ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II
§ 37 Геометрическое изображение рациональных чисел
Пусть Δ есть отрезок, принятый за единицу длины, а l - произвольная прямая (рис. 51). Возьмем на ней какую-нибудь точку и обозначим ее буквой О.
Каждому положительному рациональному числу m / n поставим в соответствие точку прямой l , лежащую справа от С на расстоянии в m / n единиц длины.
Например, числу 2 будет соответствовать точка А, лежащая справа от О на расстоянии в 2 единицы длины, а числу 5 / 4 точка В, лежащая справа от О на расстоянии в 5 / 4 единиц длины. Каждому отрицательному рациональному числу k / l поставим в соответствие точку прямой, лежащую слева от О на расстоянии в | k / l | единиц длины. Так, числу - 3 будет соответствовать точка С, лежащая слева от О на расстоянии в 3 единицы длины, а числу - 3 / 2 точка D, лежащая слева от О на расстоянии в 3 / 2 единиц длины. Наконец, рациональному числу «нуль» поставим в соответствие точку О.
Очевидно, что при выбранном соответствии равным рациональным числам (например, 1 / 2 и 2 / 4) будет отвечать одна и та же точка, а не равным между собой числам различные точки прямой. Предположим, что числу m / n соответствует точка P , а числу k / l точка Q. Тогда, если m / n > k / l , то точка Р будет лежать правее точки Q (рис. 52, а); если же m / n < k / l , то точка Р будет находиться левее точки Q (рис. 52, б).
Итак, любое рациональное число можно геометрически изобразить в виде некоторой, вполне определенной точки прямой. А верно ли обратное утверждение? Всякую ли точку прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого рационального числа? Решение этого вопроса мы отложим до § 44.
Упражнения
296. Изобразить точками прямой следующие рациональные числа:
3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6.
297. Известно, что точка А (риc. 53) служит геометрическим изображением рационального числа 1 / 3 . Какие числа изображают точки В, С и D?
298. На прямой заданы две точки, которые служат геометрическим изображением рациональных чисел а и b а + b и а - b .
299. На прямой заданы две точки, которые служат геометрическим изображением рациональных чисел а + b и а - b . Найти на этой прямой точки, изображающие числа а и b .
Понятия «множество», «элемент», «принадлежность элемента множеству» - первичные понятия математики. Множество - любое собрание (совокупность) каких- либо предметов.
А является подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. АÌВ Û (хÎА Þ хÎВ) .
Два множества равны , если они состоят из одних и тех же элементов. Речь идет о теоретико-множественном равенстве (не путать с равенством между числами): А=В Û АÌВ Ù ВÌА .
Объединение двух множеств состоит из элементов принадлежащих хотя бы одному из множеств, т.е. хÎАÈВ Û хÎАÚ хÎВ .
Пересечение состоит из всех элементов одновременно принадлежащих как множеству А, так и множеству В: хÎАÇВ Û хÎА Ù хÎВ .
Разность состоит из всех элементов А не принадлежащих В, т.е.хÎ А\В Û хÎА ÙхÏВ .
Декартовым произведением С=А´В множеств А и В называют множество всех возможных пар (х,у ), где первый элемент х каждой пары принадлежит А, а второй ее элемент у принадлежит В.
Подмножество F декартова произведения А´В называется отображением множества А в множество В , если выполнено условие: ("х ÎА)($! пара (х.у )ÎF). При этом пишут: А В.
Термины «отображение» и «функция» - синонимы. Если ("хÎА)($! уÎВ): (х,у )ÎF, то элемент у ÎВ называется образом х при отображении F и записывают это так: у =F(х ). Элемент х при этом является прообразом (одним из возможных) элемента у.
Рассмотриммножество рациональных чисел Q - множество всех целых чисел и множество всех дробей (положительных и отрицательных). Каждое рациональное число представимо в виде частного, например, 1 =4/3=8/6=12/9=…. Представлений таких много, но только одно из них несократимо.
Всякое рациональное число можно единственным образом представить в виде дроби p/q, где pÎZ, qÎN, числа p, q- взаимно просты.
Свойства множества Q :
1. Замкнутость относительно арифметических операций.
Результат сложения, вычитания, умножения, возведения в натуральную степень, деления (кроме деления на 0) рациональных чисел является рациональным числом: ; ; 
.
2. Упорядоченность: (" х, у
ÎQ, х¹у
)®(x
Причем: 1) a>b, b>c Þ a>c; 2) a-b .
3. Плотность . Между любыми двумя рациональными числами х, у существует третье рациональное число (например, с= ):
("х, у
ÎQ, x
<y
)($cÎQ) : (х
На множестве Q можно выполнять 4 арифметических действия, решать системы линейных уравнений, но квадратные уравнения вида х 2 =а, аÎ N не всегда разрешимы во множестве Q.
Теорема. Не существует числа хÎQ , квадрат которого равен 2.
g Пусть существует такая дробь х =p/q, где числа p и q взаимно просты и х 2 =2. Тогда (p/q) 2 =2. Следовательно,
Правая часть (1) делится на 2, значит p 2 четное число. Тем самым р=2n (n-целое). Тогда q должно быть нечетным числом.
Возвращаясь к (1), имеем 4n 2 =2q 2 . Поэтому q 2 =2n 2 . Аналогично убеждаемся, что q делится на 2, т.е. q - четное число. По методу от противного теорема доказана.n
геометрическое изображение рациональных чисел. Откладывая единичный отрезок от начала координат 1, 2, 3 … раз вправо, получим точки координатной прямой, которые соответствуют натуральным числам. Откладывая аналогично влево, получим точки, соответствующие отрицательным целым числам. Возьмем 1/q (q= 2,3,4 … ) часть единичного отрезка и будем откладывать его по обе стороны от начала отсчета р раз. Получаем точки прямой, соответствующие числам вида ±p/q (pÎZ, qÎN). Если p, q пробегают все пары взаимно простых чисел, то на прямой имеем все точки, соответствующие дробным числам. Таким образом, каждому рациональному числу соответствует по принятому способу единственная точка координатной прямой.
Для всякой ли точки можно указать единственное рациональное число? Заполняется ли прямая сплошь рациональными числами?
Оказывается на координатной прямой имеются точки, которым не соответствуют никакие рациональные числа. Строим равнобедренный прямоугольный треугольник на единичном отрезке. Точке N не соответствует рациональное число, так как если ON=x - рационально, то х 2 = 2, чего не может быть.
Точек, подобных точке N, на прямой бесконечно много. Возьмем рациональные части отрезка х=ON, т.е. х . Если отложить их вправо, то каждому из концов любого из таких отрезков не будет соответствовать никакое рациональное число. Допуская, что длина отрезка выражается рациональным числом х= , получаем, что х= – рационально. Это противоречит доказанному выше.
Рациональных чисел недостаточно, чтобы каждой точке координатной прямой сопоставлять некоторое рациональное число.
Построим множество действительных чисел R через бесконечные десятичные дроби.
По алгоритму деления «уголком» любое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Когда у дроби p/q знаменатель не имеет простых делителей кроме 2 и 5, т.е. q=2 m ×5 k , то результатом будет конечная десятичная дробь p/q=a 0 ,a 1 a 2 …a n . Остальные дроби могут иметь только бесконечные десятичные разложения.
Зная бесконечную периодическую десятичную дробь, можно найти рациональное число, представлением которого она является. Но любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби одним из способов:
a 0 ,a 1 a 2 …a n = a 0 ,a 1 a 2 …a n 000…=a 0 ,a 1 a 2 …(a n -1)999… (2)
Например, для бесконечной десятичной дроби х =0,(9) имеем 10х =9,(9). Если из 10х вычесть исходное число, то получим 9х =9 или 1=1,(0)=0,(9).
Между множеством всех рациональных чисел и множеством всех бесконечных периодических десятичных дробей устанавливается взаимно однозначное соответствие, если отождествлять бесконечную десятичную дробь с цифрой 9 в периоде с соответствующей бесконечной десятичной дробью с цифрой 0 в периоде по правилу (2).
Условимся употреблять такие бесконечные периодические дроби, которые не имеют цифры 9 в периоде. Если бесконечная периодическая десятичная дробь с цифрой 9 в периоде возникает в процессе рассуждений, то ее будем заменять бесконечной десятичной дробью с нулем в периоде, т.е. вместо 1,999… будем брать 2,000…
Определение иррационального числа. Кроме бесконечных десятичных периодических дробей существуют непериодические десятичные дроби. Например, 0,1010010001… или 27,1234567891011… (после запятой последовательно стоят натуральные числа).
Рассмотрим бесконечную десятичную дробь вида±a 0 , a 1 a 2 …a n … (3)
Эта дробь определяется заданием знака «+» или «–», целого неотрицательного числа a 0 и последовательности десятичных знаков a 1 ,a 2 ,…,a n ,…(множество десятичных знаков состоит из десяти чисел: 0, 1, 2,…, 9).
Всякую дробь вида (3) назовем действительным (вещественным) числом. Если перед дробью (3) стоит знак «+», его обычно опускают и пишут a 0 , a 1 a 2 …a n … (4)
Число вида (4) будем называть неотрицательным вещественным числом, а в случае, когда хотя бы одно из чисел a 0 , a 1 , a 2 , …, a n отлично от нуля, – положительным действительным числом . Если в выражении (3) берется знак «-», то это отрицательное число.
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел (QÈJ=R). Если бесконечная десятичная дробь (3) периодическая, то это рациональное число, когда дробь непериодическая – иррациональное.
Два неотрицательных действительных числа а=a 0 ,a 1 a 2 …a n …, b=b 0 ,b 1 b 2 …b n …. называют равными (пишут а=b ), если a n =b n при n=0,1,2… Число а меньше числа b (пишут a <b ), если либо a 0 либо a 0 =b 0 и существует такой номер m, что a k =b k (k=0,1,2,…m-1), а a m , т.е. a Û(a 0 Ú($mÎN: a k =b k (k= ), a m ). Аналогично определяется понятие «а > b ».
Для сравнения произвольных вещественных чисел введем понятие «модуль числа а ». Модулем вещественного числа а=±a 0 , a 1 a 2 …a n … называется такое неотрицательное действительное число представимое той же бесконечной десятичной дробью, но взятой со знаком «+», т.е. ½а ½=a 0 , a 1 a 2 …a n … и½а ½³0. Если а – неотрицательное, b – отрицательное число, то считают а>b . Если оба числа отрицательные (a<0, b<0 ), то будем считать, что: 1) а=b , если ½а ½= ½b ½; 2) а, если ½а ½> ½b ½.
Свойства множества R :
I. Свойства порядка :
1. Для каждой пары действительных чисел а
и b
имеет место одно и только одно соотношение: a=b, a
2. Если a
3. Если a, то найдется такое число с, что a< с .
II. Свойства действий сложения и вычитания :
4. a+b=b+a (коммутативность).
5. (a+b)+c=a+(b+c ) (ассоциативность).
Числовая прямая, числовая ось, - это прямая на которой изображаются действительные числа. На прямой выбирают начало отсчета – точку О (точка О изображает 0) и точку L, изображающую единицу. Точка L обычно стоит справа от точки О. Отрезок ОL называют единичным отрезком.
Точки, стоящие справа от точки О изображают положительные числа. Точки стоящие слева от точки. О, изображают отрицательные числа. Если точка Х изображает положительное число х, то расстояние ОХ = х. Если точка Х изображает отрицательное число х, то расстояние ОХ = - х.
Число, показывающее положение точки на прямой, называется координатой этой точки.
Точка V изображенная на рисунке имеет координату 2, а точка H имеет координату -2,6.
Модулем действительного числа называется расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей этому числу. Обозначают модуль числа х, так: | х |. Очевидно, что | 0 | = 0.
Если число х больше 0, то | х | = х, а если х меньше 0, то | х | = - х. На этих свойствах модуля, основано решение многих уравнений и неравенств с модулем.
Пример: Решить уравнение | х – 3 | = 1.
Решение: Рассмотрим два случая – первый случай, когда х -3 > 0, и второй случай, когда х - 3 0.
1. х - 3 > 0, х > 3.
В этом случае | х – 3 | = х – 3.
Уравнение принимает вид х – 3 = 1, х = 4. 4 > 3 – удовлетворят первому условию.
2. х -3 0, х 3.
В этом случае | х – 3 | = - х + 3
Уравнение принимает вид х + 3 = 1, х = - 2. -2 3 – удовлетворят второму условию.
Ответ: х = 4, х = -2.
Числовые выражения.
Числовое выражение – это совокупность одного или нескольких чисел и функций, соединенных знаками арифметических операций и скобками.
Примеры числовых выражений:
Значением числового выражения является число.
Операции в числовом выражении выполняются в следующей последовательности:
1. Действия в скобках.
2. Вычисление функций.
3. Возведение в степень
4. Умножение и деление.
5. Сложение и вычитание.
6. Однотипные операции выполняются слева на право.
Так значением первого выражения будет само число 12,3
Для того чтобы вычислить значение второго выражения, действия будем выполнять в следующей последовательности:
1. Выполним действия в скобках в следующей последовательности - сначала 2 возведем в третью степень, затем от полученного числа отнимем 11:
3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)
2. Умножим 3 на 4:
3 4 + (-3) = 12 + (-3)
3. Выполним последовательно операции слева направо:
12 + (-3) = 9.
Выражение с переменными – это совокупность одного или нескольких чисел, переменных и функций, соединенных знаками арифметических операций и скобками. Значения выражений с переменными зависят от значений, входящих в него переменных. Последовательность выполнения операций здесь та же, что и для числовых выражений. Выражения с переменными иногда бывает полезно упрощать, выполняя различные действия – вынесение за скобки, раскрытие скобок, группировки, сокращение дробей, приведение подобных и т.д. Так же для упрощения выражений часто используют различные формулы, например, формулы сокращенного умножения, свойства различных функций и т. д.
Алгебраические выражения .
Алгебраическим выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корня и возведения в целую степень (причём показатели корня и степени должны обязательно быть целыми числами) и знаками последовательности этих действий (обычно скобками различного вида). Количество величин, входящих в алгебраическое выражение должно быть конечным.
Пример алгебраического выражения:
«Алгебраическое выражение» - понятие синтаксическое, то есть нечто является алгебраическим выражением тогда и только тогда, когда подчиняется некоторым грамматическим правилам (см. Формальная грамматика). Если же буквы в алгебраическом выражении считать переменными, то алгебраическое выражение обретает смысл алгебраической функции.
Выразительное геометрическое представление системы рациональных чисел может быть получено следующим образом.
На некоторой прямой линии, "числовой оси", отметим отрезок от О до 1 (рис. 8). Тем самым устанавливается длина единичного отрезка, которая, вообще говоря, может быть выбрана произвольно. Положительные и отрицательные целые числа тогда изображаются совокупностью равноотстоящих точек на числовой оси, именно положительные числа отмечаются вправо, а отрицательные - влево от точки 0. Чтобы изобразить числа со знаменателем n, разделим каждый из полученных отрезков единичной длины на n равных частей; точки деления будут изображать дроби со знаменателем n. Если сделаем так для значений n, соответствующих всем натуральным числам, то каждое рациональное число будет изображено некоторой точкой числовой оси. Эти точки мы условимся называть "рациональными"; вообще, термины "рациональное число" и "рациональная точка" будем употреблять как синонимы.
В главе I, § 1 было определено соотношение неравенства Алюбой пары рациональных точек, то естественно пытаться обобщить арифметическое отношение неравенства таким образом, чтобы сохранить этот геометрический порядок для рассматриваемых точек. Это удается, если принять следующее определение: говорят, что рациональное число А меньше , чем рациональное число В (Абольше, чем число А (В>А), если разность В-А положительна. Отсюда следует (при Aмежду А и В - это те, которые одновременно >A и сегментом (или отрезком ) и обозначается [А, В] (а множество одних только промежуточных точек - интервалом (или промежутком ), обозначаемым (А, В)).
Расстояние произвольной точки А от начала 0, рассматриваемое как положительное число, называется абсолютной величиной А и обозначается символом
Понятие "абсолютная величина" определяется следующим образом: если A≥0, то |А| = А; если A
|А + В|≤|А| + |В|,
которое справедливо независимо от знаков А и В.
Факт фундаментальной важности выражается следующим предложением: рациональные точки расположены на числовой прямой всюду плотно. Смысл этого утверждения тот, что внутри всякого интервала, как бы он ни был мал, содержатся рациональные точки. Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения, достаточно взять число n настолько большое, что интервал будет меньше, чем данный интервал (A, В); тогда по меньшей мере одна из точек вида окажется внутри данного интервала. Итак, не существует такого интервала на числовой оси (даже самого маленького, какой только можно вообразить), внутри которого не было бы рациональных точек. Отсюда вытекает дальнейшее следствие: во всяком интервале содержится бесконечное множество рациональных точек. Действительно, если бы в некотором интервале содержалось лишь конечное число рациональных точек, то внутри интервала, образованного двумя соседними такими точками, рациональных точек уже не было бы, а это противоречит тому, что только что было доказано.
Существуют
следующие формы комплексных чисел:
алгебраическая
(x+iy),
тригонометрическая
(r(cos+isin
)),
показательная
(re i
).
Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить на плоскости ХОУ в виде точки А(х,у).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексного переменного z (на плоскости ставим символ z).
Ось ОХ – действительная ось, т.е. на ней лежат действительные числа. ОУ – мнимая ось с мнимыми числами.
x+iy - алгебраическая форма записи комплексного числа.
Выведем тригонометрическую форму записи комплексного числа.
Подставляем полученные значения в начальную форму: , т.е.
r(cos
+isin
)
-
тригонометрическая форма записи
комплексного числа.
Показательная
форма записи комплексного числа следует
из формулы Эйлера:
,тогда
z=re
i
-
показательная форма записи комплексного
числа.
Действия над комплексными числами.
1. сложение. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
2 . вычитание. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);
3. умножение. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);
4
.
деление. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[
(x2+iy2)*(x2-iy2)]=
Два комплексных числа, которые отличаются только знаком мнимой единицы, т.е. z=x+iy (z=x-iy), называются сопряженными.
Произведение.
z1=r(cos
+isin
);
z2=r(cos
+isin
).
То произведение z1*z2 комплексных чисел находится: , т.е. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.
;
;
Частное.
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме.
Если комплексные числа заданы в показательной форме.
Возведение в степень.
1. Комплексное число задано в алгебраической форме.
z=x+iy, то z n находим по формуле бинома Ньютона :
-
число сочетаний из n
элементов по m
(число способов, сколькими можно взять
n
элементов
из
m).
;
n!=1*2*…*n; 0!=1;
.
Применяем для комплексного числа.
В полученном выражении нужно заменить степени i их значениями:
i 0 =1 Отсюда, в общем случае получаем: i 4k =1
i 1 =i i 4k+1 =i
i 2 =-1 i 4k+2 =-1
i 3 =-i i 4k+3 =-i
Пример .
i 31 = i 28 i 3 =-i
i 1063 = i 1062 i=i
2. тригонометрической форме.
z=r(cos
+isin
),
то
- формула Муавра .
Здесь n может быть как “+” так и “-” (целым).
3. Если комплексное число задано в показательной форме:
Извлечение корня.
Рассмотрим
уравнение:
.
Его
решением будет корень n–ой степени из
комплексного числа z:
.
Корень n–ой степени из комплексного числа z имеет ровно n решений (значений). Корень из действующего числа n-ой степени имеет только одно решение. В комплексных – n решений.
Если комплексное число задано в тригонометрической форме:
z=r(cos
+isin
),
то корень n-ой степени от z находится по
формуле:
,
где к=0,1…n-1.
Ряды. Числовые ряды.
Пусть переменная а принимает последовательно значения а 1 ,а 2 ,а 3 ,…,а n . Такое перенумерованное множество чисел называется последовательностью. Она бесконечна.
Числовым
рядом называется выражение а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=
. Числа а 1 ,а 2 ,а 3 ,…,а n
– члены ряда.
Например.
а 1 – первый член ряда.
а n – n-ый или общий член ряда.
Ряд считается заданным, если известен n-ый (общий член ряда).
Числовой ряд имеет бесконечное число членов.
Числители – арифметическая прогрессия (1,3,5,7…).
n-ый член находится по формуле а n =а 1 +d(n-1); d=а n -а n-1 .
Знаменатель
– геометрическая
прогрессия
.
b n =b 1 q n-1 ;
.
Рассмотрим сумму первых n членов ряда и обозначим ее Sn.
Sn=а1+а2+…+а n .
Sn – n-ая частичная сумма ряда.
Рассмотрим
предел:
S - сумма ряда.
Ряда сходящийся , если этот предел конечен (конечный предел S существует).
Ряд расходящийся , если этот предел бесконечен.
В дальнейшем наша задача заключается в следующем: установить какой ряд.
Одним из простейших, но часто встречающихся рядов является геометрическая прогрессия.
,
C=const.
Геометрическая
прогрессия является
сходящимся
рядом
,
если
,
и расходящимся, если
.
Также
встречается гармонический
ряд
(ряд
).
Этот рядрасходящийся
.
