В § 41 мы нашли условие равновесия тела, находящегося под действием трех сил, расположенных под углом друг к другу и приложенных к одной точке. Оказалось, что для этого все три силы должны лежать в одной плоскости и каждая из них должна равняться по модулю и быть обратной по направлению равнодействующей двух других сил.

Рис. 97. Исследование условий равновесия твердого тела под действием трех сил, приложенных к разным точкам тела

Рис. 98. Точка пересечения уравновешивающихся сил может лежать вне тела

Но на практике часто силы оказываются приложенными не в одной точке. Выясним, каковы будут условия равновесия в этом случае. Для этого воспользуемся таким же устройством с тремя гирями, какое мы применяли в § 41, с той разницей, что нити, на которых подвешены гири, будем прикреплять к разным точкам куска легкого картона, как показано на рис. 97. Если масса картона мала по сравнению с массами гирь, то силой тяжести, действующей на картон, можно пренебречь и считать, что к нему приложены только силы натяжения нитей. Опыт покажет, что при равновесии все нити (а значит, и силы, действующие на картон) расположатся в одной плоскости. Отмечая на картоне линии, указывающие направления нитей, и продолжая их до пересечения, убедимся, что все три линии пересекаются в одной точке. Перенося в нее точки приложения всех трех сил натяжения нитей, убедимся, что и в этом случае условие равновесия трех сил, сформулированное выше, оказывается выполненным.

Заметим, что точка пересечения направлений сил не должна при этом обязательно лежать в самом теле (рис. 98).

Рис. 99. Люстра находится в равновесии под действием четырех сил, не лежащих в одной плоскости

Рис. 100, К упражнению 72.2

Если на тело действуют больше чем три силы, то равновесие может наступить и в том случае, когда силы не лежат в одной плоскости. Такой случай (груз, подвешенный на трех тросах) показан на рис. 99.

72.1. Докажите, что при равновесии трех сил ломаная, составленная из них, образует "треугольник.

72.2. Груз массы 5 кг подвешен на двух нитях: одна расположена горизонтально, другая - под углом в 45° к горизонту (рис. 100). Найдите силы натяжения нитей.

72.3. Судно пришвартовано к берегу двумя тросами, образующими с линией берега угол 60° (рис. 101). Под действием ветра, дующего с берега, оба троса натянулись так, что сила натяжения каждого троса составляет 10 кН. Определите силу, с которой ветер давит на судно.

Рис. 101. К упражнению 72.3

Рис. 102. К упражнению 72.4

72.4. На проволоке подвешен груз массы 10 кг; к середине проволоки прикреплена горизонтально расположенная оттяжка, перекинутая через блок (рис. 102). На конец оттяжки подвешен груз массы 2,5 кг. Найдите угол а, который образует верхняя часть проволоки с вертикалью, и силу натяжения верхней части проволоки.

По физике за 9 класс (И.К.Кикоин, А.К.Кикоин, 1999 год),
задача №6
к главе «ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ».

Цель работы: установить соотношение между моментами сил, приложенных к плечам рычага при его равновесии. Для этого к одному из плеч рычага подвешивают один или несколько грузов, а к другому прикрепляют динамометр (рис. 179).

С помощью этого динамометра измеряют модуль силы F , которую необходимо приложить для того, чтобы рычаг находился в равновесии. Затем с помощью того же динамометра измеряют модуль веса грузов Р . Длины плеч рычага измеряют с помощью линейки. После этого определяют абсолютные значения моментов М 1 и М 2 сил Р и F :

Вывод о погрешности экспериментальной проверки правила моментов можно сделать, сравнив с единицей

отношение:

Средства измерения:

1) линейка; 2) динамометр.

Материалы: 1) штатив с муфтой; 2) рычаг; 3) набор грузов.

Порядок выполнения работы

1. Установите рычаг на штатив и уравновесьте его в горизонтальном положении с помощью расположенных на его концах передвижных гаек.

2. Подвесьте в некоторой точке одного из плеч рычага груз.

3. Прикрепите к другому плечу рычага динамометр и определите силу, которую необходимо прило

жить к рычагу для того, чтобы он находился в равновесии.

4. Измерьте с помощью линейки длины плеч рычага.

5. С помощью динамометра определите вес груза Р .

6. Найдите абсолютные значения моментов сил Р и F

7. Найденные величины занесите в таблицу:

8. Сравните отношение

с единицей и сделайте вывод о погрешности экспериментальной проверки правила моментов.

Основной целью работы является установление соотношения между моментами сил, приложенных к телу с закрепленной осью вращения при его равновесии. В нашем случае в качестве такого тела мы используем рычаг. Согласно правилу моментов, чтобы такое тело находилось в равновесии, необходимо чтобы алгебраическая сумма моментов сил относительно оси вращения была равна нулю.

Рассмотрим такое тело (в нашем случае рычаг). На него действуют две силы: вес грузов P и сила F (упругости пружины динамометра), чтобы рычаг находился в равновесии и моменты этих сил должны быть равны по модулю меду собой. Абсолютные значения моментов сил F и P определим соответственно:

Выводы о погрешности экспериментальной проверки правила моментов можно сделать сравнив с единицей отношение:

Средства измерения: линейка (Δl = ±0,0005 м), динамометр (ΔF = ±0,05 H). Массу грузов из набора по механике полагаем равной (0,1±0,002) кг.

Выполнение работы

Если тело находится в равновесии, то это значит, что сумма приложенных к нему сил равна нулю и сумма моментов этих сил относительно оси, вокруг которой тело может вращаться, также равна нулю. Но здесь возникает такой вопрос: а устойчиво ли равновесие?

С первого взгляда видно, например, что положение равновесия шарика на вершине выпуклой подставки (рис. 170) неустойчиво: малейшее отклонение шарика от его равновесного положения приведет к тому, что он скатится вниз. А вот тот же шарик помещен на вогнутой подставке (рис. 171). Его не так-то просто заставить покинуть свое место. Положение шарика можно считать устойчивым. В чем тут дело? Ведь в обоих случаях шарик находится в равновесии: сила тяжести равна по абсолютной величине противоположно направленной силе упругости (силе реакции) действующей со стороны опоры (рис. 172 и 173).

Все дело оказывается именно в том малейшем отклонении, о котором мы упоминали. При самом малом отклонении, которое всегда происходит из-за случайных сотрясений, воздушных течений и других причин, равновесие шарика нарушается. На рисунке 172 видно, что, как только шарик на выпуклой подставке покинул

свсе место, сила тяжести перестает уравновешиваться силой со стороны опоры (сила всегда направлена перпендикулярно поверхности соприкосновения шарика и подставки). Геометрическая сумма (равнодействующая) силы тяжести и силы реакции опоры, т. е. сила направлена так, что шарик еще больше удалится от положения равновесия.

Иное дело на вогнутой подставке (рис. 173). При малом отклонении от первоначального положения здесь тоже нарушается равновесие. Сила упругости со стороны опоры и здесь уже не будет уравновешивать силу тяжести. Но теперь равнодействующая направлена так, что тело вернется в прежнее положение. В этом и состоит условие устойчивости равновесия.

Равновесие тела устойчиво, если при малом отклонении от равновесного положения возникает сила, возвращающая тело к положению равновесия.

Равновесие неустойчиво, если при малом отклонении тела от положения равновесия возникает сила, удаляющая тело от этого положения.

Устойчивое и неустойчивое положения равновесия отличаются друг от друга еще и положением центра тяжести тела. Когда шарик находится в положении неустойчивого равновесия, его центр тяжести выше, чем когда он находится в любом соседнем положений. Наоборот, у шарика на вогнутой опоре центр

тяжести в положении устойчивого равновесия ниже, чем в любом из соседних положений. Значит, для устойчивого равновесия центр тяжести тела должен находиться в самом низком из возможных для него положений. Это определение устойчивости и неустойчивости тесно связано с предыдущим.

Возможно и такое положение равновесия, когда малые отклонения от него не приводят к каким-либо изменениям в состоянии тела. Таково, например, положение шарика на плоской опоре (рис. 174). Ясно, что при любом изменении положения шарика оно остается равновесным. Такое равновесие называют безразличным.

Если тело имеет ось вращения, то его устойчивость или неустойчивость зависит от того, возникает ли момент силы, возвращающей тело к положению равновесия или, наоборот, удаляющей тело от этого положения.

В качестве примера рассмотрим обыкновенную линейку, укрепленную на стержне, проходящем через отверстие вблизи ее конца, как показано на рисунке 175, а. В таком положении линейка находится в равновесии, потому что сила тяжести проходящая через ее центр тяжести, уравновешивается силой реакции (силой упругости) со стороны стержня (опоры). Но если отклонить линейку от вертикального положения (рис. 175, б), то сила тяжести уже не уравновешивается реакцией опоры. Момент

силы тяжести относительно оси теперь не равен нулю (рис. 175, б). Вследствие этого сила возвратит линейку (после нескольких колебаний) в исходное положение. Поэтому положение линейки, показанное на рисунке 175, а, устойчиво. Но попытаемся подвесить ту же линейку на стержне так, как это показано на рисунке 176, а. Опыт убедит нас в том, что это сделать невозможно и нетрудно понять почему. Из рисунка 176, а видно, что при вертикальном положении линейки сила тяжести уравновешивается силой упругости (реакцией стержня), действующей на линейку со стороны стержня. Линейка должна находиться в равновесии. Но из рисунка 176, б видно, что при любом отклонении линейки от вертикального положения возникает момент силы тяжести. Вследствие этого линейка повернется так, чтобы занять положение, показанное на рисунке 176, в. Значит, равновесие линейки, соответствующее рисунку 176, а, неустойчиво.

Выходит, что равновесие тела при наличии оси вращения устойчиво, если центр тяжести тела находится ниже оси вращения.

Понятно, что линейка, подвешенная на стержне, проходящем через отверстие в ее центре тяжести, будет находиться в безразличном равновесии (рис. 177). В этом случае при любом положении линейки момент силы тяжести, приложенной к ней, относительно оси вращения равен нулю.

Если груз отклонен от вертикалиr на расстояние r, как и при дви-

жении по окружности, то сила F равна той силе, которая вызывала движение груза по окружностиr . Мы получаем возможность срав-

ружности, по которой движется груз, изменялся вследствие влияния сопротивления воздуха медленнее и изменение это незначительно влияло на измерения, следует выбирать его небольшим (порядок

Оценка погрешностей.

Точность измерения: линейка − ∆ r =± 0,0005 м секундомер− ∆ t =± 0,5 с динамометр−∆ F =± 0,05 Н

Подсчитаем погрешность определения периода (если считать, что число n определено точно):

(7%), то есть ma = (0,108± 0,008) Н. С другой стороны, силу F мы измерили со следующей погрешностью:ε F =∆ F F =0 0,1 ,05 Н Н =0,5 (50%)

Такая погрешность измерения, конечно, очень велика. Измерения с такими погрешностями годны только для приблизительных

оценок. Отсюда видно, что отклонение отношение m F a от единицы

может быть существенным при использовании примененных нами способов измерения* .

Лабораторная работа № 6

«Изучение равновесия тел под действием нескольких сил»

Основной целью работы является установление соотношения между моментами сил, приложенных к телу с закрепленной осью вращения при его равновесии. В нашем случае в качестве такого тела мы используем рычаг. Согласно правилу моментов, чтобы такое тело находилось в равновесии, необходимо чтобы алгебраическая сумма моментов сил относительно оси вращения была равна нулю.

Рассмотрим такое тело (в нашем случае рычагr ). На негоr действуют две силы: вес гру-

зов P и сила F (упругости пружины динамометра), чтобы рычаг находился в равновесии и моменты этих сил должны быть равны по модулю медуr собойr . Абсолютные значения

моментов сил F и P определим соответст-

венно: М1 = Рl 1 ; M2 = Fl 2 .

Выводы о погрешности экспериментальной проверки правила мо-

ментов можно сделать сравнив с единицей отношение: M 1 . M2

Средства измерения: линейка (∆l = ±0,0005 м), динамометр (∆F =

±0,05 H). Массу грузов из набора по механике полагаем равной

(0,1±0,002) кг.

Выполнение работы

1* Так что вам не следует смущаться, если в этой лабораторной работе отношениеma F будет отличным от единицы. Просто аккуратно оцените все погрешности измерений и сделайте соответствующий вывод.

Вычисления: M1 =Pl 1, M2 = Fl 2

1) M 1 =4H 0,1м=0,4 Н м M2 =1,1H 0,35м=0,385 Н м

M 2 =1,04

2) M 1 =2H 0,2м=0,4 Н м M2 =2,7H 0,1 5м=0,405 Н мM

Поскольку ε р = const и не зависит от количества грузов, ясно, что

лежит в пределах погрешности измерений.

Лабораторная работа № 7

«Изучение закона сохранения механической энергии»

Закон сохранения механической энергии. Полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих силами тяготения или силами упругости, остается неизменной при любых дви-

жениях тел системы Ер1 + Ек1 = Ер2 + Ек2

Рассмотрим такое тело (в нашем случаеr рычагr ). На не-

го действуют две силы: вес грузов P и сила F (упругости пружины динамометра), чтобы рычаг находился в равновесии и моменты этих сил должны быть равны по модулюr медуr собой. Абсолютные значения момен-

тов сил F и P определим соответственно: М1 = Рl 1 ;

M2 = Fl 2 .

Рассмотрим груз, прикрепленный к упругой пружине таким образом, как показано на рисунке. Вначале удерживаем тело в положении 1, пружина не натянута и сила упругости, действующая на тело

равна нулю. Затем отпускаем тело и оно падает под действием силы тяжести до положения 2, в котором сила тяжести полностью компенсируется силой упругости пружины при удлинении ее на h (тело покоится в этот момент времени).

Рассмотрим изменение потенциальной энергии системы при переходе тела из положения 1 в положение 2. При переходе из положения 1 в положение 2 потенциальная энергия тела уменьшается на величину mgh, а потенциальная энергия пружины возрастает на ве-

личину kh 2 2 .

Целью работы является сравнение этих двух величин. Средства измерения: динамометр с известной заранее жесткостью пружины 40 Н/м, линейка, груз из набора по механике.

Выполнение работы:

откуда видно, что полученное отклонение от единицы лежит в пределах погрешности измерений.

Лабораторная работа № 8

«Измерение ускорения свободного падения с помощью маятника»

Изучая курс физики вам часто приходилось использовать в решении задач и других расчетах значение ускорения свободного падения на поверхности земли. Вы принимали значение g = 9,81 м/с2 , то есть с той точностью, которой вполне достаточно для производимых вами расчетов.

Целью данной лабораторной работы является экспериментальное установление ускорения свободного падения с помощью маятника. Зная формулу периода колебания математического маятника Т =

2π g l можно выразить значение g через величины, доступные про-

стому установлению путем эксперимента и рассчитать g с некото-

рой точностью. Выразим g = 4 π 2 l , гдеl − длина подвеса, а Т− пери-

од колебаний маятника. Период колебаний маятника Т легко определить, измерив время t, необходимое для совершения некоторого

количества N полных колебаний маятника Т = N t . Математическим

маятником называют груз, подвешенный к тонкой нерастяжимой нити, размеры которого много меньше длины нити, а масса − много больше массы нити. Отклонение этого груза от вертикали происходит на бесконечно малый угол, а трение отсутствует. В реальных

условиях формула Т=2π g l имеет приблизительный характер.

Рассмотрим такое тело (в нашем случаеr рычаг). Наr

него действуют две силы: вес грузов P и сила F (упругости пружины динамометра), чтобы рычаг находился в равновесии и моменты этих сил должны быть равны по модулюr медуr собой. Абсолютные

значения моментов сил F и P определим соответственно:

М1 = Рl 1 ; M2 = Fl 2 .

В лабораторных условиях для измерения с некоторой степенью точности можно использовать небольшой, но массивный металлический шарик, подвешенный на нити длиной 1− 1,5 м (или большей, если есть возможность такой подвес разместить) и отклонять его на небольшой угол. Ход работы целиком понятен из описания ее в учебнике.

Средства измерения: секундомер (∆ t =± 0,5 c); линейка или измерительная лента (∆ l =± 0,5 cм)

Выполнение работы: