Как привести в стандартный вид. Приведение многочленов к стандартному виду

На данном уроке мы вспомним основные определения данной темы и рассмотрим некоторые типовые задачи, а именно приведение многочлена к стандартному виду и вычисление численного значения при заданных значениях переменных. Мы решим несколько примеров, в которых будет применяться приведение к стандартному виду для решения разного рода задач.

Тема: Многочлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Приведение многочлена к стандартному виду. Типовые задачи

Напомним основное определение: многочлен - это сумма одночленов. Каждый одночлен, входящий в состав многочлена как слагаемое называется его членом. Например:

Двучлен;

Многочлен;

Двучлен;

Поскольку многочлен состоит из одночленов, то первое действие с многочленом следует отсюда - нужно привести все одночлены к стандартному виду. Напомним, что для этого нужно перемножить все численные множители - получить численный коэффициент, и перемножить соответствующие степени - получить буквенную часть. Кроме того, обратим внимание на теорему о произведении степеней: при умножении степеней показатели их складываются.

Рассмотрим важную операцию - приведение многочлена к стандартному виду. Пример:

Комментарий: чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести к стандартному виду все одночлены, входящие в его состав, после этого, если есть подобные одночлены - а это одночлены с одинаковой буквенной частью - выполнить действия с ними.

Итак, мы рассмотрели первую типовую задачу - приведение многочлена к стандартному виду.

Следующая типовая задача - вычисление конкретного значения многочлена при заданных численных значениях входящих в него переменных. Продолжим рассматривать предыдущий пример и зададим значения переменных:

Комментарий: напомним, что единица в любой натуральной степени равна единице, а ноль в любой натуральной степени равен нулю, кроме того, напомним, что при умножении любого числа на ноль получаем ноль.

Рассмотрим ряд примеров на типовые операции приведения многочлена к стандартному виду и вычисление его значения:

Пример 1 - привести к стандартному виду:

Комментарий: первое действие - приводим одночлены к стандартному виду, нужно привести первый, второй и шестой; второе действие - приводим подобные члены, то есть выполняем над ними заданные арифметические действия: первый складываем с пятым, второй с третьим, остальные переписываем без изменений, так как у них нет подобных.

Пример 2 - вычислить значение многочлена из примера 1 при заданных значениях переменных:

Комментарий: при вычислении следует вспомнить, что единица в любой натуральной степени это единица, при затруднении вычислений степеней двойки можно воспользоваться таблицей степеней.

Пример 3 - вместо звездочки поставить такой одночлен, чтобы результат не содержал переменной :

Комментарий: независимо от поставленной задачи, первое действие всегда одинаково - привести многочлен к стандартному виду. В нашем примере это действие сводится к приведению подобных членов. После этого следует еще раз внимательно прочитать условие и подумать, каким образом мы можем избавиться от одночлена . очевидно, что для этого нужно к нему прибавить такой же одночлен, но с противоположным знаком - . далее заменяем звездочку этим одночленом и убеждаемся в правильности нашего решения.

Тема: Многочлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Приведение многочлена к стандартному виду. Типовые задачи

Двучлен;

Многочлен;

Двучлен;

Рассмотрим важную операцию - приведение многочлена к стандартному виду. Пример:

Итак, мы рассмотрели первую типовую задачу - приведение многочлена к стандартному виду.

Пример 1 - привести к стандартному виду:

Пример 2 - вычислить значение многочлена из примера 1 при заданных значениях переменных:

Пример 3 - вместо звездочки поставить такой одночлен, чтобы результат не содержал переменной :

Мы сказали, что имеют место как многочлены стандартного вида, так и не стандартного. Там же мы отметили, что можно любой многочлен привести к стандартному виду . В этой статье мы для начала выясним, какой смысл несет в себе эта фраза. Дальше перечислим шаги, позволяющие преобразовать любой многочлен в стандартный вид. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров. Решения будем описывать очень подробно, чтобы разобраться со всеми нюансами, возникающими при приведении многочленов к стандартному виду.

Навигация по странице.

Что значит привести многочлен к стандартному виду?

Сначала нужно четко понимать, что понимают под приведением многочлена к стандартному виду. Разберемся с этим.

Многочлены, как и любые другие выражения, можно подвергать тождественным преобразованиям . В результате выполнения таких преобразований, получаются выражения, тождественно равные исходному выражению. Так выполнение определенных преобразований с многочленами не стандартного вида позволяют перейти к тождественно равным им многочленам, но записанным уже в стандартном виде. Такой переход и называют приведением многочлена к стандартному виду.

Итак, привести многочлен к стандартному виду – это значит заменить исходный многочлен тождественно равным ему многочленом стандартного вида, полученным из исходного путем проведения тождественных преобразований.

Как привести многочлен к стандартному виду?

Давайте поразмыслим, какие преобразования нам помогут привести многочлен к стандартному виду. Будем отталкиваться от определения многочлена стандартного вида.

По определению каждый член многочлена стандартного вида является одночленом стандартного вида , и многочлен стандартного вида не содержит подобных членов. В свою очередь многочлены, записанные в виде, отличном от стандартного, могут состоять из одночленов в не стандартном виде и могут содержать подобные члены. Отсюда логически вытекает следующее правило, объясняющее как привести многочлен к стандартному виду :

сначала нужно привести к стандартному виду одночлены, из которых состоит исходный многочлен,
после чего выполнить приведение подобных членов.

В итоге будет получен многочлен стандартного вида, так как все его члены будут записаны в стандартном виде, и он не будет содержать подобных членов.

Примеры, решения

Рассмотрим примеры приведения многочленов к стандартному виду. При решении будем выполнять шаги, продиктованные правилом из предыдущего пункта.

Здесь заметим, что иногда все члены многочлена сразу записаны в стандартном виде, в этом случае достаточно лишь привести подобные члены. Иногда после приведения членов многочлена к стандартному виду не оказывается подобных членов, следовательно, этап приведения подобных членов в этом случае опускается. В общем случае приходится делать и то и другое.

Пример.

Представьте многочлены в стандартном виде: 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 , 0,8+2·a 3 ·0,6−b·a·b 4 ·b 5 и .

Решение.

Все члены многочлена 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 записаны в стандартном виде, подобных членов он не имеет, следовательно, этот многочлен уже представлен в стандартном виде.

Переходим к следующему многочлену 0,8+2·a 3 ·0,6−b·a·b 4 ·b 5 . Его вид не является стандартным, о чем свидетельствуют члены 2·a 3 ·0,6 и −b·a·b 4 ·b 5 не стандартного вида. Представим его в стандартном виде.

На первом этапе приведения исходного многочлена к стандартному виду нам нужно представить в стандартном виде все его члены. Поэтому, приводим к стандартному виду одночлен 2·a 3 ·0,6 , имеем 2·a 3 ·0,6=1,2·a 3 , после чего – одночлен −b·a·b 4 ·b 5 , имеем −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10 . Таким образом, . В полученном многочлене все члены записаны в стандартном виде, более того очевидно, что в нем нет подобных членов. Следовательно, на этом завершено приведение исходного многочлена к стандартному виду.

Осталось представить в стандартном виде последний из заданных многочленов . После приведения всех его членов к стандартному виду он запишется как . В нем есть подобные члены, поэтому нужно провести приведение подобных членов :

Так исходный многочлен принял стандартный вид −x·y+1 .

Ответ:

5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 – уже в стандартном виде, 0,8+2·a 3 ·0,6−b·a·b 4 ·b 5 =0,8+1,2·a 3 −a·b 10 , .

Зачастую приведение многочлена к стандартному виду является лишь промежуточным этапом при ответе на поставленный вопрос задачи. Например, нахождение степени многочлена предполагает его предварительное представление в стандартном виде.

Пример.

Приведите многочлен к стандартному виду, укажите его степень и расположите члены по убывающим степеням переменной.

Решение.

Сначала приводим все члены многочлена к стандартному виду: .

Теперь приводим подобные члены:

Так мы привели исходный многочлен к стандартному виду, это нам позволяет определить степень многочлена , которая равна наибольшей степени входящих в него одночленов. Очевидно, она равна 5.

Осталось расположить члены многочлена по убывающим степеням переменных. Для этого нужно лишь переставить местами члены в полученном многочлене стандартного вида, учитывая требование. Наибольшую степень имеет член z 5 , степени членов , −0,5·z 2 и 11 равны соответственно 3 , 2 и 0 . Поэтому многочлен с расположенными по убывающим степеням переменной членами будет иметь вид .

Ответ:

Степень многочлена равна 5 , а после расположения его членов по убывающим степеням переменной он принимает вид .

Список литературы.

Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Понятие многочлена

Определение многочлена: многочлен - это сумма одночленов. Пример многочлена:

здесь мы видим сумму двух одночленов, а это и есть многочлен, т.е. сумма одночленов.

Слагаемые, из которых состоит многочлен, называются членами многочлена.

Является ли разность одночленов многочленом? Да, является, ведь разность легко приводится к сумме, пример: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Одночлены тоже считают многочленами. Но в одночлене нет суммы, тогда почему его считают многочленом? А к нему можно прибавить ноль и получить его сумму с нулевым одночленом. Итак, одночлен - это частный случай многочлена, он состоит из одного члена.

Число ноль - это нулевой многочлен.

Стандартный вид многочлена

Что такое многочлен стандартного вида? Многочлен есть сумма одночленов и если все эти одночлены, составляющие многочлен, записаны в стандартном виде, кроме того среди них не должно быть подобных, тогда многочлен записан в стандартном виде.

Пример многочлена в стандартном виде:

здесь многочлен состоит из 2-х одночленов, каждый из которых имеет стандартный вид, среди одночленов нет подобных.

Теперь пример многочлена, который не имеет стандартный вид:

здесь два одночлена: 2a и 4a являются подобными. Надо их сложить, тогда многочлен получит стандартный вид:

Ещё пример:

Этот многочлен приведен к стандартному виду? Нет, у него второй член не записан в стандартом виде. Записав его в стандартном виде, получаем многочлен стандартного вида:

Степень многочлена

Что такое степень многочлена?

Степень многочлена определение:

Степень многочлена - наибольшая степень, которую имеют одночлены, составляющие данный многочлен стандартного вида.

Пример. Какова степень многочлена 5h? Степень многочлена 5h равна одному, ведь в этот многочлен входит всего один одночлен и степень его равна одному.

Другой пример. Какова степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 +1? Степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 + 1 равна девяти, ведь в этот многочлен входят два одночлена, наибольшую степень имеет первый одночлен 5a 2 h 3 s 4 , а его степень равна 9-ти.

Ещё пример. Какова степень многочлена 5? Степень многочлена 5 равна нулю. Итак, степень многочлена, состоящего только из числа, т.е. без букв, равна нулю.

Последний пример. Какова степень нулевого многочлена, т.е. нуля? Степень нулевого многочлена не определена.

СЗЛП - задача линейного программирования вида ax ≥ b или ax ≤ b . где a - матрица коэффициентов, b - вектор ограничений.
Математическая модель ЗЛП называется стандартной , если ограничения в ней представлены в виде линейных неравенств, а целевая функция минимизируется или максимизируется.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для приведения КЗЛП к СЗЛП путем преобразования матрицы a к единичной. При этом возможны две стандартных формы:

Первая стандартная форма ax ≥ b , F(X) → min.
Вторая стандартная форма ax ≤ b , F(X) → max.

Инструкция . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений). Полученное решение сохраняется в файле Word .

Как привести каноническую задачу линейного программирования к стандартной форме
Привести к канонической форме

Пример . Дана основная задача линейного программирования. При помощи элементарных преобразований матрицы коэффициентов системы ограничений привести задачу к стандартному виду и решить ее геометрическим методом или доказать, что она не имеет оптимального плана.

Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

1	6	-1	-1	-1	2
5	-12	-1	2	0	-4
3	-1	-2	0	-1	-7

Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной выбираем x 1 .
Разрешающий элемент РЭ=1.
Строка, соответствующая переменной x 1 , получена в результате деления всех элементов строки x 1 на разрешающий элемент РЭ=1

В остальных клетках столбца x 1 записываем нули.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

1: 1	6: 1	-1: 1	-1: 1	-1: 1	2: 1
5-(1 5):1	-12-(6 5):1	-1-(-1 5):1	2-(-1 5):1	0-(-1 5):1	-4-(2 5):1
3-(1 3):1	-1-(6 3):1	-2-(-1 3):1	0-(-1 3):1	-1-(-1 3):1	-7-(2 3):1

2. В качестве базовой переменной выбираем x 2 .
Разрешающий элемент РЭ=-42.
Строка, соответствующая переменной x 2 , получена в результате деления всех элементов строки x 2 на разрешающий элемент РЭ=-42
На месте разрешающего элемента получаем 1.
В остальных клетках столбца x 2 записываем нули.
Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

1-(0 6):-42	6-(-42 6):-42	-1-(4 6):-42	-1-(7 6):-42	-1-(5 6):-42	2-(-14 6):-42
0: -42	-42: -42	4: -42	7: -42	5: -42	-14: -42
0-(0 -19):-42	-19-(-42 -19):-42	1-(4 -19):-42	3-(7 -19):-42	2-(5 -19):-42	-13-(-14 -19):-42

Получаем новую матрицу:

1	0	-3 / 7	0	-2 / 7	0
0	1	-2 / 21	-1 / 6	-5 / 42	1 / 3
0	0	-17 / 21	-1 / 6	-11 / 42	-20 / 3

3. В качестве базовой переменной выбираем x 3 .
Разрешающий элемент РЭ= -17 / 21 .
Строка, соответствующая переменной x 3 , получена в результате деления всех элементов строки x 3 на разрешающий элемент РЭ= -17 / 21
На месте разрешающего элемента получаем 1.
В остальных клетках столбца x 3 записываем нули.
Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

1-(0 -3 / 7): -17 / 21	0-(0 -3 / 7): -17 / 21	-3 / 7 -(-17 / 21 -3 / 7): -17 / 21	0-(-1 / 6 -3 / 7): -17 / 21	-2 / 7 -(-11 / 42 -3 / 7): -17 / 21	0-(-6 2 / 3 -3 / 7): -17 / 21
0-(0 -2 / 21): -17 / 21	1-(0 -2 / 21): -17 / 21	-2 / 21 -(-17 / 21 -2 / 21): -17 / 21	-1 / 6 -(-1 / 6 -2 / 21): -17 / 21	-5 / 42 -(-11 / 42 -2 / 21): -17 / 21	1 / 3 -(-6 2 / 3 -2 / 21): -17 / 21
0: -17 / 21	0: -17 / 21	-17 / 21: -17 / 21	-1 / 6: -17 / 21	-11 / 42: -17 / 21	-6 2 / 3: -17 / 21

Получаем новую матрицу:

1	0	0	3 / 34	-5 / 34	60 / 17
0	1	0	-5 / 34	-3 / 34	19 / 17
0	0	1	7 / 34	11 / 34	140 / 17

Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (1,2,3).
Соответствующие уравнения имеют вид:
x 1 + 3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 = 3 9 / 17
x 2 - 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 = 1 2 / 17
x 3 + 7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 = 8 4 / 17
Выразим базисные переменные через остальные:
x 1 = - 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17
x 2 = 5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17
x 3 = - 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = - 3(- 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17) + 13(5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17) + (- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17) - 2x 4
или

Система неравенств:
- 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17 ≥ 0
5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17 ≥ 0
- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17 ≥ 0
Приводим систему неравенств к следующему виду:
3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 ≤ 3 9 / 17
- 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 ≤ 1 2 / 17
7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 ≤ 8 4 / 17
F(X) = - 1 / 34 x 4 + 13 / 34 x 5 +12 3 / 17 → max
Упростим систему.
3x 1 - 5x 2 ≤ 120
- 5x 1 - 3x 2 ≤ 38
7x 1 + 11x 2 ≤ 280
F(X) = - x 1 + 13x 2 +414 → max