Cтраница 1

Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж.  

Полная кинетическая энергия всего механизма может быть определена как сумма кинетических энергий звеньев.  

Полная кинетическая энергия, следовательно, равна энергии движения, помноженной па некоторый множитель. Таким образом, энергия, сообщенная газу нагреванием его, распределяется в известной пропорции между энергией поступательного движения и энергией внутреннего движения каждой молекулы.  

Полная кинетическая энергия диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж.  

Полная кинетическая энергия осколков должна равняться кинетической энергии снаряда плюс работа (энергия, превратившаяся в кинетическую энергию осколков), совершенная при взрыве, и, таким образом, она больше, чем первоначальная кинетическая энергия снаряда до взрыва.  

Полная кинетическая энергия молекул комнатного воздуха пропорциональна произведению числа молекул на температуру. Если воздух считать идеальным газом, то эта энергия молекул пропорциональна также произведению давления воздуха на объем комнаты. При нагревании воздуха в комнате объем последней, естественно, не изменяется. Менее очевидно, что не изменяется и давление. Однако, поскольку комната не изолирована и всегда сообщается с окружающим пространством, давление воздуха внутри нее равно внешнему атмосферному давлению. Таким образом, когда вы согреваете комнату, давление и объем воздуха внутри нее сохраняются прежними, соответственно не изменяется и полная энергия находящихся в комнате молекул воздуха. Это, конечно, возможно лишь потому, что по мере возрастания температуры часть молекул воздуха уходит из помещения.  

Полная кинетическая энергия плоского движения твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр тяжести.  

Если полная кинетическая энергия частиц до и после столкновения одна и та же или точно указано, на сколько она изменяется в результате столкновения, то поставленная задача решается однозначно. Неизвестными являются шесть величин - шесть составляющих импульса обеих частиц. Законы сохранения дают четыре равенства: одно, соответствующее сохранению скалярной величины энергии (с учетом возможной потери ее, если столкновение неупругое) и три, выражающие сохранение векторной величины полного импульса.  

Диаграмма полной кинетической энергии, которой обладает механизм во время установившегося движения.  

Определить полную кинетическую энергию позитрона и электрона в момент их возникновения.  

Следовательно, полная кинетическая энергия молекулы газа пропорциональна его абсолютной температуре и зависит только от этой температуры.  

Следовательно, полная кинетическая энергия молекулы газа пропорциональна его абсолютной температуре и зависит только от нее.  

Для подсчета полной кинетической энергии нужно знать, во-первых, положение мгновенной оси (от нее зависит У) и, во-вторых, угловую скорость вращения со. Определение этих величин в общем случае затруднительно, так как положение оси в теле может меняться. Однако в частном случае плоского движения эта задача упрощается, ибо ось вращения сохраняет постоянное направление в теле.  

Страница 1 из 3

129. Выведите формулу для момента инерции тонкого кольца радиусом R и массой m относительно оси симметрии.

131. Выведите формулу для момента инерции сплошного шара радиусом R и массой m относительно оси, проходящей через центр масс шара.

132. Выведите формулу для момента инерции полого шара относительно оси, проходящей через его центр. Масса шара равна m, внутренний радиус r, внешний R.

133. Вывести формулу для момента инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с её осью симметрии. Масса муфты равна m, внутренний радиус r, внешний R.

134. Определите момент инерции сплошного однородного диска радиусом R = 40 см и массой m = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

135. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l = 50 см и массой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины.

136. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой масса катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

137. Полная кинетическая энергия T диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определите кинетическую энергию T 1 поступательного и T 2 вращательного движения диска.

138. Полый тонкостенный цилиндр массой m = 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену v 1 = 1,4 м/с, после удара v` 1 = 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты.

Примеры решения задач

Задача 1. Материальная точка двигалась в течение t1 =15c со скоростью V1 =15м/с, t2 =10c со скоростью V2 =8м/с и t3 =6с со скоростью V3 =20м/с. Чему равна средняя скорость за все время движения?

Дано: t1 =15c; V1 =15м/с; t2 =10c; V2 =8м/с; t3 =6с; V3 =20м/с.

Найти: V ср.

Решение. Средняя скорость Vср = S t , где S=S1 +S2 +S3 =V1 t1 +V2 t2 +V3 t3 ,а t=t1 +t2 +t3 .

V ср = V 1 t 1 + V 2 t 2 + V 3 t 3 . t 1+ t 2+ t 3

Ответ: Vср =8,9м/с.

Задача 2. Первую половину пути тело прошло за время t1 =2c, вторую – за время t2 =8c. Чему равна средняя скорость на длине пути 20м?

Дано: t1 =2c; t2 =8c; S1 =S2 =S/2; S=20м.

Найти: V ср.

Решение. Средняя скоростьV ср = S t = t 1 + S t 2 .

Ответ: Vср =2,0м/с.

Задача 3. Две материальные точки движутся согласно уравнениям x1 =A1 t+B1 t2 +C1 t3 и x2 =A2 t+B2 t2 +C2 t3 , где A1 =4м/с, B1 =8м/с2 , C1 =-16м/с3 , A2 =2м/с, B2 =-4м/с2 , C2 =1м/с3 . В какой момент времени ускорения этих тел

будут одинаковыми?

Дано: x1 =A1 t+B1 t2 +C1 t3 ; x2 =A2 t+B2 t2 +C2 t3 ; A1 =4м/с; B1 =8м/с2 ; C1 =-16м/с3 ; A2 =2м/с; B2 =-4м/с2 ; C2 =1м/с3 .

Решение. Найдем ускорения материальных точек как производные второго порядка от уравнений x(t):

a1 (t)=x1 ´´(t)=2B1 +6C1 t a2 (t)=x2 ´´(t)=2B2 +6C2 t.

Приравнивая правые части находим t:

2B1 +6C1 t=2B2 +6C2 t

Ответ: t=0,24c.

Задача 4. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью V0 =20м/с, остановилась через t=40с. Чему равно значение коэффициента трения шайбы о лед?

Дано: V0 =20м/с; t=40с.

m 1 V 1 =m 2 V 2 V 1 =

Решение. Ускорение, с которым движется шайба a=kg. С другой стороны V0 =at.

Отсюда a = V t 0 илиkg = V t 0 k = V gt 0 .

Ответ: k=0,05.

Задача 5. Конькобежец массой m2 =60кг, стоя на льду, бросил вперед гирю массой m1 =5кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью V2 =1м/с. Чему равна работа, совершенная конькобежцем при бросании гири?

Дано: m2 =60кг; m1 =5кг; V2 =1м/с.

Решение. Используя закон сохранения импульса найдем скорость гири V1:

m 2 V 2 . V 1 = 60 * 1 = 12м/с. Работа, совершенная конькобежцем,m 1 5

равна сумме кинетических энергий, приобретенных конькобежцем и гирей:

Ответ: А=390Дж.

Задача 6. Линейная скорость V1 точки, находящейся на ободе вращающегося диска, в три раза больше, чем линейная скорость V2 точки, находящейся на 6 см ближе к его оси. Найдите радиус диска.

Дано: V 1 =3V 2 .

Решение. Линейные скорости точки на ободе диска и точки, находящейся на 6см ближе к оси диска, равны соответственно

Ответ: R=0,9м.

Задача 7. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε=3рад/с2 . Через t=1с после начала движения полное ускорение колеса a=7,5м/с2 .Найдите

радиус колеса.

Дано: ε=3рад/с2 ; t=1с; a=7,5м/с2 .

Задача 8. Тело массой m=2кг движется по закону S=A-Bt+Ct2 -Dt3 (C=2м/с2 , D=0,4м/с3). Найдите силу, действующую на тело в конце первой секунды.

Дано: m=2кг; S=A-Bt+Ct2 -Dt3 ; C=2м/с2 ; D=0,4м/с3 .

Решение. По второму закону Ньютона

F = ma= mdV dt . Скорость V= dV dt = -B+2Ct-3Dt2 .

Ускорение a = dV dt = 2C − 6Dt .

Сила, действующая на тело F=m(2C-6Dt).

Ответ: F=3,2Н.

Задача 9. Нить с подвешенным грузом массой m=500г поднимают с ускорением 2м/с2 . Чему равна при этом сила натяжения нити?

Дано: m=0,5кг; a=2м/с2 .

Решение. Согласно второму закону Ньютонаma r = T + mg r . В проекции на вертикальную осьma = T − mg . ОтсюдаT=ma+mg=m(a+g).

Ответ: T=6Н.

Задача 10. Снаряд массой m=5кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость V=300м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем большой осколок массой m1 =3кг полетел в обратном направлении со скоростью V1 =100м/с. Чему равна скорость второго осколка?

Дано: m=5кг; V=300м/с; m1 =3кг; V1 =100м/с.

горизонтальную ось mV = − m 1 V 1 + m 2 V 2 . Масса второго осколка m2 =m-m1 .

mV = − m 1 V 1 + (m − m 2)V 2 . Отсюда получаемV 2 = mV + m 1 V 1 .m − m 1

Ответ: V2 =900м/с.

Задача 11. Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24Дж. Чему равны кинетические энергии поступательного и вращательного движения диска?

Дано: Т=24Дж.Найти: Т1 ; Т2 .

Решение. Полная кинетическая энергия диска равнаT =

Линейная

скорость V=ωR. Момент инерции диска I =

Кинетическая энергия

поступательного движения

Кинетическая энергия

вращательного движения T 2

3 m ω 2R 2m ω 2R 2= 4 T =

T 1 = 32 2 = 16Дж,T 2 = 32 4 = 8Дж.

Ответ: Т1 =16Дж, Т2 =8Дж.

Задача 12. Шар радиусом R=10см и массой m=5кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ=A+Bt2 +Ct3 (B=2рад/с2 , С=-0,5рад/с3). Чему равен момент сил для момента времени t=3c?

Дано: R=0,1м; m=5кг; φ=A+Bt2 +Ct3 ; B=2рад/с2 ; С=-0,5рад/с3 ; t=3c.

Ответ: M=-0,1Н·м.

Задача 13. Горизонтальная платформа (диск) массой m=25кг и радиусом R=0,8м вращается с частотой n1 =18мин-1 . Стоящий в центре человек, опустив руки, уменьшает свой момент инерции от I1 =3,5кг·м2 до I2 =1кг·м2 . Какое значение принимает при этом частота вращения платформы?

Дано: m=25кг; R=0,8м; n1 =18мин-1 ; I1 =3,5кг·м2 ; I2 =1кг·м2 .

Найти: n 2 .

Решение. Платформа с человеком составляет замкнутую систему, поэтому для него L=const. L=Iω=const, т.е. (I1 +I)ω1 =(I2 +I)ω2 .

Здесь момент инерции платформы I = mR 2 2 , ω1 =2πn1 , ω2 =2πn2 . Подставляя в

равенство получаем (I 1 + mR 2 2)n 1 = (I 2 + mR 2 2)n 2 . Отсюдаn 2 = 2 I 1 + mR 2 n 1 . 2I 2 + mR 2

Ответ: n2 =23мин-1 .

Задача 14. На какой высоте от поверхности Земли период обращения искусственного спутника Земли по круговой орбите составляет 3ч?

Дано: Т=3ч. Найти:Н.

Решение. При движении искусственного спутника Земли по круговой орбите центростремительная сила равна гравитационной силе тяготения:

mV r 2 = GmM r 2 . Здесь r=Rз +H, V=ωr=2 T π r .Тогда r= 3 GMT 4 π 2 2 или H= 3 GMT 4 π 2 2 − Rз.

Ответ: H=4,2·106 м.

Дано: g´=0,25g.

Решение. Внутри Земли ускорение свободного падения прямо пропорционально

расстоянию от центра Земли. Поэтому g | = R З − h .g R з

Отсюда h = R з (1− g |)= (1− 0,25 g) Rз =0,75Rз.g g

Ответ: h=0,75Rз.

Задача 16. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите. Чему равно отношение его гравитационной потенциальной энергии к кинетической энергии?

Дано: r=R з.

Решение. Потенциальная гравитационная энергия спутника по модулю равна

То кинетическая энергия спутника равна

Задача 17. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на высоте h=500км. Чему равна скорость его движения?

Дано: h=5·105 м.

S . Отсюда находим градиент скорости

Решение. Центростремительная сила, удерживающая спутник на круговой орбите, равна гравитационной силе притяжения:

			Здесь r=Rз +h.
Ответ: V=7,62км/с.
	Задача 18.			Самолет, летящий со скоростью V=360км/ч, описывает

вертикальную петлю Нестерова радиусом R=360м. Чему равна сила, прижимающая летчика к сидению в нижней точке этой петли?

Дано: V=100м/с; R=360м.

Решение. В нижней точке петли сила, прижимающая летчика к сидению, равна

F =mV 2 +mg =m (V 2 +g) . R R

Ответ: F=3·103 Н.

Задача 19. Чему равна работа, затрачиваемая на преодоление трения при перемещении воды объемом V=1,5м3 в горизонтальной трубе от сечения с давлением P1 =40кПа до сечения с давлением P2 =20кПа?

Дано: V=1,5м3 ; P1 =40кПа=40·103 Па; P2 =20кПа=20·103 Па.

Решение. При перемещении воды вдоль трубы на нее действует сила

F=(P1 -P2)S. Работа этой силы A=F·l=(P1 -P2)S·l=(P1 -P2)V. Ответ: A=30·103 Дж.

Задача 20. В текущей жидкости с динамической вязкостью η=10-3 Па·с между слоями площадью соприкосновения S=10см2 возникает сила трения

F=0,1мН. Чему равен градиент скорости?

Дано: η=10-3 Па·с; S=10-3 м2 ; F=10-4 Н.

Найти: dV dx .

Решение. Согласно закону Ньютона для вязких жидкостей сила трения между слоями жидкости равнаF = η dV dx

Ответ: dV dx =100с -1 .

Задача 21. Чему равно увеличение времени жизниt нестабильной частицыt 0

(по часам неподвижного наблюдателя) при движении со скоростью 0,9с?

Дано: V=0,9с.

Найти: t . t 0

Решение. Увеличение времени в релятивистской механике определяется

формулой ∆ t = ∆ t 0				Отсюда получаем

Задача 22. Чему равна относительная скорость движения, при которой релятивистское сокращение линейных размеров составляет 10%?

Дано: ∆ l l = 0,1.

Решение. Релятивистское сокращение линейных размеров определяется

формулой∆ l = l

Или отсюда V = c 1

Ответ: V=1,31·108 м/с.

Задача 23. Две ракеты движутся навстречу друг другу относительно неподвижного наблюдателя с одинаковой скоростью 0,5с. Чему равна при этом скорость сближения ракет?

Дано: V1 =V2 =0,5с.

Решение. Сложение скоростей в релятивистской механике определяется формулой

U = V1 + V2 . 1 + V c 1 V 2 2

Ответ: U=0,8с.

Задача 24. Чему равно отношение полной энергии частицы, движущейся со скоростью V=0,8с, к ее энергии покоя?

Дано: V=0,8с.

Решение. Полная кинетическая энергия частицы определяется формулой

		Отсюда получаем

Ответ: E = 1,67.

Задача 25. Чему равен релятивистский импульс протона при его скорости

V=0,8с? Дано: V=0,8с.

Задача 26. Чему равна работа, которая необходима для увеличения скорости частицы от 0,5с до 0,7с?

Дано: V1 =0,5с; V2 =0,7c.

Решение. Работа равна увеличению кинетической энергии частицы: A=T2 -T1 ;

Ответ: A=0,245m0 c2 .

Задача 27. Найдите момент инерции материальной точки массой m=0,3кг относительно оси, отстоящей от точки на расстоянии r=20см.

Дано: m=0,3кг; r=0,2м.

Решение. Момент инерции материальной точки определяется формулой I=mr2 .

Ответ: I=0,012кг·м2 .

Задача 28. Чему равна работа, совершаемая при равноускоренном подъеме груза m=100кг на высоту h=4м за время t=2с?

Дано: m=100кг; h=4м, t=2с.

Решение. При равноускоренном подъеме груза сила, приложенная к грузу, равна

F=ma+mg . Ускорениеa найдем из уравненияh = at 2 2 a = 2 t h 2 .

При движении тела по горизонтальной поверхности на него действует сила, препятствующая движению – сила трения, то есть сила сопротивления, направленная в сторону противоположную перемещению.

Различают трение внутреннее (жидкое или вязкое) и внешнее.

Внутренним трением называется трение, возникающее между частями одного и того же тела, например, между слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. Пусть между плоскостями I и II вязкая среда. Если плоскость I движется относительно плоскости II со скоростью u (рис. 2.1 ), то

где F тр – тангенциальная (касательная) сила, вызывающая сдвиг слоев вязкой среды друг относительно друга,

S – площадь плоскости I,

h – коэффициент динамической вязкости или вязкость,

– градиент скорости – быстрота изменения скорости от слоя к слою, т.е. в направлении, перпендикулярном движению, иначе – скорость сдвига.

Па·с (2.11)

Внешнее трение возникает в плоскости соприкосновения двух тел (рис. 2.2 ).

Если соприкасающиеся тела неподвижны, то в момент начала движения возникающее между телами трение называется трением покоя . Сила трения покоя – это максимальная сила, необходимая, чтобы привести в движение одно тело относительно другого.

Рис. 2.1

F тр = μ 0 N (2.12)

где μ 0 – коэффициент трения покоя, N – сила нормального давления.

При движении одного тела по поверхности другого возникает трение скольжения.

F тр = μ N (2.13)

μ – коэффициент трения скольжения

μ < μ 0 , то есть сила трения покоя больше силы трения скольжения.

Для определения коэффициента трения используется наклонная плоскость (рис. 2.3 ). Угол наклонной плоскости увеличивают до тех пор, пока тело не начнет скатываться по плоскости. В этом случае сила трения будет равна сказывающей силе :

Рис. 2.2.

Рис. 2.3

Одним из видов внешнего трения является трение качения , которое проявляется, когда тело катится по опоре (рис.2.4 ). Оно значительно меньше трения скольжения m k << m .

Рис. 2.4

где P – вес катка, r – радиус, μ k – коэффициент трения качения.

Из (2.15) видно, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

Трение играет большую роль в природе и технике. В некоторых случаях трение играет положительную роль и его стремятся увеличить (например, изготовление автомобильных шин со специальным рисунком протектора, увеличивающим трение между колесами и поверхностью дорожного покрытия, посыпание песком дорог во время гололеда). Но иногда приходится бороться с негативными проявлениями, вызываемыми трением с помощью смазок. В данном случае используется тот факт, что внутреннее трение, возникающее между слоями жидкости значительно меньше внешнего трения, возникающего между частями твердых тел. Другой способ уменьшить внешнее трение – заменить трение скольжения трением качения, применяя шариковые и роликовые подшипники и т.д.

Мальчик массой 50 кг, скатившись на санках с горки, проехал по горизонтальной дороге до остановки путь 20 м за 10 с. Найти силу трения и коэффициент трения.

На горизонтальной доске лежит груз. Коэффициент трения между доской и грузом  =0,1. Какое ускорение в горизонтальном направлении следует сообщить доске, чтобы груз мог с нее соскользнуть?

Два груза m 1 иm 2 связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности стола. С каким ускорением будут двигаться грузы, если к грузу m 1 приложить силуF = 1 Н, направленную параллельно плоскости стола? Какое натяжение будет испытывать при этом нить, связывающая тела? Масса грузовm 1 = 200 г,m 2 = 300 г. Определить, при каком значении силыF нить оборвется, если эта сила будет приложена: а) к грузуm 1 ; б) к грузуm 2 ? Нить может выдерживать наибольшую нагрузкуТ = 1 кг. Трением между телами и столом пренебречь. При расчетах принятьg = 10 м/с 2 .

Два груза массами m =0,2 кг иМ =4 кг связаны нитью и лежат на гладком столе. К первому грузу приложена силаF 1 = 0,2 Н, ко второму в противоположном направлении – силаF 2 = 0,5 Н. С каким ускорением будут двигаться грузы и какова сила натяжения соединяющей их нити?

Четыре одинаковых бруса, массой m каждый, связаны нитями и лежат на гладком столе. К первому бруску приложена силаF . Определить силы натяжения всех нитей. Силой трения между брусками и столом пренебречь.

Три груза массой по 1 кг соединены нерастяжимой нитью, движутся под действием силы 10 Н, приложенной к одному из крайних грузов и направленной под углом 30 0 к горизонту. Определить ускорение системы и силы натяжения нити между грузами. Коэффициент трения между грузами и поверхностью 0,1.

Брусок массы М лежит на гладкой горизонтальной поверхности, по которой он может двигаться без трения. На бруске лежит кубик массойm . Минимальное значение силы, приложенной к бруску, когда кубик начинает скользить по бруску, равнаF . Какую скорость будет иметь брусок в момент, когда кубик упадет с бруска, если сила тяги будет2 F ? Длина брускаL .

Груз массой m 1 лежит на платформе массойm 2 . Наибольшее значение коэффициента трения между грузом и платформой . Между платформой и поверхностью земли трения нет. Найти минимальную силуF , при действии которой на платформу происходит сдвиг груза относительно платформы.

На доске массой 4 кг лежит брусок массой 1 кг. Коэффициент трения между бруском и доской 1 = 0,2, между доской и столом 2 = 0,1. Определить с какой максимальной силойF max можно тянуть доску, чтобы брусок не соскользнул с нее.

Тележка массой в 20 кг может катиться без трения по горизонтальному пути. На тележке лежит брусок массой в 2 кг. Коэффициент трения между бруском и тележкой 0,25. К бруску приложена сила один разF 1 = 2 Н, в другой разF 2 = 20 Н. Определить какова будет сила трения между бруском и тележкой и с какими ускорениями будут двигаться брусок и тележка в обоих случаях.

На доске массой m 2 лежит тело массойm 1 , к которому привязана нить, перекинутая через блок (масса блока равна нулю). Ко второму концу нити привязан грузМ . Коэффициент трения между доской и телом - 1 , а между доской и столом - 2 . При какой максимальной массе груза тело не соскользнет с доски?

На гладком горизонтальном столе лежит брусок массы М = 2 кг, на котором находится брусок массыm = 1 кг. Оба бруска соединены легкой нитью, перекинутой через невесомый блок. Какую силуF нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он начал двигаться от блока с постоянным ускорениема=g/ 2 ? Коэффициент трения между брускамиk = 0,5. Трением между нижним бруском и столом пренебречь.

Тело массойm , движущееся с ускорениема , прикреплено к двум последовательно соединенным пружинам, жесткости которыхk 1 иk 2 , причем пружины расположены между телом и точкой приложения внешней силы. Каково суммарное удлинение пружин? Колебаний нет. Массами пружин пренебречь. Коэффициент трения .

Тележка массы М =0,5 кг скреплена нитью с грузом массыm =0,2 кг, перекинутым через блок. В начальный момент тележка имела скорость 7 м/с и двигалась влево по горизонтальной плоскости. Определить величину и направление скорости тележки через 5 с.

Сосуд с ртутью поставлен на легкую тележку. Сбоку сосуда на расстоянии 20 см от уровня жидкости сделано отверстие, площадь которого 16 мм 2 . Найти силу, которая будет двигать сосуд при вытекании ртути из отверстия. Плотность ртути 13,6 г/см 3 .

Поезд движется по горизонтальному прямому участку пути. При торможении развивается сила сопротивления, равная 0,2 веса поезда. Через какое время поезд остановится, если его начальная скорость 20 м/с.

К покоящемуся на горизонтальной шероховатой поверхности телу приложена равномерно возрастающая сила, направленная под углом  =30 0 к горизонту. Определить модуль ускорения тела в момент отрыва от поверхности.

Бруски А и В массамиm 1 иm 2 находятся на столе. К бруску В приложена силаF , направленная под углом к горизонту. Найти ускорения движения брусков, если коэффициент трения брусков друг о друга и бруска А о стол 1 и 2 соответственно. Сила трения между поверхностями брусков больше.

Материальная точка массой 4 кг движется по горизонтальной прямой. Через сколько секунд скорость точки уменьшится в 10 раз, если сила сопротивления движимого F сопр =0,8v ?

На данном уроке, тема которого: «Решение задач по динамике. Движение по горизонтали и вдоль наклонной плоскости», мы рассмотрим решения ряда задач по данной теме, применив общий алгоритм решения задач по динамике.

Мы продолжаем изучать динамику. Это раздел физики, который изучает причины механического движения.

Сегодня мы займемся решением задач на движение по горизонтали и вдоль наклонной плоскости. Как решать такие задачи?

У нас есть тело, которое находится на горизонтальной или наклонной плоскости. На него в любом случае действует сила тяжести и сила реакции опоры. Если поверхность не гладкая, на тело действует сила трения, направленная против направления движения. Тело могут тащить за нить, в таком случае на него будет действовать сила натяжения нити. Наличие той или иной силы зависит от условия задачи, но равнодействующая всех сил, действующих на тело, в общем случае вызывает ускорение тела, . Это следствие из второго закона Ньютона - главного инструмента решения задач по динамике.

Итак, мы разобрали, что происходит при движении тела вдоль плоскости, определили действующие на тело силы и описали процесс математически, применив второй закон Ньютона. На этом физика заканчивается, и остается математика.

Решать уравнения в векторной форме математически сложно, поэтому нужно переписать следствие из второго закона Ньютона в проекциях на оси координат.

Если плоскость наклонная, она ориентирована под определенным углом к горизонту, а значит, сила тяжести будет направлена под углом к плоскости, знаем мы этот угол или нет. Это делает важным выбор системы координат.

Мы свободны в выборе, результат не будет зависеть от выбора системы координат, но нужно выбрать такую, при которой математические преобразования будут максимально простыми. Мы увидим это на примере одной из задач.

И только теперь, когда получена система уравнений, описывающая физический процесс, мы решаем задачу математически: решаем уравнения и находим неизвестное.

Приступим к решению задач.

Камень, скользивший по горизонтальной поверхности льда, остановился, пройдя расстояние S =48 м. Найдите начальную скорость камня, если сила трения скольжения камня о лед составляет 0,06 силы нормального давления камня на лед.

Анализ условия:

В задаче описано тело, которое движется под действием сил, значит, будем применять второй закон Ньютона;

На камень действует сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения. Отметим их (см. рис. 1).

Рис. 1. Действующие на камень силы

Сила трения равна ;

Камень останавливается, движется с ускорением, которое по второму закону Ньютона вызвано равнодействующей силой;

При равноускоренном движении тело проходит путь и приобретает скорость .

Выберем систему координат. Удобно направить ось х в направлении движения камня, а ось у перпендикулярно оси х (см. рис. 2).

Рис. 2. Выбор системы координат

Учитывая, что сила трения равна , запишем в проекциях на выбранные оси координат. Сила трения направлена против движения камня, туда же направлено и ускорение (камень замедляется) (см. рис. 3):

За время остановки камень по условию задачи пройдет расстояние . Начальная скорость направлена в направлении оси х, ее проекция будет иметь знак «+», ускорение - против оси х, ставим знак «-»:

Тело остановится, то есть его скорость через время будет равна нулю:

Получили систему уравнений, которую остается решить и получить начальную скорость камня, равную 7,6 м/с:

Выразим из второго уравнения силу реакции опоры: Подставим ее в первое уравнение: Выразим из четвертого уравнения время Т: Подставим его в третье уравнение: Выразим скорость и подставим найденное выше ускорение:

Теперь решим задачу на движение вдоль наклонной плоскости.

Тело массы m без начальной скорости соскальзывает с наклонной плоскости с углом с высоты h (см. рис. 4).

Рис. 4. Рисунок к условию задачи 2

Коэффициент трения тела о поверхность равен . За какое время тело достигнет подножья?

Анализ условия

Задан прямоугольный треугольник, в котором известна одна сторона и угол. Значит, известны все стороны, и определен путь, который проходит тело.

На тело действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения (см. рис. 5).

Рис. 5. Силы, которые действуют на тело

Равнодействующая этих сил создает ускорение - будем применять второй закон Ньютона.

В задаче нужно найти время движения тела, которое движется с ускорением, равноускоренное движение описывается уравнениями кинематики.

Выберем систему координат. Здесь есть своя особенность: движение бруска происходит вдоль наклонной плоскости, сила трения направлена противоположно направлению движения, сила реакции опоры перпендикулярна плоскости, а сила тяжести направлена под углом к плоскости. Нам особенно важно выбрать удобную систему координат. Для математических расчетов удобно направить оси координат, как показано на рисунке: ось х вдоль в направлении движения бруска, ось у перпендикулярно поверхности (см. рис. 6).

Рис. 6. Выбор системы координат

Применим второй закон Ньютона:

Учитывая, что сила трения равна , запишем в проекциях на выбранные оси координат.

Сила тяжести направлена под углом к обеим осям координат. Треугольники АВС и авс подобны, и угол равен углу cab. Следовательно, проекция силы тяжести на ось х равна , на ось у - (см. рис. 7).

Рис. 7. Проекции сил на оси координат

Нахождение проекций силы тяжести

Чтобы найти проекцию силы на координатную ось, нужно знать угол, под которым она направлена к оси. Расположим вектор силы тяжести на рисунке (см. рис. 8). Рис. 8. Вектор силы тяжести Если его продолжить, получим прямоугольный треугольник . Угол . В треугольнике , тоже прямоугольном, т. к. - проекция , угол (см. рис. 9). Рис. 9. Определение углов Тогда . В - проекция . Угол , т. к. , - секущая. (см. рис. 10). Рис. 10. Равенство углов Таким образом, нам нужно, используя знания по геометрии, определить, где в треугольниках, образованных проекциями, находится заданный угол наклона плоскости , чтобы правильно применять синус или косинус угла наклона.

Тело проходит путь АВ, равный из треугольника АВС . Путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости, равен:

Получили систему уравнений, из которой остается найти время:

Математическая часть решения задачи

Из первого уравнения получим N: Подставим во второе и выразим ускорение: Из третьего уравнения, подставив ускорение, выразим время:

Выбор системы координат

При решении задачи мы направили оси координат (см. рис. 6) и получили следующую систему уравнений: Система координат - это наш выбор, и решение задачи от ее выбора не зависит. Для этой же задачи направим оси координат по-другому (см. рис. 11). Рис. 11. Выбор системы координат Запишем уравнения в проекциях на оси координат в данной системе: Формулу для перемещения при равноускоренном движении также запишем в проекциях на выбранные оси: Как видите, уравнения получились более сложными, но, решив их, вы убедитесь, что результат получится тот же, что при другом выборе системы координат. Рекомендую вам проделать это самостоятельно.

На наклонной плоскости с углом наклона 30 0 покоится брусок с привязанной нитью. При какой минимальной силе натяжения нити брусок сдвинется с места, если потянуть за нить вниз так, что она будет параллельна плоскости? Масса бруска - 0,5 кг, коэффициент трения скольжения бруска о плоскость равен 0,7, ускорение свободного падения принять равным 10 м/с 2 .

Анализ условия

В задаче описано тело, на которое действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения и сила натяжения нити (см. рис. 12).

Рис. 12. Действие сил на тело

Тело стаскивают вниз, сила трения направлена против возможного направления движения.

По условию задачи при некотором минимальном значении силы натяжения нити брусок сдвигается с места, брусок не будет разгоняться, ускорение равно нулю. Будем применять второй закон Ньютона, ускорение равно 0.

Выберем систему координат. Мы уже убедились на примере предыдущей задачи, что удобно направить ось х параллельно плоскости (см. рис. 13), а ось у - перпендикулярно плоскости.

Рис. 13. Выбор системы координат

По второму закону Ньютона сумма сил, действующих на брусок, равна , в нашем случае :

Учитывая, что сила трения равна , запишем в проекциях на выбранные оси координат:

Получили систему уравнений, решив которую, найдем минимальное значение .

Математическая часть решения задачи

Выразим из первого уравнения силу реакции опоры: Подставим ее во второе уравнение и выразим Т: Вычислим:

Как видите, задачи на движение тел вдоль наклонной плоскости, как и большинство других задач по динамике, сводятся к применению законов Ньютона в выбранной удобной системе координат.

На этом наш урок закончен, спасибо за внимание!

Список литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С Физика: Справочник с примерами решения задач. - 2-е издание передел. - X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. - 464 с.
2. А.В. Русаков, В.Г. Сухов. Сборник задач по физике (физико-математическая школа № 2, г. Сергиев Посад). - 1998 г.

1. Интернет портал «Exir.ru» ()
2. Интернет портал «Izotovmi.ru» ()

Домашнее задание

До сих пор мы рассматривали движение волчка с одной неподвижной точкой, наличием которой по сути дела, и вызывались прецессионные и нутационные движения. Как же поведет себя волчок, если такой точки не будет и он сможет свободно двигаться по горизонтальной поверхности? Такая задача рассмотрена в книгах , , где дается полукачественное объяснение характера движения волчка. Мы дадим свое объяснение, хотя тоже приближенное.
Разберем случай, рассмотренный в работе , когда волчок находится на абсолютно гладкой поверхности, т. е трение между поверхностью и волчком отсутствует. Если вращающийся волчок осторожно без толчка поставить на поверхность под углом к вертикали, то его конец, соприкасающийся с поверхностью, будет описывать фигуры, характерные для совокупности нутационного и прецессионного движений (рис. 1). Такой характер движения волчка можно объяснить следующими причинами.
1. На волчок действует активный момент сил G и N, равных по величине друг другу. Под действием этого момента, как и в предыдущих примерах, волчок начнет совершать прецессионное и нутационное движения с опорой на острие. Закон этого движения можно приближенно рассчитать, если вершину волчка считать неподвижной.
2. Поскольку между острием волчка и поверхностью трение отсутствует, движение центра масс волчка приведет к движению его вершины по отношению к поверхности, причем незначительные перемещения центра масс по вертикали, приведут к существенному изменению угла a (см. рис. 1,б). Произведем элементарные расчеты для определения отношения Dx/ Dz . Сперва найдем углы a1 иa2 . Из рисунка 1,б следует:
; (1)
, (2)
где ls - расстояние от точки касания до центра масс волчка, откуда получим:
(3)
(4)
Теперь найдем взаимозависимые изменения координат Dx и Dz :
(5)
(6)
Тогда отношение приращений D X / D Z определится выражением:
(7)
При угле a1= 100 отношение D x / D z изменяется в пределах от 5 до 3.5 при изменении D z /z 1 от 0.01 до 0.05. Кроме этого величина радиуса ОК1 составляет, примерно, 0.18 от длины координаты Z1 . В итоге незначительные колебания центра масс относительно его начального положения как бы усилятся и будут хорошо заметны на поверхности. В работе утверждается, что центр масс будет неподвижным, но этого быть не может, так как конец волчка должен тогда отрываться от поверхности.
3. Нутационные колебания волчка создают устойчивость его движения и не дают ему упасть на поверхность.
Картина движения волчка будет еще более сложной, если он будет двигаться по поверхности при наличии трения. Если вращающемуся волчку сообщить горизонтальную скорость путем толчка, он начнет двигаться по сходящейся спирали (см. рис. 2). Так будут двигаться легкие волчки по полированной поверхности. Через несколько оборотов по этой спирали волчок остановится в точке О и будет продолжать вращаться вокруг своей оси, находясь на одном месте.
Так какая же причина заставляет волчок двигаться по спирали, а не по прямой линии?
Рассмотрим этот вопрос в общих чертах, поскольку физическая картина будет достаточно сложной. Основной причиной такого поведения волчка является сила трения Fтр между волчком и поверхностью. Сила трения будет тормозить движение, в результате чего появится сила инерции, приложенная в центре масс волчка и направленная в сторону движения. Под действием силы инерции, создающей опрокидывающий момент My , ось вращения волчка наклонится вперед на некоторый угол a и займет положение Z’ , а центр масс S - положение S’ (см. рис. 3, а, б). При повороте вращающегося волчка в действие вступает гироскопический эффект, рассмотренный нами в §5, в результате чего возникает момент Mx , вращающий волчок вокруг оси X . Для определения направления момента Mx рассмотрим картину скоростей, возникающую при сложении скоростей вращающегося волчка Vr в любой его точке и равных произведению w на радиус r и скорости DVr от поворота волчка вокруг оси Y (см. рис. 3,в). В результате сложения скоростей в произвольном сечении волчка мгновенный центр скоростей Pv с оси волчка смещается в другую точку. Вследствие этого возникнет реактивная сила инерции F , которая заставит волчок двигаться к новому положению точки Pv , поэтому волчок начнет поворачиваться вокруг оси X против часовой стрелки, если смотреть с конца этой оси. Величина вращающего момента в соответствии с формулой (5.16) определится выражением:
, (8)
где Jx - момент инерции волчка относительно оси X, проходящей через центр масс волчка.
В результате поворота вокруг оси X центр масс волчка займет положение S’’ , а ось Z’ - положение Z’’ , повернувшись на угол b (см. рис. 3, а,б).Результирующее перемещение центра масс волчка определится отрезком DZ , равным геометрической сумме перемещений DX и DY . Таким образом, центр масс волчка сместится относительно системы координат X,Y,Z , начало которой находится в точке А , и будет лежать на прямой I-I , расположенной под углом g к оси X .
Под действием моментов My и Mx волчок должен был бы упасть, но здесь снова проявляет себя гироскопический эффект, обусловленный весом волчка G . Этот эффект мы подробно рассматривали в §§ 4-7, поэтому просто укажем направление возникающих периодических сил инерции и. Для этого покажем сечение I-I волчка вертикальной плоскостью, проходящей через ось Z (см. рис. 3,г), и затем сечение II-II плоскостью, перпендикулярной к оси Z’’ и проходящей через центр масс волчка (см. рис. 3,д) . Величина этих сил определится выражениями:
; (9)
, (10)
где y - угол между осями Z’’ и Z.
Эти силы окажут влияние на движение волчка, заставив его совершать дополнительные перемещения по поверхности. Эти перемещения определятся проекциями сил и на горизонтальное направление (см. рис. 3,г):
; (11)
(12)
Следует отметить, что по истечении одного оборота волчка вокруг его оси результирующее перемещение от действия силы будет равно нулю, а результирующее перемещение вдоль оси Y от силы определится ее проекцией на ось Y и будет равно:
(13)
т.е. на такую величину переместится волчок по поверхности в направлении оси Y за один свой оборот под действием инерционных сил.
В результате действия всех факторов: начального толчка и появившихся инерционных сил, волчок будет двигаться по криволинейной траектории, которую приближенно будем считать дугой окружности. На рисунке 4 показано перемещение волчка из начального нулевого в первое положение после первого оборота вокруг своей оси. Величина перемещения определяется по формуле (13), длина дуги S0S1 может быть найдена путем решения дифференциального уравнения движения волчка:
, (14)
где V - линейная скорость движения волчка по траектории.
Имея в виду, что начальная скорость движения волчка по траектории V0 , а перемещение S вдоль оси X равно нулю, получим следующие выражения:
; (15)
, (16)
где m - масса волчка.
Силу трения на основании закона Кулона представим в виде:
, (17)
где G - вес волчка, f - коэффициент трения скольжения для пары материалов волчок-опора.
Тогда выражения (15) и (16) преобразуются к виду:
; (18)
(19)
Так как время одного оборота волчка равно:
, (20)
то скорость и перемещение в первом положении соответственно будут равны:
; (21)
(22)
Найдем радиус кривизны траектории волчка, заменив дугу S0S1 хордой. Тогда получим:
(23)
Так как из рисунка 4 следует, что:
, (24)
выражение (23) примет вид:
(25)
После определения первого положения волчка можно переходить к определению его второго положения, приняв первое положение за начальное и введя новую систему координат. Так последовательно шаг за шагом можно найти всю траекторию движения волчка.
Для пошагового расчета траектории можно вывести более удобные формулы. Возьмем на траектории два соседних положения волчка, разделенных временем его одного оборота вокруг оси: положения i и i+1 (см. рис. 5). Значение скоростей и перемещений в этих точках можно найти с помощью выражений (18) и (19):
; (26)
; (27)
; (28)
(29)
Перемещение волчка по его траектории между этими двумя положениями определится разностью перемещений Si+1 и Si :
(30)
Здесь: D ti - время одного оборота волчка в i-ом положении, равное:
, (31)
где wi - угловая скорость вращения волчка в i-ом положении.
Угловая скорость вращения волчка при его движении по траектории непрерывно уменьшается из-за трения о поверхность и потерь энергии на инерционное движение за счет действия сил Fx и Fy .
Для определения угловой скорости волчка в любом его положении запишем уравнение энергетического баланса:
, (32)
где J - момент инерции волчка относительно его оси вращения, DAi - суммарные потери энергии за время движения до i -го положения.
Из выражения (32) следует:
(33)
Тогда радиус кривизны траектории определится выражением:
(34)
а угол mi с помощью формулы:
(35)
Поскольку траектория движения волчка является криволинейной на волчок будет действовать еще одна сила, которая также будет влиять на характер движения волчка - это центробежная сила инерции (рис. 6):
, (36)
где wi - угловая скорость вращения центра масс волчка вокруг оси Оi (мгновенного центра скоростей):
(37)
Под действием всех сил волчок будет двигаться по траектории с наклонённой по отношению к вертикали осью собственного вращения. А это приводит к тому, что при наличии трения волчок будет перекатываться по поверхности как тело конической формы в сторону, противоположную вращению вокруг точки О с угловой скоростью w . Вместе в этим движением будет перемещаться и точка А , лежащая на оси волчка, вследствие чего траектория будет отклоняться от окружности радиуса r (см. рис. 7). Это объясняется тем, что острие волчка затуплено и его можно рассматривать как часть сферической поверхности радиуса rсф . В результате перекатывания волчок будет удаляться от центра кривизны траектории, и ее радиус r соответственно будет увеличиваться. Это обстоятельство тоже окажет существенное влияние на характер движения волчка. На рисунке 7 rдоб - это увеличение радиуса кривизны траектории за счет наклона оси волчка. Эксперименты показывают, что при определенном начальном наклоне оси волчка от вертикали после толчка волчок может двигаться по прямой и даже по спирали закрученной в другую сторону.
Рассчитаем величину перемещения Sk за счет перекатывания волчка относительно точки О1 за один его оборот вокруг своей оси (см. рис. 8).
Линейная скорость перемещения точки касания Ak при перекатывании волчка за счет его вращения вокруг своей оси по поверхности, а также скорость и точки А (скорости этих точек будут одинаковы, так как они находятся на одном расстоянии от вертикальной оси Z1 , вокруг которой происходит перекатывание) будет равна:
, (38)
где rk - радиус конической части, который может быть найден по радиусу сферы (см. рис. 8):
(39)
Величина линейного перемещения точки Ak определится ее скоростью:
, (40)
где t - время движения. За один оборот волчка (tоб=2 p/ w ), перемещение Sk , будет равно:
(41)
Из-за этого перекатывания траектория волчка несколько изменится и точка Ak вместо положения попадет в положение (см. рис. 9), что изменит радиус кривизны траектории. В соответствии с рисунком 9 имеем:
(42)
откуда:
; (43)
Угол j’’ можно выразить через угол j’ , приравняв с некоторым допущением хорды и :
; (44)
где:
, (45)
откуда получим:
(46)
Здесь S - перемещение волчка по траектории за один его оборот.
Таким образом, мы рассмотрели в общих чертах характер движения волчка при его движении по горизонтальной поверхности с учетом влияния сил трения. Интересно отметить следующий экспериментальный факт: после прекращения движения по траектории ось вращения волчка принимает вертикальное положение. Это явление можно объяснить тем, что исчезает сила инерции, обусловленная сопротивлением со стороны сил трения.
Из рассмотренной задачи можно сделать следующие выводы:
1. Движение волчка после толчка происходит без воздействия активных внешних сил, за исключением его веса. Сила трения является пассивной силой, тормозящей движение.
2. Наблюдаемое движение волчка по траектории может быть объяснено только совместным действием силы трения и сил инерции после сообщения волчку линейной горизонтальной скорости V0 . Это еще один пример, подтверждающий реальность сил инерции.