Непрерывные случайные величины характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга.
Вероятность события X < х (где X – значение , а х – произвольно задаваемое значение), рассматриваемая как функция от х , называется функцией распределения вероятностей :
F (x ) = Р (Х <х ).
Производная от функции распределения вероятностей называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности :
f (x ) = F" (x ).
Функция распределения вероятностей выражается через плотность вероятности в виде интеграла:
х 1 , х 2) равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале:
P (x 1 <X <x 2) = F (x 2) – F (x 1). (4)
3.1. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:
Найти плотность вероятности f (x ) и вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).
Решение . Плотность вероятности находим по формуле f (x ) = F" (x ):
Вероятности попадания случайной величины X в интервалы вычисляем по формуле (3.1):
Р (1 < X < 2,5) = F (2,5) – F (1) = 0,5 2 – 0 = 0,25;
Р (2,5 < X < 3,5) = F (3,5) – F (2,5) = 1 – 0,25= 0,75.
3.2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X:
Найти функцию распределения F (х ) и построить ее график.
Решение.
если ,
Если х > 2.
График функции представлен на рис. 3.1.
Рис. 3.1
3.3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана в виде
Найти параметр С.
Решение . На основании равенства
Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана
Средним значением или математическим ожиданием непрерывной случайной величины X
М (Х ) = М х = ,
где f (x ) – плотность вероятности.
Дисперсией непрерывной случайной величины X называется значение интеграла
D (X ) = D x = .
Для определения дисперсии может быть также использована формула
D x = .
Модой М 0 (Х X называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.
Медианой Мe (Х ) непрерывной случайной величины X называется такое ее значение, при котором выполняется равенство
Р (Х < Me ) = Р (Х > Me ).
3.4. Случайная величина X f (x ) = х /2 в интервале (0; 2), вне этого интервала f (x ) = 0. Найти математическое ожидание величины X .
Решение . На основании формулы
3.5. Случайная величина X задана плотностью вероятности f (x ) = x /8 в интервале (0; 4). Вне этого интервала f (x ) = 0. Найти математическое ожидание.
3.6. Случайная величина X задана плотностью вероятности f (x ) = при . Найти математическое ожидание.
3.7. Случайная величина X задана плотностью вероятности f (x ) = С (х 2 + 2х ) в интервале (0; 1). Вне этого интервала f (x ) = 0. Найти параметр С .
Решение . Так как
Откуда С = .
Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке [а , b ], если ее плотность вероятности имеет вид:
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины определяются выражениями
3.8. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке . Найти функцию распределения F (x ), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины.
Решение . Плотность вероятности для величины X имеет вид:
Следовательно, функция распределения, вычисляемая по формуле:
,
запишется следующим образом:
Математическое ожидание будет равно М х = (1 + 6)/2 = 3,5. Находим дисперсию и среднее квадратичное отклонение:
D x = (6 – 1) 2 /12 = 25/12, .
Нормальное распределение
Случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее функция плотности распределения вероятностей имеет вид:
где М х – математическое ожидание;
– среднее квадратичное отклонение.
Вероятность попадания случайной величины в интервал (а , b ) находится по формуле
Р (а < X < b ) = Ф – Ф = Ф(z 2) – Ф(z 1), (5)
где Ф(z ) = – функция Лапласа.
Значения функции Лапласа для различных значений z приведены в Приложении 2.
3.9. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно М х = 5, дисперсия равна D x = 9. Написать выражение для плотности вероятности.
3.10. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 12 и 2. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (14; 16).
Решение . Используем формулу (21.2), учитывая, что М х = 12, = 2:
Р (14 < X < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).
По таблице значений функции Лапласа находим Ф(1) = 0,3413, Ф(2) = 0,4772. После подстановки получаем значение искомой вероятности:
Р (14 <Х < 16) = 0,1359.
3.11. Имеется случайная величина X , распределенная по нормальному закону, математическое ожидание которой равно 20, среднее квадратичное отклонение равно 3. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью р = 0,9972 попадет случайная величина.
Решение . Так как Р (х 1 < Х < х 2) = р = 2Ф((х 2 – М х )/ ), то Ф(z ) = р /2 = 0,4986. По таблице функции Лапласа находим значение z , соответствующее полученному значению функции Ф(z ) = 0,4986: z = 2,98. Учитывая то, что z = (х 2 – М х )/ , определяем = х 2 – М х = z = 3 · 2,98 = 8,94. Искомый интервал будет иметь вид (11,06; 28,94).
Учтем, что f (x ) = F" (x ). Тогда получим:
Подставим в выражение для математического ожидания
.
Интегрируя по частям, получаем М х = 1/ , или М х = 1/0,1.
Для определения дисперсии проинтегрируем по частям первое слагаемое. В результате получим:
.
Учтем найденное выражение для М х . Откуда
.
В данном случае М х = 10, D x = 100.
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Задание 1 . Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:Найти:
а) параметр A ;
б) функцию распределения F(x) ;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал ;
г) математическое ожидание MX и дисперсию DX .
Построить график функций f(x) и F(x) .
Задание 2 . Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией.
Задание 3 . Найти математическое ожидание случайной величины Х заданной функцией распределения.
Задание 4
. Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом:
f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Найти коэффициент A , функцию распределения F(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x) .
Задача . Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:
Определить параметры a и b , найти выражение для плотности вероятности f(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x).
Найдем функцию плотности распределения, как производную от функции распределения.
F′=f(x)=a
Зная, что найдем параметр a:
или 3a=1, откуда a = 1/3
Параметр b найдем из следующих свойств:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 откуда b = -1/3
Следовательно, функция распределения имеет вид: F(x) = (x-1)/3
Дисперсия .
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
P(2 < x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
Пример №1 . Задана плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины X . Требуется:
- Определить коэффициент A .
- найти функцию распределения F(x) .
- схематично построить графики F(x) и f(x) .
- найти математическое ожидание и дисперсию X .
- найти вероятность того, что X примет значение из интервала (2;3).
Решение :
Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x):
Найдем параметр A из условия:
или
14/3*A-1 = 0
Откуда,
A = 3 / 14
Функцию распределения можно найти по формуле.
Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.
Про случайную
величину Х говорят, что она имеет
распределение (распределена) с плотностью
на определенном участке оси абсцисс.
Плотность вероятности
,
как и функция распределения F(x), является
одной из форм закона распределения, но
в отличие от функции распределения она
существует толькодля
непрерывных
случайных
величин
.
Плотность вероятности иногда называют
дифференциальной
функцией
или дифференциальным
законом распределения
.
График плотности вероятности
называетсякривой
распределения
.
Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины.
☺
как
производная монотонно неубывающей
функции F(х).
☻
☺
Согласно свойству
4 функции распределения
.
Так как F(x) - первообразная для плотности
вероятности
(т.к.
,
то по формуле Ньютона-Лейбница приращение
первообразной на отрезке [а,b]
– определенный интеграл
.
☻
Геометрически полученная вероятность равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [а,b] (рис. 3.8).
Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле :
.
Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и лежащей левее точки х (рис. 3.9).
Геометрически свойства 1 и 4 плотности вероятности означают, что ее график - кривая распределения - лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.
Определение . Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами npq, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m,... ,n с вероятностями
где 0<р Как видим, вероятности
Р(Х=m)
находятся по формуле Бернулли,
следовательно, биномиальный закон
распределения представляет собой закон
распределения числа Х=m
наступлений события А в n независимых
испытаниях, в каждом из которых оно
может произойти с одной и той же
вероятностью р. Ряд распределения
биномиального закона имеет вид: Очевидно, что
определение биномиального закона
корректно, т.к. основное свойство ряда
распределения
Математическое
ожидание
случайной величины Х, распределенной
по биноминальному закону, а ее дисперсия
Определение
.
Дискретная
случайная величина Х имеет закон
распределения Пуассона
с параметром λ > 0, если она принимает
значения 0, 1, 2,..., m,
... (бесконечное, но счетное множество
значений) с вероятностями Ряд распределения
закона Пуассона имеет вид: Очевидно, что
определение закона Пуассона корректно,
так как основное свойство ряда
распределения
На рис. 4.1 показан
многоугольник (полигон) распределения
случайной величины, распределенной по
закону Пуассона Р(Х=m)=Р m (λ)
с параметрами λ
= 0,5, λ
= 1, λ
= 2, λ
= 3,5. Теорема
.
Математическое
oжидaниe и дисперсия
случайной величины, распределенной по
закону Пуассона, совпадают и равны
параметру λ
этого закона, т.е. и
Результат
любого случайного эксперимента можно
характеризовать качественно и количественно. Качественный
результат случайного эксперимента - случайное
событие
. Любая количественная
характеристика
, которая в результате
случайного эксперимента может принять одно из
некоторого множества значений, - случайная
величина.
Случайная величина
является
одним из центральных понятий теории
вероятностей. Пусть -
произвольное вероятностное пространство. Случайной
величиной
называется действительная числовая
функция x
=x
(w
), w
W
, такая, что
при любом действительном x . Событие
принято
записывать в виде x
< x
. В
дальнейшем случайные величины будем обозначать
строчными греческими буквами x
, h
, z
, …
Случайной величиной является число очков,
выпавших при бросании игральной кости, или рост
случайно выбранного из учебной группы студента.
В первом случае мы имеем дело с дискретной
случайной
величиной
(она принимает значения из
дискретного числового множества M=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
во втором случае - с непрерывной
случайной
величиной
(она принимает значения из
непрерывного числового множества - из промежутка
числовой прямой I
=). Каждая случайная величина полностью
определяется своей функцией распределения
. Если x
.- случайная величина, то
функция F
(x
) = F x
(x
)
= P
(x
< x
) называется функцией
распределения
случайной величины x
. Здесь P
(x
< x
) - вероятность
того, что случайная величина x
принимает значение, меньшее x
. Важно понимать, что функция распределения
является “паспортом” случайной величины: она
содержит всю информация о случайной величине и
поэтому изучение случайной величины
заключается в исследовании ее
функции
распределения,
которую часто называют просто распределением
. Функция распределения любой случайной
величины обладает следующими свойствами: Если x
- дискретная
случайная величина, принимающая значения x
1
< x
2 < … < x i
< … с
вероятностями p
1 < p
2 < … <
p i
< …, то таблица вида называется распределением дискретной
случайной величины
. Функция распределения случайной величины, с
таким распределением, имеет вид У дискретной случайной величины функция
распределения ступенчатая. Например, для
случайного числа очков, выпавших при одном
бросании игральной кости, распределение, функция
распределения и график функции распределения
имеют вид: Если функция распределения F x
(x
) непрерывна, то случайная
величина x
называется непрерывной
случайной величиной.
Если функция распределения непрерывной
случайной величины дифференцируема
, то более
наглядное представление о случайной величине
дает плотность вероятности случайной величины
p x
(x
),
которая
связана с функцией распределения F x
(x
) формулами и . Отсюда, в частности, следует, что для любой
случайной величины . При решении практических задач часто
требуется найти значение x
, при котором
функция распределения F x
(x
)
случайной величины x
принимает
заданное значение p
, т.е. требуется решить
уравнение F x
(x
) = p
.
Решения такого уравнения (соответствующие
значения x
) в теории вероятностей называются квантилями.
Квантилью x p (p
-квантилью, квантилью
уровня p
) случайной величины , имеющей функцию распределения F x
(x
), называют решение x p
уравнения F x
(x
) = p
,
p
(0, 1). Для некоторых p
уравнение F x
(x
) = p
может иметь
несколько решений, для некоторых - ни одного. Это
означает, что для соответствующей случайной
величины некоторые квантили определены
неоднозначно, а некоторые кванитили не
существуют. Непрерывная случайная величина может быть задана не только с помощью функции распределения. Введем понятие плотности вероятности непрерывной случайной величины. Рассмотрим вероятность попадания непрерывной случайной величины на интервал [х
, х
+ Δх
]. Вероятность такого события P
(х
≤ X
≤ х
+ Δх
) = F
(х
+ Δх
) – F
(х
), т.е. равна приращению функции распределения F
(х
) на этом участке. Тогда вероятность, приходящаяся на единицу длины, т.е. средняя плотность вероятности на участке от х
до х
+ Δх
, равна Переходя к пределу Δх
→ 0, получим плотность вероятности в точке х
: представляющую производную функции распределения F
(х
). Напомним, что для непрерывной случайной величины F
(х
) – дифференцируемая функция. Определение. Плотностью вероятности
(плотностью распределения
) f
(x
) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения
Про случайную величину Х
говорят, что она имеет распределение с плотностью f
(x
) на определенном участке оси абсцисс. Плотность вероятности f
(x
), как и функция распределения F
(x
) является одной из форм закона распределения. Но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин. Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией
или дифференциальным законом распределения
. График плотности вероятности называется кривой распределения
. Пример 4.4.
По данным примера 4.3 найти плотность вероятности случайной величины Х
. Решение. Будем находить плотность вероятности случайной величины как производную от ее функции распределения f
(x
) = F
"(x
). ◄ Отметим свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины. 1.
Плотность вероятности – неотрицательная функция
, т.е. Геометрически вероятность попадания в интервал [α
, β
,] равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [α
, β
,] (рис.4.4). Рис. 4.4 Рис. 4.5
3.
Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражен через плотность вероятности по формуле
: Геометрически свойства 1
и 4
плотности вероятности означают, что ее график – кривая распределения – лежит не ниже оси абсцисс, а полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Пример 4.5.
Функция f
(x
) задана в виде: Найти: а) значение А
; б) выражение функции распределения F
(х
); в) вероятность того, что случайная величина Х
примет значение на отрезке . Решение. а) Для того, чтобы f
(x
) была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х
, она должна быть неотрицательна, следовательно, неотрицательным должно быть и значение А
. С учетом свойства 4
находим: , откуда А
= . б) Функцию распределения находим, используя свойство 3
: Если x
≤ 0, то f
(x
) = 0 и, следовательно, F
(x
) = 0. Если 0 < x
≤ 2, то f
(x
) = х
/2 и, следовательно, Если х
> 2, то f
(x
) = 0 и, следовательно в) Вероятность того, что случайная величина Х
примет значение на отрезке находим, используя свойство 2
.
выполнено, ибоесть не что иное, как сумма всех членов
разложения бинома Ньютона:
,
выполнено,
ибо сумма ряда.
x
1
x
2
…
x i
…
p
1
p
2
…
p i
…
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
f
(x
) = F
′(x
).
(4.8)