Математики, празднующие свой день рождения 14 марта, с некоторых пор получили дополнительный повод для торжества: именно этот день (который, исходя из американской традиции, записывается, как 3.14) объявлен Международным днем числа Пи — математической постоянной, выражающей соотношение длины окружности и длины ее диаметра: 3, 14159265358979323846 2643383279...
Проблема отношения длины окружности к ее диаметру возникла очень давно (по легенде, именно недостаточная точность этого числа стала причиной того, что Вавилонская башня так и не была построена) и долгое время древние ученые пользовались числом, равным трем. Однако первым, кто использовал средства математики для получения числа этого соотношения, был Архимед , который, занимаясь окружностями и многоугольниками, предположил, что «отношение любой окружности к ее диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71», получив, таким образом, число 3,1419...
Кстати, настоящие фанаты этого числа (а есть и такие!) отмечают свой праздник ровно в 1 час 59 минут и 26 секунд — по минимальному количеству цифр этого числа: 3,1415926...
Индийские ученые обнаружили несколько иное значение — 3,162..., а арабскому математику и астроному Масуду ал-Каши удалось вычислить 16 абсолютно точных цифр числа пи, благодаря чему был произведен переворот в астрономии. К слову, пресловутое соотношение длины окружности и ее диаметра получило всем известный современный символ пи с легкой руки английского математика У. Джонсона только в 1706 году. Это обозначение — своеобразная аббревиатура букв, с которых начинаются греческие слова «окружность» и «периметр». В XYII веке немецкий математик Лудольф Ван Цейлен, опираясь на метод Архимеда, в течение десяти лет пытался получить число пи до тридцать второго знака после запятой, и его упорство было вознаграждено тем, что число пи с этим количеством десятичных знаков называют «числом Лудольфа».
Благодаря этому легендарному числу был завершен один из самых длительных математических споров: получено доказательство невозможности решения самой известной классической задачи о квадратуре круга. Математики А. Лажандр и Ф.Линдеман получили подтверждение иррациональности (невозможности быть представленным в виде дроби, числитель которой — целое, а знаменатель — натуральное число) и трансцендентности (невычислимости с помощью простых уравнений) числа пи, из чего следует, что никому не под силу с помощью только лишь циркуля и линейки построить отрезок, длина которого была бы равна длине заданной окружности.
Усовершенствование математических методов позволило ученым позднего времени с еще большей точностью вычислить число пи. Эйлер, благодаря которому название этого числа стало общеупотребительным, «нашел» 153 верных десятичных знака, Шенкс — 527 и пр. Что говорить о современных математиках, которые с помощью компьютера легко вычислили сто миллиардов знаков после запятой! Японские ученые, получив число пи с точностью до 12411-триллионного знака, сразу же оказались в Книге рекордов Гиннеса: для того, чтобы установить этот рекорд им понадобился не только супермощный компьютер, но и 400 часов времени! Поскольку число пи — бесконечная математическая продолжительность, у каждого математика есть шанс побить японский рекорд.
Одной из особенностей числа пи является то, что числа в его десятичной части (следующей после запятой) не повторяются, что, по утверждению некоторых ученых, является свидетельством того, что число пи — это разумный (!) хаос, записанный цифрами. В результате этого любая последовательность цифр, которая только может возникнуть в нашей голове, может быть найдена в цифрах десятичной части числа пи.
Если кто-то думает, что вычисление бесконечных десятичных знаков этого числа — особое развлечение по-хорошему «сумасшедших» математиков, тот ошибается: от точности числа пи зависит точность не только земного, но и космического строительства.
ЧИСЛО ПИ
Символ ПИ означает отношение длины окружности к ее диаметру. Впервые в этом смысле символ p был использован У. Джонсом в 1707, а Л. Эйлер, приняв это обозначение, ввел его в научный обиход. Еще в древности математикам было известно, что вычисление значения p и площади круга - задачи, тесно связанные между собой. Древние китайцы и древние евреи считали число p равным 3. Значение числа p, равное 3,1605, содержится в древнеегипетском папирусе писца Ахмеса (ок. 1650 до н. э.). Около 225 до н. э. Архимед, используя вписанный и описанный правильные 96-угольники, приближенно вычислил площадь круга с помощью метода, который привел к значению ПИ, заключенному между 31/7 и 310/71. Другое приближенное значение p, эквивалентное обычному десятичному представлению этого числа 3,1416, известно еще со 2 в.
Л. ван Цейлен (1540-1610) вычислил значение ПИ с 32 десятичными знаками. К концу 17 в. новые методы математического анализа позволили вычислять значение p множеством различных способов. В 1593 Ф. Виет (1540-1603) вывел формулу
В 1665 Дж. Валлис (1616-1703) доказал, что
В 1658 У. Броункер нашел представление числа p в виде непрерывной дроби
Г.Лейбниц в 1673 опубликовал ряд
Ряды позволяют вычислять значение p с любым числом десятичных знаков. В последние годы с появлением электронных вычислительных машин значение p было найдено более чем с 10 000 знаков. С десятью знаками значение ПИ равно 3,1415926536. Как число, ПИ обладает некоторыми интересными свойствами. Например, его нельзя представить в виде отношения двух целых чисел или периодической десятичной дроби; число ПИ трансцендентно, т.е. непредставимо в виде корня алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Число ПИ входит во многие математические, физические и технические формулы, в том числе и не имеющие непосредственного отношения к площади круга или длине дуги окружности. Например, площадь эллипса A определяется формулой A = pab, где a и b - длины большой и малой полуосей.
Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .
Смотреть что такое "ЧИСЛО ПИ" в других словарях:
число - Прие моч ное Источник: ГОСТ 111 90: Стекло листовое. Технические условия оригинал документа Смотри также родственные термины: 109. Число бетатронных колебаний … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Сущ., с., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? числа, чему? числу, (вижу) что? число, чем? числом, о чём? о числе; мн. что? числа, (нет) чего? чисел, чему? числам, (вижу) что? числа, чем? числами, о чём? о числах математика 1. Числом… … Толковый словарь Дмитриева
ЧИСЛО, числа, мн. числа, чисел, числам, ср. 1. Понятие, служащее выражением количества, то, при помощи чего производится счет предметов и явлений (мат.). Целое число. Дробное число. Именованное число. Простое число. (см. простой1 в 1 знач.).… … Толковый словарь Ушакова
Абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какоголибо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой нибудь др. определенный член; абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от… … Философская энциклопедия
Число - Число грамматическая категория, выражающая количественные характеристики предметов мысли. Грамматическое число одно из проявлений более обшей языковой категории количества (см. Категория языковая) наряду с лексическим проявлением («лексическое… … Лингвистический энциклопедический словарь
Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e kt, где k число,… … Энциклопедия Кольера
А; мн. числа, сел, слам; ср. 1. Единица счёта, выражающая то или иное количество. Дробное, целое, простое ч. Чётное, нечётное ч. Считать круглыми числами (приблизительно, считая целыми единицами или десятками). Натуральное ч. (целое положительное … Энциклопедический словарь
Ср. количество, счетом, на вопрос: сколько? и самый знак, выражающий количество, цифра. Без числа; нет числа, без счету, многое множество. Поставь приборы, по числу гостей. Числа римские, арабские или церковные. Целое число, ·противоп. дробь.… … Толковый словарь Даля
ЧИСЛО, а, мн. числа, сел, слам, ср. 1. Основное понятие математики величина, при помощи к рой производится счёт. Целое ч. Дробное ч. Действительное ч. Комплексное ч. Натуральное ч. (целое положительное число). Простое ч. (натуральное число, не… … Толковый словарь Ожегова
ЧИСЛО «Е» (ЕХР), иррациональное число, служащее основанием натуральных ЛОГАРИФМОВ. Это действительное десятичное число, бесконечная дробь, равная 2,7182818284590...., является пределом выражения (1/) при п, стремящемся к бесконечности. По сути,… … Научно-технический энциклопедический словарь
Количество, наличность, состав, численность, контингент, сумма, цифра; день.. Ср. . См. день, количество. небольшое число, несть числа, расти числом... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские… … Словарь синонимов
Книги
- Число имени. Тайны нумерологии. Выход из тела для ленивых. Учебник по экстрасенсорике (количество томов: 3)
- Число имени. Новый взгляд на числа. Нумерология - путь познания (количество томов: 3) , Лоуренс Ширли. Число имени. Тайны нумерологии. Книга Ширли Б. Лоуренс является всесторонним исследованием древней эзотерической системы – нумерологии. Чтобы научиться использовать вибрации чисел для…
Число "Пи" в математике обозначает отношение длины окружности к длине её диаметра. История происхождения числа "Пи" уходит в далёкое прошлое. Множество историков пытались установить, когда и кем был придуман этот символ, но выяснить так и не удалось.
Число "Пи" является трансцендентным числом, или говоря простыми словами оно не может быть корнем некоего многочлена с целыми коэффициентами. Оно может обозначаться, как вещественное либо, как косвенное число, которое не является алгебраическим.
Число "Пи" равняется 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510...
Число "Пи" может быть не только иррациональным числом, которое нельзя выразить с помощью нескольких различных чисел. Число "Пи" можно представить некоей десятичной дроби, которое располагает бесконечным множеством цифр после запятой. Ещё интересный момент - все эти числа не способны повторяться.
Число "Пи"
можно соотнести с дробным числом 22/7, так называемым символом "тройной октавы
". Это число знали ещё древнегреческие жрецы. Кроме того, даже простые жители могли применять его для решения, каких-либо бытовых проблем, а также использовать для проектирования, таких сложнейших строений, как усыпальницы.
Как заявляет учёный и исследователь Хэйенс, подобное число можно проследить среди развалин Стоунхенджа, а также обнаружить в мексиканских пирамидах.
Число "Пи" упоминал в своих трудах Ахмес, известный в то время инженер. Он пытался наиболее точно рассчитать его используя для этого измерение диаметра круга по нарисованным внутри него квадратам. Вероятно в некотором смысле это число имеет некий мистический, сакральный для древних смысл.
Число "Пи" по сути является самым загадочным математическим символом. Его можно причислить к дельте, омеге и др. Оно представляет из себя такое отношение, которое окажется точно таким, независимо в кокой точке мироздания будет находиться наблюдатель. Кроме того, оно будет неизменным от объекта измерения.
Вероятнее всего, первым человеком, который решил вычислить число "Пи" с помощью математического метода является Архимед. Он решил он рисовал в окружности правильные многоугольники. Считая диаметр окружности единицей, учёный обозначал периметр нарисованного в круге многоугольника, рассматривая периметр вписанного многоугольника, как верхнюю оценку, а как нижнюю оценку длины окружности
Что такое число "Пи"
Отношение длины окружности к ее диаметру одно и
то же для всех окружностей. Это отношение принято
обозначать греческой буквой (“пи” - начальная буква
греческого слова 
, которое и означало
“окружность”).
Архимед в сочинении “Измерение круга” вычислил отношение длины окружности к диаметру (число ) и нашел, что оно заключено между 3 10/71 и 3 1/7.
Долгое время в качестве приближенного значения использовали число 22/7, хотя уже в V веке в Китае было найдено приближение 355/113 = 3,1415929..., которое было открыто вновь в Европе лишь в XVI веке.
В Древней Индии считали равным = 3,1622….
Французский математик Ф. Виет вычислил в 1579 г. с 9 знаками.
Голландский математик Лудольф Ван Цейлен в 1596 г. публикует результат своего десятилетнего труда – число , вычисленное с 32 знаками.
Но все эти уточнения значения числа производились методами, указанными еще Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон. Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника – больше. Но при этом оставалась неясным, является ли число рациональным, т. е. отношением двух целых чисел, или иррациональным.
Лишь в 1767 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что число иррационально.
А еще через сто с лишним лет в 1882 г. другой немецкий математик – Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу.
Простейшее измерение
Начертим на плотном картоне окружность диаметра d (=15 см) , вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину l (=46,5 см) одного полного оборота нити, разделим l на длину диаметра d окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа , т. е. = l / d = 46,5 см / 15 см = 3,1 . Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа с точностью до 1.
Измерение с помощью взвешивания
На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата m кв (=10 г) и вписанного в него круга m кр (=7,8 г) воспользуемся формулами
где p и h –соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры. Рассмотрим равенства:
Естественно, что в данном случае приближенное значение зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа с точностью до 0,1.
Суммирование площадей прямоугольников, вписанных в полукруг
Рисунок 1
Пусть А (a; 0), В (b; 0). Опишем на АВ полуокружность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на n равных частей точками x 1 , x 2 , ..., x n-1 и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Длина каждого такого перпендикуляра – это значение функции f(x)= . Из рисунка 1 ясно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле
S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.
В нашем случае b=1, a=-1 . Тогда = 2 S .
Значения будут тем точнее, чем больше точек деления будет на отрезке АВ. Облегчить однообразную вычислительную работу поможет компьютер, для которого ниже приводится программа 1, составленная на Бейсике.
Программа 1REM "Вычисление пи"
REM "Метод прямоугольников"
INPUT "Введите число прямоугольников", n
dx = 1 / n
FOR i = 0 TO n - 1
f = SQR(1 - x ^ 2)
x = x + dx
a = a + f
NEXT i
p = 4 * dx * a
PRINT "Значение пи равно ", p
END
Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n . Полученные значения числа записаны в таблице:
Метод Монте-Карло
Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи …дождя.
Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть N кр – число капель в круге, N кв – число капель в квадрате, тогда
4 N кр / N кв.
Рисунок 2
Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу . Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265 . Из него можно приготовить пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х=0,32, у=0,65 . Эти числа будем считать координатами капли, т. е. капля как будто попала в точку (0,32; 0,65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (х; у) выполняется неравенство, то, значит, она лежит вне круга. Если х + у = 1 , то точка лежит внутри круга.
Для подсчета значения снова воспользуемся формулой (1). Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная, а N –число испытаний. В нашем случае N = N кв. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т. е. объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам. Программа 2 реализует на компьютере описанный метод.
Программа 2REM "Вычисление пи"
REM "Метод Монте-Карло "
INPUT "Введите число капель ", n
m = 0
FOR i = 1 TO n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t \ 100)
y = t - x * 100
IF x ^ 2 + y ^ 2 < 10000 THEN m = m + 1
NEXT i
p = 4 * m / n
END
Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n. Полученные значения числа записаны в таблице:
| n | ||||||
| n | ||||||
Метод “падающей иголки”
Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги. На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояния между ними были равны и превышали длину иголки. Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами. Введем обозначения: а - расстояние между прямыми, l – длина иглы.
Рисунок 3
Положение случайным образом брошенной на чертеж иглы (см. рис. 3) определяется расстоянием Х от ее середины до ближайшей прямой и углом j , которой игла образует с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на ближайшую прямую (см. рис. 4). Ясно, что
Рисунок 4
На рис. 5 изобразим графически функцию y=0,5 cos . Всевозможные расположения иглы характеризуются точками с координатами (; у ) , расположенными на участке ABCD. Закрашенный участок AED – это точки, которые соответствуют случаю пересечения иглы с прямой. Вероятность события a – “игла пересекла прямую” – вычисляется по формуле:
Рисунок 5
Вероятность p(a) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Пусть иглу бросали на чертеж c раз и p раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом c имеем p(a) = p / c . Отсюда = 2 l с / a k.
Замечание. Изложенный метод представляет собой вариацию метода статистических испытаний. Он интересен с дидактической точки зрения, так как помогает совместить простой опыт с составлением довольно сложной математической модели.
Вычисление с помощью ряда Тейлора
Обратимся к рассмотрению произвольной функции f(х). Предположим, что для нее в точке x 0 существуют производные всех порядков до n -го включительно. Тогда для функции f(х) можно записать ряд Тейлора:
Вычисления с помощью этого ряда будут тем точнее, чем больше членов ряда будет задействовано. Реализовать данный способ, конечно, лучше всего на компьютере, для чего можно воспользоваться программой 3.
Программа 3REM "Вычисление пи"
REM "Разложение в ряд Тейлора "
INPUT n
a = 1
FOR i = 1 TO n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1) ^ i * d
a = a + f
NEXT i
p = 4 * a
PRINT "значение пи равно"; p
END
Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n . Полученные значения числа записаны в таблице:
Есть очень простые мнемонические правила для запоминания значения числа : |
С недавних пор существует элегантная формула для вычисления числа Пи, которую в 1995 году впервые опубликовали Дэвид Бэйли, Питер Борвайн и Саймон Плафф:
Казалось бы: что в ней особенного — формул для вычисления Пи великое множество: от школьного метода Монте-Карло до труднопостижимого интеграла Пуассона и формулы Франсуа Виета из позднего Средневековья. Но именно на эту формулу стоит обратить особое внимание — она позволяет вычислить n-й знак числа пи без нахождения предыдущих. За информацией о том, как это работает, а также за готовым кодом на языке C, вычисляющим 1 000 000-й знак, прошу под хабракат.
Как же работает алгоритм вычисления N-го знака Пи?
К примеру, если нам нужен 1000-й шестнадцатеричный знак числа Пи, мы домножаем всю формулу на 16^1000, тем самым обращая множитель, стоящий перед скобками, в 16^(1000-k). При возведении в степень мы используем двоичный алгоритм возведения в степень или, как будет показано в примере ниже, возведение в степень по модулю . После этого вычисляем сумму нескольких членов ряда. Причём необязательно вычислять много: по мере возрастания k 16^(N-k) быстро убывает, так что, последующие члены не будут оказывать влияния на значение искомых цифр). Вот и вся магия — гениальная и простая.
Формула Бэйли-Борвайна-Плаффа была найдена Саймоном Плаффом при помощи алгоритма PSLQ , который был в 2000 году включён в список Top 10 Algorithms of the Century . Сам же алгоритм PSLQ был в свою очередь разработан Бэйли. Вот такой мексиканский сериал про математиков.
Кстати, время работы алгоритма — O(N), использование памяти — O(log N), где N — порядковый номер искомого знака.
Думаю, уместно будет привести код на языке Си, написанный непосредственно автором алгоритма, Дэвидом Бэйли:
/*
This program implements the BBP algorithm to generate a few hexadecimal
digits beginning immediately after a given position id, or in other words
beginning at position id + 1. On most systems using IEEE 64-bit floating-
point arithmetic, this code works correctly so long as d is less than
approximately 1.18 x 10^7. If 80-bit arithmetic can be employed, this limit
is significantly higher. Whatever arithmetic is used, results for a given
position id can be checked by repeating with id-1 or id+1, and verifying
that the hex digits perfectly overlap with an offset of one, except possibly
for a few trailing digits. The resulting fractions are typically accurate
to at least 11 decimal digits, and to at least 9 hex digits.
*/
/* David H. Bailey 2006-09-08 */
#include
Какие возможности это даёт? Например: мы можем создать систему распределённых вычислений, рассчитывающую число Пи и поставить всем Хабром новый рекорд по точности вычисления (который сейчас, к слову, составляет 10 триллионов знаков после запятой). Согласно эмпирическим данным, дробная часть числа Пи представляет собой нормальную числовую последовательность (хотя доказать это достоверно ещё не удалось), а значит, последовательности цифр из него можно использовать в генерации паролей и просто случайных чисел, или в криптографических алгоритмах (например, в хэшировании). Способов применения можно найти великое множество - надо только включить фантазию.
Больше информации по теме вы можете найти в статье самого Дэвида Бэйли, где он подробно рассказывает про алгоритм и его имплементацию (pdf);
И, похоже, вы только что прочитали первую русскоязычную статью об этом алгоритме в рунете - других я найти не смог.
