• 1. Алгебраический момент количества движения относительно центра. Алгебраический О -- скалярная величина, взятая со знаком (+) или (-) и равная произведению модуля количества движения m на расстояние h (перпендикуляр) от этого центра до линии, вдоль которой направлен вектор m :
• 2. Векторный момент количества движения относительно центра.

Векторный момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра О -- вектор, приложенный в этом центре и направленный перпендикулярно плоскости векторов m и в ту сторону, откуда движение точки видно против хода часовой стрелки. Это определение удовлетворяет векторному равенству

Моментом количества движения материальной точки относительно некоторой оси z называется скалярная величина, взятая со знаком (+) или (-) и равная произведению модуля проекции вектора количества движения на плоскость, перпендикулярную этой оси, на перпендикуляр h, опущенный из точки пересечения оси с плоскостью на линию, вдоль которой направлена указанная проекция:

Кинетический момент механической системы относительно центра и оси

1. Кинетический момент относительно центра.

Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторого центра называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно того же центра.

2. Кинетический момент относительно оси.

Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторой оси называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно той же оси.

3. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью.

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра и оси

1. Теорема моментов относительно центра.

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого неподвижного центра равна моменту силы, действующей на точку, относительно того же центра

2. Теорема моментов относительно оси.

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторой оси равна моменту силы, действующей на точку, относительно той же оси

Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси

Теорема моментов относительно центра.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра;

Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторого центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра не изменяется (закон сохранения кинетического момента).

2. Теорема моментов относительно оси.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой неподвижной оси равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно этой оси

Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси не изменяется.

Например, = 0, тогда L z = const.

Работа и мощность сил

Работа силы -- скалярная мера действия силы.

1. Элементарная работа силы.

Элементарная работа силы -- это бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечного малого перемещения точки приложения силы: ; - приращение радиуса-вектора точки приложения силы, годографом которого является траектория этой точки. Элементарное перемещение точки по траектории совпадает с в силу их малости. Поэтому

если то dA > 0;если, то dA = 0;если , то dA < 0.

2. Аналитическое выражение элементарной работы.

Представим векторы и d через их проекции на оси декартовых координат:

, . Получим (4.40)

3. Работа силы на конечном перемещении равна интегральной сумме элементарных работ на этом перемещении

Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещается прямолинейно,

4. Работа силы тяжести. Используем формулу:Fx = Fy = 0; Fz = -G = -mg;

где h- перемещение точки приложения силы по вертикали вниз (высота).

При перемещении точки приложения силы тяжести вверх A 12 = -mgh (точка М 1 -- внизу, M 2 -- вверху).

Итак,. Работа силы тяжести не зависит от формы траектории. При движении по замкнутой траектории (M 2 совпадает с М 1 ) работа равна нулю.

5. Работа силы упругости пружины.

Пружина растягивается только вдоль оси х:

F y = F z = О, F x = = -сх;

где - величина деформации пружины.

При перемещении точки приложения силы из нижнего положения в верхнее направление силы и направление перемещения совпадают, тогда

Поэтому работа силы упругости

Работа сил на конечном перемещении; Если = const, то

где - конечный угол поворота; , где п -- число оборотов тела вокруг оси.

Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Теорема Кенига

Кинетическая энергия - скалярная мера механического движения.

Кинетическая энергия материальной точки - скалярная положительная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости,

Кинетическая энергия механической системы -- арифметическая сумма кинетических энергий всех материал точек этой системы:

Кинетическая энергия системы, состоящей из п связанных между собой тел, равна арифметической сумме кинетических энергий всех тел этой системы:

Теорема Кенига

Кинетическая энергия механической системы в общем случае ее движения равна сумме кинетической энергии движения системы вместе с центром масс и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс:

где Vkc -- скорость k- й точки системы относительно центра масс.

Кинетическая энергия твердого тела при различном движении

Поступательное движение.

Вращение тела вокруг неподвижной оси . ,где -- момент инерции тела относительно оси вращения.

3. Плоскопараллельное движение. , где - момент инерции плоской фигуры относительно оси, проходящей через центр масс.

При плоском движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс, ;

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Теорема в дифференциальной форме.

Дифференциал от кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на точку,

Теорема в интегральной (конечной) форме.

Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема в дифференциальной форме.

Дифференциал от кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Теорема в интегральной {конечной) форме.

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, приложенных к системе, на том же перемещении. ; Для системы твердых тел = 0 (по свойству внутренних сил). Тогда

Закон сохранения механической энергии материальной точки и механической системы

Если на материальную точку или механическую систему действуют только консервативные силы, то в любом положении точки или системы сумма кинетической и потенциальной энергий остается величиной постоянной.

Для материальной точки

Для механической системы Т+ П= const

где Т+ П -- полная механическая энергия системы.

Динамика твердого тела

Дифференциальные уравнения движения твердого тела

Эти уравнения можно получить из общих теорем динамики механической системы.

1. Уравнения поступательного движения тела -- из теоремы о движении центра масс механической системы В проекциях на оси декартовых координат

2. Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси - из теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно оси, например, относительно оси

Так как кинетический момент L z твердого тела относительно оси, то если

Так как или, то уравнение можно записать в виде или,форма записи уравнения зависит от того, что следует определить в конкретной задаче.

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела представляют собой совокупность уравнений поступательного движения плоской фигуры вместе с центром масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс:

Физический маятник

Физическим маятником называется твердое тело, вращающееся вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела, и движущееся под действием силы тяжести.

Дифференциальное уравнение вращения

В случае малых колебаний.

Тогда, где

Решение этого однородного уравнения.

Пусть при t=0 Тогда

-- уравнение гармонических колебаний.

Период колебаний маятника

Приведенная длина физического маятника -- это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника.

Кинетический момент точки и механической системы

Рис. 3.14

Одной из динамических характеристик движения материальной точки и механической системы является кинетический момент или момент количества движения.

Для материальной точки кинетическим моментом относительно какого–либо центра О называют момент количества движения точки относительно этого центра (рис. 3.14),

Кинетическим моментом материальной точки относительно оси называется проекция на эту ось кинетического момента точки относительно любого центра на этой оси:

Кинетическим моментом механической системы относительно центра О называется геометрическая сумма кинетических моментов всех точек системы относительно того же центра (рис. 3.15):

(3.20)

Кинетический момент приложен к точке О , относительно которой он вычисляется.

Если спроецировать (3.20) на оси декартовой системы координат, то получим проекции кинетического момента на эти оси, или кинетические моменты относительно осей координат:

Определим кинетический момент тела относительно его неподвижной оси вращения z (рис. 3.16).

Согласно формулам (3.21), имеем

Но при вращении тела с угловой скоростью w скорость причем количество движения точки перпендикулярно отрезку d k и лежит в плоскости перпендикулярной оси вращения Oz , следовательно,

Рис. 3.15

Рис. 3.16

Для всего тела:

где J z – момент инерции относительно оси вращения.

Следовательно, кинетический момент твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно данной оси на угловую скорость тела.

2. Теорема об изменении кинетического момента
механической системы

Кинетический момент системы относительно неподвижного центра O (рис. 3.15)

Возьмем от левой и правой части этого равенства производную по времени:

(3.22)

Учтем, что тогда выражение (3.22) примет вид

Или, с учетом того, что

– сумма моментов внешних сил относительно центра O , окончательно имеем:

(3.23)

Равенство (3.23) выражает теорему об изменении кинетического момента.

Теорема об изменении кинетического момента. Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил системы относительно того же центра.

Спроектировав равенство (3.23) на неподвижные оси декартовых координат, получим запись теоремы в проекциях на эти оси:

Из (3.23) следует, что если главный момент внешних сил относительно какого-либо неподвижного центра равен нулю, то кинетический момент относительно этого центра остается постоянным, т.е. если

(3.24)

Если же сумма моментов внешних сил системы относительно какой–либо неподвижной оси равна нулю, то соответствующая проекция кинетического момента остается постоянной,

(3.25)

Утверждения (3.24) и (3.25) представляют собой закон сохранения кинетического момента системы.

Получим теорему об изменении кинетического момента системы, выбрав в качестве точки при вычислении кинетического момента точку A , движущуюся относительно инерциальной системы отсчета со скоростью

Кинетический момент системы относительно точки A (рис. 3.17)

Рис. 3.17

так как то

Учитывая, что где – скорость центра масс системы, получаем

Вычислим производную по времени от кинетического момента

В полученном выражении:

Объединяя второе и третье слагаемое, и учитывая, что

окончательно получаем

Если точка совпадает с центром масс системы C , то и теорема принимает вид

т.е. она имеет ту же форму, что и для неподвижной точки О .

3. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Az (рис. 3.18) под действием системы внешних сил
Запишем уравнение теоремы об изменении кинетического момента системы в проекции на ось вращения:

Рис. 3.18

Для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:

где J z – постоянный момент инерции относительно оси вращения; w – угловая скорость.

Учитывая это, получаем:

Если ввести угол поворота тела j, то, учитывая равенство имеем

(3.26)

Выражение (3.26) есть дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

4. Теорема об изменении кинетического момента системы
в относительном движении по отношению к центру масс

Для исследования механической системы выберем неподвижную систему координат Ox 1 y 1 z 1 и подвижную Cxyz с началом в центре масс C , движущуюся поступательно (рис. 3.19).

Из векторного треугольника:

Рис. 3.19

Дифференцируя это равенство по времени, получаем

или

где – абсолютная скорость точки M k , - абсолютная скорость центра масс С ,
- относительная скорость точки M k , т.к.

Кинетический момент относительно точки О

Подставляя значения и , получим

В этом выражении: ­– масса системы; ;

– кинетический момент системы относительно центра масс для относительного движения в системе координат Сxyz .

Кинетический момент принимает вид

Теорема об изменении кинетического момента относительно точки О имеет вид

Подставим значения и получим

Преобразуем это выражение с учетом, что

или

Эта формула выражает теорему об изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс. Она формулируется так же, как если бы центр масс был неподвижной точкой.

Из двух основных динамических харак­теристик, величина является векторной. Иногда при изучении движения точки вместо изменения самого вектора оказывается необходимым рассматривать изменение его момента. Мо­мент вектора относительно данного центра О или оси z обозна­чается или и называется соответственно моментом количества движения или кинетическим моментом точки отно­сительно этого центра (оси). Вычисляется момент вектора так же, как и момент силы. При этом вектор считается приложенным к движущейся точке. По модулю , где h - длина перпендикуляра, опущенного из центра О на направление вектора (рис.15).

Теорема моментов отно­сительно центра. Найдем для ма­териальной точки, движущейся под дей­ствием силы F (рис.15), зависимость между моментами векторов и отно­сительно какой-нибудь неподвижного центра О . В конце было показано, что .

Аналогично

При этом вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор , а вектор - перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор .

Рис.15

Дифференцируя выражение по времени, получаем:

Но , как векторное произведение двух параллельных векторов, a . Следовательно,

В результате мы доказали следующую теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра . Аналогичная теорема имеетместо для моментов вектора силы относительно какой-нибудь оси z, в чем можно убедиться, проектируя обе части равенства на эту ось. Ма­тематическое выражение теоремы моментов относительно оси дается формулой .

Вопросы для самопроверки

Каковы две меры механического движения и соответствующие им измерители действия силы?

Какие силы называют движущими?

Какие силы называют силами сопротивления?

Запишите формулы для определения работы при поступательном и вращательном движениях?

Какую силу называют окружной? Что такое вращающий момент?

Сформулируйте теорему о работе равнодействующей.

Как определяется работа постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении?

Чему равна работа силы трения скольжения, если эта сила постоянна по модулю и направлению?

Каким простым способом можно вычислить работу постоянной по модулю и направлению силы на криволинейном перемещении?

Чему равна работа равнодействующей силы.

Как выразить элементарную работу силы через элементарный путь точки приложения силы и как – через приращение дуговой координаты этой точки?

Каково векторное выражение элементарной работы?

Каково выражение элементарной работы силы через проекции силы на оси координат?

Напишите различные виды криволинейного интеграла, определяющего работу переменной силы на конечном криволинейном перемещении.

В чем состоит графический способ определения работы переменной силы на криволинейном перемещении?

Как вычисляются работа силы тяжести и работа силы упругости?

На каких перемещениях работа силы тяжести: а) положительна, б) отрицательна, в) равна нулю.

В каком случае работа силы упругости положительна и в каком – отрицательна?

Какая сила называется: а) консервативной; б) неконсервативной; в) диссипативной?

Что называется потенциалом консервативных сил?

Какое поле называется потенциальным?

Что называется силовой функцией?

Что называется силовым полем? Приведите примеры силовых полей.

Какими математическими зависимостями связаны потенциал поля и силовая функция?

Как определить элементарную работу сил потенциального поля и работу этих сил на конечном перемещении системы, если известна силовая функция поля?

Какова работа сил, действующих на точки системы в потенциальном поле, на замкнутом перемещении?

Чему равна потенциальная энергия системы в любом ее положении?

Чему равно изменение потенциальной энергии механической системы при перемещении ее из одного положения в другое?

Какая зависимость существует между силовой функцией потенциального поля и потенциальной энергией системы, находящейся в этом поле?

Вычислите изменение кинетической энергии точки массой 20 кг, если ее скорость увеличилась с 10 до 20 м/с?

Как определяются проекции на координатные оси силы, действующей в потенциальном поле на любую точку системы?

Какие поверхности называются эквипотенциальными и каковы их уравнения?

Как направлена сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле, по отношению к эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку?

Чему равна потенциальная энергия материальной точки и механической системы, находящихся под действием сил тяжести?

Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности поля силы тяжести и ньютоновой силы тяготения?

В чем заключается закон сохранения и превращения механической энергии?

Почему под действием центральной силы материальная точка описывает плоскую кривую?

Что называют секторной скоростью и как выразить ее модуль в полярных координатах?

В чем заключается закон площадей?

Какой вид имеет дифференциальное уравнение в форме Бине, определяющее траекторию точки, движущейся под действием центральной силы?

По какой формуле определяется модуль ньютоновой силы тяготения?

Каков канонический вид уравнения конического сечения и при каких значениях эксцентриситета траектория тела, движущегося в поле ньютоновой силы тяготения, представляет собой окружность, эллипс, параболу, гиперболу?

Сформулируйте законы движения планет, открытые Кеплером.

При каких начальных условиях тело становится спутником Земли и при каких оно способно преодолеть земное притяжение?

Каковы первая и вторая космические скорости?

Запишите формулы для расчета работы при поступательном и вращательном движениях?

Вагон массой 1000 кг перемещают по горизонтальному пути на 5 м, коэффициент трения 0,15. Определите работу силы тяжести?

Запишите формулы для расчета мощности при поступатель­ном и вращательном движениях?

Определите мощность, необходимую для подъема груза весом 0,5 кН на высоту 10 м за 1 мин?

Чему равна работа силы, приложенной к прямолинейно движущемуся телу массой 100 кг, если скорость тела увеличилась с 5 до 25 м/с?

Определите общий КПД механизма, если при мощности двигателя 12,5 кВт и общей силе сопротивления движению 2 кН скорость движения 5 м/с.

Если автомобиль въезжает на гору при неизменной мощности двигателя, то он уменьшает скорость движения. Почему?

Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении W =10 Дж. Какой угол составляет направление силы с направлением перемещения?

1) острый угол;

2) прямой угол;

3) тупой угол.

Как изменится кинетическая энергия прямолинейно движущейся точки, если ее скорость увеличится в два раза?

1) увеличится в два раза;

2) увеличится в четыре раза.

Чему равна работа силы тяжести при горизонтальном перемещении тела?

1) произведению силы тяжести на перемещение;

2) работа силы тяжести равна нулю.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с. Найти кинетическую и потенциальную энергию камня спустя одну секунду после начала движения. Масса камня 0,2 кг.

Задача 2. Камень бросили под углом 60° к горизонту со скоростью 15 м/с. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию камня: 1) спустя одну секунду после начала движения, 2) в высшей точке траектории. Масса камня 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 3.

Задача 4. Танк, масса которого 15 т и мощность 368 кВт, поднимается в гору с уклоном 30°. Какую максимальную скорость может развивать танк?

Задача 5. Люстра массой 100 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой 5 м. Какова высота, на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась, если известно, что разрыв наступает при силе натяжения 2 кН?

Задача 6. Ветер, дующий со скоростью v 0 =20 м/с, действует на парус площадью s=25 м 2 с силой F=a sρ(v 0 -v) 2 /2, где а - безразмерный коэффициент, ρ - плотность воздуха, v - скорость судна. Определите условия, при которых мощность ветра максимальна. Найти работу силы ветра.

Задача 7. Автомобиль массой в 1 тонну движется под гору при выключенном моторе с постоянной скоростью 54 км/ч. Уклон горы равен 4 м на каждые 100 м пути. Какую мощность должен развивать двигатель этого автомобиля, чтобы автомобиль двигался с той же скоростью в гору с тем же уклоном?

Задача 8. Молот массой 1,5 т ударяет по раскаленной болванке, лежащей на наковальне и деформирует болванку. Масса наковальни вместе с болванкой равна 20 т. Определить КПД при ударе молота, считая удар неупругим. Считать работу, совершенную при деформации болванки, полезной.

Задача 9. Боек (ударная часть) свайного молота массой 500 кг падает на сваю массой 100 кг со скоростью 4 м/с. Определить: а) кинетическую энергию бойка в момент удара; б) энергию, затраченную на углубление сваи в грунт, в) энергию, затраченную на деформацию сваи, г) КПД удара бойка о сваю. Удар бойка о сваю рассматривать как неупругий.

Задача 10. Снаряд вылетает из орудия под углом α к горизонту со скоростью v 0 . В верхней части траектории снаряд разрывается на две равные части, причем скорости частей непосредственно после взрыва горизонтальны и лежат в плоскости траектории. Одна половина упала на расстоянии s от орудия по направлению выстрела. Определить место падения второй половины, если известно, что она упала дальше первой. Считать, что полет снаряда происходит в безвоздушном пространстве.

Задача 11. Снаряд летит в безвоздушном пространстве по параболе и разрывается в верхней точке траектории на две равные части. Одна половина снаряда упала вертикально вниз, вторая на расстоянии s по горизонтали от места разрыва. Определить скорость снаряда перед разрывом, если известно, что взрыв произошел на высоте Н и упавшая по вертикали вниз половина снаряда падала время τ.

Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M 0 материальной точки относительно центра O :

Рисунок 3.1

Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k 0 ) по времени:

Так как dr/dt=V , то векторное произведение V × m∙V (коллинеарных векторов V и m∙V ) равно нулю. В то же время d(m∙V)/dt=F согласно теореме о количестве движения материальной точки . Поэтому получаем, что

dk 0 /dt = r×F , (3.3)

где r×F = M 0 (F) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O . Вектор k 0 ⊥ плоскости (r, m×V ), а вектор M 0 (F) ⊥ плоскости (r, F ), окончательно имеем

dk 0 /dt = M 0 (F) . (3.4)

Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем

dk x /dt = M x (F) ;

dk y /dt = M y (F) ;

dk z /dt = M z (F) . (3.5)

Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).

Следствие 1

Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M 0 (F) = 0 . Тогда из теоремы (3.4) следует, что k 0 = const , т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2

Из условия k 0 = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.

Следствие 2

Пусть M z (F) = 0 , т.е. сила пересекает ось z или параллельна ей.

В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), k z = const , т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным .

Сначала рассмотрим случай одной материальной точки. Пусть - масса материальной точки М, - ее скорость, - количество движения.

Выберем в окружающем пространстве точку О и построим момент вектора относительно этой точки по тем же правилам, по которым в статике вычисляется момент силы. Получим векторную величину

которая называется моментом количества движения материальной точки относительно центра О (рис. 31).

Построим с началом в центре О декартову прямоугольную систему координат Oxyz и спроектируем вектор ко на эти оси. Его проекции на эти оси, равные моментам вектора относительно соответствующих координатных осей, называются моментами количества движения материальной точки относительно координатных осей:

Пусть теперь имеем механическую систему, состоящую из N материальных точек . В этом случае момент количества движения можно определить для каждой точки системы:

Геометрическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек, входящих в состав системы, называется главным моментом количеств движения или кинетическим моментом системы.