1. Постановка задачи.

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определенного интеграла

Этот интеграл может выражать площадь, объем, работу переменной силы и

Если функция непрерывна на отрезке и ее первообразную удается выразить через известные функции, то для вычисления интеграла (13.1) можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

К сожалению, в подавляющем большинстве случаев получить значение определенного интеграла с помощью формулы (13.2) или других аналитических методов не удается.

Пример 13.1. Интеграл широко используется при исследовании процессов теплообмена и диффузии, в статистической физике и теории вероятностей. Однако его значение может быть выражено в виде конечной комбинации элементарных функций.

Заметим, что даже в тех случаях, когда удается получить первообразную функцию в аналитической форме, значительные усилия, затраченные на это, часто оказываются чрезмерно высокой платой за окончательный результат. Добавим еще, что вычисления интеграла в этих случаях по формуле (13.2), как правило, приводят к громоздким (а часто - и приближенным) вычислениям. Следует отметить также, что зачастую найти точное значение интеграла (13.1) просто невозможно. Например, это имеет место, когда функция задается таблицей своих значений.

Обычно для вычисления значения определенного интеграла применяют специальные численные методы. Наиболее широко используют на практике квадратурные формулы - приближенные равенства вида

Здесь некоторые точки из отрезка узлы квадратурной формулы; числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы; целое число. Сумма которая принимается за приближенное значение интеграла, называется квадратурной суммой Величина называется погрешностью (или остаточным членом) квадратурной формулы.

Будем говорить, что квадратурная формула (13.3) точна для многочленов степени если для любого многочлена степени не выше эта формула дает точное значение интеграла, т.е.

При оценке эффективности квадратурных формул часто исходят из того, что наиболее трудоемкой операцией при вычислении по формуле (13.3) является нахождение значения функции Поэтому среди двух формул, позволяющих вычислить интеграл с заданной точностью более эффективной считается та, в которой используется меньшее число узлов.

Выведем простейшие квадратурные формулы, исходя из наглядных геометрических соображений. Будем интерпретировать интеграл (13.1) как площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции осью абсцисс и прямыми (рис. 13.1, а).

Разобьем отрезок на элементарные отрезки точками Интеграл I разобьется при этом на сумму элементарных интегралов:

где что соответствует разбиению площади исходной криволинейной трапеции на сумму площадей элементарных криволинейных трапеций (рис. 13.1, б).

Введем обозначения: где середина элементарного отрезка. Для простоты шаг будем считать постоянным.

2. Формула прямоугольников.

Заменим приближенно площадь элементарной криволинейной трапеции площадью прямоугольника, основанием которого является отрезок а высота равна значению (на рис. 13.2, а через обозначена точка с координатами Так мы приходим к элементарной квадратурной формуле прямоугольников:

Производя такую замену для всех элементарных криволинейных трапеций, получаем составную квадратурную формулу прямоугольников?

Эта формула соответствует приближенной замене площади исходной криволинейной трапеции площадью ступенчатой фшуры, изображенной на рис. 13 2. б.

Замечание. Иногда используют формулы

называемые соответственно составными квадратурными формулами левых и правых прямоугольников. Геометрические иллюстрации приведены на рис. 13.3, а и б. В соответствии с этим формулу (13.6) иногда называют составной квадратурной формулой центральных прямоугольников.

3. Формула трапеций.

Соединив отрезком точки на графике функции получим трапецию (рис 13.4, а). Заменим теперь приближенно площадь элементарной криволинейной трапеции площадью построенной фигуры. Тогда получим элементарную квадратурную формулу трапеций:

Пользуясь этой формулой при выводим составную квадратурную формулу трапеций:

Эта формула соответствует приближенной замене площади исходной

(кликните для просмотра скана)

криволинейной трапеции площадью фигуры, ограниченной ломаной линией, проходящей через точки (рис. 13.4, 6).

4. Формула Симпсона.

Если площадь элементарной криволинейной трапеции заменить площадью фигуры, расположенной под параболой, проходящей через точки (рис. 13.5, а), то получим приближенное равенство Здесь интерполяционный многочлен второй степени с узлами Как нетрудно убедиться, верна формула

Ее интегрирование приводит к равенству

Таким образом, выведена элементарная квадратурная формула Симпсона:

Применяя эту формулу на каждом элементарном отрезке, выводим составную квадратурную формулу Симпсона:

Замечание 1. Учитывая геометрическую интерпретацию формулы Симпсона, ее иногда называют формулой парабол. Замечание 2. В случае, когда число элементарных отрезков разбиения четно в формуле Симпсона можно использовать лишь узлы с целыми индексами:

При выводе этой формулы роль элементарного отрезка играет отрезок длины

5. Оценка погрешности.

Оценим погрешность выведенных квадратурных формул в предложении, что подынтегральная функция достаточно гладкая. Как и в предыдущих главах, будем использовать обозначение

Теорема 13.1. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке Тогда для составных квадратурных формул прямоугольников и трапеций справедливы следующие оценки погрешности:

Выведем сначала оценку (13.13). Представим погрешность формулы прямоугольников в виде

Используя формулу Тейлора

где имеем

Так как то Замечая, что , приходим к оценке (13.13).

Для вывода оценки (13.14) воспользуемся тем, что отрезок, соединяющий точки представляет собой график интерполяционного многочлена первой степени Поэтому для элементарной формулы трапеций верно равенство

Используя оценку (11.28) погрешности линейной интерполяции, имеем

численное интегрирование формула программирование

Введение

1. Методы численного интегрирования

2. Квадратурные формулы

3. Автоматический выбор шага интегрирования

Заключение

Библиографический список

Введение

Цель реферата состоит в изучение и сравнительный анализ методов численного интегрирования функций; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач численного интегрирования на ЭВМ.

При решении инженерных задач часто возникает необходимость в вычислениях значений определенного интеграла вида

Если функция непрерывна на отрезке [a , b ] и ее первообразная может быть определена через известную функцию, то вычисление такого интеграла производится по формуле Ньютона - Лейбница:

В инженерных задачах получить значение интеграла в аналитическом виде удается редко. Кроме того, функция f (x ) может быть задана, например, таблицей экспериментальных данных. Поэтому на практике для вычисления определенного интеграла используют специальные методы, в основе которых лежит аппарат интерполирования.

Идея таких методов заключается в следующем. Вместо того, чтобы вычислять интеграл по формуле (1), сначала вычисляют значения функции f (x i ) = y i в некоторых узлах x i Î[a , b ]. Затем выбирается интерполяционный многочлен P (x ), проходящий через полученные точки (x i , y i ), который используется при вычислении приближенного значения интеграла (1):

При реализации такого подхода формулы численного интегрирования принимают следующий общий вид:

где - узлы интерполирования, A i - некоторые коэффициенты, R - остаточный член, характеризующий погрешность формулы. Заметим, что формулы вида (2) называют квадратурными формулами.

Геометрический смысл численного интегрирования состоит в вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (х ), осью абсцисс и двумя прямыми х = а и х = b. Приближенное вычисление площади приводит к отбрасыванию в квадратурных формулах остаточного члена R , характеризующего погрешность метода, на которую дополнительно накладывается вычислительная погрешность.

1. Методы численного интегрирования

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определённого интеграла

Как известно из курса математики, аналитически вычисление интеграла можно провести не во всех случаях. И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этого интеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникает задача приближенного значения этого интеграла.

Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях: 1. в выборе конечного числа вместо n; 2. в выборе точки в соответствующем отрезке.

В зависимости от выбора мы получаем различные формулы для вычисления интеграла: Формулы левых и правых прямоугольников (5), (6)

Формула трапеции:

Формула Симпсона

b, a - концы рассматриваемого отрезка.

Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок на 6 равных отрезков:

По формуле левых прямоугольников:

По формуле трапеции:

По формуле Симпсона:

А результат полученный аналитически равен

Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.

2. Квадратурные формулы

Формулы прямоугольников являются наиболее простыми квадратурными формулами. Разобьем отрезок интегрирования [a, b ] на п равных частей длиной . Заметим, что величину h называют шагом интегрирования. В точках разбиения х 0 = а , х 1 = a + h , ..., x n = b отметим ординаты y 0 , y 1 ,…, y n кривой f (x ), т.е. вычислим у i = f (x i ), x i = a+ ih = x i -1 + h (i = ). На каждом отрезке длиной h построим прямоугольник со сторонами h и y i , где i = , т.е. по значениям ординат, вычисленных в левых концах отрезков. Тогда площадь криволинейной трапеции, определяющую величину интеграла (1), приближенно можно представить в виде суммы площадей прямоугольников (рис. 1). Отсюда получим формулу прямоугольников:

Если при вычислении интегральной суммы брать значения функции f (x ) не в левых, а в правых концах отрезков длиной h , что показано на рис. 1 пунктирной линией, то получим второй вариант формулы прямоугольников:

Третий вариант формулы прямоугольников можно получить при использовании значений функции f (x ), вычисленных в средней точке каждого отрезка длины h (рис. 2):

Формулы (3), (4) и (4) называют формулами левых, правых и центральных прямоугольников соответственно.

Рис. 2

Формула трапеций. Здесь на каждом элементарном интервале [x i -1 , x i ] длины h точки с координатами (x i -1 , y i -1) и (x i , y i ) соединяются отрезком (рис. 3). Тогда площадь трапеции, построенной на этом интервале, определяется произведением 0,5h (y i -1 + y i ). Суммируя площади элементарных трапеций для i = получим приближенное значение интеграла:

Формула Симпсона. Разобьем интервал интегрирования на 2n равных частей длиной . На каждом отрезке [x i , x i+2 ] подынтегральную функцию f (х ) заменим параболой, проходящей через точки (x i , y i ), (x i +1 , y i +1), (x i +2 , y i +2). Тогда приближенное значение интеграла определяется формулой Симпсона:

При вычислениях на ЭВМ более удобна следующая формула:

Метод Симпсона - один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, он дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно.

Формула Ньютона. Приближенное значение интеграла по формуле Ньютона вычисляется следующим образом:

где число участков разбиения кратно трем, т.е. составляет 3n . При разработке программ для ЭВМ удобнее использовать эквивалентную формулу:

Метод Ньютона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до четвертого порядка включительно.

3. Автоматический выбор шага интегрирования

В результате расчета по формулам (3) - (8) получают приближенное значение интеграла, которое может отличаться от точного на некоторую величину, называемую погрешностью интегрирования. Ошибка определяется формулой остаточного члена R , различной для каждого из методов интегрирования. Если требуется вычислить значение интеграла с погрешностью, не превышающей e, то необходимо выбрать такой шаг интегрирования h , чтобы выполнялось неравенство R (h ) £ e. На практике используют автоматический выбор значения h , обеспечивающего достижение заданной погрешности. Сначала вычисляют значение интеграла I (n ), разбивая интервал интегрирования на п участков, затем число участков удваивают и вычисляют интеграл I (2n ). Процесс вычислений продолжают до тех пор, пока не станет справедливым условие:

где P - порядок точности квадратурной формулы. Для формул левых и правых прямоугольников P = 1, для формул центральных прямоугольников и трапеций P = 2, для формул Симпсона и Ньютона P = 4. В результате полагают, что I » I (2n ) с точностью e.

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы был проведен сравнительный анализ численных методов, таких как численное интегрирование.

В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.

Для более глубокого анализа численных методов мы использовали средства MathCAD, а также алгоритмические языки программирования.

Б иблиографический список

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1960. 659 с.

2. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 1994. 544 с.

3. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1998. 383 с.

4. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

Размещено на http://www.

Заменим подынтегральную функцию, входящую в (2.50), интерполяционным многочленом Лагранжа нулевой степени, проходящим через середину отрезка - точку х = (а + Ь)/2 (рис. 2.5). Площадь криволинейной трапеции можно заменить площадью прямоугольника, т. е.

Формула (2.52) носит название ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ или ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ. Ее погрешность составляет

Разложение функции f(x) в ряд относительно середины отрезка имеет вид

Подставив выражение (2.54) в (2.53), получим

Рис. 2.5

При вычислении ошибки интегрирования уничтожился не только первый, но и второй член разложения, что связано с симметричным выбором узла интегрирования. И хотя по построению формула точна для многочленов нулевого порядка, выбор симметричного узла интерполяции привел к тому, что формула точна для любой линейной функции.

Значение остаточного члена в формуле прямоугольников (2.53) может быть велико, так как разность (6 - а) может быть достаточно большой. Для повышения точности введем сетку

с достаточно мелким шагом h t = jc (- x t _ j и применим формулу прямоугольников на каждом шаге сетки. Тогда получим обобщенную формулу прямоугольников

с величиной остаточного члена

На равномерной сетке с шагом h t «= х ( - x t _ j = const формула (2.56) упрощается и имеет вид

величина остаточного члена составляет Заменяя в (2.58) сумму интегралом, получаем

Для справедливости оценки остаточного члена (2.58) необходимо существование непрерывной второй производной; если вторая производная f"x) - кусочно-непрерывная, то удается сделать лишь мажорантную оценку, заменяя f"(x) ее максимальной величиной на [а, 6]. Тогда, если обозначить М 2 = max | f"(x) | [а остаточный член

В том случае, когда функция f(x ) задана в виде таблицы, ее значение в середине интервала неизвестно. Это значение находится, как правило, интерполированием, что приводит к ухудшению точности формулы.

В случае таблично заданных функций удобно в качестве узлов интерполяции выбрать начало и конец отрезка интегрирования, т. е. заменить функцию f(x) многочленом Лагранжа первой степени. Имеем

Рис. 2.6

В этом случае величина интеграла, равная площади криволинейной трапеции, приближенно заменяется величиной площади трапеции (рис. 2.6). Поэтому получаем

имея в виду, что х 0 = а, х г = Ь. Эта формула носит название ФОРМУЛЫ ТРАПЕЦИЙ. При использовании формулы трапеций для

оценки погрешности интегрирования вычислим J dx по

формулам (2.18). Имеем

Погрешность формулы трапеций вдвое больше погрешности формулы прямоугольников. Это объясняется тем, что выбор в формуле прямоугольников в качестве узла интерполяции симметричного узла приводит к повышению ее точности.

Для повышения точности формулы (2.61) введем на отрезке [а, Ь] сетку

Подсчитывая значение интеграла для каждого интервала и суммируя эти значения, получаем обобщенную формулу трапеций

со значением остаточного члена

Эти формулы упрощаются на сетке с постоянным шагом Л = Л (= Xj - д:, t = const (i - 0, 1, - 1):

Введем обозначение М 2 ~ max |ГХ^)1(а &] На практике пользуются мажорантной оценкой величины остаточного члена

Таким образом, формула трапеций (как и формула прямоугольников) имеет второй порядок точности относительно шага сетки, и погрешность асимптотически стремится к нулю при h -» 0 с точностью до членов более высокого порядка малости.

Для повышения порядка точности формулы численного интегрирования заменим подынтегральную кривую параболой - интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, выбрав в качестве узлов интерполяции концы и середину отрезка интегрирования: х 0 = а, х х ~ (а + Ь)/ 2, х г = Ъ (рис. 2.7).

В этом случае, проинтегрировав интерполяционный многочлен для равноотстоящих узлов, получим

Рис. 2.7

При этом значение остаточного члена R ~ J Д 2 (х) dx оценивается приближенным соотношением °

Формулу (2.67) называют ФОРМУЛОЙ СИМПСОНА. Для неравноотстоящих узлов х 0 , Xj, х 2 величина F составляет

Как и в предыдущих двух случаях, для повышения точности формулы (2.67) введем сетку с достаточно малым шагом. Суммируя значения нтегралов, полученных по (2.67) для каждого интервала, получаем обобщенную формулу Симпсона (парабол), которая на равномерной сетке имеет вид

а величина остаточного члена -

Таким образом, формула парабол имеет четвертый порядок точности относительно шага сетки. Введем обозначение М 4 = = max |/ IV (x)| }