Это разность математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата ее мат ожидания.
D(X)=M(X^2)-M^2(X)
Дисперсия характеризует степень рассеяния значение случайной величины относительно ее мат ожидания. Если все значения тесно сконцентрированы около ее мат ожидания и больше отклонения от мат ожид, то такая случайная величина имеет малую дисперсию, а если рассеяны и велика вероятность больших отклонений от М, то случ величина имеет большую дисперсию.
Свойства:
1.Дисперсия постоянно равна 0 D(C)=0
2.Дисперсия произведения случ величины на постоянную С равна произ десперсии случ велич Х на квадрат постоянной D(CX)=C^2D(X)
3.Если случ велич X and Y независимы, дисперсия их суммы (разности) равна сумме дисперсий
D(X Y)=D(X)+D(Y)
4.Дисперсия случ велич не изменится если к ней прибавить постоянную
Теорема:
Дисперсия числа появление соб А в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления соб постоянна и равна p, равна произведению числа испытания на вероятность появления и вероятности непоявления соб в одном испытании
Среднее квадратичское отклонение.
Средним квадрат отклонением случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсия
Непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства.
Случайная величина, значение которой заполняет некоторый промежуток, называется непрерывной .
Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными.
Функция распред св.
Способы задания ДСВ неприменимы для непрерывной. В этой связи вводиться понятие функции распределение вероятностей.
Функция распределения называют функцию F(x) определяющую для каждого значения х вероятность того что случ велич Х примет значение меньшее х т.е
Функция распределения ДСВ принимающие значение (x1,x2,x3) с вероятностью (p1,p2,p3) определяется
Так, например функция распределения биномиального распределения определяется формулой:
Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, частично-дифференцируемая функция с непрерывной производной.
Свойства:
1.значение функции принадлежит
2. функция распределения есть неубывающая функция F(x2) 3.Вероятность того что случайная величина X примет значение заключенное в интервале (α,β) равна приращению функции распределения на этом интервале P(α Следствие. Вероятность того что случ велич примет одно значение равно 0. 4.Если все возможные значение случ велич Х принадлежит (a,b) то F(x)=0 при x a и F(x)=1 при x b 5.Вероятность того, что случ велич Х примет значение большее чем x равно разности между единицей и функцией распределения Пусть производится п
независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А
постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема.
Дисперсия числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:
D
(X
) = npq.
Доказательство. Рассмотрим случайную величину X
- число появлений события А
в п
независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях: X = Х
1 + X
2 + …+ Х п,
где Х
1 - число наступлений события в первом испытании, Х
2 - во втором, ..., Х п
- в п-
м.
Величины Х
1 , Х
2 ,
..., Х п
взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться следствием 1 (см. § 5): D
(X
) = D
(X
1) + D
(X
2)+ ...+D
(Х п
).
(*) Вычислим дисперсию X
1 по формуле D
(X
1)=M
(
)-
[M
(X
1)] 2 .
(**) Величина Х
1 -число появлений события А
в первом испытании, поэтому (см. гл. VII, § 2, пример 2) М
(Х
1)=р
. Найдем математическое ожидание величины ,
которая может принимать только два значения, а именно: 1 2 c вероятностью р
и О
2 с вероятностью q:
M
(
)=
1 2 *p+
0 2 *q=p.
Подставляя найденные результаты в соотношение (**), имеем D
(X
1)=p-p
2 =p
(1-p
)=pq
Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq.
Заменив каждое слагаемое правой части (*) через pq,
окончательно получим D
(X
) = npq.
Замечание. Так как величина X
распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и
так: дисперсия биномиального распределения с параметрами п и р равна произведению npq.
Пример.
Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X
-числа появлений события в этих испытаниях. Решение. По условию, n
=10, р
= 0,6. Очевидно, вероятность непоявления события q =
1-
0,
6 =
0,
4. Искомая дисперсия D
(X
) = npq
= 10
0,
6
0,
4 =
2,
4.
Среднее квадратическое отклонение
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение. Средним квадратическим отклонением
случайной величины X
называют квадратный корень из дисперсии: Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность s(X
)совпадает сразмерностью X.
Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X
выражается влинейных метрах, то а (X
)будет выражаться также влинейных метрах, a D
(X
)- в квадратных метрах. Пример.
Случайная величина X
задана законом распределения Найти среднее квадратическое отклонение s(X
).
Решение. Найдем математическое ожидание X:
М
(Х
) =
2*
0,
1 +
3*
0,
4+
10*
0,
5 =
6,
4.
Найдем математическое ожидание X
2 :
М
(Х
2) =
2 2 *
0,
1+
3 2 *
0,
4+
10 2 *
0,
5 =
54.
Найдем дисперсию: D
(X
)= М
(X
2) -
[М
(X
)] 2 =
54 -
6,
4 2 =
13,
04.
Искомое среднее квадратическое отклонение s(X)= =
Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин
Пусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Как найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Запишите значения выборки.
В большинстве случаев статистикам доступны только выборки определенных генеральных совокупностей. Например, как правило, статистики не анализируют расходы на содержание совокупности всех автомобилей в России – они анализируют случайную выборку из нескольких тысяч автомобилей. Такая выборка поможет определить средние расходы на автомобиль, но, скорее всего, полученное значение будет далеко от реального.
Запишите формулу для вычисления дисперсии выборки.
Дисперсия является мерой разброса значений некоторой величины. Чем ближе значение дисперсии к нулю, тем ближе значения сгруппированы друг к другу. Работая с выборкой значений, используйте следующую формулу для вычисления дисперсии:
Вычислите среднее значение выборки.
Оно обозначается как x̅. Среднее значение выборки вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в выборке, а затем полученный результат разделите на количество значений в выборке.
Вычтите выборочное среднее из каждого значения в выборке.
Теперь вычислите разность x i {\displaystyle x_{i}}
- x̅, где x i {\displaystyle x_{i}}
– каждое значение в выборке. Каждый полученный результат свидетельствует о мере отклонения конкретного значения от выборочного среднего, то есть как далеко это значение находится от среднего значения выборки.
Как отмечалось выше, сумма разностей x i {\displaystyle x_{i}}
- x̅ должна быть равна нулю. Это означает, что средняя дисперсия всегда равна нулю, что не дает никакого представления о разбросе значений некоторой величины. Для решения этой проблемы возведите в квадрат каждую разность x i {\displaystyle x_{i}}
- x̅. Это приведет к тому, что вы получите только положительные числа, которые при сложении никогда не дадут 0.
Вычислите сумму квадратов разностей.
То есть найдите ту часть формулы, которая записывается так: ∑[( x i {\displaystyle x_{i}}
- x̅) 2 {\displaystyle ^{2}}
]. Здесь знак Σ означает сумму квадратов разностей для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}}
в выборке. Вы уже нашли квадраты разностей (x i {\displaystyle (x_{i}}
- x̅) 2 {\displaystyle ^{2}}
для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}}
в выборке; теперь просто сложите эти квадраты.
Полученный результат разделите на n - 1, где n – количество значений в выборке.
Некоторое время назад для вычисления дисперсии выборки статистики делили результат просто на n; в этом случае вы получите среднее значение квадрата дисперсии, которое идеально подходит для описания дисперсии данной выборки. Но помните, что любая выборка – это лишь небольшая часть генеральной совокупности значений. Если взять другую выборку и выполнить такие же вычисления, вы получите другой результат. Как выяснилось, деление на n - 1 (а не просто на n) дает более точную оценку дисперсии генеральной совокупности, в чем вы и заинтересованы. Деление на n – 1 стало общепринятым, поэтому оно включено в формулу для вычисления дисперсии выборки.
Отличие дисперсии от стандартного отклонения.
Заметьте, что в формуле присутствует показатель степени, поэтому дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения анализируемой величины. Иногда такой величиной довольно сложно оперировать; в таких случаях пользуются стандартным отклонением, которое равно квадратному корню из дисперсии. Именно поэтому дисперсия выборки обозначается как s 2 {\displaystyle s^{2}}
, а стандартное отклонение выборки – как s {\displaystyle s}
.
Проанализируйте некоторую совокупность значений.
Совокупность включает в себя все значения рассматриваемой величины. Например, если вы изучаете возраст жителей Ленинградской области, то совокупность включает возраст всех жителей этой области. В случае работы с совокупностью рекомендуется создать таблицу и внести в нее значения совокупности. Рассмотрим следующий пример:
Запишите формулу для вычисления дисперсии генеральной совокупности.
Так как в совокупность входят все значения некоторой величины, то приведенная ниже формула позволяет получить точное значение дисперсии совокупности. Для того чтобы отличить дисперсию совокупности от дисперсии выборки (значение которой является лишь оценочным), статистики используют различные переменные:
Вычислите среднее значение совокупности.
При работе с генеральной совокупностью ее среднее значение обозначается как μ (мю). Среднее значение совокупности вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в генеральной совокупности, а затем полученный результат разделите на количество значений в генеральной совокупности.
Вычтите среднее значение совокупности из каждого значения в генеральной совокупности.
Чем ближе значение разности к нулю, тем ближе конкретное значение к среднему значению совокупности. Найдите разность между каждым значением в совокупности и ее средним значением, и вы получите первое представление о распределении значений.
Возведите в квадрат каждый полученный результат.
Значения разностей будут как положительными, так и отрицательными; если нанести эти значения на числовую прямую, то они будут лежать справа и слева от среднего значения совокупности. Это не годится для вычисления дисперсии, так как положительные и отрицательные числа компенсируют друг друга. Поэтому возведите в квадрат каждую разность, чтобы получить исключительно положительные числа.
Урок передачи-усвоения новых знаний, умений и
навыков. Тема: Дисперсия. Её свойства. Цели урока: Задача: заключается в определении свойств
дисперсии случайной величины и в выводе формулы
для ее расчета. Ход урока. 1. Проверка присутствующих учеников на уроке. 2. Математика – королева всех наук! Учитель
: “Итак, математическое ожидание не
полностью характеризует случайную величину” Ученик 1: “О как же так выходит я совсем
пустяк”. Ученик
2: “Да, ты право, правду говоришь”. Ученик 1: “Но кто заменит вдруг меня, ведь моя
формула, то всем нужна”. Ученик
2: “Да, ты сначала про себя все
вспомни”. Ученик
1: “Без проблем, вот эти
формулы, они известны всем. И если множество
значений бесконечно, то ожидание находится как
ряд, точнее его сумма: А, если величина вдруг непрерывна, то
рассмотреть имеем право мы предельный случай, и
вот в итоге что получим: Ученик 2: “Но это все смешно ведь ожидание не
существует. Нет его!”. Ученик 1: “Нет, ожидание существует,
когда является абсолютно сходящимся и интеграл и
сумма”. Ученик 2: “И все же я твержу одно, нам ожидание
не нужно”. Ученик 1: “Ах как же так? Да это просто ”. Учитель: “Стоп, стоп, закончим спор.
Возьмите ручку и тетрадь, и в путь мы будем с вами
спор решать. Но прежде чем начать, давайте
вспомним лишь одно, чему отклонение от
математического ожидания равно”. Ученик 3: “О, это могу вспомнить я”. Учитель: “Пожалуйста, вот мел, доска”. Ученик 4: “Разность X – М(Х)
называется отклонением случайной величины X от
ее математического ожидания М(Х). Отклонение
является случайной величиной. Так как
математическое ожидание случайной величины
-величина постоянная и математическое ожидание
постоянной равно этой постоянной, то М(Х – М(Х)) = М(Х) – М(М(Х)) =
М (X) – М(Х) = 0. т, е, М(Х – М(Х)) =0.”. Учитель: “Да, все верно, но друзья за
меру рассеяния отклонения случайной величины от
ее математического это принять нельзя. И из этого
последует, что рассматривают модули или квадраты
отклонений. А вот теперь послушайте определение:
X случайной величины – дисперсия или рассеяние –
это математическое ожидание квадрата ее
отклонения. Обозначается как D(X), а формула имеет
вид: D(X) = М((Х – М(Х)) 2). (1) Теперь давайте,
определим, какой же знак величине присвоим мы?”. Ученик 5: “Из свойств и определения
математического ожидания можем получить, лишь
одно, что как величина дисперсия неотрицательна
D(X) > 0” (2). Учитель: “Учитывая равенство один
получим формулу для нахождения дисперсии: D(X) = М(Х 2)
– (М(Х)) 2 . Которую быть может кто – нибудь
докажет”. Ученик 6: “Давайте я попробую. D(X)=M((X
– М(Х)) 2) = М(Х 2 - 2ХМ(Х)+(М(Х)) 2)=М(Х 2)
– 2М(ХМ(Х)+М((М(Х)) 2)=М(Х 2) – 2М(Х)М(Х)+(М(Х)) 2 =М(Х 2)
– (М(Х)) 2 ”. (3) Учитель: “Рассмотрим свойства случайной
величины: 1. Дисперсия С – как постоянной величины равна
нулю: D(C) - 0 (С – const). (4) 2. Постоянный множитель можно вынести за знак
дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX)=C 2 D(X). (5) 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных
величин равна сумме их дисперсий: D(X+Y) = D(X) + D(Y). (6) 4. Дисперсия разности двух независимых
случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X –
Y) = D(X) + D(Y). (7) Докажем эти свойства принимая во внимание
свойства ожидания: D(C) = М((С – М(С)) 2) = М((С – С 2)) = М(0) = 0.
Первое свойство доказано оно означает, что
постоянная величина не имеет рассеяния так как
принимает одно и тоже значение. А теперь докажем второе свойство: D(CX) – М((СХ –
М(СХ)) 2) = М((СХ СМ(Х)) 2) = М(С 2 (Х – М(Х)) 2) = С 2 М((Х
– М(Х)) 2) = C 2 D(X). Для доказательства третьего свойства
используем формулу три: D(X+Y) = M((X+Y) 2) – (M(X+Y)) 2 = M(X 2 +2XY+Y 2)
– (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2)+M(2XY)+M(Y 2) – ((M(X)) 2 +2M(X)M(Y)+(M(Y)) 2)
= M(X 2)+2M(X)M(Y)+M(Y 2) – (M(X)) 2 – 2M(X)M(Y)
– (M(Y)) 2 = M(X 2) - (M(X)) 2 +M(Y 2) – (M(Y)) 2
= D(X) – D(Y). Третье свойство распространяется на любое
число попарно-независимых случайных величин. Доказательство четвертого свойства следует из
формул (5) и (6). D(X – Y) = D(X +(- Y)) – D(X) +D(– Y)=D(X)+(-l) 2 D(Y) = D(X)+D(Y). Если случайная величина является X является
дискретной и задан ее закон распределения Р(Х=х k)
= p k (k= 1,2,3,n). Таким образом случайная величина (X - М(Х)) 2
имеет следующий закон распределения: (к=1,2,3,n), =l. Исходя из определения математического
ожидания, получаем формулу Дисперсия непрерывной случайной величины X, все
возможные значения корой принадлежат отрезку
[а,Ь] , определяется формулой: D(X)=(x-M(X)) 2 p(x)dx
(8) где р(х) – плотность распределения этой
величины. Дисперсию можно вычислять по формуле: Для учеников, имеющих оценку “4” и “5”
необходимо дома доказать формулу (9). 3. Закрепление нового материала в виде тестовой
работы. 1) Тестовая работа по теме “Дисперсия и
ее свойства”. 1. Продолжить определение: дисперсия – это. 2. Выберите правильную формулу для расчета
дисперсии: а) D(X)=D(X) 2 – (D(X)) 2 ; Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i
, если ряд сходится абсолютно.
Назначение сервиса
. С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение
(см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) . Пример
. Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Пример №1
. Пример №2
. Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения: Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Пример №3
. Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1 Решение.
Закон распределения дискретной случайной величины
X
p
0,
1
0,
4
0,
5
Шаги
Вычисление дисперсии выборки
Теперь результат разделите на количество значений в выборке (в нашем примере их 6): 84 ÷ 6 = 14.
Выборочное среднее x̅ = 14.
x 1 {\displaystyle x_{1}}
- x̅ = 17 - 14 = 3
x 2 {\displaystyle x_{2}}
- x̅ = 15 - 14 = 1
x 3 {\displaystyle x_{3}}
- x̅ = 23 - 14 = 9
x 4 {\displaystyle x_{4}}
- x̅ = 7 - 14 = -7
x 5 {\displaystyle x_{5}}
- x̅ = 9 - 14 = -5
x 6 {\displaystyle x_{6}}
- x̅ = 13 - 14 = -1
( x 1 {\displaystyle x_{1}}
- x̅) 2 = 3 2 = 9 {\displaystyle ^{2}=3^{2}=9}
(x 2 {\displaystyle (x_{2}}
- x̅) 2 = 1 2 = 1 {\displaystyle ^{2}=1^{2}=1}
9 2 = 81
(-7) 2 = 49
(-5) 2 = 25
(-1) 2 = 1
Дисперсия выборки = s 2 = 166 6 − 1 = {\displaystyle s^{2}={\frac {166}{6-1}}=}
33,2
Вычисление дисперсии совокупности
x 1 = 5 {\displaystyle x_{1}=5}
x 2 = 5 {\displaystyle x_{2}=5}
x 3 = 8 {\displaystyle x_{3}=8}
x 4 = 12 {\displaystyle x_{4}=12}
x 5 = 15 {\displaystyle x_{5}=15}
x 6 = 18 {\displaystyle x_{6}=18}
x 1 {\displaystyle x_{1}}
- μ = 5 - 10,5 = -5,5
x 2 {\displaystyle x_{2}}
- μ = 5 - 10,5 = -5,5
x 3 {\displaystyle x_{3}}
- μ = 8 - 10,5 = -2,5
x 4 {\displaystyle x_{4}}
- μ = 12 - 10,5 = 1,5
x 5 {\displaystyle x_{5}}
- μ = 15 - 10,5 = 4,5
x 6 {\displaystyle x_{6}}
- μ = 18 - 10,5 = 7,5
( x i {\displaystyle x_{i}}
- μ) 2 {\displaystyle ^{2}}
для каждого значения совокупности (от i = 1 до i = 6):
(-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}}
= 30,25
(-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}}
, где x n {\displaystyle x_{n}}
– последнее значение в генеральной совокупности.
решать основные типы задач теории вероятности и
применять теорию в конкретных различных
ситуациях; 3) формирование представлений об идеях
и методах высшей математики; 4) формирование у
учащихся на материале учебного предмета высшей
математики способов учебно-познавательной
деятельности.
Без нее не летят корабли,
Без нее не поделишь ни акра земли,
Даже хлеба не купишь, рубля не сочтешь,
Что по не узнаешь, а узнав не поймешь!
б) D(X)=M(X – D(X 2));
в)D(X)=M((X-M(X)) 2);
г) D(X)=M(X) 2 – (M(X)) 2 ;Свойства математического ожидания случайной величины
Свойства дисперсии
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345Алгоритм вычисления математического ожидания
Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.
Функция распределения дискретной случайной величины
ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых положительны.
Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4 x i
1
3
4
7
9
p i
0.1
0.2
0.1
0.3
0.3
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i .
Математическое ожидание M[X]
.
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X]
.
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x)
.
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Найти величину a , математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
Х
-10
-5
0
5
10
р
а
0,32
2a
0,41
0,03
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3