Дробь – это одна или более долей целого, за которое обычно принимается единица (1). Как и с натуральными числами, с дробями можно выполнять все основные арифметические действия (сложение, вычитание, деление, умножения), для этого нужно знать особенности работы с дробями и различать их виды. Существует несколько видов дробей: десятичные и обыкновенные, или простые. Своя специфика есть у каждого вида дробей, но, обстоятельно разобравшись один раз, как с ними обращаться, вы сможете решать любые примеры с дробями, поскольку будете знать основные принципы выполнения арифметических вычислений с дробями. Рассмотрим на примерах как разделить дробь на целое число, используя разные виды дробей.
Как разделить простую дробь на натуральное число?Обыкновенными или простыми называют дроби, записывающиеся в виде такого отношения чисел, при котором вверху дроби указывается делимое (числитель), а внизу – делитель (знаменатель) дроби. Как разделить такую дробь на целое число? Рассмотрим на примере! Допустим, нам нужно разделить 8/12 на 2.
Для этого мы должны выполнить ряд действий:
Таким образом, если перед нами стоит задача разделить дробь на целое число, схема решения будет выглядеть примерно так:
Подобным образом можно разделить любую обыкновенную (простую) дробь на целое число.
Как разделить десятичную дробь на целое число?
Десятичная дробь - это такая дробь, которая получается вследствие деления единицы на десять, тысячу и так далее частей. Арифметические действия с десятичными дробями выполняются довольно просто.
Рассмотрим на примере как разделить дробь на целое число. Допустим, нам нужно поделить десятичную дробь 0,925 на натуральное число 5.
Подводя итоги, остановимся на двух основных моментах, которые важны при выполнении операции деления десятичных дробей на целое число:- для разделения десятичной дроби на натуральное число применяют деление в столбик;
- запятая ставится в частном тогда, когда закончено деление целой части делимого.
) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).
Формула умножения дробей:
Например:
Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.
Деление обыкновенной дроби на дробь.
Деление дробей с участием натурального числа.
Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:
Умножение смешанных дробей.
Правила умножения дробей (смешанных):
- преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
- перемножаем числители и знаменатели дробей;
- сокращаем дробь;
- если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.
Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.
Второй способ умножения дроби на натуральное число.
Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.
Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.
Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.
Многоэтажные дроби.
В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:
Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:
Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.
Обратите внимание, например:
При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:
Практические советы при умножении и делении дробей:
1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.
2. В заданиях с разными видами дробей - переходите к виду обыкновенных дробей.
3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.
4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.
5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.
Т. Косякова,
школа N№ 80, г. Краснодар
Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры
Урок 4
Тема урока:
Цель урока: формировать умение решать дробно-рациональные уравнения, содержащие параметры.
Тип урока: введение нового материала.
1. (Устно.) Решите уравнения:
Пример 1
. Решите уравнение 
Решение. 
Найдем недопустимые значения a
: 
Ответ. Если 
если a
= – 19
, то корней нет.
Пример 2
. Решите уравнение 
Решение.
Найдем недопустимые значения параметра a :
10 – a = 5, a = 5;
10 – a = a , a = 5.
Ответ. Если a = 5 a № 5 , то x=10–a .
Пример 3
. При каких значениях
параметра b
уравнение 
имеет:
а) два корня; б) единственный корень?
Решение.
1) Найдем недопустимые значения параметра b :
x = b
, b
2 (b
2
– 1) – 2b
3 + b
2 = 0, b
4
– 2b
3 = 0,
b
= 0 или b
= 2;
x = 2, 4(b
2 – 1) – 4b
2 + b
2
= 0, b
2 – 4 = 0, (b
– 2)(b
+ 2) = 0,
b
= 2 или b
= – 2.
2) Решим уравнение x 2 (b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:
D = 4b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4b 2 .
а) 
Исключая недопустимые значения параметра b , получаем, что уравнение имеет два корня, если b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .
б) 4b 2 = 0, b = 0, но это недопустимое значение параметра b ; если b 2 –1=0 , т. е. b =1 или.
Ответ: а) если b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , то два корня; б) если b =1 или b=–1 , то единственный корень.
Самостоятельная работа
Вариант 1
Решите уравнения:
Вариант 2
Решите уравнения:
Ответы
В-1
. а) Если a
=3
, то
корней нет; если 
б) если
если a
№
2
,
то корней нет.
В-2.
Если a
=2
, то
корней нет; если a
=0
, то корней
нет; если 
б) если a
=– 1
, то уравнение
теряет смысл; если то корней нет;
если
Задание на дом.
Решите уравнения:
Ответы: а) Если a № –2 , то x=a ; если a =–2 , то решений нет; б) если a № –2 , то x=2 ; если a =–2 , то решений нет; в) если a =–2 , то x – любое число, кроме 3 ; если a № –2 , то x=2 ; г) если a =–8 , то корней нет; если a =2 , то корней нет; если
Урок 5
Тема урока: «Решение дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры».
Цели урока:
обучение решению уравнений с нестандартным условием;
сознательное усвоение учащимися алгебраических понятий и связей между ними.
Тип урока: систематизации и обобщения.
Проверка домашнего задания.
Пример 1
. Решите уравнение 
а) относительно x; б) относительно y.
Решение.
а) Найдем недопустимые значения y : y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y ,
y=0 – недопустимое значение параметра y .
Если y № 0 , то x=y–2 ; если y=0 , то уравнение теряет смысл.
б) Найдем недопустимые значения параметра x : y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0 – недопустимое значение параметра x ; y(2+x–y)=0, y=0 или y=2+x;
y=0 не удовлетворяет условию y(y–x) № 0 .
Ответ: а) если y=0 , то уравнение теряет смысл; если y № 0 , то x=y–2 ; б) если x=0 x № 0 , то y=2+x .
Пример 2
. При каких целых значениях
параметра a корни уравнения 
принадлежат промежутку 
D = (3a + 2) 2 – 4a (a + 1)·2 = 9a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a ,
D = (a + 2) 2 .
Если a № 0 или a № – 1 , то
Ответ: 5 .
Пример 3
. Найдите относительно x
целые решения уравнения 
Ответ. Если y=0 , то уравнение не имеет смысла; если y=–1 , то x – любое целое число, кроме нуля; если y№ 0, y№ – 1 , то решений нет.
Пример 4.
Решите уравнение 
с параметрами a
и b
.
Если a
№
– b
,
то 
Ответ. Если a= 0 или b= 0 , то уравнение теряет смысл; если a № 0, b № 0, a=–b , то x – любое число, кроме нуля; если a № 0, b № 0, a № –b, то x=–a, x=–b .
Пример 5
. Докажите, что при любом
значении параметра n, отличном от нуля, уравнение 
имеет
единственный корень, равный – n
.
Решение. 
т. е. x=–n , что и требовалось доказать.
Задание на дом.
1. Найдите целые решения уравнения 
2. При каких значениях параметра c
уравнение 
имеет:
а) два корня; б) единственный корень?
3. Найдите все целые корни уравнения 
если a
О
N
.
4. Решите уравнение 3xy – 5x + 5y = 7: а) относительно y ; б) относительно x .
1. Уравнению удовлетворяют любые целые равные
значения x и y, отличные от нуля.
2. а) При
б) при
или 
3. – 12; – 9; 0
.
4. а) Если то
корней нет; если 
б) если то корней нет; если 
Контрольная работа
Вариант 1
1. Определите тип уравнения 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 при: а) c=–3 ; б) c=2 ; в) c=4 .
2. Решите уравнения: а) x 2 –bx=0 ;
б) cx 2 –6x+1=0
; в)
3. Решите уравнение 3x–xy–2y=1:
а) относительно x ;
б) относительно y .
nx 2 – 26x + n = 0 , зная, что параметр n принимает только целые значения.
5. При каких значениях b уравнение 
имеет:
а) два корня;
б) единственный корень?
Вариант 2
1. Определите тип уравнения 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 при: а) c=–4 ; б) c=7 ; в) c=1 .
2. Решите уравнения: а) y 2 +cy=0 ;
б) ny 2 –8y+2=0 ;
в) 
3. Решите уравнение 6x–xy+2y=5:
а) относительно x ;
б) относительно y .
4. Найдите целые корни уравнения nx 2 –22x+2n=0 , зная, что параметр n принимает только целые значения.
5. При каких значениях параметра a уравнение 
имеет:
а) два корня;
б) единственный корень?
Ответы
В-1.
1. а) Линейное уравнение;
б) неполное квадратное уравнение; в) квадратное
уравнение.
2. а) Если b=0
, то x=0
;
если b№
0
, то x=0,
x=b
;
б) 
если cО
(9;+Ґ
)
, то
корней нет;
в) если a
=–4
, то
уравнение теряет смысл; если a
№
–4
, то x=–a
.
3. а) Если y=3
, то корней нет; если);
б) a
=–3, a
=1.
Дополнительные задания
Решите уравнения:
Литература
1. Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев Г.В. О параметрах с самого начала. – Репетитор, № 2/1991, с. 3–13.
2. Гронштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Необходимые условия в задачах с параметрами. – Квант, № 11/1991, с. 44–49.
3. Дорофеев Г.В., Затакавай В.В. Решение задач, содержащих параметры. Ч. 2. – М., Перспектива, 1990, с. 2–38.
4. Тынякин С.А. Пятьсот четырнадцать задач с параметрами. – Волгоград, 1991.
5. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М., Просвещение, 1986.
