 0,512793 | ||||
| 65,25304 | 8 | ||||
| 17,15871 | 2,103652 |
Рассмотрим степенную регрессию. Для ее линеаризации получаем уравнение ỹ = ã, где ỹ = ln y, = ln x, ã = b, = ln a. Видно, что надо сделать преобразование данных – y заменить на ln y и x заменить на ln x. Строчка с ln y у нас уже есть. Преобразуем переменные х. В ячейку А5 даем подпись «ln x», а в В5 и вводим формулу LN (категория «Математические»). В качестве аргумента делаем ссылку на В2. Автозаполнением распространяем формулу на пятую строку на ячейки B5-K5. Далее в ячейке F12 задаем подпись «Степенная» и в соседней G12 вводим функцию ЛИНЕЙН, аргументами которой будут преобразованные данные B4-K4 (в поле «Изв_знач_у»), и B5-K5 (в поле «Изв_знач_х»), остальные поля – единицы. Далее освободим ячейки G12-H16 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат R 4 = 0,997716, F 4 = 3494,117, что говорит об хорошей регрессии. Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии b = ã; ставим курсор в J12 и делаем заголовок «а=», а в соседней К12 формулу «=ЕХР(Н12)», в J13 даем заголовок «b=», а в К13 формулу «=G12». Уравнение регрессии есть у = 4,90767/х+ 7,341268.
| Степенная | 1,993512 | 1,590799 | a= | 4,90767 | |
| 0,033725 | 0,023823 | b= | 7,341268 | ||
| 0,997716 | 0,074163 | ||||
| 3494,117 | 8 | ||||
| 19,21836 | 0,044002 |
Проверим, все ли уравнения адекватно описывают данные. Для этого нужно сравнить F-статистики каждого критерия с критическим значением. Для его получения вводим в А21 подпись «F-критическое», а в В21 функцию FРАСПОБР, аргументами которой вводим соответственно «0,05» (уровень значимости), «1» (число факторов Х в строке «Уровень значимости 1») и «8» (степень свободы 2 = n – 2). Результат 5,317655. F – критическое больше F – статистики значит модель адекватна. Также адекватны и остальные регрессии. Для того, чтобы определить, какая модель наилучшим образом описывает данные, сравним индексы детерминации для каждой модели R 1 , R 2 , R 3 , R 4 . Наибольшим является R 4 = 0,997716. Значит опытные данные лучше описывать у = 4,90767/х+ 7,341268.
Вывод: В ходе работы я освоил методы построения основных видов нелинейных уравнений парной регрессии с помощью с помощью ЭВМ (внутренне линейные модели), научился получать и анализировать показатели качества регрессионных уравнений.
| Y | 0,3 | 1,2 | 2,8 | 5,2 | 8,1 | 11 | 16,8 | 16,9 | 24,7 | 29,4 |
| X | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2 | 2,25 | 2,5 |
| 1/x | 4 | 2 | 1,333333 | 1 | 0,8 | 0,666667 | 0,571429 | 0,5 | 0,444444 | 0,4 |
| ln y | -1,20397 | 0,182322 | 1,029619 | 1,648659 | 2,0918641 | 2,397895 | 2,821379 | 2,827314 | 3,206803 | 3,380995 |
| ln x | -1,38629 | -0,69315 | -0,28768 | 0 | 0,2231436 | 0,405465 | 0,559616 | 0,693147 | 0,81093 | 0,916291 |
| Линейная | 12,96 | -6,18 | Экспонента | 1,824212 | -0,67 | a= | 0,511707 | |||
| 1,037152 | 1,60884 | 0,225827 | 0,350304 | b= | 6,197909 | |||||
| 0,951262 | 2,355101 | 0,89079 | 0,512793 | |||||||
| 156,1439 | 8 | 65,25304 | 8 | |||||||
| 866,052 | 44,372 | 17,15871 | 2,103652 | |||||||
| Гипербола | -6,25453 | 18,96772 | Степенная | 1,993512 | 1,590799 | a= | 4,90767 | |||
| 2,321705 | 3,655951 | 0,033725 | 0,023823 | b= | 7,341268 | |||||
| 0,475661 | 7,724727 | 0,997716 | 0,074163 | |||||||
| 7,257293 | 8 | 3494,117 | 8 | |||||||
| 433,0528 | 477,3712 | 19,21836 | 0,044002 | |||||||
| F - критическое | 5,317655 | |||||||||
Лабораторная работа № 5
ПОЛИНОМИНАЛЬНАЯ РЕГРЕССИЯ
Цель: По опытным данным построить уравнение регрессии вида у = ах 2 + bх + с.
ХОД РАБОТЫ:
Рассматривается зависимость урожайности некоторой культуры у i от количества внесенных в почву минеральных удобрений х i . Предполагается, что эта зависимость квадратичная. Необходимо найти уравнение регрессии вида ỹ = ах 2 + bx + c.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| y | 29,8 | 58,8 | 72,2 | 101,5 | 141 | 135,1 | 156,6 | 181,7 | 216,6 | 208,2 |
Введем эти данные в электронную таблицу вместе с подписями в ячейки А1-K2. Построим график. Для этого обведем данные Y (ячейки В2-K2), вызываем мастер диаграмм, выбираем тип диаграммы «График», вид диаграммы – график с точками (второй сверху левый), нажимаем «Далее», переходим на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» делаем ссылку на В2-K2, нажимаем «Готово». График можно приблизить полиномом 2 степени у = ах 2 + bх + с. Для нахождения коэффициентов a, b, c нужно решить систему уравнений:
Рассчитаем суммы. Для этого в ячейку А3 вводим подпись «Х^2», а в В3 вводим формулу «= В1*В1» и Автозаполнением переносим ее на всю строку В3-K3. В ячейку А4 вводим подпись «Х^3», а в В4 формулу «=В1*В3» и Автозаполнением переносим ее на всю строку В4-K4. В ячейку А5 вводим «Х^4», а в В5 формулу «=В4*В1», автозаполняем строку. В ячейку А6 вводим «Х*Y», а в В8 формулу «=В2*В1», автозаполняем строку. В ячейку А7 вводим «Х^2*Y», а в В9 формулу «=В3*В2», автозаполняем строку. Теперь считаем суммы. Выделяем другим цветом столбец L, щелкнув по заголовку и выбрав цвет. В ячейку L1 помещаем курсор и щелкнув по кнопке автосуммы со значком ∑, вычисляем сумму первой строки. Автозаполнением переносим формулу на ячейки L1-710.
Решаем теперь систему уравнений. Для этого вводим основную матрицу системы. В ячейку А13 вводим подпись «А=», а в ячейки матрицы В13-D15 вводим ссылки, отраженные в таблице
| B | C | D | |
| 13 | =L5 | =L4 | =L3 |
| 14 | =L3 | =L2 | =L1 |
| 15 | =L2 | =L1 | =9 |
Вводим также правые части системы уравнений. В G13 вводим подпись «В=», а в Н13-Н15 вводим, соответственно ссылки на ячейки «=L7», «=L6», «=L2». Решаем систему матричным методом. Из высшей математики известно, что решение равно А -1 В. Находим обратную матрицу. Для этого в ячейку J13 вводим подпись «А обр.» и, поставив курсор в K13 задаем формулу МОБР (категория «Математические»). В качестве аргумента «Массив» даем ссылку на ячейки В13:D15. Результатом также должна быть матрица размером 4×4. Для ее получения обводим ячейки K13-М15 мышью, выделяя их и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат – матрица А -1 . Найдем теперь произведение этой матрицы на столбец В (ячейки Н13-Н15). Вводим в ячейку А18 подпись «Коэффициенты» и в В18 задаем функцию МУМНОЖ (категория «Математические»). Аргументами функции «Массив 1» служит ссылка на матрицу А -1 (ячейки K13-М15), а в поле «Массив 2» даем ссылку на столбец В (ячейки Н13-Н16). Далее выделяем В18-В20 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Получившийся массив – коэффициенты уравнения регрессии a, b, c. В результате получаем уравнение регрессии вида: у = 1,201082х 2 – 5,619177х + 78,48095.
Построим графики исходных данных и полученных на основе уравнения регрессии. Для этого в ячейку А8 вводим подпись «Регрессия» и в В8 вводим формулу «=$В$18*В3+$В$19*В1+$В$20». Автозаполнением переносим формулу в ячейки В8-K8. Для построения графика выделяем ячейки В8-K8 и, удерживая клавишу Ctrl, выделяем также ячейки В2-М2. Вызываем мастера диаграмм, выбираем тип диаграммы «График», вид диаграммы – график с точками (второй сверху левый), нажимаем «Далее», переходим на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» делаем ссылку на В2-М2, нажимаем «Готово». Видно, что кривые почти совпадают.
ВЫВОД: в процессе работы я по опытным данным научился строить уравнение регрессии вида у = ах 2 + bх + с.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||
| y | 29,8 | 58,8 | 72,2 | 101,5 | 141 | 135,1 | 156,6 | 181,7 | 216,6 | 208,2 | |||
| X^2 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | |||
| X^3 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | |||
| X^4 | 0 | 1 | 16 | 81 | 256 | 625 | 1296 | 2401 | 4096 | 6561 | |||
| X*Y | 0 | 58,8 | 144,4 | 304,5 | 564 | 675,5 | 939,6 | 1271,9 | 1732,8 | 1873,8 | |||
| X^2*Y | 0 | 58,8 | 288,8 | 913,5 | 2256 | 3377,5 | 5637,6 | 8903,3 | 13862,4 | 16864,2 | |||
| Регресс. | 78,48095 | 85,30121 | 94,52364 | 106,1482 | 120,175 | 136,6039 | 155,435 | 176,6682 | 200,3036 | 226,3412 | |||
| A= | 15333 | 2025 | 285 | B= | 52162,1 | A Обр. | 0,003247 | -0,03247 | 0,059524 | ||||
| 2025 | 285 | 45 | 7565,3 | -0,03247 | 0,341342 | -0,67857 | |||||||
| 285 | 45 | 9 | 1301,5 | 0,059524 | -0,67857 | 1,619048 | |||||||
| Коэффиц. | 1,201082 | a | |||||||||||
| 5,619177 | |||||||||||||
Рассмотрим ту же задачу, что и в предыдущем пункте 3.4, но только при условии, что объемы выборок и Невелики (меньше 30). В этом случае замена генеральных дисперсий и , входящих в (3.15), на исправленные выборочные дисперсии и может привести к большой ошибке в величине , а следовательно, к большой ошибке в установлении области принятия гипотезы Н0 . Однако если есть уверенность в том, что неизвестные генеральные и Одинаковы (например, если сравниваются средние размеры двух партий деталей, изготовленных на одном и том же станке), то можно, используя распределение Стьюдента, и в этом случае построить критерий проверки гипотезы Н0 X и Y . Для этого вводят случайную величину
, (3.16)
(3.17)
Среднее из исправленных выборочных дисперсий и , служащее точечной оценкой обеих одинаковых неизвестных генеральных дисперсий и . Как оказывается (см. , стр.180), при справедливости нулевой гипотезы Н0
случайная величина Т
имеет распределение Стьюдента с 
степенями свободы независимо от величин и объемов выборок. Если гипотеза Н0
верна, то разница должна быть невелика. То есть экспериментальное значение T
Эксп. величины Т
должно быть невелико. А именно, должно заключаться в некоторых границах . Выход же его за эти границы мы будем считать опровержением гипотезы Н0
, и допускать это будем с вероятностью, равной задаваемому уровню значимости α
.
Таким образом, областью принятия гипотезы Н0 будет являться некоторый интервал , в который значения случайной величины Т должны попадать с вероятностью 1- α :
Величину , определяемую равенством (3.18), для различных уровней значимости α и различных числах K степеней свободы величины Т можно найти в таблице критических точек распределения Стьюдента (таблице 4 Приложения). Тем самым будет найден интервал принятия гипотезы Н0 . И если экспериментальное значение T Эксп величины Т попадет в этот интервал – гипотезу Н0 принимают. Не попадает - не принимают.
Примечание 1. Если нет оснований считать равными генеральные дисперсии и величин Х и Y , то и в этом случае для проверки гипотезы Н0 о равенстве математических ожиданий величин Х и Y допускается использование изложенного выше критерия Стьюдента. Только теперь у величины Т число K степеней свободы следует считать равным не , а равным (см. )
(3.19)
Если исправленные выборочные дисперсии и различаются существенно, то второе слагаемое в последней скобке (3.19) невелико по сравнению с 0,5, так что выражение (3.19) по сравнению с выражением уменьшает число степеней свободы случайной величины Т
почти вдвое. А это ведет к существенному расширению интервала принятия гипотезы Н0
и, соответственно, к существенному сужению критической области непринятия этой гипотезы. И это вполне справедливо, так как степень разброса возможных значений разности Будет, в основном, определяться разбросом значений той из величин Х
и Y
, которая имеет большую дисперсию. То есть информация от выборки с меньшей дисперсией как бы пропадает, что и ведет к большей неопределенности в выводах о гипотезе Н0
.
Пример 4. По приведенным в таблице данным сравнить средние удои коров, получавших различные рационы. При проверке нулевой гипотезы Н0 о равенстве средних удоев принять уровень значимости α =0,05.
|
Поголовье коров, получавших рацион (Голов ) |
Среднесуточный удой в пересчете на базисную жирность (Кг/на голову ) |
Среднеквадратическое отклонение суточной молочной продуктивности коров (Кг/на голову ) |
|
. Так как приведенные табличные данные получены на основании малых выборок объемами =10 и =8, то для сравнения математических ожиданий среднесуточных удоев коров, получавших тот и другой кормовые рационы, мы должны использовать теорию, изложенную в этом пункте. Для этого в первую очередь выясним, позволяют ли найденные исправленные выборочные дисперсии =(3,8)2=14,44 и =(4,2)2=17,64 считать равными генеральные дисперсии и . Для этого используем критерий Фишера-Снедекора (см. пункт 3.3). Имеем:
По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора для α =0,05; K 1 =8-1=7 и K 2 =10-1=9 находим
И так как , то у нас нет оснований при данном уровне значимости α =0,05 отвергать гипотезу H 0 о равенстве генеральных дисперсий и .
Теперь, в соответствии с (3.17) и (3.16), подсчитаем экспериментальное значение величины Т :
Далее, по формуле находим число K
степеней свободы величины Т
: K
=10+8-2=16. После этого для п0+8-2=16. ооды (3.16) подсчитаем экспериментальное значение величины Т: Ы кормовые рационы, мы должны испол α
=0,05 и K
=16 по таблице критических точек распределения Стьюдента (таблица 4 Приложения) находим : =2,12. Таким образом, интервалом принятия гипотезы H
0
о равенстве средних удоев коров, получавших рационы № 1 и № 2, является интервал =(-2,12; 2,12). И так как = - 0,79 попадает в этот интервал, то у нас нет оснований отвергать гипотезу H
0
.
То есть мы вправе считать, что различие кормовых рационов не сказывается на среднесуточном удое коров.
Примечание 2. В рассмотренных выше пунктах 3.4 и 3.5 рассматривалась нулевая гипотеза H 0 о равенстве М(Х)=М(Y ) при альтернативной гипотезе Н1 об их неравенстве: М(Х)≠М(Y ). Но альтернативная гипотеза Н1 может быть и другой, например, М(Y )>М(X ). На практике этот случай будет иметь место, когда вводится некоторое усовершенствование (положительный фактор), который позволяет рассчитывать на увеличение в среднем значений нормально распределенной случайной величины Y по сравнению со значениями нормально распределенной величины Х . Например, в рацион коров введена новая кормовая добавка, позволяющая рассчитывать на увеличение среднего удоя коров; под культуру внесена дополнительная подкормка, позволяющая рассчитывать на увеличение средней урожайности культуры, и т. д. И хотелось бы выяснить, существенен (значим) или незначим этот введенный фактор. Тогда в случае больших объемов и Выборок (см. пункт 3.4) в качестве критерия справедливости гипотезы H 0 рассматривают нормально распределенную случайную величину
При заданном уровне значимости α Гипотеза H 0 о равенстве М(Х) и М(Y ) будет отвергнута, если экспериментальное значение величины Будет положительным и бόльшим , где
Так как при справедливости гипотезы H 0 М(Z )= 0, то
Иногда оказывается, что средний результат из основной серии опытов отличается от среднего результата другой серии опытов. Необходимо определить случайно или нет, это различие т.е. можно ли считать, что результат эксперимента представляет собой выборка из двух независимых генеральных совокупностей с одинаковыми средними, или средние этих совокупностей не равны.
Формальная постановка этой задачи выглядит следующим образом – изучаются две случайные величины, распределённые по нормальному закону:
, где σ – стандартное отклонение.
Предполагается, что дисперсии и известны, а математические ожидания не известны.
Пусть имеются две серии наблюдений величины Χ и Υ.
Χ: х 1 , х 2 , …, х n 1 .
Υ: y 1 , y 2 , …, y n 2 .
Выдвигаем следующую гипотезу, что m x =m y . На основании наблюдений необходимо подтвердить или опровергнуть эту гипотезу. Если подтвердится нулевая гипотеза, то можно говорить о том, что различия между средними величинами в двух выборках статистически незначимо, т.е. объясняется как случайная ошибка.
Для проверки этой гипотезы используется z-тест. Для этого рассчитывается
z-критерий (z-статистика), который определяется следующим образом:
Среднее арифметическое значение из серии n наблюдений.
z-критерий распределён нормально с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
Н 1: m x ≠ m y
Нулевая гипотеза о том, что средние значения равны: H 0: =
Альтернативная гипотеза о том, что средние значения не равны, выглядит следующим образом: H 1: ≠ .
При альтернативной гипотезе возможны варианты: либо < , либо > . Соответственно мы должны применить двусторонний критерий. Таким образом существуют две критические точки: и .
Эти точки выбираются из условия:
(1) Р(-∞ (2) Р( По значению определяем левую и правую критические точки. где F(z) – интегральная функция распределения случайной величины Z, а F -1 (…) – обратная функция. Определение: Пусть функция y = f(x) задана на сегменте , и пусть множеством значений этой функции является сегмент [α, β]. Пусть, далее, каждому y из сегмента [α, β] соответствует только одно значение x из сегмента , для которого f(x) = y. Тогда на сегменте [α, β] можно определить функцию x = f -1 (y), ставя в соответствие каждому y из [α, β] то значение x из , для которого f(x) = y. Функция x = f -1 (y) называется обратной для функции y = f(x).
Значения критических точек можно найти через функцию: =НОРМСТОБР,
указав в диалоговом окне значение вероятности () - для нахождения значения ,или же значение (1 - ) – для нахождения значения ). Величина Z
, распределённая нормально с параметрами Z=N(0;1), распределена симметрично: 0,05 Геометрическая интерпретация: вероятность попадания в области отклонения гипотезы равна сумме заштрихованных площадей. Последовательность проведения тестирования: 1. Вычисляем статистику Z.
2. Задаёмся уровнем значимости . 3. Определяем критические точки, исходя из условий (1) и (2). 4. Сравниваем рассчитанное в п.1 значение Z
со значением критических точек: Если значение Z-
статистики будет по абсолютной величине больше чем значение критической точки, то нулевая гипотеза отклоняется при данном уровне значимости . Это означает, что две совокупности, из которых сделана выборка, различны и, следовательно, средние значения и математические ожидания для этих выборок не равны. В противном случае принимается гипотеза о равенстве средних значений, и можно рассматривать эти две совокупности как одну общую с одним и тем же математическим значением. В пакете EXCEL существует инструмент анализа, который называется «двухвыборочный Z
-тест для средних» (Сервис – анализ данных – двухвыборочный Z-
тест для средних). Он служит для проверки гипотезы о различии между средними (математическими ожиданиями) двух нормальных распределений с известными дисперсиями. Когда вызывается этот инструмент, то появляется диалоговое окно, в котором задаются следующие параметры: * Гипотетическая средняя разность: вводится число, предполагаемой разности между средними для изучаемой генеральной последовательности. Для проверки гипотезы о равенстве средних необходимо ввести значение ноль.
* Дисперсия переменной 1 (известная): вводится известное значение дисперсии случайной величины Х.
* Дисперсия переменной 2 (известная): вводится известное значение дисперсии случайной величины У.
* Метки: если активируем, то первая строка воспринимается как заголовок и не считается. * Альфа: задаётся уровень значимости , равный вероятности совершить ошибку первого рода.
ЗАДАНИЕ 1:
Известны выборочные данные о диаметре валиков в миллиметрах, изготовляемых автоматом 1 и 2. Дисперсия для автомата 1: = 5 мм 2 . Дисперсия для автомата 2: =7 мм 2 . Уровень значимости = 0,05. 1.Используя двухвыборочный Z-
тест для средних проверить для вашего варианта гипотезу о равенстве средних значений. 2.Проверить эту же гипотезу, используя расчётные формулы.
,
