Рассмотрим простую физическую систему – материальную точку, способную без трения колебаться на горизонтальной поверхности под действием силы Гука (см. рис. 2).

Если смещение груза невелико (много меньше, чем длина недеформированной пружины), а жесткость пружины равна k, то но груз действует единственная сила, сила Гука. Тогда уравнение

движения груза (Второй закон Ньютона) имеет вид

Перенеся слагаемые в левую часть равенства и разделив на массу материальной точки (массой пружины пренебрегаем по сравнению с m), получим уравнение движения

(*) ,

,

,

период колебаний.

Тогда, взяв функцию

и продифференцировав её по времени, убеждаемся, во-первых, что скорость движения груза равна

а во-вторых, после повторного дифференцирования,

,

то есть X(t) действительно является решением уравнения груза на пружинке.

Такая система, вообще, любая система, механическая, электрическая или иная, обладающая уравнением движения (*), называется гармоническим осциллятором. Функция типа X(t) носит название закона движения гармонического осциллятора, величины
называютсяамплитудой ,циклической илисобственной частотой ,начальной фазой . Собственная частота определяется параметрами осциллятора, амплитуда и начальная фаза задаются начальными условиями.

Закон движения X(t) представляет собой свободные колебания. Такие колебания совершают незатухающие маятники (математический или физический), ток и напряжения в идеальном колебательном контуре и некоторые другие системы.

Гармонические колебания могут складываться как в одном, так и в различных направлениях. Результатом сложения тоже оказывается гармоническое колебание, например,

.

Это принцип суперпозиции (наложения) колебаний.

Математики разработали теорию рядов такого рода, которые называются рядами Фурье. Имеется также ряд обобщений типа интегралов Фурье (частоты могут меняться непрерывным образом) и даже интегралы Лапласа, работающие с комплексными частотами.

§15. Затухающий осциллятор. Вынужденные колебания.

Реальные механические системы всегда обладают, хотя бы малым, трением. Простейший случай – жидкое или вязкое трение. Это трение, величина которого пропорционально скорости движения системы (и направлена, естественно, против направления движения). Если движение происходит вдоль оси Х, то уравнение движения может быть записано (например, для грузика на пружинке) в виде

,

где – коэффициент вязкого трения.

Это уравнение движения можно преобразовать к виду

.

Здесь
– коэффициент затухания,– по-прежнему собственная частота осциллятора (который уже нельзя назвать гармоническим; это затухающий осциллятор с вязким трением).

Математики умеют решать такие дифференциальные уравнения. Было показано, что решением является функция

В последней формуле используются обозначения: – начальная амплитуда, частота слабозатухающих колебаний
,
. Кроме того, часто используют другие параметры, характеризующие затухание: логарифмический декремент затухания
, время релаксации системы
, добротность системы
, где в числителе стоит запасенная системой энергия, а в знаменателе – потери энергии за период Т.

В случае сильного затухания
решение имеет апериодический вид.

Часто встречаются случаи, когда кроме сил трения на осциллятор действует внешняя сила. Тогда уравнение движения приводится к виду

,

стоящее справа выражение часто называют приведенной силой, само выражение
называют вынуждающей силой. Для произвольной вынуждающей силы найти решение уравнения не удается. Обычно рассматривают гармоническую вынуждающую силу типа
. Тогда решение представляет собой затухающую часть типа (**), которая для больших времен стремится к нулю, и установившиеся (вынужденные) колебания

Амплитуда вынужденных колебаний

,

а фаза вынужденных колебаний

.

Заметим, что при приближении собственной частоты к частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний возрастает. Это явление известно как резонанс . Если затухание велико, то резонансное увеличение не велико. Такой резонанс называют «тупым». При малых затуханиях амплитуда «острого» резонанса может возрасти весьма значительно. Если же система идеальна, и трение в ней отсутствует, то амплитуда вынужденных колебаний увеличивается неограниченно.

Заметим также, что при частоте вынуждающей силы

Достигается максимальное значение амплитуды вынуждающей силы, равное

.

Систему, описываемую уравнением , где , будем называть гармоническим осциллятором. Решение этого уравнения, как известно, имеет вид:

.

Следовательно, гармонический осциллятор представляет собой систему, которая совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Для гармонического осциллятора справедливы все результаты, полученные ранее для гармонического колебания.

Рассмотрим и обсудим ещё дополнительно к ним два вопроса.

Найдем импульс гармонического осциллятора. Продифференцируем выражение по t и, умножив полученный результат на массу осциллятора, получим:

В каждом положении, характеризуемом отклонением “x”, осциллятор имеет некоторое значение ”p”. Чтобы найти ”p” как функцию ”x”, нужно исключить ”t” из написанных для ”p” и ”x” уравнений, Представим эти уравнения в виде:

(8.9)

Возведя эти выражения в квадрат и складывая, получим:

. (8.10)

Нарисуем график, показывающий зависимость ”p” импульса гармонического осциллятора от отклонения ”x” (рис. 8.6). Координатную плоскость (”p”, ”x”) принято называть фазовой плоскостью , а соответствующий график – фазовой траекторией . Фазовая траектория гармонического осциллятора представляет собой эллипс с полуосями “A” и ”A·m·w 0 ”. Каждая точка фазовой траектории изображает состояние осциллятора для некоторого момента времени (т.е. его отклонение и импульс). С течением времени точка, изображающая состояние, перемещается по фазовой траектории, совершая за период колебания полный обход. Причем это перемещение совершается по часовой стрелке [а именно, если в некоторый момент времени t¢ x=A, p=0, то в следующий момент времени ”x” будет уменьшаться, а ”p” принимать все возрастающие по модулю отрицательные значения, т.е. движение изобразительной точки (т.е. точки изображающей состояние) будет происходить по часовой стрелке].

Найдем теперь площадь эллипса . Или

.

Здесь , где n 0 – собственная частота осциллятора, являющаяся для данного осциллятора величиной постоянной.

Следовательно, . Откуда

Таким образом, полная энергия гармонического осциллятора пропорциональна площади эллипса, причем коэффициентом пропорциональности служит собственная частота осциллятора.

8.6. Малые колебания системы вблизи положения равновесия.

Рассмотрим произвольную механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины “x”. Величиной ”x”, определяющей положение системы может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости или расстояние, отсчитываемое вдоль заданной кривой.

Потенциальная энергия такой системы будет функцией одной переменной ”x”: E p =E p (x).

Выберем начало отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия x=0. Тогда функция E p (x) будет иметь минимум при x=0.

(ввиду малости “x” остальными членами пренебрегаем)

Так как E p (x) при x=0 имеет минимум, то , а . Обозначим E p (x) = b и , тогда .

Это выражение идентично с выражением для потенциальной энергии системы, в которой действует квазиупругая сила (константу “b” можно положить равной 0).

Сила, действующая на систему, может быть определена по формуле: . Получено с учетом, что работа совершается за счет убыли потенциальной энергии .

Итак, потенциальная энергия системы при малых отклонениях от положения равновесия оказывается квадратичной функцией смещения, а сила, действующая на систему, имеет вид квазиупругой силы. Следовательно, при малых отклонениях от положения равновесия любая механическая система будет совершать колебания, близкие к гармоническим.

8.7. Математический маятник.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: математическим маятником будем называть идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Отклонение маятника от положения равновесия будет характеризоваться углом j (рис. 8.7). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент , он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, поэтому моменту M и угловому смещению j нужно приписать разные знаки.

Открытий в квантовой области и других сферах. При этом изобретаются новые устройства и приспособления, посредством которых можно проводить различные исследования и объяснять явления микромира. Одним из таких механизмов является гармонический осциллятор, принцип действия которого знали еще представители древних цивилизаций.

Устройство и его виды

Гармонический осциллятор - это механическая система, находящаяся в движении, которое описывается дифференциала с коэффициентами постоянного значения. Наиболее простые примеры таких устройств - груз на пружине, маятник, системы акустики, движение молекулярных частиц и др.

Условно можно выделить следующие виды этого устройства:

Применение устройства

Данное приспособление применяется в различных сферах, в основном для изучения природы колебательных систем. Квантовый гармонический осциллятор применяют при исследовании поведения элементов фотонов. Результаты экспериментов могут использоваться в различных сферах. Так, ученые-физики из американского института обнаружили, что атомы бериллия, находящиеся на довольно больших расстояниях друг от друга, могут взаимодействовать на квантовом уровне. При этом поведение этих частиц подобно телам (металлическим шарам) в макромире, двигающимся в поступательно-возвратном порядке, аналогично гармоничному осциллятору. Ионы бериллия, несмотря на физически большие расстояния, обменивались наименьшими единицами энергии (квантами). Это открытие позволяет значительно продвинуть IT-технологии, а также дает новое решение в производстве компьютерной техники и электроники.

Гармонический осциллятор используют при оценке музыкальных произведений. Этот метод называют спектроскопическим исследованием. При этом установлено, что наиболее устойчивой системой является состав из четырех музыкантов (квартет). А современные произведения в большинстве своем являются ангармоничными.

Тела, которые при движении совершают гармонические ко­лебания, называют гармоническими осциляторами. Рассмотрим ряд примеров гармонических осциляторов.

Пример1. Пружинный маятник – это тело массой m , способное совершать колебания под действием силы упругости невесомой (m пружины  m тела ) пружины (рис.4.2).

Т

Рис.4.3. Физический маятник.

рением в системе пренебрегаем. При смещении тела на расстояние х от положе­ния равновесия О на него дейст­вует сила уп­ругости пружины, направленная к положению равновесия:
, гдеk - коэффициент упругости (жесткости) пружины. По второму закону Ньютона
. От­сюда
и, если обозначить
, тогда получим
дифференциальное урав­нение гармонических колебаний. Его решения имеют вид
либо
. Таким образом, колебания пружинного маятника - гармонические с циклической час­тотой
и периодом
.

Пример 2. Физический маятник - это твердое тело, совер­шаю­щее колебания под действием силы тяжести вокруг подвижной го­ризон­тальной оси, не совпадающей с его цен­тром тяжести С (рис. 4. 3). Ось проходит через точку О. Если маятник откло­нить от положения равновесия на малый угол  и отпус­тить, он будет совершать ко­лебания, следуя основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела
, гдеJ - момент инерции маятника относительно оси, М ‑ момент силы, возвращающей физический маятник в поло­жение равно­весия. Он создается силой тяжести , ее момент равен
(l =ОС). В результате получаем
. Это дифференциальное уравнение колебаний для произвольных углов отклонения. При малых углах, когда
,
или, принимая
, получим дифференциальное уравнение колебания физического маятника
. Его решения имеют вид
или
. Таким образом, при малых отклонениях от положения равновесия физический маят­ник совершает гармонические колебания с циклической частотой
и периодом
.

Пример3. Математический маятник - это материальная точка с массой m (тяжелый шарик малых размеров), подвешенная на невесомой (по сравнению с m шарика), уп­ругой, нерастяжимой нити длинною l . Если вывести шарик из положения равновесия, отклонив его от вертикали на небольшой угол , а затем отпустить, он будет совершать колебания. Если рассматривать данную систему как физический маятник с моментом инерции материальной точки J = ml 2 , то из формул для физического маятника получим выражения для циклической частоты и периода колебаний математического маятника

,
.

4. 4. Затухающие колебания . @

В рассмотренных примерах гармонических колебаний единственной силой, действующей на материальную точку (тело), была квазиупругая сила F и не учитывались силы сопротивления, которые присутству­ют в лю­бой реальной системе. Поэтому рассмотренные колебания можно назвать идеальными незатухающими гармоническими колебаниями.

Наличие в реальной колебательной системе силы сопротивления среды при­во­дит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не пополнять за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. Затухающими называются колеба­ния с уменьшающейся во времени амплитудой.

Рассмотрим свободные затухающие колебания. При небольших скоростях сила сопротивления F C пропорциональна скорости v и обратно пропорциональна ей по направлению
, гдеr - коэффициент сопротивления среды. Используя второй закон Ньютона , получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний
,
,
. Обозначим
,
. Тогда дифференциальное уравнение приобретает вид:

Рис.4.4. Зависимость смеще­ния и амплитуды затухаю­щих колебаний от времени.

.

Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Здесь  0 - собственная частота колеба­ний системы, т.е. частота свободных колебаний при r=0,  - коэффициент зату­хания оп­ределяет скорость убывания амплитуды. Решениями этого уравнения при условии  0 являются

либо
.

График последней функции представлен на рис.4.4. Верхняя пунктирная линия дает график функции
, А 0 - амплитуда в начальный момент времени. Амплитуда во времени убывает по экспоненциальному закону,  - коэффициент зату­хания по величине обратен времени релакса­ции  , т.е. вре­мени за которое амплитуда уменьшается в e раз, так как

,
, = 1, . Частота и период затухающих колебаний
,
; при очень малом сопротивлении среды ( 2  0 2) период колебаний практически ра­вен
. С ростом период колебаний увеличивается и при > 0 решение дифференциального уравнения показывает, что колебания не совершаются, а происходит монотонное движение системы к положению равновесия. Такое движение называют апериодическим.

Для характеристики скорости затухания колебаний служат еще два параметра: декремент затухания D и логарифмический декремент . Декремент затуха­ния показывает во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время од­ного периода Т.

Н

Рис.4.5. Вид резонансных кривых.

атуральный логарифм от декремента затухания есть логарифмический декремент

Так как, то
, гдеN - число колебаний за время.

КОЛЕБАНИЯ. ВОЛНЫ. ОПТИКА

КОЛЕБАНИЯ

Лекция 1

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебаний

Колебание – один из самых распространённых процессов в природе и технике. Колебания – это процессы, повторяющиеся во времени. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведённых часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни. Звук – это колебания давления воздуха, радиоволны – периодические изменения напряжённости электрического и магнитного поля, свет – это тоже электромагнитные колебания. Землетрясения – колебания почвы, приливы и отливы – изменение уровней морей и океанов, вызываемые притяжением луны и т.д.

Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и др. Несмотря на такое многообразие, все колебания описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями.

Первыми учёными, изучавшими колебания, были Галилео Галилей и Христиан Гюйгенс. Галилей установил независимость периода колебаний от амплитуды. Гюйгенс изобрёл часы с маятником.

Любая система, которая, будучи слегка выведена из положения равновесия, совершает устойчивые колебания, называется гармоническим осциллятором. В классической физике такими системами являются математический маятник в пределах малых углов отклонения, груз в пределах малых амплитуд колебаний, электрический контур, состоящий из линейных элементов ёмкости и индуктивности.

Гармонический осциллятор можно считать линейным, если смещение от положения равновесия прямо пропорционально возмущающей силе. Частота колебаний гармонического осциллятора не зависит от амплитуды. Для осциллятора выполняется принцип суперпозиции - если действуют несколько возмущающих сил, то эффект их суммарного действия может быть получен как результат сложения эффектов от действующих сил в отдельности.

Гармонические колебания описываются уравнением (рис.1.1.1)

(1.1.1)

где х -смещение колеблющейся величины от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, равная величине максимального смещения, - фаза колебаний, определяющая смещение в момент времени , - начальная фаза, определяющая величину смещения в начальный момент времени, - циклическая частота колебаний.

Время одного полного колебания называется периодом, , где - число колебаний, совершенных за время .

Частота колебаний определяет число колебаний, совершаемых в единицу времени, она связана с циклической частотой соотношением , тогда период .

Скорость колеблющейся материальной точки

ускорение

Таким образом, скорость и ускорение гармонического осциллятора также изменяются по гармоническому закону с амплитудами и соответственно. При этом скорость опережает по фазе смещение на , а ускорение – на (рис.1.1.2).

Из сопоставления уравнений движения гармонического осциллятора (1.1.1) и (1.1.2) следует, что , или

Это дифференциальное уравнение второго порядка называется уравнением гармонического осциллятора. Его решение содержит два постоянные а и , которые определяются заданием начальных условий

.

Если периодически повторяющийся процесс описывается уравнениями, не совпадающими с (1.1.1), он н6азывается ангармоническим. Система, совершающая ангармонические колебания, называется ангармоническим осциллятором.

1.1.2 . Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Комплексная форма представления гармонических колебаний

В природе очень распространены малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения равновесия. Если система, выведенная из положения равновесия, предоставлена себе, то есть на неё не действуют внешние силы, то такая система будет совершать свободные незатухающие колебания. Рассмотрим систему с одной степенью свободы.

Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором её потенциальная энергия имеет минимум (q – обобщённая координата системы). Отклонение системы от положения равновесия приводит к возникновению силы , которая стремится вернуть систему обратно. Значение обобщённой координаты, соответствующей положению равновесия, обозначим , тогда отклонение от положения равновесия

Будем отсчитывать потенциальную энергию от минимального значения . Примем Полученную функцию разложим в ряд Маклорена и оставим первый член разложения, имеем: о

,

где . Тогда с учётом введённых обозначений:

, (1.1.4)

С учётом выражения (1.1.4) для силы, действующей на систему, получаем:

Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения системы имеет вид: ,

Выражений (1.1.5) совпадает с уравнением (1.1.3) свободных гармонических колебаний при условии, что

и имеет два независимых решения: и , так что общее решение:

,

Из формулы (1.1.6) следует, что частота определяется только собственными свойствами механической системы и не зависит от амплитуды и от начальных условий движения.

Зависимость координаты колеблющейся системы от времени можно определить в виде вещественной части комплексного выражения , где A=Xe-iα – комплексная амплитуда, её модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент – с начальной фазой.

1.1.3 . Примеры колебательных движений различной физической природы

Колебания груза на пружине

Рассмотрим колебания груза на пружине, при условии, что пружина не деформирована за пределы упругости. Покажем, что такой груз будет совершать гармонические колебания относительно положения равновесия (рис.1.1.3). Действительно, согласно закону Гука, сжатая или растянутая пружина создаёт гармоническую силу:

где – коэффициент жёсткости пружины, – координата положения равновесия, х – координата груза (материальной точки) в момент времени , - смещение от положения равновесия.

Поместим начало отсчета координаты в положение равновесия системы. В этом случае .

Если пружину растянуть на величину х , после чего отпустить в момент времени t =0, то уравнение движения груза согласно второму закону Ньютона примет вид -kx =ma , или , и

(1.1.6)

Это уравнение совпадает по виду с уравнением движения (1.1.3) системы, совершающей гармонические колебания, его решение будем искать в виде:

. (1.1.7)

Подставим (1.17) в (1.1.6), имеем: то есть выражение (1.1.7) является решением уравнения (1.1.6) при условии, что

Если в начальный момент времени положение груза было произвольным, то уравнение движения примет вид:

.

Рассмотрим, как меняется энергия груза, совершающего гармонические колебания в отсутствие внешних сил (рис.1.14). Если в момент времени t =0 грузу сообщить смещение х=А , то его полная энергия станет равной потенциальной энергии деформированной пружины , кинетическая энергия равна нулю (точка 1).

На груз действует сила F= -kx , стремящаяся вернуть его в положение равновесия, поэтому груз движется с ускорением и увеличивает свою скорость, а, следовательно, и кинетическую энергию. Эта сила сокращает смещение груза х, потенциальная энергия груза убывает, переходя в кинетическую. Система «груз - пружина» замкнутая, поэтому её полная энергия сохраняется, то есть:

. (1.1.8)

В момент времени груз находится в положении равновесия (точка 2), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая максимальна . Максимальную скорость груза найдём из закона сохранения энергии (1.1.8):

За счёт запаса кинетической энергии груз совершает работу против упругой силы – и пролетает положение равновесия. Кинетическая энергия постепенно переходит в потенциальную. При груз имеет максимальное отрицательное смещение –А, кинетическая энергия Wk =0, груз останавливается и начинает движение к положению равновесия под действием упругой силы F= -kx . Далее движение происходит аналогично.

Маятники

Под маятником понимают твёрдое тело, которое совершает под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Различают физический и математический маятники.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из невесомой нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной материальной точке.

Математическим маятником, например, является шарик на длинной тонкой нити.

Отклонение маятника от положения равновесия характеризуется углом φ , который образует нить с вертикалью (рис.1.15). При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент внешних сил (силы тяжести) : , где m – масса, – длина маятника

Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия (аналогично квазиупругой силе) и направлен противоположно смещению φ , поэтому в формуле стоит знак «минус».

Уравнение динамики вращательного движения для маятника имеет вид: Iε= ,

.

Будем рассматривать случай малых колебаний, поэтому sin φ ≈φ , обозначим ,

имеем: , или , и окончательно

Это уравнение гармонических колебаний, его решение:

.

Частота колебаний математического маятника определяется только его длиной и ускорением силы тяжести, и не зависит от массы маятника. Период равен:

Если колеблющееся тело нельзя представить, как материальную точку, то маятник называют физическим (рис.1.1.6). Уравнение его движения запишем в виде:

.

В случае малых колебаний , или =0 , где . Это уравнение движения тела, совершающего гармонические колебания. Частота колебаний физического маятника зависит от его массы, длины и момента инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Обозначим . Величина называется приведённой длинной физического маятника. Это длина математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащая на расстоянии приведённой длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (О’ ). Если маятник подвесить в центре качания, то приведённая длина и период колебаний будут теми же, что и в точке О . Таким образом, точка подвеса и центр качания обладают свойствами взаимности: при переносе точки подвеса в центр качения прежняя точка подвеса становится новым центром качения.

Математический маятник, который качается с таким же периодом, как и рассматриваемый физический, называется изохронным данному физическому маятнику.

1.1.4. Сложение колебаний (биения, фигуры Лиссажу). Векторное описание сложения колебаний

Сложение одинаково направленных колебаний можно производить методом векторных диаграмм. Любое гармоническое колебание можно представить в виде вектора следующим образом. Выберем ось х с началом отсчета в точке О (рис.1.1.7)

Из точки О построим вектор , который составляет угол с осью х . Пусть этот вектор поворачивается с угловой скоростью . Проекция вектора на ось Х равна:

то есть она совершает гармонические колебания с амплитудой а.

Рассмотрим два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой циклической малой , заданные векторами и . Смещения по оси Х равны:

результирующий вектор имеет проекцию и представляет собой результирующее колебание (рис.1.1.8), по теореме косинусов Таким образом, сложение гармонических колебаний производится сложением векторов.

Проведем сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Пусть материальная точка совершает два взаимно перпендикулярных колебания частотой :

.

Сама материальная точка при этом будет двигаться по некоторой криволинейной траектории.

Из уравнения движения следует: ,

. (1.1.9)

Из уравнения (1.1.9) можно получить уравнение эллипса (рис.1.1.9):

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

1. Разность фаз колебаний α= 0. При этом т.е. или Это уравнение прямой, и результирующее колебание происходит вдоль этой прямой с амплитудой (рис.1.1.10).а.

ее ускорение равно второй производной от смещения по времени тогда сила, действующая на колеблющуюся точку, по второму закону Ньютона равна

То есть сила пропорциональна смещению х и направлена против смещения к положению равновесия. Эта сила называется возвращающей силой. В случае груза на пружине возвращающей силой является сила упругости, в случае математического маятника – составляющая силы тяжести.

Возвращающая сила по характеру подчиняется закону Гука F= -kx, где

– коэффициент возвращающей силы. Тогда потенциальная энергия колеблющейся точки равна:

(постоянную интегрирования выбирают равной нулю, чтобы при х).

АНГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР