Ещё когда я был студентом-первокурсником у меня с одним моим одногруппником вышел горячий спор. Он говорил, что четырёхмерный куб представить нельзя ни в каком виде, а я уверял, что его можно представить достаточно отчётливо. Тогда я даже сделал из скрепок проекцию гиперкуба на наше трёхмерное пространство... Но давайте обо всём по-порядку.
Что такое гиперкуб (тессеракт) и четырёхмерное пространство
В нашем привычном пространстве три измерения. С геометрической точки зрения это значит, что в нём можно указать три взаимно-перпендикулярных прямых. То есть для любой прямой можно найти вторую, перпендикулярную первой, а для пары можно найти третью прямую, перпендикулярную двум первым. Найти четвёртую прямую, перпендикулярную трём имеющимся, уже не удастся.
Четырёхмерное пространство отличается от нашего только тем, что в нём есть ещё одно дополнительное направление. Если у вас уже есть три взаимно перпендикулярные прямые, то вы можете найти четвёртую, такую, что она будет перпендикуляра всем трём.
Гиперкуб это просто куб в четырёхмерном пространстве.
Можно ли представить четырёхмерное пространство и гиперкуб?
Этот вопрос сродни вопросу: «можно ли представить Тайную Вечерю, посмотрев на одноимённую картину (1495-1498) Леонардо да Винчи (1452-1519)?»
С одной стороны, вы конечно не представите то, что видел Иисус (он сидит лицом к зрителю), тем более вы не почувствуете запаха сада за окном и вкуса еды на столе, не услышите пения птиц... Вы не получите полного представления о происходившем в тот вечер, но нельзя сказать, что вы не узнаете ничего нового и что картина не представляет никакого интереса.
Аналогичная ситуация и с вопросом о гиперкубе. Полностью представить его нельзя, но можно приблизиться к пониманию, каков он.
Пространство-время и евклидово четырёхмерное пространство
Надеюсь, что вам удалось представить гиперкуб. Но удалось ли вам приблизиться к пониманию, как устроено четырёхмерное пространство-время в котором мы живём? Увы, не совсем.
Здесь мы говорили об евклидовом четырёхмерном пространстве, но пространство-время обладает совсем другими свойствами. В частности, при любых поворотах отрезки остаются всегда наклонены к оси времени либо под углом меньше 45 градусов, либо под углом больше 45 градусов.
Проекции и зрение жителя четырёхмерного пространства
Несколько слов о зрении
Мы живём в трёхмерном мире, но видим мы его двумерным. Это связано с тем, что сетчатка наших глаз расположена в плоскости, имеющей только два измерения. Именно поэтому мы способны воспринимать двумерные картины и находить их похожими на реальность. (Конечно, благодаря аккомодации, глаз может оценить расстояние до объекта, но это уже побочное явление, связанное с оптикой, встроенной в наш глаз.)
Глаза жителя четырёхмерного пространства должны иметь трёхмерную сетчатку. Такое существо может сразу увидеть трёхмерную фигуру полностью: все её грани и внутренности. (Точно так же мы можем увидеть двумерную фигуру, все её грани и внутренности.)
Таким образом, с помощью наших органов зрения, мы не способны воспринять четырёхмерный куб так, как его воспринимал бы житель четырёхмерного пространства. Увы. Остаётся только уповать на мысленный взор и фантазию, которые, к счастью, не имеют физических ограничений.
Тем не менее, изображая гиперкуб на плоскости, я просто вынужден делать его проекцию на двумерное пространство. Учитывайте это обстоятельство, при изучении рисунков.
Пересечения рёбер
Естественно, ребра гиперкуба не пересекаются. Пересечения появляются только на рисунках. Впрочем, это не должно вызывать удивления, ведь рёбра обычного куба на рисунках тоже пересекаются.
Длины рёбер
Стоит отметить, что все грани и рёбра четырёхмерного куба равны. На рисунке они получаются не равными только потому, что расположены под разными углами к направлению взгляда. Однако можно развернуть гиперкуб так, что все проекции будут иметь одинаковую длину.
Эволюция человеческого мозга проходила в трехмерном пространстве. Поэтому нам сложно представить себе пространства с размерностью больше трех. Фактически человеческий мозг не может себе представить геометрические объекты с размерностью более трех. И в то же время мы без труда представляем себе геометрические объекты с размерностью не только три, но и с размерностью два и один.
Различие и аналогия между одномерным и двумерным пространствами, а также различие и аналогия между двумерным и трехмерным пространствами позволяют нам чуть-чуть приоткрыть ширму таинственности, которая отгораживает нас от пространств большей размерности. Чтобы понять, как используется эта аналогия, рассмотрим очень простой четырехмерный объект - гиперкуб, то есть четырехмерный куб. Пусть для определенности, допустим, мы хотим решить конкретную задачу, а именно, посчитать количество квадратных граней четырехмерного куба. Всё рассмотрение далее будет очень нестрогим, без всяких доказательств, чисто по аналогии.
Чтобы понять, как строится гиперкуб из обычного куба, надо сначала посмотреть, как строится обычный куб из обычного квадрата. Для оригинальности изложения этого материала, будем здесь обычный квадрат называть СубКубом (и не будем путать его с суккубом).
Чтобы построить куб из субкуба, надо протянуть субкуб в направлении перпендикулярном плоскости субкуба по направлению третьего измерения. При этом из каждой стороны первоначального субкуба вырастет субкуб, который является боковой двумерной гранью куба, которые ограничат с четырех сторон трехмерный объем куба, по две перпендикулярно каждому направлению в плоскости субкуба. И вдоль новой третьей оси тоже имеются два субкуба, ограничивающие трехмерный объем куба. Это та двумерная грань, где первоначально находился наш субкуб и та двумерная грань куба, куда субкуб пришел под конец строительства куба.
То, что Вы сейчас прочитали, изложено чрезмерно подробно и с массой уточнений. И не спроста. Сейчас мы сделаем такой фокус, заменим в предыдущем тексте некоторые слова формально таким образом:
куб -> гиперкуб
субкуб -> куб
плоскость -> объем
третьего -> четвертого
двумерной -> трехмерной
четырех -> шести
трехмерный -> четырехмерный
две -> три
плоскости -> пространстве
В результате получаем следующий осмысленный текст, который уже не кажется излишне подробным.
Чтобы построить гиперкуб из куба, надо протянуть куб в направлении перпендикулярном объему куба по направлению четвертого измерения. При этом из каждой стороны первоначального куба вырастет куб, который является боковой трехмерной гранью гиперкуба, которые ограничат с шести сторон четырехмерный объем гиперкуба, по три перпендикулярно каждому направлению в пространстве куба. И вдоль новой четвертой оси тоже имеются два куба, ограничивающие четырехмерный объем гиперкуба. Это та трехмерная грань, где первоначально находился наш куб и та трехмерная грань гиперкуба, куда куб пришел под конец строительства гиперкуба.
Почему у нас такая уверенность, что мы получили правильное описание построения гиперкуба? Да потому что точно такой же формальной заменой слов мы получаем описание построения куба из описания построения квадрата. (Проверьте это сами.)
Вот теперь понятно, что если из каждой стороны куба должен вырасти еще один трехмерный куб, то значит, из каждого ребра начального куба должна вырасти грань. Всего у куба ребер 12, значит, появится дополнительно 12 новых граней (субкубов) у тех 6 кубов, которые ограничивают четырехмерный объем по трем осям трехмерного пространства. И остались еще два куба, которые ограничивают этот четырехмерный объем снизу и сверху вдоль четвертой оси. В каждом из этих кубов есть по 6 граней.
Итого получаем, что гиперкуб имеет 12+6+6=24 квадратных граней.
На следующей картинке показано логическое строение гиперкуба. Это как бы проекция гиперкуба на трехмерное пространство. При этом получается трехмерный каркас из ребер. На рисунке, естественно, Вы видите проекцию этого каркаса еще и на плоскость.
На этом каркасе внутренний куб это как бы начальный куб, с которого началось построение и который ограничивает четырехмерный объем гиперкуба по четвертой оси снизу. Мы этот начальный куб протягиваем вверх вдоль четвертой оси измерения и он переходит во внешний куб. Итак внешний и внутренний кубы из этого рисунка ограничивают гиперкуб по четвертой оси измерения.
А между этими двумя кубами видно еще 6 новых кубов, которые соприкасаются общими гранями с первыми двумя. Эти шесть кубов ограничивают наш гиперкуб по трем осям трехмерного пространства. Как видите, они соприкасаются не только с первыми двумя кубами, которые на этом трехмерном каркасе внутренний и внешний, но они еще соприкасаются друг с другом.
Можно прямо на рисунке посчитать и убедиться, что у гиперкуба действительно 24 грани. Но вот возникает такой вопрос. Этот каркас гиперкуба в трехмерном пространстве заполнен восемью трехмерными кубами без всяких просветов. Чтобы из этой трехмерной проекции гиперкуба сделать настоящий гиперкуб, надо вывернуть этот каркас наизнанку так, чтобы все 8 кубов ограничивали 4-мерный объем.
Делается это так. Приглашаем в гости жителя четырехмерного пространства и просим его помочь нам. Он хватает внутренний куб этого каркаса и сдвигает его в направлении четвертого измерения, которое перпендикулярно нашему трехмерному пространству. Мы в нашем трехмерном пространстве воспринимаем это так, как будто бы весь внутренний каркас исчез и остался только каркас внешнего куба.
Далее наш четырехмерный помощник предлагает свою помощь в роддомах по безболезненным родам, но наших беременных женщин пугает перспектива того, что младенец просто исчезнет из живота и окажется в параллельном трехмерном пространстве. Поэтому четырехмерцу вежливо отказывают.
А мы озадачиваемся вопросом, не расклеились ли некоторые из наших кубов при выворачивании каркаса гиперкуба наизнанку. Ведь если какие-то трехмерные кубы, окружающие гиперкуб, соприкасаются своими гранями с соседями на каркасе, то будут ли они также соприкасаться этими же гранями, если четырехмерец вывернет каркас наизнанку.
Опять обратимся к аналогии с пространствами меньшей размерности. Сравните изображение каркаса гиперкуба с проекцией трехмерного куба на плоскость, показанную на следующей картинке.
Жители двумерного пространства построили на плоскости каркас проекции куба на плоскость и пригласили нас, трехмерных жителей, выворачивать этот каркас наизнанку. Мы берем четыре вершины внутреннего квадрата и сдвигаем их перпендикулярно плоскости. Двумерные жители при этом видят полное исчезновение всего внутреннего каркаса, и у них остается только каркас внешнего квадрата. При такой операции все квадраты, которые соприкасались своими ребрами, продолжают по-прежнему соприкасаться теми же самыми ребрами.
Поэтому мы надеемся, что и логическая схема гиперкуба также не будет нарушена при выворачивании каркаса гиперкуба наизнанку, а число квадратных граней гиперкуба при этом не увеличится и будет по-прежнему равно 24. Это, конечно же, никакое не доказательство, а чисто догадка по аналогии.
После всего прочитанного здесь, Вы уже без труда сможете нарисовать логические каркасы пятимерного куба и подсчитать, какое у него число вершин, ребер, граней, кубов и гиперкубов. Это совсем не трудно.
Если вы поклонник фильмов про Мстителей, первое, что может прийти вам на ум, когда вы услышите слово «Tesseract», это прозрачный кубообразный сосуд Камня бесконечности, содержащий безграничную силу.
Для поклонников Вселенной Marvel Тессеракт — это светящийся синий куб, от которого люди с не только Земли, но и других планет тоже сходят с ума. Вот почему все Мстители объединились, чтобы защитить Землян от чрезвычайно разрушительных сил Тессеракта.
Однако нужно сказать следующее: Тессеракт — это фактическое геометрическое понятие, а точнее, форма, существующая в 4D. Это не просто синий куб от Мстителей … это реальная концепция.
Тессеракт — это объект в 4 измерениях. Но прежде чем мы подробно объясним его, давайте начнем с самого начала.
Что такое «измерение»?
Каждый человек слышал термины 2D и 3D, представляя соответственно двумерные или трехмерные объекты пространства. Но что представляют собой эти измерения?
Измерение — это просто направление, в котором вы можете пойти. Например, если вы рисуете линию на листе бумаги, вы можете идти либо влево / вправо (по оси x), либо в направлении вверх / вниз (ось y). Таким образом, мы говорим, что бумага двумерна, так как вы можете идти только в двух направлениях.
В 3D есть ощущение глубины.
Теперь, в реальном мире, помимо упомянутых выше двух направлений (слева / справа и вверх / вниз), вы также можете пойти «в / из». Следовательно, в 3D-пространстве добавляется ощущение глубины. Поэтому мы говорим, что реальная жизнь 3-мерная.
Точка может представлять 0 измерений (поскольку она не перемещается в любом направлении), линия представляет 1 измерение (длина), квадрат представляет 2 измерения (длина и ширина), а куб представляет 3 измерения (длина, ширина и высота).
Возьмите 3D-куб и замените каждую его грань (которая в настоящее время является квадратом) кубом. И вот! Форма, которую вы получаете, — это и есть тессеракт.
Что такое тессеракт?
Проще говоря, тессеракт — это куб в 4-мерном пространстве. Вы также можете сказать, что это 4D-аналог куба. Это 4D-форма, где каждая грань является кубом.
3D-проекция тессеракта, выполняющая двойное вращение вокруг двух ортогональных плоскостей.Изображение: Jason Hise
Вот простой способ концептуализации размеров: квадрат — двумерный; поэтому каждый из его углов имеет 2 линии, отходящих от него под углом 90 градусов друг к другу. Куб — 3D, поэтому каждый из его углов имеет 3 линии, сходящие с него. Аналогичным образом, тессеракт представляет собой 4D-форму, поэтому каждый угол имеет 4 линии, отходящих от него.
Почему трудно представить себе тессеракт?
Поскольку мы, как люди, эволюционировали, чтобы визуализировать объекты в трех измерениях, все, что входит в дополнительные измерения, такие как 4D, 5D, 6D и т. д., не имеет для нас большого смысла, потому что мы вообще не можем их представить. Наш мозг не может понять 4-го измерения в пространстве. Мы просто не можем об этом думать.
Однако только потому, что мы не можем визуализировать концепцию многомерных пространств, это не значит, что она не может существовать.
В геометрии гиперкуб - это n -мерная аналогия квадрата (n = 2) и куба (n = 3). Это замкнутая выпуклая фигура, состоящая из групп параллельных линий, расположенных на противоположных краях фигуры, и соединенных друг с другом под прямым углом.
Эта фигура также известная под названием тессеракт (tesseract). Тессеракт относится к кубу, как куб относится к квадрату. Более формально, тессеракт может быть описан как правильный выпуклый четырехмерный политоп (многогранник), чья граница состоит из восьми кубических ячеек.
Согласно Окфордскому словарю английского языка, слово "tesseract" было придумано в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (Charles Howard Hinton) и использовано в его книге "Новая эра мысли" ("A New Era of Thought"). Слово было образовано от греческого "τεσσερες ακτινες" ("четыре луча"), имеется в виде четыре оси координат. Кроме этого, в некоторых источниках, эту же фигуру называли тетракубом (tetracube).
n -мерный гиперкуб также называется n-кубом .
Точка - это гиперкуб размерности 0. Если сдвинуть точку на единицу длины, получится отрезок единичной длины - гиперкуб размерности 1. Далее, если сдвинуть отрезок на единицу длины в направлении перпендикулярном направлению отрезка получится куб - гиперкуб размерности 2. Сдвигая квадрат на единицу длины в направлении перпендикулярном плоскости квадрата, получается куб - гиперкуб размерности 3. Этот процесс может быть обобщен на любое количество измерений. Например, если сдвинуть куб на единицу длины в четвертом измерении, получится тессеракт.
Семейство гиперкубов является одним из немногих правильных многогранников, которые могут быть представлены в любом измерении.
Элементы гиперкуба
Гиперкуб размерности n имеет 2n "сторон" (одномерная линия имеет 2 точки; двухмерный квадрат - 4 стороны; трехмерный куб - 6 граней; четырехмерный тессеракт - 8 ячеек). Количество вершин (точек) гиперкуба равно 2 n (например, для куба - 2 3 вершин).
Количество m -мерных гиперкубов на границе n -куба равно
Например, на границе гиперкуба находятся 8 кубов, 24 квадрата, 32 ребра и 16 вершин.
| n-куб | Название | Вершина (0-грань) |
Ребро (1-грань) |
Грань (2-грань) |
Ячейка (3-грань) |
(4-грань) | (5-грань) | (6-грань) | (7-грань) | (8-грань) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0-куб | Точка | 1 | ||||||||
| 1-куб | Отрезок | 2 | 1 | |||||||
| 2-куб | Квадрат | 4 | 4 | 1 | ||||||
| 3-куб | Куб | 8 | 12 | 6 | 1 | |||||
| 4-куб | Тессеракт | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||||
| 5-куб | Пентеракт | 32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | |||
| 6-куб | Хексеракт | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | ||
| 7-куб | Хептеракт | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | |
| 8-куб | Октеракт | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 |
| 9-куб | Эненеракт | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 |
Проекция на плоскость
Формирование гиперкуба может быть представлено следующим способом:
- Две точки A и B могут быть соединены, образуя отрезок AB.
- Два параллельных отрезка AB и CD могут быть соединены, образуя квадрат ABCD.
- Два параллельных квадрата ABCD и EFGH могут быть соединены, образуя куб ABCDEFGH.
- Два параллельных куба ABCDEFGH и IJKLMNOP могут быть соединены, образуя гиперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.
Последнюю структуру нелегко представить, но возможно изобразить ее проекцию на двухмерное или трехмерное пространство. Более того, проекции на двухмерную плоскость могут быть более полезны возможностью перестановки позиций спроецированных вершин. В этом случае можно получить изображения, которые больше не отражают пространственные отношения элементов внутри тессеракта, но иллюстрируют структуру соединений вершин, как на примерах ниже.
На первой иллюстрации показано, как в принципе образуется тессеракт путем соединения двух кубов. Эта схема похожа на схему создания куба из двух квадратов. На второй схеме показано, что все ребра тессеракта имеют одинаковую длину. Эта схема также заставляют искать соединенные друг с другом кубы. На третьей схеме вершины тессеракта расположены в соответствии с расстояниями вдоль граней относительно нижней точки. Эта схема интересна тем, что она используется как базовая схема для сетевой топологии соединения процессоров при организации параллельных вычислений: расстояние между любыми двумя узлами не превышает 4 длин ребер, и существует много различных путей для уравновешивания нагрузки.
Гиперкуб в искусстве
Гиперкуб появился в научно-фантастической литературе с 1940 года, когда Роберт Хайнлайн в рассказе "Дом, который построил Тил" ("And He Built a Crooked House") описал дом, построенный по форме развертки тессеракта. В рассказе этот Далее этот дом сворачивается, превращаясь в четырехмерный тессеракт. После этого гиперкуб появляется во многих книгах и новеллах.
В фильме "Куб 2: Гиперкуб" рассказывается о восьми людях, запертых в сети гиперкубов.
На картине Сальвадора Дали "Распятие" ("Crucifixion (Corpus Hypercubus)", 1954) изображен Иисус распятый на развертке тессеракта. Эту картину можно увидеть в Музее Искусств (Metropolitan Museum of Art) в Нью-Йорке.
Заключение
Гиперкуб - одна из простейших четырехмерных объектов, на примере которого можно увидеть всю сложность и необычность четвертого измерения. И то, что выглядит невозможным в трех измерениях, возможно в четырех, например, невозможные фигур. Так, например, бруски невозможного треугольника в четырех измерениях будут соединены под прямыми углами. И эта фигура будет выглядеть так со всех точек обзора, и не будет искажаться в отличие от реализаций невозможного треугольника в трехмерном пространстве (см.
Тессеракт - четырёхмерный гиперкуб - куб в четырёхмерном пространстве.
Согласно Оксфордскому словарю, слово tesseract было придумано и начало использоваться в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (1853-1907) в его книге «Новая эра мысли». Позже некоторые люди назвали ту же самую фигуру тетракубом (греч. τετρα - четыре) - четырёхмерным кубом.
Обычный тессеракт в евклидовом четырёхмерном пространстве определяется как выпуклая оболочка точек (±1, ±1, ±1, ±1). Иначе говоря, он может быть представлен в виде следующего множества:
[-1, 1]^4 = {(x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 =
Тессеракт ограничен восемью гиперплоскостями x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , пересечение которых с самим тессерактом задаёт его трёхмерные грани (являющиеся обычными кубами). Каждая пара непараллельных трёхмерных граней пересекается, образуя двумерные грани (квадраты), и так далее. Окончательно, тессеракт обладает 8 трёхмерными гранями, 24 двумерными, 32 рёбрами и 16 вершинами.
Популярное описание
Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из трёхмерного пространства.
В одномерном «пространстве» - на линии - выделим отрезок АВ длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат CDBA. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трёхмерный куб CDBAGHFE. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим гиперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.
Одномерный отрезок АВ служит стороной двумерного квадрата CDBA, квадрат - стороной куба CDBAGHFE, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба. Отрезок прямой имеет две граничные точки, квадрат - четыре вершины, куб - восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра - по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 рёбер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани - 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его рёбер.
Как сторонами квадрата являются 4 одномерных отрезка, а сторонами (гранями) куба являются 6 двухмерных квадратов, так и для «четырёхмерного куба» (тессеракта) сторонами являются 8 трёхмерных кубов. Пространства противоположных пар кубов тессеракта (то есть трёхмерные пространства, которым эти кубы принадлежат) параллельны. На рисунке это кубы: CDBAGHFE и KLJIOPNM, CDBAKLJI и GHFEOPNM, EFBAMNJI и GHDCOPLK, CKIAGOME и DLJBHPNF.
Аналогичным образом можно продолжить рассуждения для гиперкубов большего числа измерений, но гораздо интереснее посмотреть, как для нас, жителей трёхмерного пространства, будет выглядеть четырёхмерный гиперкуб. Воспользуемся для этого уже знакомым методом аналогий.
Возьмём проволочный куб ABCDHEFG и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать на плоскости два квадрата (ближнюю и дальнюю его грани), соединённые четырьмя линиями - боковыми рёбрами. Аналогичным образом четырёхмерный гиперкуб в пространстве трёх измерений будет выглядеть как два кубических «ящика», вставленных друг в друга и соединённых восемью рёбрами. При этом сами «ящики» - трёхмерные грани - будут проецироваться на «наше» пространство, а линии, их соединяющие, протянутся в направлении четвёртой оси. Можно попытаться также представить себе куб не в проекции, а в пространственном изображении.
Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Сам же четырёхмерный гиперкуб состоит из бесконечного количества кубов, подобно тому как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.
Разрезав шесть граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру - развёртку. Она будет иметь по квадрату с каждой стороны исходной грани плюс ещё один - грань, ей противоположную. А трёхмерная развёртка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного - конечной «гиперграни».
Свойства тессеракта представляют собой продолжение свойств геометрических фигур меньшей размерности в четырёхмерное пространство.
