Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает.

Под понятием решить систему уравнений понимают определить все корни, то есть значения, которые после подстановки их в систему, образуют уравнение в тождество. При решении систем уравнений можно применять следующие методы:

* Метод подстановки. Данный метод заключается в том, что для решения уравнения необходимо выразить 1 из переменных и подставить полученное выражение на место данной переменной во 2 уравнение. Получив уравнение с 1 неизвестной, его можно легко решить и узнать значение другой переменной;

* Метод расщепления системы. Этот метод заключается в том, чтобы одно из уравнений системы разложить на множители таким образом, чтобы справа был \ поскольку потом к \ приравнивается каждый множитель и, дописывая остальные уравнения первоначальной системы, получим несколько систем, каждая из которых будет проще исходных;

* Метод сложения и вычитания. Само название говорит о сути метода. Складывая или вычитая 2 уравнения системы, получаем новое с целью замены им одного из уравнения исходной системы;

* Метод деления и умножения. Суть метода состоит в том, чтобы разделив/умножив соответственно левые и правые части двух уравнений системы, получить новое уравнение, и заменить им одно из уравнений первоначальной системы.

Где можно решить системы рациональных уравнений онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто вdести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

В этой статье я покажу вам алгоритмы решения семи типов рациональных уравнений , которые с помощью замены переменных сводятся к квадратным. В большинстве случаев преобразования, которые приводят к замене, весьма нетривиальны, и самостоятельно о них догадаться достаточно трудно.

Для каждого типа уравнений я объясню, как в нем делать замену переменной, а затем в соответствующем видеоуроке покажу подробное решение.

У вас есть возможность продолжить решение уравнений самостоятельно, а затем сверить свое решение с видеоуроком.

Итак, начнем.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой - число.

1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.

2. Перемножим их.

3. Введем замену переменной.

В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей, а вторую с четвертой,так как (-1)+(-4)=(-7)+2:

В этом месте замена переменной становится очевидной:

Получаем уравнение

Ответ:

2 .

Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:

1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.

2. Перемножаем каждую пару скобок.

3. Из каждого множителя выносим за скобку х.

4. Делим обе части уравнения на .

5. Вводим замену переменной.

В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :

Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :

Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:

Получим уравнение:

Ответ:

3 .

Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:

Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение относительно переменной t:

4 .

Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным .

Чтобы его решить,

1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:

2. Сгруппируем слагаемые таким образом:

3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:

4. Введем замену:

5. Выразим через t выражение :

Отсюда

Получим уравнение относительно t:

Ответ:

5. Однородные уравнения.

Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.

Однородные уравнения имеют такую структуру:

В этом равенстве А, В и С - числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень (в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.

Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Пойдем первым путем. Получим уравнение:

Теперь мы вводим замену переменной:

Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t:

Ответ: или

7 .

Это уравнение имеет такую структуру:

Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.

Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.

Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно

Теперь прикинем, что нам удобнее иметь - квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:

Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:

Глава 4. Системы рациональных уравнений

Четвёртая глава посвящена изучению способов решения систем рациональных уравнений. Здесь используются понятия, изученные в 7 классе и применявшиеся ранее к системам линейных уравнений, что даёт возможность повторить изученное и научится действовать в новой ситуации. Это понятия: решения уравнения с двумя (тремя) неизвестными, системы уравнений с двумя (тремя) неизвестными, понятие равносильности уравнений, систем уравнений.

Цель изучения главы 4: усвоить перечисленные понятия, научиться решать системы рациональных уравнений и применять их к решению текстовых задач.

§ 9. Системы рациональных уравнений

Основная цель девятого параграфа заключается в том, чтобы, опираясь на известные понятия, связанные с уравнениями и системами линейных уравнений, научится решать системы рациональных уравнений, научиться применять их к решению текстовых задач.

9.1. Понятие системы рациональных уравнений

В данном пункте вводятся понятия рационального уравнения с двумя (тремя) неизвестными и его решения, определяется, что значит решить систему уравнений, приводятся утверждения о равносильности систем уравнений.

Основными заданиями данного пункта являются задания на установление того, что данная пара (тройка) чисел является решением системы. Дополнительное задание приучает учащихся к решению задач с параметрами.

Задание для повторения. 805–807.

Решения и комментарии

500. Является ли решением системы уравнений пара чисел:

а) (0; 3); б) (–3; 2).

Решение. а) Так как 0 + 5 3, то пара чисел (0; 3) не является решением вто-рого уравнения системы, а значит, не является и решением системы уравнений.

б) Так как –3 + 5 = 2, (–3) 2 + (–3)2 – 3 = 0, то пара чисел (–3; 2) является решением системы уравнений.

501. Является ли решением системы уравнений
тройка чисел:

а) (1; –1; 1); б) (1; 1; 1).

Решение. а) Так как 1 – 1 + 1 3, то тройка чисел (1; –1; 1) не является решением первого уравнения системы, а значит, не является и решением системы уравнений.

б) Так как 1 + 1 + 1 = 3, 1 –1 – 1 –2, то тройка чисел (1; 1; 1) не является решением второго уравнения системы, а значит, не является решением системы уравнений.

Дополнительное задание

1. При каком значении a пара чисел (2; –1) является решением системы уравнений

Решение. Пусть a - некоторое число, для которого пара чисел (2; –1) является решением системы уравнений, тогда верны два числовых равенства:

1) 2a 2 + a = 21 и 2) 10 + a = a 2 + 4,

которые можно рассматривать как уравнения относительно a . Уравнение 2) имеет два корня: a 1 = 3 или a 2 = –2. Число a 1 является корнем уравнения 1), а число a 2 = –2 - нет, следовательно, при a = 3 пара чисел (2; –1) является решением системы уравнений. И других значений а , удовлетворяющих условию задачи, нет.

9.2. Способ подстановки решения систем рациональных уравнений

В данном пункте на трёх примерах показано, как можно решать способом подстановки рациональных уравнений, в которых имеется хотя бы одно уравнение первой.

Задание для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задание 810.

Решения и комментарии

512. Решите систему уравнений:

г)
д)

Решение. г) Выразив x через y из второго уравнения системы и подставив y + 1 вместо x

(1)

Теперь, решив первое уравнение системы (1), найдём два его корня y 1 = –4 и y 2 = 3. Из второго уравнения системы (1) получим соответствующие им значения x : x 1 = –3 и x 2 = 4.

д) Выразив y через x из второго уравнения системы и подставив 3 – 3x вместо y в первое уравнение, перепишем систему в виде:

(2)

Теперь, решив первое уравнение системы (2), найдём два его корня x 1 = и
x 2 = . Из второго уравнения системы (2) получим соответствующие им значения y : y 1 = – и y 2 = 2.

Ответ. г) (–3; –4), (4; 3); д) (; –), (; 2).

Промежуточный контроль. С-21.

9.3. Другие способы решения систем рациональных уравнений

В данном пункте разобраны примеры решения систем рациональных уравнений - способом сложения уравнений, способом введения новых неизвестных, способом выделения полных квадратов, способом разложения на множители. При этом используются равносильные преобразования уравнений. Иногда решению системы помогает знание того, что сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда эти числа нули.

Задание для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задание 820.

Решения и комментарии

517. Решите систему уравнений:

в)
д)

Решение. в) Заменим в системе первое уравнение суммой двух уравнений этой системы. Получим систему, равносильную исходной системе:

(1)

Теперь выделим полные квадраты в первом уравнении системы (1):

(2)

Так как сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда эти числа нули, то первое уравнение системы (2) имеет единственное решение (2; –6). Эта пара чисел является решением второго уравнения системы (2), следовательно, она является решением системы (2) и равносильной ей исходной системы.

д) Сделаем замену неизвестных: a = и b = . Перепишем систему в виде:

(3)

Система (3) имеет единственное решение: a 1 = 1, b 1 = . Следовательно, система д) также имеет единственное решение: x 1 = 1, y 1 = 2.

Ответ. в) (2; –6); д) (1; 2).

512. ж) Решите систему уравнений

Решение. Обычно решение такой системы записывают, заменяя данную систему равносильными ей системами:

(4)

Знаки равносильности () поставлены для учителя, но в классе с углублён-ным изучением математики его вполне можно использовать.

Решениями второго уравнения последней из систем (4) являются такие пары чисел (x ; y ), которые являются решениями хотя бы одного из уравнений:

1) x + y = 1 и 2) x + y = –1.

Поэтому все решения исходной системы есть объединение всех решений двух систем:

3)
и 4)

Решив системы 3) и 4) получим все решения исходной системы: (–1; 2), (2; –1), (1; –2), (–2; 1).

Ответ. (–1; 2), (2; –1), (1; –2), (–2; 1).

518. Решите систему уравнений:

а)
в)
ж)

Решение. а) Введя новое неизвестное a = x 2 – 4y
. Оно имеет единственный корень a = 1. Это означает, что данная система равносильна системе

(5)

Сложив уравнения системы (5) и заменив полученным уравнением первое уравнение системы, получим новую систему, равносильную системе (5), а значит, и исходной системе:

(6)

Выделив в первом уравнении системы (6) полные квадраты, перепишем систему (6) в виде:

(7)

Теперь очевидно, что первое уравнение системы (7) имеет единственное решение: x 1 = 3, y 1 = 2. Проверка показывает, что эта пара чисел является решением второго уравнения системы (7), а значит, она является решением системы (7) и равносильной ей исходной системе.

Итак, исходная система имеет единственное решение (3; 2).

в) Введя новое неизвестное a =
, перепишем первое уравнение системы в виде:
. Оно имеет два корня: a 1 = 1 и a 2 = –4. Поэтому все решения исходной системы есть объединение всех решений двух систем:

1)
и 2)

Используя подстановку y = 9 – x , решим каждую из систем и получим, что система 1) имеет единственное решение (6; 3), а система 2) имеет единственное решение (14; –5).

Итак, исходная система имеет два решения: (6; 3), (14; –5).

ж) Перепишем систему в виде:

(8)

Если пара чисел (x 0 ; y 0) - решение системы (8), то верны числовые равенства: x 0 (9x 0 + 4y 0) = 1 и y 0 (9x 0 + 4y 0) = –2. Заметим, что обе части этих числовых равенств не нули, поэтому разделив первое равенство на второе почленно, получим новое числовое равенство:
. Откуда следует, что y 0 = –2x 0 . То есть искомые решения системы (8) являются решениями системы

(9)

Решив систему (9), получим два её решения: (1; –2), (–1; 2).

Проверкой убеждаемся, что обе эти пары чисел действительно являются решениями исходной системы.

Ответ. а) (3; 2); в) (6; 3), (14; –5); ж) (1; –2), (–1; 2).

Замечание. Отметим, что мы не доказали в процессе решения задания ж) равносильность системы (9) исходной системе, но из проведённого рассуждения следует, что любое решение исходной системы является решением системы (9) (т. е. система (9) является следствием исходной системы), поэтому необходимо проверить, является ли каждое решение системы (9) решением исходной системы. И эта проверка является обязательной частью решения системы.

На самом деле система (9) равносильна исходной системе, что следует из утверждения, доказанного ниже.

Дополнительные задания

1. Решите систему уравнений

а)
б)

в)
г)

Решение. а) Выделив полные квадраты в первом уравнении, перепишем его в виде:

(x – 3) 2 + (y – 1) 2 = 0. (1)

Теперь очевидно, что первое уравнение системы имеет единственное решение: x 1 = 3, y 1 = 1. Проверкой убеждаемся, что эта пара является решением второго уравнения, а значит, и решением системы уравнений.

б) Рассуждая аналогично, получим единственное решение системы (–2, 0,5).

в) Разложим левую часть первого уравнения системы на множители:

x 2 – 7xy + 12y 2 = x 2 – 3xy – 4xy + 12y 2 = x (x – 3y ) – 4y (x – 3y ) = (x – 3y )(x – 4y ).

Перепишем данную систему в виде

(2)

Теперь очевидно, что все решения системы (2) есть объединение всех решений двух систем:

1)
и 2)

Система 1) имеет два решения: (3; 1), (–3; –1). Система 2) также имеет два решения: (12; 3), (–12; –3). Следовательно, исходная система имеет четыре решения: (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3).

г) Перепишем исходную систему в виде:

(3)

Очевидно, что первое уравнение системы (3) имеет единственное решение:
(3; –2). Проверка показывает, что оно является оно также и решением второго уравнения системы (3), следовательно, система (3), а значит, и исходная система имеют единственное решение (3; –2).

Ответ. а) (3; 1); б) (–2, 0,5); в) (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3); г) (3; –2).

2. Докажите утверждение: если f (x , y ) и g (x , y ) - многочлены относительно x и y , a и b - числа, b 0, то равносильны системы 1)
и 2)

Доказательство. 1. Пусть пара чисел (x 0 ; y 0) - решение системы 1), тогда верны числовые равенства: f (x 0 , y 0) = a и g (x 0 , y 0) = b . Так как b 0, то и g (x 0 , y 0) 0, поэтому верно числовое равенство:
. Это означает, что любое решение системы 1) является решением системы 2).

2. Пусть теперь пара чисел (x 0 ; y 0) - решение системы 2), тогда верны числовые равенства: и g (x 0 , y 0) = b . Так как b 0, то и g (x 0 , y 0) 0, поэтому умножив обе части первого числового равенства на равные отличные от нуля числа g (x 0 , y 0) и b , получим новое верное числовое равенство: f (x 0 , y 0) = a . Это означает, что любое решение системы 2) является решением системы 1).

3. Предположим, что система 1) не имеет решения, а система 2) имеет решение. Тогда из п. 2. доказательства, проведённого выше, следует, что система 1) имеет решение. Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно. Значит, если система 1) не имеет решения, то и система 2) не имеет решения.

Аналогично доказывается, что если система 2) не имеет решения, то и система 1) не имеет решения.

Из приведённого выше доказательства следует, что системы 1) и 2) равносильны, что и требовалось доказать.

Приведём пример решения системы 518, ж с помощью этого утверждения.

Решив последнюю систему, получим два её решения: (1; –2), (–1; 2), следова-тельно, исходная система имеет два решения: (1; –2), (–1; 2).

3. Решите систему уравнений:

а)
б) в)

Решение. а) Исходная система равносильна системе

которую перепишем в виде:

(4)

Система (4) имеет единственное решение (1; 2). Следовательно, и исходная система имеет единственное решение (1; 2).

б) Исходную систему перепишем в виде

Эта система равносильна системе:

(5)

Система (5) имеет единственное решение (–1; –5). Следовательно, и исходная система имеет единственное решение (–1; –5).

в) Исходная система равносильна системе

или системе

(6)

Система (6) имеет два решения (1; 2; –2), (–1; –2; 2). Следовательно, и исходная система имеет два решения (1; 2; –2), (–1; –2; –2).

Ответ. а) (1; 2); б) (–1; –5); в) два решения (1; 2; –2), (–1; –2; –2).

Промежуточный контроль. С-22, С-23, С–24*.

9.4. Решение задач при помощи систем рациональных уравнений

В данном пункте разобраны решения текстовых задач, приводящие к системам рациональных уравнений. Начать объяснение нового материала можно с более простых задач 513, 514, 519, 520 .

Задание для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задание 820, 952.

Решения и комментарии

513. а) Разложите число 171 на два множителя, сумма которых была бы равна 28.

Решение. Пусть x - первый множитель, y - второй множитель. Составим систему уравнений:

Решив систему, получим два её решения: x 1 = 9, y 1 = 19 и x 2 = 19, y 2 = 9. Порядок множителей здесь не важен, поэтому искомые множители 9 и 19.

Ответ. 9 и 19.

519. а) Если к квадрату первого числа прибавить удвоенное второе число, то получится (–7), а если из первого числа вычесть второе, то получится 11. Найдите эти числа.

Решение. Пусть x - первое число, y - второе число. По условиям задачи составим два уравнения: x 2 + 2y = –7 и x – y = 11. Решив систему этих уравнений, получим два её решения: (–5; –16), (3; –8).x = 6 и y = 4, то есть искомое число 64.

Ответ. 64.

522. б) Двое рабочих, работая вместе, выполнили всю работу за 5 дней. Если бы первый рабочий работал в два раза быстрее, а второй - в два раза медленнее, то всю работу они выполнили бы за 4 дня. За сколько дней выполнил бы эту работу первый рабочий?

Решение. I способ. Пусть за x и y дней выполнят всю работу первый и второй рабочий соответственно. При совместной работе они выполнят работу за 5 дней. Составим первое уравнение:
.

Если бы первый работал в 2 раза быстрее, а второй ― в 2 раза медленнее, то в день они выполняли бы и всей работы соответственно и всю работу выполнили бы за 4 дня. Составим второе уравнение:

.

952. Если продать 20 коров, то заготовленного сена хватит на десять дней дольше, если же прикупить 30 коров, то запас сена исчерпается десятью днями раньше. Сколько было коров и на сколько дней заготовлено сена?

Решение. Пусть для x коров заготовлено сена на y дней. Запишем кратко условие задачи:

число коров число дней

Так как при постоянном запасе сена число дней обратно пропорционально числу коров, то составим первое уравнение:
.

Аналогично составим второе уравнение:
.

Система этих уравнений имеет единственное решение: x = 120, y = 50. То есть для 120 коров было запасено сена на 50 дней.

Ответ. Для 120 коров, на 50 дней.

I. Рациональные уравнения.

1) Линейные уравнения.

2) Системы линейных уравнений.

3) Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

4) Возвратные уравнения.

5) Формула Виета для многочленов высших степеней.

6) Системы уравнений второй степени.

7) Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.

8) Однородные уравнения.

9) Решение симметрических систем уравнений.

10) Уравнения и системы уравнений с параметрами.

11) Графический метод решения систем нелинейных уравнений.

12) Уравнения, содержащие знак модуля.

13) Основные методы решения рациональных уравнений

II. Рациональные неравенства.

1) Свойства равносильных неравенств.

2) Алгебраические неравенства.

3) Метод интервалов.

4) Дробно-рациональные неравенства.

5) Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.

6) Неравенства с параметрами.

7) Системы рациональных неравенств.

8) Графическое решение неравенств.

III. Проверочный тест.

Рациональные уравнения

Функция вида

P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n ,

где n - натуральное, a 0 , a 1 ,…, a n - некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) - целая рациональная функция, называется целым рациональным уравнением.

Уравнение вида

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,

где P 1 (x), P 2 (x), … ,P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) - целые рациональные функции, называется рациональным уравнением.

Решение рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x) - многочлены (Q (x) ¹ 0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и проверке того, что корни удовлетворяют условию Q (x) ¹ 0.

Линейные уравнения.

Уравнения вида ax+b=0, где a и b - некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

Если a¹0, то линейное уравнение имеет единственный корень:x = -b /a.

Если a=0; b¹0, то линейное уравнение решений не имеет.

Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.

Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.

Если прямая проходит через точку с координатами X 0 и Y 0 , то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. Y 0 = aX 0 + b.

Пример 1.1 . Решить уравнение

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

Пример 1.2. Решить уравнение

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.

Решение. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.

Пример 1.3 . Решить уравнение.

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.

Решение. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4x + 4x = 9 – 9,

Ответ: Любое число.

Системы линейных уравнений.

Уравнение вида

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

где a 1 , b 1 , … ,a n , b -некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x 1 , x 2 , …, x n .

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:

1) система не имеет решений;

2) система имеет ровно одно решение;

3) система имеет бесконечно много решений.

Пример 2.4. решить систему уравнений

2x + 3y = 8,

Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки, который состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные уравнения.

Из первого уравнения выражаем:x= (8 – 3y) / 2. Подставляем это выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений

Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из второго x + y = 3,5).

Ответ: Решений нет.

Пример 2.6. решить систему уравнений

Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).

Ответ: Бесконечно много решений.

Пример 2.7. решить систему уравнений

x + y – z = 2,

2x – y + 4z = 1,

– x + 6y + z = 5.

Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.

Умножаем первое уравнение системы на – 2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем – 3y + 6z = – 3. Это уравнение можно переписать в виде y – 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, или y = 1.

Таким образом, система приобрела треугольный вид

x + y – z = 2,

Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.

Ответ: (1; 1; 0).

Пример 2.8. при каких значениях параметра a система уравнений

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

имеет бесконечно много решений?

Решение. Из первого уравнения выражаем x:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид 0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при любых значениях y.

Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c - некоторые числа (a¹0);

x - переменная, называется квадратным уравнением.

Формула решения квадратного уравнения.

Сначала разделим обе части уравнения ax 2 + bx + c = 0 на a - от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

выделим в левой части полный квадрат

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2)).

Для краткости обозначим выражение (b 2 – 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид

Возможны три случая:

1) если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D = (ÖD) 2 . Тогда

D / (4a 2) = (ÖD) 2 / (2a) 2 = (ÖD / 2a) 2 , потому тождество принимает вид

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (ÖD / 2a) 2 .

По формуле разности квадратов выводим отсюда:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (ÖD / 2a))(x + (b / 2a) + (ÖD / 2a)) =

= (x – ((-b + ÖD) / 2a)) (x – ((– b – ÖD) / 2a)).

Теорема : Если выполняется тождество

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),

то квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 при X 1 ¹ X 2 имеет два корня X 1 и X 2 , а при X 1 = X 2 - лишь один корень X 1 .

В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождества следует, что уравнение

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

а тем самым и уравнение ax 2 + bx + c = 0, имеет два корня:

X 1 =(-b + Ö D) / 2a; X 2 = (-b - Ö D) / 2a.

Таким образом x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Обычно эти корни записывают одной формулой:

где b 2 – 4ac = D.

2) если число D равно нулю (D = 0), то тождество

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

принимает вид x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .

Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет один корень кратности 2: X 1 = – b / 2a

3) Если число D отрицательно (D < 0), то – D > 0, и потому выражение

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение ax 2 + bx + c = 0.

Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант

D = b 2 – 4ac.

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:

X 1 =(-b + ÖD) / (2a); X 2 = (-b - ÖD) / (2a).

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:

1) b = 0; c ¹ 0; c / a <0; X1,2 = ±Ö(-c / a)

2) b ¹ 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

Корни квадратного уравнения общего вида ax 2 + bx + c = 0 находятся по формуле

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.