Рассмотрим гладкую кривую Г на комплексной плоскости, заданную параметрическими уравнениями
(определение гладкой кривой дано в начале §8). Как уже отмечалось в § 8, эти уравнения можно записать в компактной форме:
При изменении параметра t от а до /3 соответствующая точка z(t) будет двигаться по кривой Г. Поэтому уравнения (15.1) и (15.2) не только определяют точки кривой Г, но и задают направление обхода этой кривой. Кривая Г с заданным направлением ее обхода называется ориентированной кривой.
Пусть в области D С С задана непрерывная функция /(г) = = и(х, у) + iv(x. у), и пусть кривая Г лежит в D. Чтобы ввести понятие интеграла [ f(z)dz от функции f(z) по кривой Г, определим г
дифференциал dz равенством dz = dx + idy. Подынтегральное выражение преобразуется к виду
Таким образом, интеграл от комплексной функции f(z) по кривой Г естественно определить равенством
в правую часть которого входят два действительных криволинейных интеграла второго рода от действительных функций и и и. Для вычисления этих интегралов следует вместо х и у подставить функции x(t) и t/(/), а вместо dx и dy - дифференциалы этих функций dx = x"(t) dt и dy = y"(t) dt. Тогда интегралы в правой части (15.3) сведутся к двум интегралам от функций действительного переменного t
Теперь мы готовы дать следующее определение.
Интегралом вдоль кривой Г от функции комплексного переменного f(z) называется число, обозначаемое J" f(z)dz и вычисляемое по
где z(t) = x(t) + iy(t), а ^ t ^ ft, - уравнение кривой Г, a z"(t) = = x"(t ) + iy"{t).
Пример 15.1. Вычислить интеграл от функции f(z) = (г - а) п по окружности радиуса г с центром а, направление обхода которой против часовой стрелки.
Р е ш е н и е. Уравнение окружности z - а = г будет z - а = ге а, или
При изменении t. от 0 до 2тг точка z(t.) движется по окружности Г против часовой стрелки. Тогда
Применяя равенство (15.5) и формулу Муавра (2.10), получаем
Мы получили результат, важный для дальнейшего изложения:
Заметим, что значение интеграла не зависит от радиуса г окружности.
П р и мер 15.2. Вычислить интеграл от функции f(z ) = 1 но гладкой кривой Г с началом в точке а и концом в точке Ь.
Р е ш е н и е. Пусть кривая Г задается уравнением z(t.) = x(t ) + + iy{t), а ^ t ^ /3, причем а = -г(а), Ь = z({3). Используя формулу (15.5), а также формулу Ньютона Лейбница для вычисления интегралов от действительных функций, получим
Мы видим, что интеграл f 1 dz не зависит от вида пути Г, соединяю-
щего точки а и 6, а зависит только от концевых точек.
Изложим вкратце другой подход к определению интеграла от комплексной функции f(z) по кривой, аналогичный определению интеграла от действительной функции по отрезку.
Разобьем кривую Г произвольным образом на п участков точками zq = a, z 1, ..., z n -ь z n = Ь, занумерованными в направлении движения от начальной точки к конечной (рис. 31). Обозначим z - zo = = Az> ... , Zlc - Zk-l = Az/c, z n - Z n - 1 = = Az n . (Число Azk изображается вектором, идущим из точки zi L_i в Zk-) На каждом участке (zk-i,Zk) кривой выберем произвольную точку (д- и составим сумму
Эта сумма называется интегральной суммой. Обозначим через Л длину наибольшего из участков, на которые разбита кривая Г. Рассмотрим последовательность разбиений, для которой Л -? 0 (при этом п -* оо).
П1>едел интегральных сумм, вычисленный при условии, что длина наибольшего из участков разбиения стремится к нулю, называется интегралом от функции /(г) по кривой Г и обозначается Г f(z)dz:
Можно показать, что это определение также приводит нас к формуле (15.3) и, следовательно, эквивалентно определению (15.5), данному выше.
Установим основные свойства интеграла / f(z)dz.
1°. Линейность. Для любых комплексных постоянных а и b
Это свойство следует из равенства (15.5) и соответствующих свойств интеграла по отрезку.
2°. Аддитивность. Если кривая
Г разбита на участки Ti
м Г2, то
Доказательство. Пусть кривая Г с концами а, Ь разбита точкой с на две части: кривую Гi с концами а, с и кривую Гг с концами с, Ь. Пусть Г задается уравнением z = z(t ), а ^ t ^ в. причем а = 2(a), b = z(ft), с = 2(7). Тогда уравнения кривых Г1 и Гг будут z = z(t), где а ^ t ^ 7 для Ti и 7 ^ t ^ /? для Гг. Применяя определение (15.5) и соответствующие свойства интеграла по отрезку, получим
что и требовалось доказать.
Свойство 2° позволяет вычислять интегралы не только по гладким кривым, но также и но кусочно гладким , т.е. кривым, которые можно разбить на конечное число гладких участков.
3°. При изменении направления обхода кривой интеграл меняет знак.
Доказаге л ь с т в о. Пусть кривая Г с концами а и Ь задается уравнением г = г(?), о ^ t ^ $. Кривую, состоящую из тех же точек, что и Г, но отличающуюся от Г направлением обхода (ориентацией), обозначим через Г“. Тогда Г - задается уравнением z = 2i(J)> где z(t) = 2(0 -I- fi - t), Действительно, введем новое переменное г = а + - t. При изменении t от а до (д переменное г изменяется от (5 до а. Следовательно, точка г(т) пробежит кривую Г".
Свойство 3° доказано. (Заметим, что из определения интеграла (15.8) это свойство следует непосредственно: при изменении ориентации кривой все приращения AZk меняют знак.)
4°. Модуль интеграла f f(z)dz не превосходит значения криволи- г
нейного интеграла от модуля функции по длине кривой s (криволинейного интеграла от f(z) первого рода):
Легко видеть, что z[(t) = г" г (т)(а + - t )J = -z" t (t), dt = -dr. Используя определение (15.5) и переходя к переменному г, получим
Доказательство. Воспользуемся тем, что для интеграла по отрезку
(это неравенство сразу следует из определения интеграла по отрезку как предела интегральных сумм). Отсюда и из (15.5) имеем
1. Основные понятия и утверждения
Теорема 5.1 (достаточное условие существования интеграла от функции комплексного переменного). Пусть L – простая гладкая кривая на , f (z )=u (x ;y )+i×v (x ;y ) непрерывна на L . Тогда существует , причем справедливо равенство:
Теорема 5.2. Пусть L – простая гладкая кривая, заданная параметрически: L : z (t )=x (t )+i×y (t ), a £t £b , функция f (z ) непрерывна на L . Тогда справедливо равенство:
(где ). (5.2)
Теорема 5.3. Если f (z ) аналитическая в области D функция, то - аналитическая функция и F" (z )=f (z ), где интеграл берётся по любой кусочно-гладкой кривой, соединяющей точки z 0 и z .
- формула Ньютона-Лейбница .
2. Способы вычисления интеграла
Первый способ. Вычисление интегралов от непрерывной функции путем сведения к криволинейным интегралам от функций действительных переменных (применение формулы (5.1)).
1. Найти Ref =u , Imf =v .
2. Записать подынтегральное выражение f (z )dz в виде произведения (u +iv )(dx +idy )=udx-vdy +i (udy +vdx ).
3. Вычислить криволинейные интегралы вида по правилам вычисления криволинейных интегралов второго рода.
Пример 5.1. Вычислить по параболе y=x 2 от точки z 1 =0 до точки z 2 =1+i.
■ Найдем действительную и мнимую части подынтегральной функции. Для этого подставим в выражение для f (z ) z=x+iy :
Так как y=x 2 , то dy= 2x , . Поэтому
Второй способ. Вычисление интегралов от непрерывной функции путем сведения к определенному интегралу в случае параметрического задания пути интегрирования (применение формулы (5.2)).
1. Записать параметрическое уравнение кривой z =z (t ) и определить пределы интегрирования: t=a соответствует начальной точке пути интегрирования, t=b - конечной.
2. Найти дифференциал комплекснозначной функции z (t ): dz =z ¢(t )dt .
3. Подставить z (t ) в подынтегральное выражение, преобразовать интеграл к виду: .
4. Вычислить полученный определенный интеграл.
Пример 5.2. Вычислить , где С - дуга окружности , .
■ Параметрическое уравнение данной кривой: , 0£j £p . Тогда . Получаем
Пример 5.3. Вычислить , где С – верхняя дуга окружности при условии: а) ,б) .
■ Задание значений функции в контуре интегрирования позволяет выделить однозначные ветви выражения , k= 0,1. Так как при имеем , k= 0,1,то в первом случае выделяем ветвь с k= 0, а во втором – с k= 1.
Подынтегральная функция на контуре интегрирования непрерывна. Параметрическое уравнение данной кривой: , 0£j £p . Тогда .
а) Ветвь определяется при k= 0, то есть из получаем .
б) Ветвь определяется при k =1, то есть из получаем .
Третий способ. Вычисление интегралов от аналитических функций в односвязных областях (применение формулы (5.3)).
Найти первообразную F (z ), используя свойства интегралов, табличные интегралы и методы, известные из действительного анализа. Применить формулу Ньютона-Лейбница: .
Пример 5.4. Вычислить , где С – прямая АВ , z А =1-i , z В =2+i.
■ Так как подынтегральная функция - аналитическая на всей комплексной плоскости, то применим формулу Ньютона-Лейбница
3. Основные теоремы интегрального исчисления
функций комплексного переменного
Теорема 5.4 (Коши). Если f (z G функция, то , где L - любой замкнутый контур, лежащий в G .
Теорема Коши имеет место и для многосвязной области.
Теорема 5.5. Пусть функция f (z ) аналитическая в односвязной области D , L -произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур, лежащий в D . Тогда для любой точки z 0 , лежащей внутри контура L , справедлива формула:
, (5.4)
где L обходится в положительном направлении.
Формула (5.4) называется интегральной формулой Коши . Она выражает значения аналитической функции внутри контура через её значения на контуре.
Теорема 5.6. Всякая функция f (z ), аналитическая в области D , имеет производные всех порядков на этой области, и для "z 0 ÎD справедлива формула:
, (5.5)
где L – произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в D и содержащий внутри себя точку z 0 .
4.Вычисление интегралов по замкнутому контуру
от функций комплексного переменного
Рассмотрим интегралы вида , где функция j (z) аналитическая в , а y (z) – многочлен, не имеющий нулей на замкнутом контуре С .
Правило. При вычислении интегралов вида в зависимости от кратности нулей многочлена y (z) и их расположения относительно контура С можно выделить 4 случая.
1. В области D нет нулей многочлена y (z). Тогда функция аналитическая и по теореме Коши .
2. В области D расположен один простой нуль z=z 0 многочлена y (z). Тогда записываем дробь в виде , где f (z ) – функция аналитическая в Применяя интегральную формулу Коши (5.4), получаем
. (5.6)
3. В области D расположен один кратный нуль z=z 0 многочлена y (z) (кратности n ). Тогда записываем дробь в виде , где f (z ) – функция аналитическая в Применяя формулу (5.5), получаем
4. В области D расположены два нуля многочлена y (z) z=z 1 и z=z 2 . Тогда подынтегральную функцию представляем в виде суммы двух дробей, а интеграл в виде суммы двух интегралов, каждый из которых вычисляем в соответствии с п.2 или п.3.
Пример 5.5. Вычислить , где С – окружность .
■ Находим нули знаменателя – особые точки подынтегральной функции . Это точки . Далее определяем расположение точек относительно контура интегрирования: ни одна из точек не входит в область, ограниченную окружностью с центром в точке и радиусом 2 (то есть имеем первый случай). В этом можно убедиться, выполнив чертёж или определив расстояние от каждой из точек до центра круга и сравнив с величиной радиуса. Например, для , поэтому не принадлежит кругу.
Тогда функция аналитическая в круге , и по теореме Коши .
Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входит ни один из нулей знаменателя. ■
Пример 5.6. Вычислить , где С – окружность .
■ Рассуждая, как в примере 5.5, находим, что в круге расположен только один из нулей знаменателя (второй случай). Поэтому записываем подынтегральную функцию в виде , функция аналитическая в круге . Тогда по формуле (5.6)
.■
Пример 5.7. Вычислить , где С – окружность .