Одним из перспективных методов формообразования является комбинаторика. Комбинаторика - это приемы нахождения различных соединений (комбинаций), сочетаний, размещений из данных элементов в определенном порядке. Комбинаторные (вариантные) методы формообразования применяются для выявления наибольшего разнообразия сочетаний ограниченного числа элементов. Сложность целостной формы, отвечающей множеству требований - функциональных, конструктивных, эстетических и др., затрудняет создание развитых комбинаторных систем «в чистом виде». При проектировании идея комбинаторики выступает лишь в качестве стимула - за основу формообразования берутся те элементы формы, из которых можно создать комбинаторную систему (геометрические, конструктивные, цветовые и др.). Принципиально важным обстоятельством для управления комбинаторным процессом является тот факт, что в комбинаторике всегда присутствуют два начала: постоянное и переменное. Постоянным началом комбинаторики служат идея, концепция или схема, направляющая комбинаторный поиск - концептуальная комбинаторика.

При поиске комбинаторного элемента должны решаться следующие основные задачи: неповторимость разнообразных композиционных приемов, декоративная и эстетическая ценность. Декоративный комбинаторный элемент должен вписываться в любую структуру, быть составной частью композиции. Поиск декоративного комбинаторного элемента на основе геометрических фигур с прямолинейными контурами является наиболее продуктивным. В природе встречаются самые разнообразные геометрические формы. Очень часто природа унифицирует геометрические конструкции - лепестки цветов, листья деревьев, семена злаков, чешуя рыб, панцири животных. Декоративный комбинаторный элемент на основе природного аналога с криволинейными контурами обладает меньшими формообразующими способностями. Формообразующие способности элементов зависят от их структурного типа (геометрических параметров), от степени регулярности его строения и уровня собственной симметрии. Наименьшие они у круга или криволинейного контура, велики у квадрата, правильного треугольника или прямоугольного контура.

В ряду идей программированного формообразования комбинаторика занимает одно из главных мест. Процесс создания комбинаторных систем может идти разными путями: совершенствование исходных элементов, чтобы получить ряд дискретных конструктивных или композиционных построений; поиск новых конструктивных построений на основе известных элементов и систем связей. Наиболее перспективным для автоматизации видом комбинаторики является формальная комбинаторика - всевозможные операции по изменению морфологических качеств объекта (формы, конфигурации, размеров, расположения частей и т.д.). К числу таких операций относятся:

· перестановки (размещение) частей или элементов целого;

· образование сочетаний элементов и их качеств;

· изменение количества элементов, образующих целое;

· изменение элементной базы (объемных и геометрических деталей);

· изменение материала, фактуры и цвета.

К основным приемам комбинаторного формообразования относятся: комбинирование элементов на плоскости при создании раппортных композиций; соединение типизированных стандартных элементов (модулей) в единой целостной объемно-пространственной форме; комбинирование деталей, пропорциональных членений внутри формы. Главная специфика комбинаторного формообразования состоит в том, что это пространственная комбинаторика, которая подчиняется геометрическим законам, опирается на теорию симметрии и комбинаторную симметрию. Примером прикладного комбинаторного формообразования в полиграфии, колористическим прототипом которого в изобразительном искусстве был пуантализм, может быть применение принципа растра, позволяющего на основе различных комбинаций точек ограниченной разновидности и определенной (квадратной) сетчатой матрицы получать тональные изображения. В числе компьютерно-комбинаторных задач - автоматизированный способ создания и реализации паркет-орнаментов. Пример паркет-орнамента, составленного из треугольников. Ключевыми в программах такого рода являются применение режима графической компоновки, определенной номенклатуры исходных элементов переноса и поворота базисного графического элемента. Правила комбинаторной компоновки могут быть различными, в том числе допускающими наложение ячеек друг на друга. Однако для получения плотных плоских многокомплектных раскладок деталей изделий, в частности в швейной отрасли, необходимо добиться, чтобы на произвольно взятой плоскости отношение площади покрытых фигурами (лекалами) участков ко всей площади раскладки было бы максимальным.

Мера эффективности комбинаторного формообразования зависит от структуры геометрии типоэлемента, способа компоновки заданных типоэлементов; от состава серии-номенклатуры типоэлементов; относительных размеров, в том числе от модульности. Композиционная и геометрическая сочетаемость орнаментальных элементов зависит от взаиморасположения изобразительных мотивов, степени регулярности их строения, уровня собственной симметрии. Однако к комбинаторным можно отнести только такие элементы, которые обладают свойством универсальности и высокой формообразующей способностью. Образование различных комбинаторных форм из набора общих и повторяемых исходных элементов осуществляется всей поверхностью (или контуром), частью поверхности, линией, точкой или вообще без примыкания.

Орнамент в общем случае - это типичная форма-структура, то есть одна из разновидностей комбинаторных форм. Когда группа разных орнаментов образуется на основе общих элементарных узоров, налицо пример наиболее активного комбинаторного формообразования. Построение модульных, комбинаторных, кинетических систем базируется на законах симметрических преобразований. Наиболее разработанными в этом плане являются программы, получаемые на основе симметрических сеток, поворотной, переносной и зеркальной симметрии, симметрии подобия. Создание группы комбинаторных орнаментов возможно на основе асимметричной фигуры только одной разновидности. Все возможное структурное разнообразие комбинаторных орнаментов одного семейства на основе одного унифицированного типоэлемента определяется всеми возможными комбинациями видов симметрии и численно равно 17: квадратная, правильная треугольная, ромбическая, прямоугольная, косая параллелограмматическая сетки, 5- и 6-гранные сетки. «Рисунок, построенный сечением сотов, таит в себе больше возможностей разнообразия и гибкости, где дело касается движения людей» - Ф.Л. Райт .

В очень многих утилитарных рукотворных предметах орнамент прямо или художественно опосредованно выражает их технологические, конструктивные и иные свойства (например в формах переплетения тканей и циновок, швов каменной кладки, пластического узора на гончарных изделиях), справедливо называется в этих случаях структурным, или конструктивным и является, по существу, архитектоничным.

По критерию структурной и экономической эффективности сфера и круг - абсолютные образцы геометрического построения объемных и плоских форм. Эти структурно-эффективные формы оптимальны также в конструктивном и эстетическом отношениях. В 1915 г. Казимир Малевич (1878-1935 гг.) разработал свой стиль, явившийся новой ступенью художественного сознания - беспредметный «супрематизм». Малевич и его сторонники сводили живопись к нескольким формальным фигурам, имевшим символическое содержание. Регулярные геометрические фигуры, написанные чистыми локальными цветами, погружались в некоторое трансцендентное пространство, где господствовали законы комбинаторики, динамики и статики. Супрематизм на уровне проектно-композиционной стилистики сначала выплеснулся в виде орнамента и декора на стены домов, плакаты, ткань, посуду, предметы туалета, трамваи, трибуны и т.д. Развитие супрематизма в творчестве Малевича привело к усилению роли геометрических плоскостей в общей композиции картины, цвет начал отходить на второй план. Следующий шаг привел к формированию объемов, развитию пространственного искусства, включая архитектуру. Здесь вступали в силу новые архитектонические закономерности. В середине 20-х гг. Малевич делает новый шаг в процессе «выхода» супрематизма в архитектуру в виде реальных объемных композиций - архитектон. Таким образом, Малевич первый нашел предельно простые комбинаторные стилеобразующие элементы, которые получили дальнейшее развитие в XX-XXI вв.

Комбинаторный метод формообразования в дизайне основывается на поиске, исследовании и применении закономерностей вариантного изменения пространственных, конструктивных, функциональных и графических структур, а также на способах проектирования объектов дизайна из типизированных элементов. Комбинаторика дает возможность осуществлять проектную деятельность в двух направлениях: создание новых структурных построений и варьирование исходных элементов.

Комбинаторика оперирует определенными принципами комбинирования: перестановкой, группировкой, переворотами, организацией ритмов. Комбинаторные методы в проектировании одежды впервые применили советские конструктивисты А. Родченко, Л. Попова, В. Степанова. Они применяли программированные методы формообразования: комбинирование стандартных элементов из набора простейших геометрических форм; комбинирование различных видов декора на основе базовой формы; варианты трансформации одежды в процессе эксплуатации. Впоследствии программированные методы формообразования не только стали ведущими методами при проектировании промышленных коллекций, но и легли в основу графических компьютерных программ.

Комбинаторные методы на сегодняшний день являются основными в проектировании костюма. К ним относятся: комбинаторика, трансформация, кинетизм, создание одежды из целого плоского куска ткани. Комбинаторный метод проектирования применяется при создании безразмерной одежды.

Комбинаторный прием перестановки, или эвристическое комбинирование, предполагает изменение элементов, их замену. Его можно охарактеризовать как комбинаторный поиск компоновочных решений.

К частному приему в комбинаторике относится прием вставок (врезок) в определенную форму для создания сложной формы. Широко используются в современном дизайне костюма вставки в разрезы одежды из плоских кусков ткани простой геометрической формы (квадрат, прямоугольник, треугольники разной конфигурации, круг, полукруг, сектор, сегмент, трапеция).

Трансформация (от лат. transformatio - превращение) - метод превращения или изменения формы, часто используемый при проектировании одежды. Процесс трансформации определяется динамикой, движением превращения или небольшого изменения.

Комбинаторные методы вбирают некоторые элементы трансформации, модульного проектирования. Трансформация разделяется следующим образом: превращение одной формы в другую; трансформация деталей внутри одной формы. Процесс превращения может быть достаточно многовариантным.

Кинетизм (от греч. kinetiko"s - приводящий в движение) относится к комбинаторным методам проектирования, в частности к методу трансформации. Кинетизм - вид художественного творчества, в основе которого лежит идея движения формы, любого ее изменения. Метод кинетизма заключается в создании динамики форм, декора.

Идея кинетического рисунка стала чрезвычайно интересной для художников по текстилю, так как создает необыкновенные и парадоксальные эффекты графики. Кинетизм дает возможность создать мощную динамику внутри статичной формы. Среди наиболее определенных и апробированных вариантов мобильного формообразования отмечаются такие, как вращение спирали, эффекты волнового колебания, муаровый эффект и т.д. Вращение спирали порождает впечатление бесконечного подъема или спуска элементов композиции. Прием волнового колебания связывают с возникновением иллюзорных пластических изменений неподвижной формы, которые создают иллюзию перетекания изгибов формы в пространстве.

Придание изделию современного вида за счет изменения внешней формы без изменения функции и конструктивных свойств относится к стайлингу, стилизации, модернизации с целью обновления внешнего вида. Однако стайлинг внешней формы в целях повышения эстетических качеств изделий зачастую противоречит сути индустриального формообразования.

Большую роль играет цвет и цветосочетания в дизайне.

Иногда мы воспринимаем предмет как цветовое пятно, а уже потом как объем. Цвет и цветовые сочетания могут быть очень активными, а могут быть и нейтральными, могут настораживать или расслаблять.

Восприятие цвета в какой-то степени субъективно и оно у разных людей, в общем, сходно. У цвета есть объективные качества, их нужно знать, чтобы анализировать свои ощущения и пользоваться цветом как средством создания гармонической предметной среды.

«Чистые» (хроматические) цвета спектра можно разделить на теплые (красный, оранжевый, желтый) и холодные (фиолетовый, синий, голубой). Желто-зеленые занимают промежуточное положение между этими двумя группами. Чистыми цветами практически почти не пользуются, к ним добавляют так называемые ахроматические тона (белый, серый, черный).

Цвет влияет на наше восприятие реального пространства: цвета «теплого» спектра зрительно приближаются. Поэтому плоскости, окрашенные оранжевым или красным, например, кажутся нам ближе, чем равноудаленные плоскости голубого цвета. Тёмные цвета делают предметы зрительно весомее, массивнее, чем светлые. Вместе с тем теплые цвета связываются с большим весом, чем холодные. Окраска влияет и на восприятие величины: светлое пятно на тёмном фоне кажется больше, чем равновеликое ему тёмное.

Мы воспринимаем цвет, как правило, в сочетании с другими смежными цветами. В результате этого складывается общая, воспринимаемая человеком картина. «Цветовая гармония», «красивый колорит», «удачное цветосочетание» выражения нам знакомые, и за ними кроется примерно одинаковое содержание.

Отношение цветов между собой могут быть контрастными, а могут быть и сближенными - нюансными. Гармонизировать нюансные цвета сравнительно легче, чем контрастные, но это не означает, что они всегда предпочтительнее.

Выбор цвета может быть и обусловленным. Существует понятие «функциональная окраска», т.е. окраска, связанная с определенной функцией, действием, основанная на объективных свойствах цвета, с одной стороны, и реальной ситуацией - с другой.

При помощи цвета решается и другая задача - снижение нервного напряжения. Здесь пользуются нейтральными тонами, избегая резких сопоставлений и цветовых контрастов.

Прежде чем приступить к окраске, намечают схему распределения цвета, а уже после этого подбирают сами цвета. Часто выбор цвета практически ничем не обусловлен и не ограничен.

Подбор цвета - трудная, а иногда и ответственная задача. Здесь имеет значение и «вкусовой» момент, особенно когда речь идет о жилище. Для колористического решения важно не только наименование цвета или ряда цветов, важна и мера : какой именно оттенок красного - разбеленный или с примесью черного, сине-зеленый или сине-фиолетовый - будет сочетаться со смежным тоном.

Зная объективные закономерности восприятия цвета, человек может сделать свое предметное окружение красивым. Он имеет возможность как бы со стороны оценивать цветосочетания, анализируя свои личные вкусы и пристрастия.

«Вкус цвета» будет определять цветовое комбинаторное решение внешнего вида графической продукции промышленного дизайна.

Все спектральные цвета тем или иным образом влияют на функциональные системы человека:

· Красный - возбуждающий, согревающий, активный, энергичный, проникающий, тепловой, активизирует все функции организма.

· Оранжевый - тонизирующий; действует в том же направлении, что и красный, но слабее; ускоряет пульсацию крови, улучшает пищеварение.

· Желтый (самый светлый в спектре) - тонизирующий, физиологически оптимальный, наименее утомляющий; стимулирует зрение и нервную деятельность.

· Зеленый (самый привычный для органа зрения) - физиологически оптимальный; на продолжительное время повышает двигательно-мускульную работоспособность.

· Голубой - успокаивающий; снижает мускульное напряжение и кровяное давление, успокаивает пульс и замедляет ритм дыхания.

· Синий - успокаивающее действие переходит в угнетающее; способствует затормаживанию функций физиологических систем человека.

· Фиолетовый - соединяет эффект красного и синего цветов; производит угнетающее действие на нервную систему.

На рис. 6.1 изображены простые геометрические тела, из которых должна состоять экзаменационная композиция. Кроме уже знакомых вам тел здесь представлены плашки и палочки. Плашки — дополнительные плоские квадратные, круглые и шестиугольные элементы, высота которых равна одной восьмой ребра куба. Палочки — линейные элементы композиции, длина которых равна ребру куба. Кроме того в композиции могут быть использованы тела одних пропорций, но разных размеров. Это так называемые композиции с масштабированием (поскольку на листе в таком случае присутствуют одинаковые тела, но как бы взятые в разном масштабе). Рассмотрите композиции, выполненные абитуриентами в последние годы (рис. 6.2-6.20).

Форма экзаменационной композиции, ее размер, размещение на листе, степень и характер взаимодействия геометрических тел уже давно сложились. Все эти позиции в той или иной степени отражены в экзаменационном задании. Конечно, следует сразу оговориться, что речь пойдет о том экзаменационном задании, которое существует на сегодняшний день — оно, возможно, будет изменено на тот момент, когда вы будете читать этот раздел пособия. Однако будем надеяться, что суть задания будет сохранена, и вы сможете воспользоваться нашими советами и рекомендациями.

Прежде всего, перечислим те критерии, по которым будут оценивать ваши композиции:

Соответствие выполненного рисунка заданию;

Композиционная идея в целом, гармоничность композиционного решения и сложность композиции;

Композиция листа;

Грамотное изображение отдельных элементов композиции, правильность перспективы и врезок;

В своей работе выберите сами близкую вам тему. Это может быть массивная устойчивость или легкое, устремленное в некую условную даль или ввысь движение. Движение может быть закольцовано или погашено, остановлено. Масса может быть плотной или разряженной. Композиция может строиться на метрических, равномерных закономерностях или же, наоборот — на простом или сложном ритме. В ней может присутствовать равномерное распространение массы или резкие, выделенные акценты. Перечисленные свойства могут комбинироваться (кроме тех, конечно, которые исключают друг друга в одной работе). Следует помнить, что ощущение сложности композиции возникает от восприятия сложной гармонии некоего нетривиального замысла, а не только от сложности врезок и уж точно не от нагромождения множества тел.

Правильная — обязательное условие хорошей композиции. Вы, наверное, уже заметили, что когда ваша композиция состоит всего из нескольких геометрических тел, сохранить правильную перспективу на листе достаточно сложно. Даже если в основе работы практически идеально построенный куб, прибавление каждого нового тела ведет к постепенному нарастанию искажений.

Отследить их и поправить достаточно сложно, особенно в первых композициях, когда опыт и практические навыки еще невелики. Именно поэтому для верного определения раскрытия всех граней и направления всех линий на листе используют различные способы упорядочения всех этих взаимосвязанных позиций, приведения их в единую систему. Одна из таких систем подробно описана в следующем задании. Это так называемая сетка — пространственная структура, определяющая раскрытие граней геометрических тел и направление линий по всему листу.

В процессе подготовки к экзамену «сетка» поможет вам собрать воедино все многообразие задач, связанных с процессом построения композиции, и разом, легко решить их. Безусловно, «сетка» — вещь полезная, но и в ней, конечно, есть свои плюсы и минусы.

С одной стороны, изображая композиции на основе «сетки», вы, конечно, тратите некоторое (порой довольно значительное) время на подготовительный этап ( самой «сетки»), тем самым уменьшая время работы над собственно композицией.

С другой стороны, «сетка» может значительно сократить время на решение чисто технических задач, связанных с определением направлений горизонтальных прямых и раскрытием различных поверхностей. Конечно, определенный навык позволит вам свести к минимуму временные затраты на «сетку», но если в «сетке» будет допущена ошибка (что в стрессовых условиях экзамена вполне вероятно), то заметить эту ошибку вы сможете, только нарисовав первое геометрическое тело.

Что делать в таком случае — исправлять сетку или отказаться от нее вовсе, чтобы наверстать упущенное время? Очевидно лишь то, что начинать работу над экзаменационной композицией с «сетки» следует, только если к экзамену вы научились делать «сетку» быстро и качественно, доведя этот процесс почти до автоматизма, и легко строите композицию на ее основе.

Еще один вопрос, который часто волнует абитуриента — вопрос о врезках: какие врезки стоит делать, насколько сложными они должны быть, и даже стоит ли их делать вообще? Начнем с того, что врезки в экзаменационной композиции можно и не делать — в экзаменационном задании использование врезок лишь рекомендовано и не является обязательным условием, однако следует понимать, что композиция без врезок значительно уступает в сложности и художественной выразительности. Не забывайте, что вашу композицию будут оценивать в ряду других, а следовательно, делая композицию без врезок, вы заведомо снижаете конкурентоспособность собственной (заботы. Конечно, год от года уровень экзаменационной композиции растет, и это диктует включение в композицию сложных врезок, которые делают экзаменационную работу выразительнее и интереснее. Однако их выполнение требует дополнительного времени, которое в условиях экзамена ограничено. В этой ситуации все зависит от вашего опыта — если вы усердно готовились к экзамену по композиции, скорее всего у вас уже есть свои любимые врезки, которые могут быть достаточно сложными, но, обрисованные много раз, они изображаются легко и, следовательно, быстро. Но не стоит увлекаться сложными врезками, переусложнить работу — помните, что даже композиция, выполненная с применением простых врезок, может быть достаточно сложной и выразительной. Важно также сказать о том, насколько геометрические тела должны врезаться друг в друга. Порой в композициях геометрические тела врезаны так незначительно, что создается ощущение, будто они не врезаны друг в друга, а лишь едва соприкасаются. Такие композиции, как правило, вызывают ощущение нестабильности, неустойчивости и незавершенности. У зрителя появляется непреодолимое желание сделать такую композицию плотнее, глубже врезать друг в друга геометрические тела. Анализируя такую работу, трудно говорить о ней как о композиции — группе гармонично соподчиненных объемов. В других композициях тела так глубоко врезаны друг в друга, что уже непонятно — какие же это тела? Такая композиция, как правило, похожа на сложную массу с торчащими из нее частями геометрических тел и не создает у зрителя ощущения гармонии. Тела в ней перестают существовать как самостоятельные объекты, превращаясь в геометрическую смесь. Если не рассматривать такие крайние случаи (когда геометрические тела почти не врезаются друг в друга или когда они превращаются в единую плотную массу), для создания композиции средней плотности следует придерживаться следующего правила: геометрическое тело должно врезаться в другое (или другие) геометрические тела не более чем наполовину, лучше — на одну треть. Кроме того, желательно, чтобы зритель всегда мог определить основные размеры геометрического тела по его видимой части. Иными словами, если в какое-либо тело врезается , на рисунке должна остаться видимой его вершина, значительная часть боковой поверхности и окружности основания. Если в какое-либо тело врезается , то видимыми должны остаться части боковой поверхности цилиндра и окружностей его оснований. Особо следует сказать о врезках кубов и четырехгранников — в композиции эти геометрические тела составляют фон или, своего рода, каркас для расположения и врезки других, более сложных в построении геометрических тел. Поэтому допускаются врезки, когда видимые части кубов и четырехгранников составляют менее половины их объемов.

Олимпиадные задачи этого раздела относятся к разнообразным оценкам, связанным с размещениями, покрытиями, упаковками и замощениями, различными комбинациями фигур. Здесь используются самые общие свойства, связанные с расположением фигур на плоскости и в пространстве. Отметим лишь следующие:

Теорема Жордана: любая несамопересекающаяся замкнутая ломаная делит плоскость на две области – внутреннюю и внешнюю, причём любой путь из точки внутренней области в точку внешней пересекает эту ломаную, а две точки каждой области можно соединить путём, не пересекающим ломаной.

Выпуклое множество – это множество, которое вместе с каждыми двумя точками содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки.

Выпуклая оболочка фигуры – это наименьшее выпуклое множество, содержащее эту фигуру; выпуклая оболочка конечного множества – многоугольник (в пространстве – многогранник) с вершинами в некоторых из данных точек.

Вместе с данной фигурой бывает полезно рассмотреть её r-окрестность : множество точек, наименьшее расстояние от которых до точек фигуры меньше чем r .

Две фигуры (в частности, точки) находятся на расстоянии не меньшем 2r , если и только если их r- окрестности не пересекаются.

Если объединение нескольких фигур содержит данную фигуру F, то говорят, что эти фигуры образуют покрытие фигуры F. При этом покрывающие фигуры могут пересекаться.

Упаковка – это размещение внутри данной фигуры нескольких фигур, не имеющих общих точек, кроме, быть может, граничных.

В некоторых задачах фигура разрезается на меньшие части (например, на две одинаковые), или наоборот, из нескольких данных фигур составляется одна большая. Это – задачи на разрезание или замощение . Замощение является одновременно покрытием и упаковкой.

Задачи с решениями

1. Можно ли покрыть равносторонний треугольник двумя равносторонними треугольниками меньшего размера?

Каждый из меньших треугольников может покрыть только одну вершину большего, но вершин три, а треугольников только два.

Ответ: нельзя.

2. Из пяти данных окружностей любые четыре проходят через одну точку. Докажите, что найдётся точка, через которую проходят все пять окружностей.

1-я, 2-я, 4-я и 5-я окружности проходят через точку А;

1-я, 3-я, 4-я и 5-я – через точку В;

2-я, 3-я, 4-я и 5-я – через точку С.

Мы видим, что все три точки А, В и С не могут быть различными, так как они лежат на 4-й и 5-й окружностях, а две окружности имеют не больше двух точек пересечения. Значит, согласно принципу Дирихле, какие-то две из точек А, В и С совпадают.

Пусть, например, совпадают точки А и В. Тогда все окружности проходят через точку А. Доказательство завершено.

3. На какое наименьшее число неперекрывающихся тетраэдров можно разбить куб?

Легко видеть, что куб можно разбить на 5 тетраэдров. На рисунке это тетраэдры АА"В"D", АВ"ВС, АСDD", В"С"D"С и АСD"В".

Докажем теперь, что на меньшее число тетраэдров разбить куб нельзя. Пусть куб с ребром а разбит на несколько тетраэдров. Имеются, по крайней мере, два из них, основания которых лежат на грани АВСD куба. Точно так же имеются по крайней мере 2 тетраэдра с основаниями на грани А"В"С"D".

Эти тетраэдры заведомо отличны от первых двух, так как у тетраэдра не может быть двух параллельных граней. Итак, у нас уже есть 4 тетраэдра. Их общий объем не больше чем 2а 3 /3, то есть меньше объёма куба. Таким образом, на 4 тетраэдра куб разбить нельзя.

4. На окружности отмечено n точек. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся (n–1)-звенных ломаных с вершинами в этих точках?

Первую точку можно выбрать n способами. Каждую из следующих n–2 точек можно выбрать двумя способами, так как она должна быть соседней с одной из ранее выбранных точек (иначе получится самопересекающаяся ломаная). Поскольку начало и конец при таком подсчёте не различаются, результат нужно разделить на 2. Следовательно, всего имеется

n·2 n–2 /2 = n·2 n–3

Ответ: n·2 n–3 .

5. а) Выбраны шесть цветов, и требуется раскрасить шесть граней куба в разные цвета. Сколькими различными способами можно это сделать? (Различными считаются те раскраски, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.)

б) Сколькими различными способами можно раскрасить грани додекаэдра в двенадцать цветов?

a) Куб можно повернуть так, чтобы грань, окрашенная первым цветом, заняла заданное положение. Для окраски противоположной ей грани есть пять различных вариантов; разные раскраски противоположной грани дают различные раскраски куба.

Среди оставшихся четырёх граней можно выбрать грань, окрашенную данным цветом, и перевести её в данное положение (не меняя при этом положение первых двух граней). Разные раскраски трёх оставшихся граней дают различные раскраски куба. Одну из этих граней можно окрасить тремя способами, одну из оставшихся – двумя. Всего получаем

5 · 3 · 2 = 30

различных раскрасок.

Ответ: 30 способами.

б) Количество всех возможных раскрасок додекаэдра равно 12! = 1 · 2 · ... · 12. Чтобы найти число различных раскрасок, нужно поделить 12! на число самосовмещений додекаэдра. Любую из 12 граней можно перевести в любую другую. Кроме того, есть пять поворотов (включая тождественный), сохраняющих данную грань. Всего получается 60 самосовмещений. Поэтому количество различных раскрасок додекаэдра равно

12! / 60 = 7983360.

Ответ: 7983360 способами.

6. В плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что некоторая прямая пересекает все эти многоугольники.

Спроектируем все многоугольники на некоторую прямую. Проекция каждого многоугольника является отрезком, причём по условию любые два отрезка имеют общую точку. Отсюда следует, что все отрезки имеют общую точку (чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть данную прямую как числовую ось и взять наименьший из правых концов этих отрезков). Прямая, перпендикулярная к данной и проходящая через отмеченную точку, пересекает все многоугольники.

7. Каждая точка плоскости окрашена в красный или голубой цвет. Докажите, что найдется прямоугольник, все вершины которого окрашены в один и тот же цвет.

Согласно принципу Дирихле, из семи точек не меньше четырёх должны иметь одинаковый цвет. Выберем из семи точек на прямой p четыре точки Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 , окрашенные в один цвет, скажем, в красный. Рассмотрим ещё две прямые q и r, параллельные прямой р, и две четверки точек на них (Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q 4) и (R 1 , R 2 , R 3 , R 4), полученные ортогональным проектированием выбранной четвёрки на эти прямые. Рассмотрим прямоугольники с вершинами в этих точках и в точках Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 . Теперь, если две из точек, например, Q i и Q j – красные, то все точки прямоугольника Р i Q i Q j Р j также красные. Аналогично и для двух красных точек из R 1 , R 2 , R 3 , R 4 .

Если ни один из этих случаев не имеет места, то некоторые три (или более) точек на прямой q и три (или более) точек на прямой r должны быть голубыми. Но эти тройки голубых точек расположены так, что среди них обязательно найдутся по паре точек, лежащих одна под другой и, таким образом, образующие голубой прямоугольник, откуда и следует утверждение задачи.

Замечание: отметим, что этот результат справедлив для любой области на плоскости, заключённой внутри сколь угодно малой окружности.

8. Через фиксированную точку пространства проводим плоскости так, чтобы разделить пространство на возможно большее число частей. Одна плоскость разделит пространство на две части, две пересекающиеся плоскости – на четыре части, три пересекающиеся в некоторой точке плоскости и не имеющие другой общей точки делят пространство на восемь частей.

а) Какое максимальное число частей можно получить при четырех плоскостях?

б) Какое – при n плоскостях?

Вместо всего пространства будем делить шар, через центр которого проводим плоскости. На поверхности шара (на ограничивающей его сфере) возникнут взаимно пересекающиеся большие окружности. Примем одну из них за экватор и все эти окружности спроектируем из центра шара на плоскость, касательную к шару в полюсе. Проекциями наших окружностей (за исключением одной, являющейся экватором и вовсе ни во что не проектирующейся) будут прямые. Следовательно, нужно вычислить максимальное число областей плоскости, разделенной n–1 прямыми. Методом индукции можно получить (смотрите задачу 9 в разделе ), что оно равно

1 + 1 + 2 + 3 + . . . + (n–1) = 1 + n(n–1)/2.

Так как на сфере имеется вдвое больше областей, чем на её плоской проекции (помним об экваторе, который присутствует на сфере и отсутствует на плоскости проекции), то искомое число будет вдвое больше вычисленного нами выше, следовательно, оно равно 2 + n(n–1).

В частности, при n = 4 искомым числом является 14.

Ответ: а) 14; б) 2+n(n–1).

9. Имеется несколько квадратов, сумма площадей которых равна 4. Докажите, что такими квадратами всегда можно покрыть квадрат площади 1.

Если покрывать квадрат набором квадратов, сторона каждого из которых уменьшена до ближайшего меньшего числа вида 1/2 k , k = 1, 2, ... , то эти квадраты можно разместить без наложений (смотрите рисунок).

Поскольку площадь каждого квадрата уменьшилась менее чем в 4 раза, то сумма их площадей больше 1, так что они заведомо покроют весь квадрат.

10. Необходимо разделить треугольник на 19 треугольников так, чтобы в каждой вершине полученной фигуры (а также в вершинах большого треугольника) сходилось одинаковое число сторон. Число 19 нельзя заменить большим числом, но можно заменить меньшими числами. Какими же?

Чтобы разделить треугольник на некоторое число треугольников так, чтобы в каждой вершине образованной фигуры сходилось одинаковое число сторон, воспользуемся правильными многогранниками, грани которых являются треугольниками. Это могут быть следующие многогранники: правильные тетраэдр, октаэдр и икосаэдр, и только они.

Если внутри тетраэдра мы выберем точку, лежащую близко от центра одной из граней, и из этой точки спроектируем рёбра тетраэдра на плоскость, то получим первую фигуру, изображенную на следующем рисунке.

Она состоит из трех треугольников, соответствующих граням тетраэдра; четвертая грань при проектировании перешла в большой треугольник ABC. В каждой вершине фигуры сходятся три стороны, так как в каждой вершине тетраэдра сходятся три ребра.

Подобным же образом, при помощи центральной проекции, получим из правильного октаэдра вторую фигуру на рисунке, состоящую из семи треугольников, в каждой вершине которой сходится четыре стороны, а из правильного икосаэдра – третью фигуру, состоящую из 19 треугольников, в каждой вершине которой сходится пять сторон.

Не существует фигуры, отвечающей условиям задачи и отличающейся от изображенных трёх, так как ей соответствовал бы правильный многогранник, отличающийся от трёх упомянутых выше, а такого не существует.

Итак, возможное число треугольников, меньшее 19 – это 4 и 7.

Задачи без решений

1. На столе лежат 15 журналов, полностью покрывая его. Докажите, что можно убрать 7 журналов так, чтобы оставшиеся покрывали не менее 8/15 площади стола.

2. В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько имеется различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

3. В выпуклом n-угольнике (n > 3) проведены все диагонали, причём никакие три из них не пересекаются в одной точке. Найдите число точек пересечения диагоналей.

4. Докажите, что нельзя покрыть всю плоскость сетью треугольников так, чтобы в каждой вершине сходилось пять треугольников.

5. На плоскости проведено n прямых (n > 2), делящих плоскость на несколько областей. Некоторые из этих областей окрашены, причем никакие две окрашенные области не могут соприкасаться по границе. Докажите, что число окрашенных областей не превосходит n(n+1)/3.

Комбинаторные методы в проектировании одежды впервые применили в 1920-х гг. советские конструктивисты А. Родченко, Л. Попова, В. Степанова. Освоив системный структурный анализ, а также занимаясь «формальными экспериментами» в области беспредметной живописи, конструктивисты использовали эти методы и при разработке образцов одежды. Основные принципы конструктивистов: конструктивность, функциональность, экономичность материалов и конструкций. При проектировании производственной одежды они применяли программированные методы формообразования нескольких уровней: комбинирование стандартных элементов из набора простейших геометрических форм (конструктивистские ткани), комбинирование различных видов декора на основе базовой формы, трансформацию одежды в процессе эксплуатации, комбинирование стандартных готовых объектов. А также упростить существующую вещь, т.е., снять с нее украшения, выявить конструкцию, убрать неработающие части. Улучшить существующую вещь – сделать ее более удобной, может быть многофункциональной, по-новому решить цвет и материал. Впоследствии программированные методы формообразования стали не только ведущими методами при проектировании костюма, но и легли в основу графических компьютерных программ.

Комбинаторные методы являются основными методами проектирования с применением комбинирования. К ним относятся комбинаторика, трансформация, кинетизм, создание безразмерной одежды, создание одежды из целого плоского куска ткани.

Комбинаторика (от лат. Combinare- соединять, сочетать, от com-bino – связанные по два) - метод формообразования в дизайне, основанный на поиске, исследовании и применении вариантного изменения пространственных, конструктивных, функциональных и графических структур, а также на способах проектирования объектов дизайна из типизированных элементов.

Комбинаторика – комбинирование различными способами форм и их элементов или вариантный поиск, который можно подразделить на ряд основных приемов:

Комбинирование элементов на плоскости при создании текстильных композиций, раппортных тканей или трикотажных полотен;

Комбинирование типизированных стандартных элементов (модулей) при создании целостной формы;

Комбинирование деталей, пропорциональных членений внутри определенной формы (по одной конструктивной основе или базовой форме);

Компьютерный поиск готовых вариантов организации готовых комплектов.

Математический смысл комбинаторного метода заключается в установлении определенного порядка следования элементов некоторого множества друг за другом.

Специфика комбинаторики близка к природному формообразованию: дает возможность наиболее экономично использовать элементы конструкций и имеет прямое отношение к унифицированному массовому производству.

Практическая задача метода состоит в выборе серии одного или нескольких объектов, имеющих функциональную значимость. Комбинаторика дает возможность дизайнеру совершенствовать свою деятельность в двух направлениях:

создавать новые структурные построения,

варьировать исходные элементы.

Ткани В. Степановой и Л. Поповой явились одним из немногих реализованных достижений производственников. Принципы создания этих тканей:

соответствие рисунка назначению ткани (для платья, для халата, занавески, скатерти)

соответствие его технологии производства (печать). Учитывались также особенности использования ткани при изготовлении массовой одежды. Следовательно, подход к рисунку ткани был глубоко функциональным, не только художественно, но и технически оправданным.

Примерно те же принципы были заложены и в проектах костюмов – прежде всего их целесообразность, их профессиональная оправданность и удобство для данной функции (работа, отдых, спорт), удобство и технологичность их массового пошива, их конструктивность.

Комбинаторика оперирует определенными приемами комбинирования: перестановкой, вставкой, группировкой, переворотом, организацией ритмов.

Прием перестановки , или эвристическое комбинирование , предполагает изменение элементов, их замену. Этот прием получил широкое применение в проектной практике как наиболее простой и дающий достаточно неожиданные результаты. Его можно охарактеризовать как комбинаторный поиск компоновочных решений. Этот прием часто используется при вариантном применении деталей изделия на одной конструктивной основе, при компоновке деталей одежды по всему изделию, при замене одних деталей другими. Например, замена воротников карманами, поясами, сумками, трансформирующимися полотнами в виде квадратов, треугольников, кругов. Авангардисты в моде с успехом используют этот метод проектирования, так как в процессе свою первоначальную идею можно довести до гротеска, абсурда, а потом найти в этом рациональное зерно решения.

Прием вставок (врезок) используется для создания сложной формы из простой. Для этого можно взять любую простую давно известную форму одежды: прямую, расширенную или зауженную книзу юбку, платье такого же силуэта, рукава, капюшоны, сумки, головные уборы. Другими словами, взять любую цилиндрическую или коническую форму, разрезать ее в определенном направлении (вертикально, горизонтально, диагонально или смешанно) по боковым швам, в других местах (можно соблюдать равные расстояния между разрезами или располагать разрезы в динамическом ритме). Вставить в разрезы плоские куски ткани простой геометрической формы (квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, полукруг, сектор, трапецию и т.д.). Можно вставить любые сложные формы. Число вставок может быть любым.

Трансформация (от лат. – превращение) – метод превращения или изменения формы, часто используемый при проектировании одежды. Сам процесс трансформации определяется динамикой, движением, изменением. Трансформация осуществляется следующим образом:

Превращение одной формы в другую (например, была длинная юбка, стала короткой при помощи кулисок; шапка-ушанка, складная сумка);

Трансформация деталей внутри одной формы (например, концы воротника загибаются, складываются в гармошку, завязываются вокруг шеи, заплетаются в косичку).

Процесс превращения может носить бесконечный характер, т.е. вариантов изменений можно придумать много. В этом есть положительный момент, так как изделие вследствие своей многообразности не надоедает и срок его эксплуатации продлевается.

Кинетизм (от греческого – приводящий в движение) – комбинаторный метод проектирования, в основе которого лежит идея движения формы, любого ее изменения.

Метод кинетизма заключается в создании динамики форм, декора, рисунков тканей, а также демонстрация движения в естественном виде. Идея движущейся формы принадлежит художникам советского авангарда 1910-1920-х гг. – конструктивистам Татлину, Мельникову, Родченко. В Европе в 1920-1960-х гг. идеи кинетизма развивали Мохой-Надь, Дюшан, Сото, Шоффер. Первые опыты создания движущихся моделей проводились в Баухаузе и ВХУТЕМАСе

Исторически признаки кинетизма можно проследить в народных праздниках (движущиеся объекты, марионетки, игры с фейерверками), механических игрушках, часах, музыкальных шкатулках. Средневековые представления всегда использовали динамику света и динамику объектов.

Кинетизм как система эстетических взглядов сложился в условиях развития технического прогресса, когда художники использовали новейшие достижения технологии, инженерной мысли и науки, нашедшие отражение в дизайне, телевидении, театре, массовых праздниках, профессиональных дефиле, компьютерной графике, лазерных шоу, оформлении городской среды.

В дизайне одежды метод кинетизма используется все шире, особенно в профессиональных показах: в динамике трансформирующихся деталей костюма, в применении светящихся объектов, световодов, автономного освещения, крутящихся или движущихся элементов костюма. Особое место занимает создание моделей, даже целых коллекций, в стиле «оп-арт» с использованием графических иллюзий, например движения, в декоре или в рисунках тканей, трикотажных полотнах, украшениях.

Оп-арт возник как авангардистское течение в западноевропейском искусстве 1950-1960-х гг. Большинство оп-художников заранее составляли свои геометрические образы, используя научные теории, позволяющие создать ощущение подвижности. При этом достигался необычный в искусстве результат, вызывающий физический, а не эмоциональный или психологический отклик. Композиции оп-арта основывались на игре фигуры и фона, эффектах обмана зрения, использовании прозрачных материалов. Основатель течения – итальянских живописец и график В.Вазарели с 1930 г. жил и работал в Париже. Его произведения следуют оптическим закономерностям взаимодействия черного и белого. Оп-арт стал очень тенденциозным жанром и оказал большое влияние на моду.

Этот прием проник в современное моделирование промышленных изделий – орнаментальные графические работы переносятся один к одному на трикотажные или тканые полотна.

Идея кинетического рисунка стала чрезвычайно интересной для художников по текстилю, так как позволяет создать необыкновенные и парадоксальные эффекты графики. Кинетизм дает возможность создать мощную динамику внутри статичной формы. Таким образом, метод кинетизма как проектный метод – достаточно новый в дизайне одежды, но имеет устойчивую тенденцию к расширению его использования.

Применение модульного проектирования в производстве изделий дизайна есть высшая форма деятельности в области стандартизации. При этом стандартизация выявляет и закрепляет наиболее перспективные методы и средства проектирования. Этот метод способствует унификации структурных элементов изделий. В технике наличие унифицированных узлов и деталей и установка их в различных сочетаниях позволяют преобразовывать конструкции одних изделий в другие. Основной принцип унификации – разнообразие продуктов дизайна при минимальном использовании унифицированных элементов (модулей). Модульное проектирование предполагает конструктивную, технологическую и функциональную завершенность. Сам модуль может быть законченным изделием или являться составной частью изделия, в том числе другого функционального назначения.

Модуль – единица меры. Раньше части тела человека служили единицами измерения: дюйм – длина сустава большого пальца; фут – средняя длина стопы человека и др. Применение модуля в архитектуре прошлого несло в себе художественное начало, служило средством гармонизации целого и его частей.

Модуль – это исходная единица измерения, которая повторяется и укладывается без остатка в целостной форме (объекте). Кратность (укладываемость модуля без остатка) позволяет собирать различные формы и обеспечивает их взаимозаменяемость. Современный архитектурный модуль равен 10см, укрупненный строительный модуль – 30 ил 40 см, оборудование интерьера строится на модуле 5 и 15см.

Вариантность художественных форм, т.е. возможность из ограниченного числа типов создавать разнообразные произведения, - одна из особенностей народного творчества. Как правило, все народные орнаменты состоят из ограниченного числа элементов, с помощью которых создается бесчисленное число мотивов. Таким образом, использование модулей – это не новый прием, им пользовались всегда в архитектуре и прикладном искусстве.

Модули могут быть одинакового размера, который выбирается от размеров антропологии тела человека и оптимальных размеров готовой одежды. Модули, как правило, имеют простые геометрические формы. Технологически каждый модуль обрабатывается отдельно. Главная особенность модуля в дизайне одежды – он обрабатывается «чисто» с лица и с изнанки. Если модули сшиты из двух материалов или из одной ткани двух цветов, то их можно переворачивать и использовать для составления двухцветных или двухфактурных полос, клеток, орнаментов.

Модули могут быть в форме квадратов, прямоугольников, треугольников, кругов и ромбов.

Способы соединения модулей: с помощью завязок, ленточек, бантов, узлов – торчащие концы могут создать дополнительный декоративный эффект; незаметно с помощью крючков, «липучек», супатных застежек. Можно соединить модули кнопками, пуговицами, если применяется метод трансформации – изменения формы изделия, его назначения, ассортимента.

Причины изменения формы:

из маленькой формы сделать большую и, наоборот, из короткого – длинное и наоборот – прием модульного свертывания и модульного развертывания.

из простой формы составить сложную и наоборот (к жилету пристегнуть или привязать модули и получить длинное пальто с капюшоном, кокетками, карманами, сумками и головными уборами; из простых модулей составить сложный орнаментальный узор, который органично впишется в изделие).

изменяя форму, изменить назначение изделия (был жилет – стало пальто – верхняя одежда).

Можно из одинаковых модулей составлять разные изделия: жилеты разной длины и формы, сарафаны, юбки разной длины блузоны, полупальто, пальто и др.

Форма модулей может быть более сложная: в виде цветов, листьев, бабочек, зверей, птиц. Модули разной конфигурации могут создавать сложные варианты комплектования одежды, наслаиваясь друг на друга. Интересные формы получаются при моделировании из модулей семейства головных уборов или сумок.

Достоинство модульного проектирования состоит в том, что технологическая обработка модуля очень проста, ее может выполнить неквалифицированный специалист даже в домашних условиях. Проектирование и сборка фрагментов в разнообразные изделия таят огромные возможности. К сожалению, такой прием проектирования применяется редко.

Деструкция (от лат. – разрушение) – в истории искусства качество формы, противоположное конструктивности (построение) и тектоничности (строение, искусство построения), выражению внутренней конструкции на поверхности формы. К конструктивным стилям классического искусства относят произведения античной классики, архитектуры Классицизма, к деструктивным – Барокко, к атектоничным – произведения Модерна. В отношении искусства постмодернизма используют термин – «деконструкция».

Термин «деконструкция» означает, что мы разбирает одежду на составные части.

По одним данным метод был предложен японскими дизайнерами Е.Ямамото и Р.Кавакубо в начале 1980-х гг, а затем разработан представителями «бельгийской школы» в дизайне одежды, по другим - стиль зародился в Антверпене, Бельгия. Основоположники стиля Мартин Маржиела (родился в 1957г.), Анн Домельмейстер (родилась в 1959 г.), Дрис Ван Нотен (родился в 1958 г.) и Уолтер Ван Биерендонк. Все они – сторонники деконструкции, хотя прошли школу традиционного кроя и техники отшива изделий в ателье Парижа, Милана или лондонской Сэвайл-роу.

Несмотря на общее происхождение и воспитание, каждый из дизайнеров имеет свой почерк, который отражает мрачноватую североевропейскую эстетику, но сохранил собственную индивидуальность. Ключевыми для Дрисса Ван Нотена являются этнические мотивы и цвет в сочетании с дикой какофонией рисунка и текстуры на длинном слоистом силуэте. Демельмейстер известна своими необычными наложениями материалов и новаторскими формами. Мартин Маржиела радикально изменил представление о дизайне, перемещая по телу отверстия для рук, переворачивая силуэты вверх ногами и выставляя напоказ внутренние швы пиджаков и пальто.

Этот метод также использовали Ж.-П. Готье и Дж. Гальяно.

Метод деконструкции представляет собой свободное манипулирование формой и посадкой изделия на фигуре. Используются: асимметричный крой, неровные края одежды, разрывы, прорези и дырки, деление конструкции на правую и левую половины, инверсия (швы наружу, лацканы на спине, застежки в нетрадиционных местах, вытачки «налицо»), элементы незавершенности, нарушение традиционной технологии.

Метод инверсии довольно часто используется при деконструкции, так как разрушает привычные приемы моделирования одежды. Примеры применения этого метода в дизайне одежды:

одежда, сшитая швами наружу,

сумки с множеством внешних карманов, но пустые внутри,

двухсторонние пальто, плащи, костюмы, жилеты, которые можно носить на обе стороны,

превращение нижнего белья в одежду,

вынесение лейбла фирмы на лицевую сторону изделия.

Инверсия способствует всестороннему развитию гибкости мышления дизайнера и позволяет получить совершенно новые, порой парадоксальные решения.

В 2000-2001 гг. деконструкция изменилась в сторону большего разрушения привычных комплексов одежды:

блузы, майки, куртки с одним рукавом,

брюки с одной штаниной, половина юбки плюс одна штанина и др.

Изменились способы ношения одежды. Сказалось сильное влияние стиля «грандж»: нарочитая небрежность, наслоение вещей с разной длиной. Центральным образом, характеризующим этот стиль, стала маргинальная личность (бомж, бродяга, нищий), что дало основание для определения этой тенденции в массовой моде как «маргинальный шик». Стиль «грандж», сформировавшийся в начале 1990-х гг., утвердил право своих приверженцев выглядеть неряшливо. Его с восторгом приняли все принципиальные противники официальной моды – от уличных подростков до радикальных поп-звезд. «Грандж» - это поношенные, даже рваные вещи, которые явно малы или велики, не сочетаются друг с другом по цвету и по стилю. Первые адепты новой эстетики выискивали одежду в магазинах «сэконд-хэнда», но вскоре дизайнеры подхватили идею и манекенщицы, одетые в стиле «грандж», появились на подиумах.

Деконструкция стала отличительной чертой дизайна конца 1990-х – начала XXI в., часто применяемым приемом проектирования одежды. Она обусловила более свободное отношение к посадке одежды на фигуре, наличие заминов, пространства и воздуха между тканью и телом, что сделало одежду более комфортной. Деконструкция предложила разрушение устойчивых комплексов классического костюма и новые способы ношения одежды.

КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Раздел математики, объединяющий задач, в к-рых исследуются экстремальные свойства комбинаторного характера для систем фигур. Эти задачи связаны, в первую очередь, с оптимальным в нек-ром смысле расположением выпуклых множеств. Примером одной из старейших задач такого рода может служить задача о 13 шарах: каково максимальное равных материальных шаров, к-рые можно приложить к равному всем им шару в евклидовом пространстве? И. Кеплер (J. Kepler, 1611) указал число 12, но строгое этой задачи было дано в сер. 20 в. Б. Л. Ван дер Варденом (В. L. Van der Waerden) и К. Шютте (К. Schutte).

Термин "К. г.", по-видимому, впервые появился в 1955 (см. ). Обычно с этим годом связывают возникновение К. г. как направления в математике, хотя к ней можно отнести и боЛее ранние результаты (см., напр., ). Для К. г. характерна наглядность ее задач. В К. г. широко используются комбинаторные соображения и сочетания приемов из различных областей математики (топологии, функционального анализа, геометрии в целом, теории графов и др.).

Одной из центральных групп задач К. г. являются задачи о разбиении фигур на части, напр. Ворсука проблема.

Большую группу задач К. г. составляют. задачи о покрытиях, в к-рых исследуется возможность покрытия заданного множества фигурами специального вида (см., напр., Хадвигера гипотезу о покрытии выпуклого тела минимальным числом меньших гомотетичных ему тел с коэффициентом гомотетии k, 0 освещения задачи о минимальном числе направлений пучков параллельных лучей или источников, освещающих границу выпуклого тела и др.

К. г. родственна дискретной геометрии, см., напр., определенным образом связанную с гипотезой Хадвигера и задачами освещения Эрдёша задачу о нахождении максимального числа точек евклидова пространства R n , любые три из к-рых образуют с углами, нe превосходящими p/2.

К. г. тесно примыкает к теории выпуклых множеств. См., напр., Хелли теорему, к-рая описывает пересечения нек-рых семейств выпуклых множеств в зависимости от пересечения их подсемейств.

Лит. : Нadwiger Н., "J. reine angew. Math.", 1955, Bd 194, S. 101 - 10; Alexandrоff P., Hopl H., Topologie, Bd 1, В., 1935; Xадвигер Г., Дебруннер Г., Комбинаторная плоскости, пер. с нем., М., 1965; Грюнбаум Б., Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел, пер. с англ., М., 1971; Нadwiger H., Debrunner H., Combinatorial Geometry in the Plane, N. Y., 1964; Яглом И. М., О комбинаторной геометрии, М., 1971; Болтянский В. Г., Солтан П. С, Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств, Киш., 1978. П. С. Солтан.

КОМБИНАТОРНАЯ - конечное Sвместе с отношением замыкания определенным для всех подмножеств Аиз S(т. е. влечет и но не обязательно = удовлетворяющим условиям: 1) для пустого множества 2)для каждого элемента 3) если и и если но то (свойство замены). Замкнутые множества, или плоскости образуют геометрическую решетку. Подмножество независимо, если для всех все максимальные независимые множества, или базисы, имеют одинаковую . Обычным образом определяются К. г. и сужение К. г. на подмножество А. Мощность базисов сужения К. г. на Аназ. рангом (А)множества А. Ранг удовлетворяет условию:

Множество для к-рого r(А)<|А|, наз. зависимым; минимальные зависимые множества К. г. наз. циклами. Опуская условия 1) и 2) в определении К. г., получают определение предгеометрии, или матроида. Рассматриваются также бесконечные К. г., при этом требуется конечность базисов.

Пример К. г.- подмножество Sвекторного пространства Vс отношением

определенным для всех где sр(A) - , натянутая на Ав V.

Одной из основных проблем в теории К. г. является так наз. критическая проблема. Для К. г., заданной множеством Sв проективном пространстве размерности пнад полем Галуа, эта проблема состоит в том, чтобы найти наименьшее положительное k (критическую экспоненту), для к-рого существует семейство гиперплоскостей H 1 , ..., H k , различающих S(семейство гиперплоскостей различает множество S, если для всякого tОSсуществует хотя бы одна , не содержащая t).

Лит. : Whitney H., "Amer. J. Math.", 1935 V. 57 р. 509-33; Сrаро Н. Н., Rota G. С, On the foundations of combinatorial theory: combinatorial geometries, Camb.- L., 1970; Tutte W. Т., Introduction to the theory of matroids, N. Y., 1971; Уилсон Р., Введение в теорию графов, пер. с англ., М., 1977; Рыбников К. А., Введение в комбинаторный анализ, М., 1972.

А. М. Рееякин.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ" в других словарях:

В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Теорема Пика классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел. Площадь многоугольника с целочисле … Википедия

Часть математики, первоначальным предметом к рой являются пространственные отношения и формы тел. Г. изучает пространственные отношения и формы, отвлекаясь от прочих свойств реальных предметов (плотность, вес, цвет и т. д.). В последующем… … Математическая энциклопедия

N мерная евклидова геометрия обобщение евклидовой геометрии на пространство большего числа измерений. Хотя физическое пространство является трёхмерным, и человеческие органы чувств рассчитаны на восприятие трёх измерений, N мерная… … Википедия

Множества X любое семейство подмножеств этого множества, объединение к рого есть X. 1) Под П. топологического пространства, равномерного пространства и вообще какого либо множества, наделенного тем или иным строением, понимают произвольное П.… … Математическая энциклопедия

Гипотеза Борсука опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии, утверждающая, что Любое тело диаметра d в n мерном евклидовом пространстве можно разбить на n+1 часть так, что диаметр каждой части будет меньше d. Гипотеза была выдвинута… … Википедия

Додекаэдр Правильный многогранник или платоново тело это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией … Википедия

Случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором ка … Википедия

Многогранник (точнее многогранная поверхность) называется изгибаемым, если его пространственную форму можно изменить такой непрерывной во времени деформацией, при которой каждая грань не изменяет своих размеров (то есть движется как твёрдое тело) … Википедия

Теорема Хелли классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа. Предположим, что есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства, такое что пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех… … Википедия

- (парадокс 18 точек) одна из задач вычислительной геометрии. Поместим на отрезок точку с номером 1. Затем добавим ещё одну с номером 2 таким образом, чтобы они оказались в разных половинах отрезка. Третью точку добавим таким образом, чтобы все три … Википедия

Книги

• Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии , Фоменко А., Мищенко А., Соловьев Ю.. Настоящий сборник задач призван максимально отразить существующие требования к курсам дифференциальной геометрии и топологии как со стороны новых программ, так исо стороны других курсов…