Понятие неопределенного интеграла и его свойства. Таблица интегралов
Первообразная функция
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке , если в любой точке этого отрезка верно равенство: F ′ (x) = f(x).
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.
F1 (x) = F2 (x) + C.
Неопределенный интеграл и его непосредственное вычисление
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.
Записывают: ∫ f (x )dx = F (x ) + C ;
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства неопределенного интеграла.
1. (∫ f (x) dx) ′ = (F(x) + C) ′ = f (x);
2. d (∫ f (x) dx) = f (x) dx;
3. ∫ dF (x ) = F (x ) + C ;
4. ∫ (u + v − w )dx = ∫ udx + ∫ vdx − ∫ wdx ; где u, v, w – некоторые функции от х.
5. ∫ C f (x) dx = C ∫ f (x) dx;
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций
– рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.
Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.
1.∫ dx |
X + C |
||||||||||||||
2.∫ x |
x α +1 |
(α ≠ − 1 ) |
|||||||||||||
dx = |
|||||||||||||||
α + 1 |
|||||||||||||||
. ∫ dx x |
|||||||||||||||
4.∫ a |
dx = |
C , (a > 0 ) |
|||||||||||||
ln a |
|||||||||||||||
5. ∫ e x dx = e x + C |
|||||||||||||||
.∫ sin |
= − cos x + C |
||||||||||||||
.∫ cos |
Sin x + C |
||||||||||||||
8. ∫ tg x dx = − ln |
cos x |
||||||||||||||
9 . ∫ ctg x dx |
16 .∫ |
x + C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ch 2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
. ∫ sin x = ln |
tg 2 |
17 .∫ |
= − ctg |
x + C |
||||||||||||||||||||||||||||||||
sh 2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C , a ≠ 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ cos |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.∫ |
19 .∫ |
a + x |
C , a ≠ 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= − ctg x + C |
− x 2 |
ln a − x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.∫ |
x + C |
20 .∫ |
Arcsin |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
. ∫ sh x dx |
x + C |
21 .∫ |
Ln x + |
± k + C |
||||||||||||||||||||||||||||||||
. ∫ ch |
Sh x + C |
± k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим три основных метода интегрирования.
1. Непосредственное интегрирование
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.
Рассмотрим применение этого метода на примере:
Требуется найти значение интеграла ∫ dx x . На основе известной формулы дифференцирования (ln x ) ′ = 1 x можно сделать вывод, что искомый интеграл равен ln x + C , где
С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны (ln(− x )) ′ = − 1 x (− 1) = 1 x . Таким
образом, окончательно можно сделать вывод: ∫ dx x = ln x + C
Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.
Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.
2. Способ подстановки (замены переменных)
Теорема: Если требуется найти интеграл ∫ f (x )dx , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = ϕ (t) и dx = ϕ′ (t)dt получается:
∫ f (x) dx = ∫ f (ϕ (t)) ϕ′ (t) dt
Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство: d ∫ f (x )dx = d (∫ f [ϕ (t )]ϕ′ (t )dt )
По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла: f(x)dx = f[ ϕ (t)] ϕ′ (t)dt
что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.
Пример. Найти неопределенный интеграл ∫ sin x cos xdx .
Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
∫ tdt = ∫ t1/ 2 dt = |
2 t 3/ 2 |
2 sin 3/ 2 |
x + C. |
||||||||||||||
Пример. ∫ x(x2 + 1) |
3/ 2 dx . |
||||||||||||||||
Замена t = x 2 + 1; |
dt = 2 xdx; |
dx = |
; Получаем: |
||||||||||||||
∫ t 3/ 2 |
∫ t 3/ 2 dt = |
t 5 / 2 |
t 5 / 2 |
(x 2 + 1) 5 / 2 |
|||||||||||||
3. Интегрирование по частям
Способ основан на известной формуле производной произведения: (uv) ′ = u ′ v + v ′ u, где u и v – некоторые функции от х.
В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu
Проинтегрировав, получаем: ∫ d (uv ) = ∫ udv + ∫ vdu , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла: uv = ∫ udv + ∫ vdu или ∫ udv = uv − ∫ vdu ;
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.
∫ x |
u = x2 ; dv = sin xdx; |
= − x |
cos x + ∫ cos x 2 xdx = |
||||||
du = 2 xdx; v = − cos x |
|||||||||
U = x; |
dv = cos xdx; |
= − x 2 cos x + 2[ x sin x − |
∫ sin xdx ] = − x 2 cos x + 2x sin x + 2cos x + C . |
||||||
du = dx; v = sin x |
Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.
u = e2 x ; |
du = 2 e2 x dx; |
E2 x sin x − ∫ sin x 2 e2 x dx = |
|
Пример. ∫ e 2 x cos xdx = |
|||
dv = cos xdx; |
v = sin x |
u = e2 x ; |
du = 2 e2 x dx; |
E 2 x sin x − 2[ − e 2 x cos x − ∫ − cos x 2e 2 x dx ] = e 2 x sin x + |
|
dv = sin xdx ; v = − cos x ; |
2e 2 x cos x − 4∫ cos xe 2 x dx