Если два снимка установлены в такое же положение в котором они находились во время фотографирования, сократив расстояние между точками S1 и S2 до размера базиса проектирования b1 , то получим геометрическую модель местности А’С’D’ подобную участку местности АСD.

Геометрическая модель местности определяется как совокупность точек пересечения соответствующих проектируемых лучей.

Основные понятия:

Базис фотографирования В - расстояние между центрами проекции S1 и S2.

Связка проектируемых лучей - это совокупность проектируемых лучей принадлежащих центру проекции S.

Лучи - это лучи проходящие через центр проекции S и идентичной точки пары снимков.

Базисная плотность - это плотность содержащий базис фотографирования и один (любой) проектируемый луч.

Главная базисная плотность - плотность, содержащая базис фотографирования и один главный луч.

Базис проектирования b - это расстояние между центрами проекций S1 и S2 двух связок, по которой построена модель.

Внутреннее ориентирование снимка - это связки, восстановленные с помощью проектируемых камер.

Взаимное ориентирование снимков - это проектирование камеры с восстановленными связками, которые перемещаются друг относительно друга и устанавливают их так, чтобы лучи пересекались, тогда снимки займут такое же положение, как и во время съемки.

Взаимное ориентирование снимков м.б. достигнуто двумя способами:

Угловыми движениями обеих камер

Движение 1-й камеры (при неподвижной 2-й)

В связи с этим различают 2 системы взаимного ориентирования снимков:

в 1-й неподв. счит. базис фотограф., во 2-й левый снимок. 1-я сист. 2-я сист.В этой сист. базис фотограф. счит. горизонт. независим. от его положен. в пространств. £1 - продольн угол наклона левого снимка те угол в гл. базисной плоск. м/д перпенд. к базису фотограф и гл лучом левой связки. £2 - продольн. угол наклона прав. снимка ǽ1 - угол повор. лев. снимка ǽ2 - угол повор. прав. снимка w2 - взаимн. поперечн. угол наклона

Поперечн. параллакс - это разность ординат соот. т-к прав и лев снимк. q=y1-y2 Трансф. снимк. когда базис фотограф. и снимк. горизонт., оси х лев и прав снимк. лежат на одной прямой и ордин. точек будут равны q0=y01-y02=0

Если измерен. ордин. не равны на снимк., то они взаимн. не ориент.

Продольн. параллакс - это разность абсцисс точек и зависит от формата снимка продольн. перекр и рельефа. р=х1-х2

а1а1=х1; а2а2=-х2; S2A’//‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌S1A; а2а1’=а1а1=х‌1; а2а1’=х‌1-х2=р; АА’=В

1. ∆S2а2а1’~∆S2AA’; ; (1); (2)т.е. для гор. снимка парал. равен базису фотограф. в масш. съемки

2. ∆S1о1а1~S1O1A; ; ; ; ; Н=-Z; с учетом ф(1) Z=-B×f/p. В совр. приб. использ способ мнимой марки, в нем для измерения коорд. т-к исп. 2-е марки Т1 и Т2. Если одновр. расматр. две марки, то они сольют. в 1-у Т, если совмещ. Т1 и Т2 с соотв. т-ми а1 и а2 на сним., то марка восприним. совмещ. с пов-тью модели. Если марка Т2 не совмещ. с одноимен. т-ой а2, то видимая простр. марка Т’’ будет восприним. выше или ниже поверхн. модели.

28. Дешифрирование снимков для составления топографических и кадастровых планов и карт.

Дешифрирование – процесс распознавания по фотоизображению предметов и контуров местности, границ землевладений и землепользований, установление их качественной и количественной характеристик и вычерчивание их условными знаками.

В зависимости от содержания, дешифрирование делят на:

Топографическое;

Специальное.

При топографическом дешифрировании со снимков получают информацию о земной поверхности и расположении на ней объектах.

Основой методической классификации дешифрирования являются средства считывания и анализа видеоинформации. Исходя из этого, выделяют следующие основные методы:

1)Визуальный – информация считывается и анализируется человеком;

2)Машино-визуальный – информация предварительно преобразовывается машинами с целью облегчения последующего визуального анализа;

3)Автоматизированный – считывает со снимков и анализ выполнения машинами при активном участии оператора;

4)Автоматический – дешифрирование полностью выполняется машинами, человек определяет задачи и задает программу обработки.

Методика генерализации информации при дешифрировании базируется в основном на методике картографической генерализации, т.к. основной объем дешифрированных работ выполняется в целях создания топографических и специальных карт.

Нормы генерализации:

1) 4мм 2 для пахотных земель, залежей, улучшенных луговых земель, вкрапленных в них других земель;

2) 10мм 2 для немелиорируемых луговых земель;

3) 50мм 2 для одноименных различных по качественным признакам с/х земель;

4) 100мм 2 для контуров кустарника, бурелома, горелого или сухостойного леса;

5) озера, пруды дешифрируют независимо от их размеров;

6) линейные контура – если их длина превышает 1см, промоины если их длина превышает 0,5см.

Технологическая последовательность работ:

1)Составление технического проекта и сметы. На этом этапе определяются, какие карты масштабом 1:10000 подлежат обновлению. Границы аэрофотоснимка устанавливаются так, чтобы она покрывала полные планшеты. Аэрофотосъемку выполняют в масштабе 1:15000;

2)Подготовительные работы. Включает сбор, систематизацию, анализ и подготовку материалов съемки, юридических, картографических, справочных и др. материалов;

3)Камеральное дешифрирование. На снимки с имеющихся карт переносят все подтверждаемые фотоизображением объекты. Так же дешифрируют четко читаемые по фотоизображению объекты, появившиеся после создания карты. При камеральном дешифрировании не показывают: границы землепользований и землевладений, границы территориальных и административно-территориальных единиц, границы охранных зон, границы разделения земель по видам. Эти объекты будут установлены и отображены при выполнении полевого дешифрирования;

4)Полевое дешифрирование. Уточняются характеристики объектов;

5)Оформление и приемка материалов;

6)Составление технического отчёта.

Дешифрирование населенных пунктов начинается с выделения и вычерчивания магистральных улиц (1мм), прочих улиц, переулков, проездов, тупиков(0,5мм). Постройки разделяются по огнестойкости и размерам. Кварталы с преобладанием огнестойких построек закрашиваются розовым цветом, не огнестойкие – голубым цветом. Постройки размеры стен, которых в натуре не превышают 10м, в зависимости от формы показывают внемасштабным условным знаком, прямоугольником 0,7 × 1мм или квадратом 1 × 1мм.

Для решения задач комплексной автоматизации машиностроительных производств необходимо построить информационные модели изделий. Машиностроительное изделие как материальный предмет должен быть описан в двух аспектах:

Как геометрический объект;

Как реальное физическое тело.

Геометрическая модель необходима для задания идеальной формы, которой должно было бы соответствовать изделие, а модель физического тела должна дать характеристику материала, из которого изготовляется изделие, и допустимые отклонения реальных изделий от идеальной формы.

Геометрические модели создаются с помощью программных средств геометрического моделирования, а модели физического тела с помощью средств создания и ведения баз данных.

Геометрическая модель, как разновидность модели математической, охватывает определенный класс абстрактных геометрических объектов и отношений между ними. Математическое отношение - это правило, связывающее абстрактные объекты. Они описываются с помощью математических операций, связывающих один (унарная операция), два (бинарная операция) или более объектов, называемых операндами, с другим объектом или множеством объектов (результатом операции).

Геометрические модели создаются, как правило, в правой прямоугольной системе координат. Эти же системы координат используются в качестве локальных при задании и параметризации геометрических объектов.

В табл.2.1 приведена классификация базовых геометрических объектов. По размерности параметрических моделей, необходимых для представления геометрических объектов, они делятся на нульмерные, одномерные, двумерные и трехмерные. Нульмерные и одномерные классы геометрических объектов могут моделироваться как в двух координатах(2D) на плоскости, так и в трех координатах(3D) в пространстве. Двумерные и трехмерные объекты могут моделироваться только в пространстве.

Язык СПРУТ для геометрического моделирования машиностроительных изделий и оформления графической и текстовой документации

Существует значительное количество систем компьютерного геометрического моделирования, наиболее известными из которых являются Auto- CAD, ANVILL, EUCLID, EMS и др. Из числа отечественных систем этого класса наиболее мощной является система СПРУТ, предназначенная для автоматизации конструирования и подготовки управляющих программ для станков с ЧПУ.

Нульмерные геометрические объекты

На плоскости

Точка на плоскости

Точка на линии

Точка, заданная одной из координат и лежащая на прямой

В пространстве

Точка в пространстве

Точка, заданная координатами в базовой системе

P3D i = Xx,Yy,Zz

Точка на линии

Точка, заданная как n-я точка пространственной кривой

P3D i = PNT,CC j,Nn

Точка на поверхности

Точка, заданная как точка пересечения трех плоскостей;

P3D i = PLs i1,PLs i2,PLs i3

Таблица 2.1 Геометрические объекты в среде спрут

Размер-ность объекта	Размерность пространства	Вид объекта	Оператор СПРУТ
	На плоскости(2D)	Точки на плоскости	Pi = Xx, Yy; Pi = Mm, Aa
	[подсистема SGR]	Точки на линии	Pi = Xx, Li; Pi = Ci, Aa
В пространстве(3D)	Точки в пространстве	P3D i = Xx,Yy, Zz
[подсистема GM3]	Точки на линии	P3D i = PNT,CC j,Nn
Точки на поверхности	P3D i = PLS i1,PLS i2,PLS i3
	На плоскости(2D)
	[подсистема SGR]	Окружности
	Ki = Pj, -Lk, N2, R20, Cp, Pq
	Ki = Mm, Lt, Pj, Pk,..., Pn, Cq
Кривые 2-го порядка	CONIC i = P i1, P i2, P i3, ds
В пространстве(3D) [подсистема GM3]		P3D i = NORMAL,CYL j,P3D k; P3D i = NORMAL,Cn j,P3D k; P3D i = NORMAL,HSP j,P3D k; P3D i = NORMAL,TOR j,P3D k
	L3D i = P3D j,P3D k
	CC i = SPLINE,P3D i1,...,P3D j,Mm
Параметрическая кривая на поверхности	CC n = PARALL, BASES=CCi, DRIVES=CCk, PROFILE=CCp, STEPs
Линии пересечения поверхностей	SLICE K i, SS j, Nk, PL l; INTERS SS i, SS j, {L,} LISTCURV k
Проекция линии на поверхность	PROJEC Ki, CC j, PLS m
Проволочные модели	SHOW CYL i; SHOW HSP i; SHOW CN i; SHOW TOR i
Двух -мерные	В пространстве [подсистема GM3]	Плоскости	PL i = P3D j,L3D k
Цилиндры	CYL i = P3D j,P3D k,R
	CN i = P3D j,R1,P3D k,R2; CN i = P3D j,R1,P3D k,Angle
	HSP i = P3D j,P3D k,R
	TOR i = P3D j,R1,P3D k,R1,R2
Поверхности вращения	SS i = RADIAL, BASES = CC j, DRIVES = CC k, STEP s
Линейчатые поверхности	SS i = CONNEC, BASES = CC j, BASES = CC k, STEP s
Фасонные поверхности	SS i = PARALL, BASES = CC j, DRIVES = CC k, STEP s
Поверхности тензорного произведения
Трех-мерные	В пространстве [подсистема SGM]	Тело вращения	SOLID(dsn) = ROT, P3D(1), P3D(2), SET, P10, m(Tlr)
Тело сдвига	SOLID(dsn) = TRANS, P3D(1), P3D(2), SET, P10, M(Tlr)
Тело цилиндрическое	SOLID(dsn) = CYL(1), M(Tlr)
Тело коническое	SOLID(dsn) = CN(1), M(Tlr)
Тело сферическое	SOLID(dsn) = SPHERE(1), M(Tlr)
Тело торическое	SOLID(dsn) = TOR(1), M(Tlr)

Одномерные геометрические объекты

На плоскости

Векторы Вектор переноса MATRi = TRANS x, y

Линии Простые аналитические

Прямая (всего 10 способов задания)

Прямая, проходящая через две заданные точки Li = Pi, Pk

Окружность (всего 14 способов задания)

Окружность, заданная центром и радиусом Ci = Xx, Yy, Rr

Кривая второго порядка (всего 15 способов задания)

Кривая второго порядка, проходящая через три точки с заданным дискриминантом Conic i = P i1, P i2, P i3, ds

Составные Контуры - последовательность сегментов плоских геометрических элементов, начинающихся и заканчивающихся точками, лежащими на первом и последнем элементе соответственно K23 = P1, -L2, N2, R20, C7, P2 Кусочно-полиномиальные

Сплайн. Первым параметром в операторе является идентификатор "M", который указывает величину отклонения при аппроксимации отрезками сплайн-кривой. Далее следует начальное условие (прямая или окружность), затем перечисление точек в той последовательности, в которой они должны быть соединены. Заканчивается оператор определением условия на конце сплайн-кривой(прямая или окружность) Ki = Mm, Lt, Pj, Pk,..., Pn, Cq

Аппроксимация дугами Ki = Lt, Pj, Pk,..., Pn

В пространстве Векторы Вектор направления

Вектор единичной нормали в точке к полусфере P3D i = NORMAL,HSP j,P3D k Вектор единичной нормали в точке к цилиндру P3D i = NORMAL,CYL j,P3D k Вектор единичной нормали в точке к конусу P3D i = NORMAL, Cn j,P3D k Вектор единичной нормали в точке к тору P3D i = NORMAL,TOR j,P3D k Вектор переноса MATRi = TRANS x, y, z Линии

Независимые Прямая (всего 6 способов задания)

По двум точкам L3D i = P3D j,P3D k Сплайн-кривая CC i = SPLINE,P3D i1,.....,P3D j,mM На поверхности Параметрическая CC n=PARALL,BASES=CCi,DRIVES=CCk,PROFILE=CCp,STEPs Пересечение 2-х поверхностей Контур сечения поверхности плоскостью SLICE K i, SS j, Nk, PL l где N k - номер сечения Линия пересечения 2-х криволинейных поверхностей (результат список пространственных кривых) INTERS SS i,SS j,L,LISTCURV k ; где L - уровень точности; 3<= L <= 9;

Проекции на поверхность Проекция пространственной кривой на плоскость с системой координат PROJEC Ki,CC j,PLS m.

Составная

Проволочные модели Каркас Отображение цилиндра на экране в виде проволочной модели SHOW CYL i Отображение полусферы на экране в виде проволочной модели SHOW HSP i

Отображение конуса на экране в виде проволочной модели SHOW CN i

Отображение тора на экране в виде проволочной модели SHOW TOR

Двумерные геометрические объекты (поверхности)

Простые аналитические Плоскость (всего 9 способов задания)

По точке и прямой PL i = P3D j,L3D k

Цилиндр(по двум точкам и радиусу) CYL i = P3D j,P3D k,R

Конус Задается по двум точкам и двум радиусам; или по двум точкам, радиусу и углу в вершине CN i = P3D j,R1,P3D k,R2; CN i = P3D j,R1,P3D k,Angle

Сфера (полусфера) Задается по двум точкам и радиусу HSP i = P3D j,P3D k,R

Тор Задается по двум точкам и двум радиусам; вторая точка вместе с первой определяет ось тора TOR i = P3D j,R1,P3D k,R1,R2

Составные Кинематические Поверхности вращения SS i = RADIAL, BASES = CC j, DRIVES = CC k, STEP s

Линейчатые поверхности SS i = CONNEC, BASES = CC j, BASES = CC k, STEP s

Фасонные поверхности SS i = PARALL, BASES = CC j, DRIVES = CC k, STEP s

Кусочно-полиномиальные Поверхности тензорного произведения (сплайновые поверхности по системе точек) CSS j = SS i

Таблица 2.2 Геометрические операции в среде спрут

			ОПЕРАТОР СПРУТ
	Преобразо вания	Масштабирова-ние
		MATRi = TRANS x, y, z
	Вращение	MATRi = ROT, X Y Z, Aa
	Отображение	MATRi = SYMMETRY, Pli
Проекции	Параллельные	VECTOR P3Di, INTO P3Dj
		L = SURFAREA
параметров		S = SURFAREA
	S = SURFAREA
			S = AREA
			VS = VOLUME
		Момент инерции	SURFAREA
			SURFAREA
			INERC SOLID i,L3d i1,INLN
			INERC SOLID i, P3Dj
		Центр масс	CENTRE SOLID i,P3D j
			SURFAREA
БИНАР-НЫЕ	Расчеты параметров	Расстояние	S = DIST P3Di, P3Dj
		S = DIST P3Di, L3Dj
		S = DIST P3Di, Pl j
			S = DIST P3Di, SS j
S = DIST P3Di, P3Dj
			Ang = SURFAREA
	Пересечение	Двух линий	Pi = Li, Lj; Pi = Li, Cj;
		Pi = Ki, Lt, Nn; Pi = Ki, Ct, Nn;
		Pi = Ki, Kt, Nn; Pi = Ki, Lt, Nn
		P3D i = L3D j,PL k
	поверхностью	P3D i = L3D j,HSP k,n
			P3D i = L3D j,CYL k,n
			P3D i =L3D j,CN k,n; P3D i =CC i ,PL j
	L3D i = PL j, PL k
поверхностей	INTERS SS i,SS j,{L,}LISTCURV k
	CROS SOLID(Top+2), RGT, SOLID(Top+3), RGT;
Вычитание	Тела из тела	CROS SOLID(Top+2), RGT, SOLID(Top+3); SOLID(Top+1) = SOLID(Top+2), SOLID(Top+3)
Сложение		CROS SOLID(Top+2), SOLID(Top+3); SOLID(Top+1) = SOLID(Top+2), SOLID(Top+3)
Отсечение	Тела плоскостью	CROS SOLID(Top+1), PL(1), SET
	Объединение	Двух поверхностей	SSi=ADDUP,SSk,SSj,STEPs,a Angl
	Объединение	Объединение поверхностей	SS i = ADDUP,SS k,....., SS j,STEP s ,a Angl

Способы представления и передачи информации о геометрической форме изделия

Исходные данные о геометрической форме изделия, могут поступать в САМ-систему в формате Boundary Representation (B-Rep). Изучим этот формат более подробно.

Автором были рассмотрены структуры данных геометрического ядра ACIS фирмы Spatial Technology, геометрического ядра Parasolid фирмы Unigraphics Solutions, геометрического ядра Cascade фирмы Matra Datavision и представление модели в спецификации IGES. Во всех четырех источниках представление модели очень схоже, имеются лишь небольшие отличия в терминологии, в ядре ACIS имеются непринципиальные структуры данных связанные с оптимизацией вычислительных алгоритмов. Минимальный список объектов, необходимый для представления B-Rep модели представлен на Рис. 1. Его можно разделить на две группы. В левом столбце представлены геометрические объекты, а в правом топологические.

Рис. 1. Геометрические и топологические объекты.

Геометрическими объектами являются поверхность (Surface), кривая (Curve) и точка (Point). Они самостоятельны и не ссылаются на другие составляющие модели, именно они определяют пространственное расположение и размеры геометрической модели.

Топологические объекты описывают то, каким образом геометрические соединяются в пространстве. Сама по себе топология описывает структуру или сетку, которая никоим образом не зафиксирована в пространстве.

Кривые и поверхности. Как известно, существуют два наиболее общих метода представления кривых и поверхностей. Это неявные уравнения и параметрические функции.

Неявное уравнение кривой лежащей в плоскости xy имеет вид:

Это уравнение описывает неявное отношение между координатами x и y точек лежащих на кривой. Для данной кривой уравнение уникально. Например, окружность с единичным радиусом и центром в начале координат, описывается уравнением

В параметрической форме, каждая из координат точки кривой представляется отдельно как явная функция параметра:

Векторная функция от параметра u .

Хотя интервал произвольный, он обычно нормализуется до. Первый квадрант окружности описывается параметрическими функциями:

Установим, получим другое представление:

Таким образом, представление кривой в параметрическом виде не уникально.

Поверхность также может быть представлена неявным уравнением в форме:

Параметрическое представление (не уникальное) дается как:

Заметим, что для описания поверхности необходимы два параметра. Прямоугольную область существования всей совокупности точек (u,v), ограниченную условиями и будем называть областью или плоскостью параметров. Каждой точке в области параметров будет соответствовать точка на поверхности в модельном пространстве.

Рис. 2. Параметрическое задание поверхности.

Зафиксировав u и изменяя v , получаем поперечные линии, зафиксировав v и изменяя u , получаем продольные линии. Такие линии называют изопараметрическими.

Для представления кривых и поверхностей внутри B-Rep модели наиболее удобна параметрическая форма.

Топологические объекты. Тело (Body) - это ограниченный объем V в трехмерном пространстве. Тело будет корректным в том случае, если этот объем замкнутый и конечный. Тело может состоять из нескольких, не касающихся друг друга кусочков (Lumps), доступ к которым необходимо обеспечить как к единому целому. На рисунке изображен пример тела состоящего из более чем одного кусочка.

Рис. 3. Четыре кусочка в одном теле

Кусочек (Lump) - это единая область в трехмерном пространстве, ограниченная одной или более оболочками (Shells). Lump может иметь неограниченное количество пустот. Таким образом, одна оболочка кусочка является внешней, остальные внутренними.

Рис. 4. Тело, состоящее из двух кусочков

Оболочка (Shell) - это множество ограниченных поверхностей (Faces), объединенных между собой посредством общих вершин (Vertexes) и ребер (Edges). Нормали к поверхностям оболочки должны быть направлены от зоны существования тела. Ограниченная поверхность (Face) - это участок обычной геометрической поверхности, ограниченный одной или несколькими замкнутыми последовательностями кривых - петлями (Loops). При этом петля может задаваться кривыми, как в модельном, так и в параметрическом пространстве поверхности. Ограниченная поверхность в своей сути является двухмерным аналогом тела. Она также может иметь одну внешнюю и множество внутренних зон ограничений.

Рис. 5. Ограниченная поверхность

Петля (Loop) - является участком зоны ограничения Face. Она представляет собой множество параметрических ребер объединенных в двухсвязную цепочку. Для корректного тела она должна быть замкнутой.

Параметрическое ребро (Coedge) - это запись, соответствующая участку петли. Оно соответствует ребру геометрической модели. Параметрическое ребро имеет ссылку на двухмерную геометрическую кривую, соответствующую участку зоны ограничения в параметрическом пространстве. Параметрическое ребро ориентировано в петле таким образом, что если смотреть вдоль ребра по его направлению, то зона существования поверхности будет находиться слева от него. Таким образом, внешняя петля всегда направлена против часовой стрелки, а внутренние по часовой.

Параметрическое ребро (Coedge) может иметь ссылку на партнера, на такой же Coedge, лежащий в другой петле, но соответствующий тому же пространственному ребру. Поскольку в корректном теле, каждое ребро касается строго двух поверхностей, поэтому оно будет иметь строго два параметрических ребра.

Рис. 6. Ребра, параметрические ребра и вершины

Ребро (Edge) - топологический элемент, имеющий ссылку на трехмерную геометрическую кривую. Ребро ограничено с обеих сторон вершинами.

Вершина (Vertex) - топологический элемент, имеющий ссылку на геометрическую точку (Point). Вершина -это граница ребра. Все другие ребра, которые приходят в конкретную вершину, могут быть найдены через указатели параметрических ребер.

Рис. 7. Объектная реализация геометрической модели

В данной диаграмме фигурируют еще два неописанных объекта.

Система координат тела (Transform). Как известно система координат может задаваться матрицей преобразований. Размерность матрицы. Если координаты точки представить в виде вектора-строки, в последнем столбце которого лежит единица, то умножив этот вектор на матрицу преобразований получим координаты точки в новой системе координат.

Матрица может отражать в себе все пространственные преобразования, такие как: поворот, перенос, симметрия, масштабирование и их композиции. Как правило, матрица имеет следующий вид.

Габаритные размеры (Box) - структура данных, описывающая параметры прямоугольного параллелепипеда со сторонами параллельными координатным осям. Фактически это координаты двух точек, расположенных на концах главной диагонали параллелепипеда.

Кривые и поверхности NURBS

В настоящее время наиболее распространенным способом представления кривых и поверхностей в параметрической форме являются рациональные сплайны или NURBS (non-uniform rational b-spline). В виде NURBS с абсолютной точностью могут быть представлены такие канонические формы как отрезок, дуга окружности, эллипс, плоскость, сфера, цилиндр, тор и другие, что позволяет говорить об универсальности данного формата, и исключает необходимость использования иных способов представления.

Кривая в таком виде описывается следующей формулой:

W(i) - весовые коэффициенты (положительные действительные числа),

P(i) - контрольные точки,

Bi - B-сплайновые функции

В-сплайновые функции степени М полностью определяются множеством узлов. Пусть N=K-M+1, то множество узлов представляет собой последовательность не уменьшающихся действительных чисел:

T(-M),…,T(0),…,T(N),…T(N+M).

Рис. 8. (a) кубические базисные функции; (b) кубическая кривая, использующая базисные функции с (a)

Сегмент кривой, представленной в виде NURBS, может быть преобразован в полиномиальную форму без потери точности, то есть представлен выражениями:

где и являются полиномами степени кривой. Способы преобразования кривых из NURBS в полиномиальную форму и обратно подробно описаны в /1/.

Поверхности NURBS представляются аналогичным образом:

Рис. 9. В-сплайновая поверхность: (a) сетка контрольных точек; (b) поверхность

Как видно из рисунков, сложность геометрической формы кривой или поверхности можно оценить по контрольным точкам.

Сегмент поверхности NURBS также может быть представлен в полиномиальной форме:

где и являются полиномами двух переменных и могут быть представлены в виде:

Более подробно свойства NURBS кривых и поверхностей описаны в /1,2/.

Для любой двумерной параметрической кривой, где, и - полиномы существует уравнение, где также полином, которое точно определяет ту же самую кривую. Для любой параметрической поверхности заданной выражением (6) существует уравнение, где также полином, которое точно определяет ту же самую поверхность. Способы получения неявной формы параметрически заданной кривой или поверхности описаны в /33/.

Стандарты передачи геометрической модели

Для сквозной автоматизации процесса подготовки производства, необходимо использование CAD-систем в конструкторских отделах и CAM-систем в технологических. В случае если проектирование ведется на одном предприятии, а изготовление на другом, возможны варианты использования различного программного обеспечения. При этом основной проблемой является несовместимость форматов геометрической модели систем разных фирм. Наиболее часто для решения этой проблемы проектировщик формирует весь набор технической документации в бумажном виде, а изготовитель по полученным чертежам восстанавливает электронную модель изделия. Такой подход очень трудоемкий и сводит на нет все достоинства автоматизации отдельных этапов. Решение подобных задач производится либо посредством программы-конвертора, либо посредством приведения данных к единому стандарту.

Одним из таких стандартов является IGES (Initial Graphics Exchange Specification). Этот стандарт обеспечивает передачу любой геометрической информации, включая аналитические и NURBS поверхности и твердотельные модели в представлении B-Rep. В настоящее время стандарт IGES является общепризнанным и обеспечивает передачу любой геометрической информации. Его поддерживают все наиболее развитые системы автоматизированного проектирования и производства. Тем не менее для решения некоторых производственных задач передачи только геометрической информации недостаточно. Необходимо хранение всей информации об изделии в течение всего его жизненного цикла. Передача подобной информации может быть осуществлена с помощью совсем нового стандарта ISO 10303 STEP, являющегося непосредственным развитием IGES. Однако в России спрос на системы, совместимые со STEP, практически отсутствует. Геометрическая модель может быть передана также и формате STL (формат для стереолитографии). В таком представлении модель представляется как совокупность плоских треугольных граней. Однако представление модели в таком виде, несмотря на очевидную простоту, имеет серьезный недостаток связанный с большим увеличением объема памяти требуемой для хранения модели при небольшом увеличении точности.

Помимо указанных существуют корпоративные форматы хранения и передачи информации о геометрической форме изделия. К ним относятся, например, формат XT ядра Parasolid фирмы Unigraphics Solitions или формат SAT ядра ACIS фирмы Spatial Technology. Ключевым недостатком этих форматов является их ориентированность на продвигающую их фирму, и соответственно, зависимость от нее.

Таким образом, в настоящее время наиболее приемлемым форматом для передачи геометрической информации о форме изделия из одной системы в другую является IGES.

Геометрическая модель–
представление о внешних признаках
реального объекта.
Геометрическая компьютерная
модель – представление
информационной модели с
помощью средств компьютерной
графики.

Геометрическое моделирование подразделяется на:

o
o
o
проектирование каркасов - геометрическая
модель строится из ограниченного набора
графических примитивов (отрезки, дуги,
конические кривые).
поверхностей - моделирование
многообразий второго порядка (сфер,
цилиндров, конусов и т.д).
объемных тел - основным объектом
моделирования является трехмерное
объемное тело.

Виды и свойства моделей

o
Линиями можно описать отдельные геометрические свойства предметов, представить
характерные черты объектов. Они могут быть пространственными и двумерными. Кривые
линии служат в качестве строительного материала для создания поверхностей и тел.
o
Поверхности, как и линии, являются математическими абстракциями, дающими
представление об отдельных свойствах предметов, и служат строительным материалом
для создания тел.
o
Совокупность стыкующихся по границам поверхностей называется оболочкой. Для
моделирования нужно описать совокупность поверхностей, отделяющих внутренний объем
предмета от остальной части пространства.
o
Для геометрического моделирования предметов, занимающих конечный объем, в
математике используются объекты, называемые твердыми телами или просто телами. При
моделировании тел строятся поверхности, отделяющие занимаемую ими часть
пространства от остальной части пространства.

Модели двумерной графики

Растровая
Векторная
Трехмерная
Фрактальная

Растровая модель

Достоинства
Недостатки
простота оцифровки (сканирования или жестко фиксированное количество
фотосъемки с возможным
пикселов в растре.
последующим сканированием
отпечатка (слайда)).
возможность очень тонкой
корректировки изображений
интерференция
Простота процедуры преобразования
отсутствие внутренней структуры,
пиксельной модели в изображение при соответствующей структуре
выводе на экран или печать
изображенных объектов
большой объем памяти и длительное
время обработки

Векторная модель

Достоинства
Недостатки
Достаточно малый объем занимаемой
памяти
Включение в состав векторной модели
множества типов объектов затрудняет
изучение ее устройства
Векторное изображение может быть
структурировано с произвольной
степенью детализации
Построение векторной модели
изображения представляет собой
задачу, плохо поддающуюся
автоматизации
Объекты векторной модели
изображения легко
преобразовываются, их
масштабирование не влечет за собой
ни искажения изображения, ни утраты
визуальной информации
Векторная модель изображения не
дает пользователю инструментов,
соответствующих традиционной
технике живописи
В векторной модели текст,
представляется отдельной категорией
объектов

процесс эволюции
программ векторной
графики наиболее быстро
движется именно в
направлении повышения
реалистичности
векторных изображений,
и новые объекты
векторной модели
(сетчатые заливки, тени,
градиентная
прозрачность) в
значительной степени
расширяют
изобразительные возможности векторной

Модели представления информации о трехмерных объектах

Полигональные
(сетчатые)
Воксельные
Функциональные

Полигональные (сетчатые) модели

Полигональные (сетчатые) модели

Достоинства
Недостатки
соответствует не изображению, а форме
объектов и несет в себе больше
информации о них, чем любая модель
двухмерной графики
алгоритмы визуализации и выполнения
топологических операций (например,
построение сечений) довольно сложны
дает возможность автоматически решать при построении сложных моделей число
задачи построения иллюзии перспективы, граней растет с поражающей
теней и бликов при различном освещении стремительностью, что не только делает
сетчатую модель не слишком компактной,
но и требует колоссальной
вычислительной мощности
модель дает возможность с
минимальными затратами труда строить
изображение смоделированной сцены в
любом ракурсе
аппроксимация плоскими гранями
приводит к значительной погрешности,
особенно при моделировании сложных
поверхностей
будучи по своей природе векторной,
сохраняет многие достоинства, присущие
векторной модели изображения
повышенные требования к пользователю,
подразумевая у него наличие развитого
пространственного воображения

Воксельная модель

Воксельная модель

ВОКСЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
Достоинства
Недостатки
возможность представлять
внутренность объекта, а не только
внешний слой
большое количество информации,
необходимое для представления
объемных данных
простая процедура отображения
объемных сцен
значительные затраты памяти,
ограничивающие разрешающую
способность, точность моделирования
простое выполнение топологических
операций (например, чтобы показать
сечение пространственного тела,
достаточно воксели сделать
прозрачными)
проблемы при увеличении или
уменьшении изображения; например, с
увеличением ухудшается разрешающая
способность изображения

Функциональные модели

Достоинства функциональных моделей

легкая процедура расчета
координат каждой точки;
небольшой объем
информации для
описания сложных форм;
возможность строить
поверхности на основе
скалярных данных без
предварительной
триангуляции.
Шуховская башня – пример использования
гиперболоида вращения

Геометрической параметризацией называется
параметрическое моделирование, при котором
геометрия каждого параметрического объекта
пересчитывается в зависимости от положения
родительских объектов, его параметров и
переменных.

Геометрическая параметризация

o
o
Хорошая идея – изменить один или несколько
параметров и посмотреть, как будет вести себя при
этом вся модель.
Конструктор, в случае параметрического
проектирования, создает математическую модель
объектов с параметрами, при изменении которых
происходят изменения конфигурации детали,
взаимные перемещения деталей в сборке и т.п.

Геометрические операции над моделями

Над телами, как и над другими геометрическими
объектами, можно выполнять операции –
совокупность действий над одним или несколькими
исходными телами, которая приводит к рождению
нового тела. Одними из основных операций для
двух тел являются булевы операции.
o Булевыми операциями называют операции
объединения, пересечения и вычитания тел, так
как они выполняют одноименные операции над
внутренними объемами тел (над множествами
точек пространства, находящимися внутри тел).

Операция объединения

o Результатом операции объединения двух тел является тело,
которое содержит точки, принадлежащие внутреннему
объему как первого, так и второго тела.
o суть операции: нужно найти линии пересечения граней тел,
удалить ту часть первого тела, которая попала внутрь второго
тела и ту часть второго тела, которая попала внутрь первого
тела, а из всего остального построить новое тело.
Два исходных тела
Объединение тел

Операция пересечения

o Результатом операции пересечения двух тел является тело,
которое содержит точки, принадлежащие внутреннему объему
как первого, так и второго тела.
o Суть операции пересечения тел: нужно найти линии
пересечения тел, удалить ту часть первого тела, которая не
попала внутрь второго, и ту часть второго тела, которая не
попала внутрь первого, а из всего остального построить новое
тело.
Два исходных тела
Пересечение тел

Операция вычитания

o Результатом операции вычитания двух тел является тело, которое
содержит точки, принадлежащие внутреннему объему первого, но не
принадлежащие внутреннему объему второго тела.
o Суть операции вычитания тел: нужно найти линии пересечения тел,
удалить ту часть первого тела, которая попала внутрь второго, и ту часть
второго тела, которая не попала внутрь первого, а из всего остального
построить новое тело. Результат операции зависит от того какое тело
вычитается.
Два исходных тела
Разность тел

При решении большинства задач в области автоматизированного конструирования (К) и технологической подготовки производства (ТПП) надо иметь модель объекта проектирования.

Под моделью объекта понимают его некоторое абстрактное представление, удовлетворяющее условию адекватности этому объекту и позволяющее осуществлять его представление и обработку с помощью компьютера.

Т.о. модель – набор данных, отображающих свойства объекта и совокупность отношений между этими данными.

В модель объекта ПР в зависимости от характера ее исполнения может входить ряд разнообразных характеристик и параметров. Чаще всего модели объектов содержат данные о форме объекта, его размерах, допусках, применяемых материалах, механических, электрических, термодинамических и других характеристиках, способах обработки, стоимости, а также о микрогеометрии (шероховатость, отклонения формы, размеров).

Для обработки модели в графических системах САПР существенным является не весь объем информации об объекте, а та часть, которая определяет его геометрию, т.е. формы, размеры, пространственное размещение объектов.

Описание объекта с точки зрения его геометрии называется геометрической моделью объекта .

Но геометрическая модель может в себя включать еще и некоторую технологическую и вспомогательную информацию.

Информация о геометрических характеристиках объекта используется не только для получения графического изображения, но и для расчетов различных характеристик объекта (например, по МКЭ), для подготовки программ для станков с ЧПУ.

В традиционном процессе конструирования обмен информацией осуществляется на основе эскизных и рабочих чертежей с использованием нормативно-справочной и технической документации. В САПР этот обмен реализуется на основе внутримашинного представления объекта.

Под геометрическим моделированием понимают весь многоступенчатый процесс – от вербального (словесного) описания объекта в соответствии с поставленной задачей до получения внутримашинного представления объекта.

В системах геометрического моделирования могут обрабатываться 2-мерные и 3-хмерные объекты, которые в свою очередь могут быть аналитически описываемыми и неописываемыми. Аналитически неописываемые геометрические элементы, такие как кривые и поверхности произвольной формы, используются преимущественно при описании объектов в автомобиле-, самолето- и судостроении.

Основные виды ГМ

2-мерные модели , которые позволяют формировать и изменять чертежи, были 1-ми моделями, нашедшими применение. Такое моделирование часто применяется и до сих пор, т.к. оно намного дешевле (в отношении алгоритмов, использования) и вполне устраивает промышленные организации при решении разнообразных задач.

В большинстве 2-мерных систем геометрического моделирования описание объекта осуществляется в интерактивном режиме в соответствии с алгоритмами, аналогичными алгоритмам традиционного метода конструирования. Расширением таких систем является то, что контурам или плоским поверхностям ставится в соответствие постоянная или переменная глубина изображения. Системы, работающие по такому принципу, называется 2,5-мерными. Они позволяют получать на чертежах аксонометрические проекции объектов.

Но 2-мерное представление часто не удобно для достаточно сложных изделий. При традиционных способах конструирования (без САПР) пользуются чертежами, где изделие может быть представлено несколькими видами. Если изделие очень сложное, его можно представить в виде макета. 3-хмерная модель служит для того, чтобы создать виртуальное представление изделия во всех 3-х измерениях.

Различают 3 вида 3-хмерных моделей:

· каркасные (проволочные)

· поверхностные (полигональные)

· объемные (модели сплошных тел).

· Исторически 1-ми явились каркасные модели . В них хранятся только координаты вершин (x,y,z ) и соединяющие их ребра.

На рисунке видно, как куб может быть воспринят неоднозначно.

Т.к. известны только ребра и вершины, возможны различные интерпретации одной модели. Каркасная модель проста, но с ее помощью можно представить в пространстве только ограниченный класс деталей, в которых аппроксимирующие поверхности являются плоскостями. На основе каркасной модели можно получать проекции. Но невозможно автоматически удалять невидимые линии и получать различные сечения.

· Поверхностные модели позволяют описывать достаточно сложные поверхности. Поэтому они часто соответствует нуждам промышленности (самолето-, судо-, автомобилестроение) при описании сложных форм и работе с ними.

При построении поверхностной модели предполагается, что объекты ограничены поверхностями, которые отделяют их от окружающей среды. Поверхность объекта тоже становится ограниченной контурами, но эти контуру являются результатом 2-х касающихся или пересекающихся поверхностей. Вершины объекта могут быть заданы пересечением поверхностей, множеством точек, удовлетворяющих какому-то геометрическому свойству, в соответствии с которым определяется контур.

Возможны различные виды задания поверхностей (плоскости, поверхности вращения, линейчатые поверхности). Для сложных поверхностей используются различные математические модели аппроксимации поверхностей (методы Кунса, Безье, Эрмита, В-сплайна). Они позволяют изменять характер поверхности с помощью параметров, смысл которых доступен пользователю, не имеющему специальной математической подготовки.

Аппроксимация поверхностей общего вида плоскими гранями дает преимущество: для обработки таких поверхностей используются простые математические методы. Недостаток: сохранение формы и размеров объекта зависит от числа граней, используемых для аппроксимаций. Чем > число граней, тем < отклонение от действительной формы объекта. Но с увеличением числа граней одновременно увеличивается и объем информации для внутримашинного представления. Вследствие этого увеличивается как время на работу с моделью объекта, так и объем памяти для хранения модели.

· Если для модели объекта существенно разграничение точек на внутренние и внешние, то говорят об объемных моделях . Для получения таких моделей сначала определяются поверхности, окружающие объект, а затем они собираются в объемы.

В настоящее время известны следующие способы построения объемных моделей:

· В граничных моделях объем определяется как совокупность ограничивающих его поверхностей.

Структура может быть усложнена внесением действий переноса, поворота, масштабирования.

Достоинства:

¾ гарантия генерации правильной модели,

¾ большие возможности моделирования форм,

¾ быстрый и эффективный доступ к геометрической информации (например, для прорисовки).

Недостатки :

¾ больший объем исходных данных, чем при CSG способе,

¾ модель логически < устойчива, чем при CSG, т.е. возможны противоречивые конструкции,

¾ сложности построения вариаций форм.

· В CSG-моделях объект определяется комбинацией элементарных объемов с использованием геометрических операций (объединение, пересечение, разность).

Под элементарным объемом понимается множество точек в пространстве.

Моделью такой геометрической структуры является древовидная структура. Узлы (нетерминальные вершины) – операции, а листья – элементарные объемы.

Достоинства:

¾ концептуальная простота,

¾ малый объем памяти,

¾ непротиворечивость конструкции,

¾ возможность усложнения модели,

¾ простота представления частей и сечений.

Недостатки:

¾ ограничение рамками булевых операций,

¾ вычислительноемкие алгоритмы,

¾ невозможность использовать параметрически описанных поверхностей,

¾ сложность при работе с функциями > чем 2-го порядка.

· Ячеечный метод. Ограниченный участок пространства, охватывающий весь моделируемый объект, считается разбитым на большое число дискретных кубических ячеек (обычно единичного размера).

Моделирующая система должна просто записать информацию о принадлежности каждого куба объекту.

Структура данных представляется 3-хмерной матрицей, в которой каждый элемент соответствует пространственной ячейке.

Достоинства:

¾ простота.

Недостатки:

¾ большой объем памяти.

Для преодоления этого недостатка используют принцип разбиения ячеек на подъячейки в особо сложных частях объекта и на границе.

Объемная модель объекта, полученная любым способом, является корректной, т.е. в данной модели нет противоречий между геометрическими элементами, например, отрезок не может состоять из одной точки.

Каркасное представление м.б. использовано не при моделировании, а при отражении моделей (объемных или поверхностных) как один из методов визуализации.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Системы геометрического моделирования

Системы геометрического моделирования позволяют работать с формами в трехмерном пространстве. Они были созданы для того, чтобы преодолеть проблемы, связанные с использованием физических моделей в процессе проектирования, такие как - сложность получения сложных форм с точными размерами, а также сложностью извлечения необходимых сведений из реальных моделей для их точного воспроизведения.

Эти системы создают среду, подобную той, в которой создаются физические модели. Другими словами, в системе геометрического моделирования разработчик изменяет форму модели, добавляет и удаляет ее части, детализируя форму визуальной модели. Визуальная модель может выглядеть также как и физическая, но она нематериальна. Однако трехмерная визуальная модель хранится в компьютере вместе со своим математическим описанием, благодаря чему устраняется главный недостаток физической модели - необходимость выполнения измерений для последующего прототипирования или серийного производства. Системы геометрического моделирования делятся на каркасные, поверхностные, твердотельные и немногообразные.

Системы каркасного моделирования

В системах каркасного моделирования форма представляется в виде набора характеризующих ее линий и конечных точек. Линии и точки используются для предоставления трехмерных объектов на экране, а изменение формы осуществляется путем изменения положения и размеров отрезков и точек. Другими словами, визуальная модель представляет собой каркасный чертеж формы, а соответствующее математическое описание представляет собой набор уравнений кривых, координат точек и сведений о связности кривых и точек. Сведения о связности описывают принадлежность точек к конкретным кривым, а также пересечение кривых друг с другом. Системы каркасного моделирования были популярны в ту пору, когда ГМ только начало зарождаться. Их популярность объяснялась тем, что в системах каркасного моделирования создание форм выполнялось через последовательность простых действий, так что пользователям было достаточно легко создавать формы самостоятельно. Однако визуальная модель, состоящая из одних лишь линий, может быть неоднозначной. Более того, соответствующее математическое описание не содержит сведений о внутренних и внешних поверхностях моделируемого объекта. Без этих сведений невозможно рассчитать массу объекта, определить траектории перемещения или создать сетку для конечноэлементного анализа, несмотря на то, что объект кажется трехмерным. Поскольку эти операции являются неотъемлемой частью процесса проектирования, системы каркасного моделирования были постепенно вытеснены системами поверхностного и твердотельного моделирования.

Системы поверхностного моделирования

В системах поверхностного моделирования математическое описание визуальной модели включает в себя не только сведения о характеристических линиях и их конечных точках, но и данные о поверхностях. При работе с отображаемой на экране моделью изменяются уравнения поверхностей, уравнения кривых и координаты точек. Математическое описание может включать сведения о связности поверхностей - как поверхности соединяются друг с другом и по каким кривым. В некоторых приложениях эти сведения могут оказаться очень полезными.

Существуют три стандартных метода создания поверхностей в системах поверхностного моделирования:

1) Интерполяция входных точек.

2) Интерполяция криволинейных точек.

3) Трансляция или вращение заданной кривой.

Системы поверхностного моделирования используются для создания моделей со сложными поверхностями, потому что визуальная модель позволяет оценить эстетичность проекта, а математическое описание позволяет построить программы с точными расчетами траекторий движения.

Системы твердотельного моделирования

Предназначены для работы с объектами, состоящими из замкнутого объема, или монолита. В системах твердотельного моделирования, в отличии от систем каркасного и поверхностного моделирования, не допускается создание набора поверхностей или характеристических линий, если они не образуют замкнутого объема. Математическое описание объекта, созданного в системе твердотельного моделирования содержит сведения, по которым система может определить, где находится линия либо точка: внутри объема, снаружи него или на его границе. При этом можно получить любую информацию об объеме тела, а значит, могут быть использованы приложения, работающие с объектом на уровне объема, а не на поверхностях.

Однако системы твердотельного моделирования требуют большего количества входных данных по сравнению с количеством данных, дающих математическое описание. Если бы система требовала от пользователя ввода всех данных для полного математического описания, она стала бы слишком сложной для пользователей, и они бы отказались от нее. Поэтому разработчики таких систем стараются представить простые и естественные функции, чтобы пользователи могли работать с объемными формами, не вдаваясь в подробности математического описания.

Функции моделирования, поддерживаемые большинством систем твердотельного моделирования, могут быть разделены на пять основных групп:

1) Функции создания примитивов, а также функции добавления, вычитания объема - булевские операторы. Эти функции позволяют проектировщику быстро создать форму, близкую к окончательной форме детали.

2) Функции создания объемных тел путем перемещения поверхности. Функция заметания позволяет создавать объемное тело трансляцией или вращением области, заданной на плоскости.

3) Функции, предназначенные главным образом для изменения существующей формы. Типичными примерами являются функции скругления или плавного сопряжения и поднятия.

4) Функции позволяющие непосредственно манипулировать составляющими объемных тел, то есть по вершинам, ребрам и граням.

5) Функции, используя которые проектировщик может моделировать твердое тело при помощи свободных форм.

Немногообразные системы моделирования

Системы твердотельного моделирования позволяют пользователю создавать тела с замкнутым объемом, то есть, говоря математическим языком, тела, представляющие собой многообразия. Другими словами, такие системы запрещают создание структур, не являющихся многообразными. Нарушениями условия многообразности являются, например касание двух поверхностей в одной точке, касание двух поверхностей вдоль открытой или замкнутой кривой, два замкнутых объема с общей гранью, ребром или вершиной, а также поверхности, образующие структуры типа сот.

Запрет на создание немногообразных моделей считался одним из достоинств систем твердотельного моделирования, поскольку благодаря этому любую созданную в такой системе модель можно было бы изготовить. Если же пользователь хочет работать с системой геометрического моделирования на протяжении всего процесса разработки, это достоинство оборачивается другой стороной.

Абстрактная модель со смешением измерений удобна тем, что она не стесняет творческую мысль конструктора. Модель со смешанными измерениями может содержать свободные ребра, слоистые поверхности и объемы. Абстрактная модель полезна также тем, что она может служить основой для проведения анализа. На каждом этапе процесса проектирования могут применяться свои аналитические средства. Например, методом конечных элементов, непосредственно на исходном представлении модели, что позволяет автоматизировать обратную связь между этапами проектирования и анализа, которая в настоящий момент реализуется конструктором самостоятельно. Немногообразные модели незаменимы как этап развития проекта от неполного описания на низких уровнях до готового объемного тела. Системы немногообразного моделирования позволяют использовать каркасные, поверхностные, твердотельные и сотовые модели одновременно в одной и той же среде моделирования, расширяя диапазон доступных моделей.

Описание поверхностей

Важной составной частью геометрических моделей является описание поверхностей. Если поверхности детали -- плоские грани, то модель может быть выражена достаточно просто определенной информацией о гранях, ребрах, вершинах детали. При этом обычно используется метод конструктивной геометрии. Представление с помощью плоских граней имеет место и в случае более сложных поверхностей, если эти поверхности аппроксимировать множествами плоских участков -- полигональными сетками. Тогда можно поверхностную модель задать одной из следующих форм:

1) модель есть список граней, каждая грань представлена упорядоченным списком вершин (циклом вершин); эта форма характеризуется значительной избыточностью, так как каждая вершина повторяется в нескольких списках;

2) модель есть список ребер, для каждого ребра заданы инцидентные вершины и грани. Однако аппроксимация полигональными сетками при больших размерах ячеек сетки дает заметные искажения формы, а при малых размерах ячеек оказывается неэффективной по вычислительным затратам. Поэтому более популярны описания неплоских поверхностей кубическими уравнениями в форме Безье или 5-сплайнов.

Знакомство с этими формами удобно выполнить, показав их применение для описания геометрических объектов первого уровня -- пространственных кривых.

Примечание. Геометрическими объектами нулевого, первого и второго уровней называют соответственно точки, кривые, поверхности.

В подсистемах МГиГМ используются параметрически задаваемые кубические кривые

геометрический конструктивный моделирование поверхность

x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx ;

y(t) = ay t3 +X by t2 + cy t + dy ;

z(t) = a.t3 + b_t2 + cj + d_,

где 1 > t > 0. Такими кривыми описывают сегменты аппроксимируемой кривой, т. е. аппроксимируемую кривую разбивают на сегменты и каждый сегмент аппроксимируют уравнениями (3.48).

Применение кубических кривых обеспечивает (соответствующим выбором четырех коэффициентов в каждом из трех уравнений) выполнение четырех условий сопряжения сегментов. В случае кривых Безье этими условиями являются прохождение кривой сегмента через две заданные концевые точки и равенство в этих точках касательных векторов соседних сегментов. В случае 5-сплайнов выполняются условия непрерывности касательного вектора и кривизны (т. е. первой и второй производных) в двух концевых точках, что обеспечивает высокую степень гладкости кривой, хотя прохождение аппроксимирующей кривой через заданные точки здесь не обеспечивается. Применение полиномов выше третьей степени не рекомендуется, так как велика вероятность появления волнистости.

В случае формы Безье коэффициенты в (3.48) определяются, во-первых, подстановкой в (3.48) значений (=0к(=1и координат заданных концевых точек Р, и Р4 соответственно, во-вторых, подстановкой в выражения производных

dx/dt = За t2 + 2b + с, X X х"

dy/dt = За, Г2 + 2byt + с,

dz/dt = 3a.t2 + 2b.t + с.

тех же значений / = 0 и / = 1 и координат точек Р2 и Р3, задающих направления касательных векторов (рис. 3.27). В результате для формы Безье получаем

Кривая Безье. (3.27)

для которых матрица М имеет иной вид и представлена в табл. 3.12, а векторы Gx, Gy, G содержат соответствующие координаты точек Р, 1; Р, Р, + 1, Р, + 2.

Покажем, что в точках сопряжения для первой и второй производных аппроксимирующего выражения выполняются условия непрерывности, что требуется по определению В-сплайна. Обозначим участок аппроксимирующего В-сплайна, соответствующий участку [Р, Р +1] исходной кривой, через . Тогда для этого участка и координаты х в точке сопряжения Q/+ , имеем t = 1 и

Для участка в той же точке Qi+| имеем t = 0 и

т. е. равенство производных в точке сопряжения на соседних участках подтверждает непрерывность касательного вектора и кривизны. Естественно, что значение х координаты х точки Qi+1 аппроксимирующей кривой на участке .

равно значению х, подсчитанному для той же точки на участке , но значения координат узловых точек х и х+] аппроксимирующей и аппроксимируемой кривых не совпадают.

Аналогично можно получить выражения для форм Безье и 5-сплайнов применительно к поверхностям с учетом того, что вместо (3.48) используются кубические зависимости от двух переменных.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Статические и динамические модели. Анализ имитационных систем моделирования. Система моделирования "AnyLogic". Основные виды имитационного моделирования. Непрерывные, дискретные и гибридные модели. Построение модели кредитного банка и ее анализ.

дипломная работа , добавлен 24.06.2015


Задачи оптимизации сложных систем и подходы к их решению. Программная реализация анализа сравнительной эффективности метода изменяющихся вероятностей и генетического алгоритма с бинарным представлением решений. Метод решения задачи символьной регрессии.

диссертация , добавлен 02.06.2011


Характеристика основных принципов создания математических моделей гидрологических процессов. Описание процессов дивергенции, трансформации и конвергенции. Ознакомление с базовыми компонентами гидрологической модели. Сущность имитационного моделирования.

презентация , добавлен 16.10.2014


Основной тезис формализации. Моделирование динамических процессов и имитационное моделирование сложных биологических, технических, социальных систем. Анализ моделирования объекта и выделение всех его известных свойств. Выбор формы представления модели.

реферат , добавлен 09.09.2010


Эффективность макроэкономического прогнозирования. История возникновения моделирования экономики в Украине. Особенности моделирования сложных систем, направления и трудности моделирования экономики. Развитие и проблемы современной экономики Украины.

реферат , добавлен 10.01.2011


Основные проблемы эконометрического моделирования. Использование фиктивных переменных и гармонических трендов. Метод наименьших квадратов и выборочная дисперсия. Смысл коэффициента детерминации. Расчет функции эластичности. Свойства линейной модели.

контрольная работа , добавлен 06.11.2009


Теоретические и методологические основы моделирования развития фирм с рентноориентированным управлением. Экономико-математические основы моделирования динамически сложных систем. Функция заимствования: понятие, сущность, свойства, аналитический вид.

дипломная работа , добавлен 04.02.2011


Создание комбинированных моделей и методов как современный способ прогнозирования. Модель на основе ARIMA для описания стационарных и нестационарных временных рядов при решении задач кластеризации. Модели авторегрессии AR и применение коррелограмм.

презентация , добавлен 01.05.2015


Методика получения оценок, используемых в процедурах проектирования управленческих решений. Прикладное использование модели многофакторной линейной регрессии. Создание ковариационной матрицы данных и производных от неё паттернов проектирования решений.

статья , добавлен 03.09.2016


Анализ сложных систем. Проведение экономического исследования с применением технологии компьютерного моделирования. Построение блок-схем, маршрутов потоков сообщений. Разработка модели работы автобусного маршрута. Многовариантные расчеты модели.