Существование хаотического движения в классических консервативных системах естественно приводит к вопросу о том, каким образом нерегулярность движения проявляется в соответствующих квантовых системах. Аналогичные вопросы возникают в задачах физики плазмы, оптики или акустики, где нас также могут интересовать свойства решений волновых уравнений, которые в классическом пределе (ВКБ-приближение, геометрическая оптика) описывают стохастические траектории.

Вопрос о поведении квантовых систем, неинтегрируемых в классическом пределе, обсуждался еще на заре квантовой механики (Einstein, 1917), поскольку он был связан с проблемой квантования систем с непериодическим движением (напомним, что в то время квантование периодических систем проводилось по правилу Бора - Зоммерфельда где - постоянная Планка). Появление волновой механики и ее дальнейшее развитие позволяют нам свести вопрос о временной эволюции любой квантовой системы к решению нестационарного уравнения Шредингера:

где Н - оператор гамильтониана системы, Ф - его волновая функция и

Чтобы объяснить трудности, возникающие при переходе от классических хаотических систем к их квантовому аналогу, напомним основные различия между классическими и квантовыми системами.

1. По сравнению с классической механикой, в которой переход к статистическому описанию необходим лишь в случае хаотического поведения системы, в квантовой механике по существу возможно только статистическое описание. Хотя уравнение Шредингера линейно по Ф и его решение в некоторых случаях можно легко получить в виде регулярной зависимости -функций от времени (например, для гармонического осциллятора), несмотря на отсутствие

временного хаоса, это еще не означает, что поведение системы полностью детерминировано. Действительно, величина дает лишь вероятность найти электрон в пространственно-временной точке

2. Согласно принципу неопределенности Гейзенберга

в квантовой механике отсутствует понятие траектории движения (измерение координаты q с точностью приводит к возмущению импульсар на величину в соответствии с . Поэтому описание хаотического движения на основе экспоненциально быстрого разбегания близких траекторий в квантовой механике становится невозможным.

3. Из принципа неопределенности (7.2) также следует, что точки в -мерном фазовом пространстве, находящиеся внутри объема размером неразличимы, т. е. фазовое пространство дискретно. Это означает, что если области в фазовом пространстве с классическим хаотическим движением имеют размер, меньший чем то в квантовой механике такие области «не видны» и можно ожидать, что поведение соответствующей квантовой системы будет регулярным. Таким образом, отличие от нуля постоянной Планка ведет к подавлению хаоса. С другой стороны, это затрудняет предельный переход (для тех систем, которые в классическом пределе обнаруживают хаотическое поведение), поскольку при уменьшении h в фазовом пространстве появляются все более и более мелкие структуры.

Далее мы будем различать автономные системы с не зависящими от времени гамильтонианами и неавтономные системы. Примером неавтономной системы может служить квантовый аналог ротатора с периодическими толчками.

Для автономных систем с помощью замены можно перейти от (7.1) к линейной задаче нахождения собственных значений энергии Е:

Если уровни дискретны, волновая функция Ф ведет себя во времени регулярным образом, что говорит об отсутствии хаоса. Однако остаются принципиальные вопросы, например о том, при каких условиях это имеет место и имеется ли какое-либо различие между энергетическими спектрами квантовых систем с регулярным классическим поведением и систем, которые в классическом пределе являются хаотическими?

Вопрос о поведении неавтономных систем с зависящим от времени гамильтонианом может быть связан, например, с задачей о распределении энергии (по уровням) молекулы, находящейся в поле лазерного луча. Такие вопросы имеют практическое значение в лазерной фотохимии.

Более конкретно, нас интересуют ответы на следующие вопросы: существует ли квантовый хаос? в каких терминах его можно описать? имеется ли в квантовой механике какая-либо аналогия той иерархии классического хаоса, которая отражена в табл. 12? что означает теорема КАМ для квантового движения? В настоящее время вопросов больше, чем ответов.

Чтобы по крайней мере понять суть этих вопросов, мы рассмотрим несколько модельных систем.

В разд. 7.1 исследуется квантовый аналог отображения Арнольда, в котором классическое движение полностью хаотическое, и показывается, что в такой системе нет хаоса. Это связано с конечным значением постоянной Планка и с двойными периодическими условиями, приводящими к дискретности собственных значений оператора эволюции, вследствие чего движение будет квазиперио-дическим.

В следующем разделе приводятся численные результаты (McDonald, Kaufman, 1979), из которых видно, что энергетический спектр свободной квантовой частицы в стадионе (с классическим хаотическим движением) существенным образом отличается от спектра свободной (квантовой) частицы в круге (классическое движение регулярно).

И наконец, в последнем разделе, преобразуя исходную задачу к задаче о локализации электрона в некотором потенциале, мы покажем, что в системе квантового ротатора с толчками диффузия отсутствует, в то время как в соответствующей классической системе (выше некоторого порога) детерминированная диффузия имеет место.

В классической механике движение называется регулярным, или устойчивым, если малому изменению начальных условий соответствует отклонение траектории от начальной, максимум линейно нарастающее во времени. Однако в подавляющем большинстве случаев движения с более чем одной степенью свободы (только такие системы рассматриваются далее) возмущение траектории нарастает экспоненциально. Движение называется тогда хаотическим; детальное предсказание отдаленного будущего таких систем невозможно. С другой стороны, в квантовой механике эволюция волновой функции, описываемая нестационарным уравнением Шредингера, всегда устойчива. Роль частот в ней играют разности энергий квантовых уровней, которые вещественны, и, следовательно, не могут привести к экспоненциально нарастающим компонентам в решении уравнения Шредингера. Отсюда проблема "квантового хаоса": к каким наблюдаемым последствиям на квантовом уровне ведет хаотический характер соответствующего классического движения?

Наиболее наглядно различие между двумя группами систем в квантовой постановке проявляется в статистике их высоковозбужденных уровней энергии. Простейшей характеристикой является распределение интервалов энергии между двумя ближайшими уровнями. В спектрах классически регулярных систем функция распределения максимальна при и экспоненциально спадает с ростом : уровни предпочитают группироваться друг с другом. В хаотических системах, напротив, уровни отталкиваются: равна нулю при , далее растет по степенному закону, достигая максимума при значениях, близких к среднему интервалу между уровнями , а затем быстро убывает. Более сложной статистической характеристикой является спектральная двухточечная корреляционная функция . Это отклонение плотности вероятности найти один уровень энергии в точке , а другой в точке , от произведения соответствующих средних плотностей. Уровни энергии полностью нескоррелированы: , в классически регулярных системах и скоррелированы в хаотических системах. Чаще вместо используется ее Фурье-преобразование по отношению к разности энергий , так называемый спектральный формфактор .

В 60 - 80х годы прошлого столетия было осознано, что спектры хаотических систем не только отличаются от спектров классически регулярных систем, но и являются универсальными: распределение энергетических интервалов, спектральная корреляционная функция и формфактор совпадают у самых разных физических систем, принадлежащих к одному и тому же "классу универсальности". Главными из этих классов (Дайсон, 1962) являются "ортогональный" (системы без спина или целым спином, допускающие обращение времени); "унитарный" (обращение времени не допускается в силу, например, наличия внешнего магнитного поля) и "симплектический" (системы с полуцелым спином при наличии обращения времени); недавно были установлены более экзотические классы. Такие же статистические характеристики встречаются в области, не имеющей очевидного отношения к физике, а именно, в теории спектров случайных эрмитовских матриц (RMT - random matrix theory); распределение унитарного и ортогонального типа наблюдается в ансамблях комплексных и вещественных матриц соответственно. При сопоставлении статистических характеристик предполагается переход к безразмерным переменным: энергии следует выражать в единицах среднего энергетического интервала , а вместо времени в формфакторе использовать аргумент , где - "время Гейзенберга", минимальное время измерения, необходимое для того, чтобы разрешить спектральный интервал . Приведем для иллюстрации формфакторы унитарного

и ортогонального классов

обращаем внимание на странную смену поведения при и на то, что при малых ортогональный формфактор вдвое больше унитарного. В виде предположения универсальность статистических спектральных свойств систем с хаотическим классическим поведением была провозглашена в работе Бохигаса, Джаннони и Шмита ("гипотеза BGS") в 1984 году.

Доказательство BGS потребовало более 20 лет и было начато Майклом Берри (1985), который предложил использовать квазиклассическое представление для формфактора. Оно следует из знаменитой формулы Гутцвиллера для квантования уровней энергии хаотических систем и имеет вид двойной суммы по классическим периодическим орбитам системы,

Здесь и период и действие классической орбиты . В квазиклассическом пределе орбиты, участвующие в сумме, имеют действия, гигантские по сравнению с . Поэтому подавляющее большинство пар имеют огромные, случайно распределенные, фазы; их сумма взаимно уничтожается. Существенный вклад могут вносить пары, у которых разность действий порядка или меньше. Очевидными кандидатами являются "диагональные пары", т.е. , когда разность действий точно равна нулю. Сумма вкладов таких пар приводит к выражению . Если в системе допустимо обращение времени, направление движения по каждой орбите может быть заменено на противоположное. Число диагональных пар тогда удваивается, и мы получаем . Тем самым удалось объяснить поведение формфактора при малых временах для двух главных классов универсальности.

Следующий шаг был сделан в работе Зибера и Рихтера (2001). Длинная классическая периодическая орбита в финитном хаотическом движении многократно пересекает саму себя; часть таких самопересечений происходит с малыми углами (Рис. 1A). С каждым таким самопересечением при наличии обращения времени связано существование орбиты-"партнера": партнер практически совпадает с исходной орбитой всюду, кроме области пересечения, которое заменяется на квазипересечение; направление движения по части орбиты меняется на противоположное (Рис. 1B). Возможность такого пересоединения кусков орбиты в области пересечения нетривиальна и требует неустойчивости движения. Вычисления вклада пар-партнеров продвигает нас на один шаг в разложении ортогонального формфактора, .

Рис 1. A - топологическая схема длинной периодической орбиты, у которой выделено одно ("активное") из множества ее самопересечений; B - орбита-партнер, практически совпадающая с А всюду, кроме окрестности активного самопересечения (замененного на квазипересечение).

Обобщение этого метода было сделано в работах группы авторов в 2002 - 2007гг (Браун , Мюллер, Хааке, Хойслер, Эссен - Санкт-Петербург). Ключевым здесь является понятие l - сближения (l - encounter) - относительно кратковременная, в силу экспоненциальной неустойчивости, ситуация, когда l участков периодической орбиты одновременно подходят друг к другу аномально близко, имея при этом почти параллельные или антипараллельные скорости. Сближение делит орбиту на l определенным образом соединенных частей. Важность сближений связана с тем, что наряду с исходной, существует еще l! - 1 периодических орбит-партнеров, состоящие практически из тех же l частей, по-другому соединенных внутри сближения. Таким образом, сближения являются своеобразными переключателями хаотической динамики. Действие всех орбит-партнеров будет тем более близким друг к другу. чем теснее подходят друг к другу участки орбиты в сближении, т.е. чем более нежная хирургическая операция необходима для пересоединения частей орбиты внутри сближения.

Рис 2. Орбита с двумя активными сближениями, l = 2, 3 (черная линия) и ее партнер (красная линия).

Следует учесть, что пересоединения внутри сближений могут привести к распаду орбиты на несколько несвязанных периодических орбит, суммарное действие которых близко к действию исходной орбиты, т.е. к образованию т.н. псевдоорбиты, которая не может участвовать в качестве партнера в формуле для формфактора. Далее, партнеры могут отличаться друг от друга пересоединением в нескольких сближениях (Рис. 2), а топология соединения сближений частями орбиты может быть различной. Все это крайне осложняет подсчет вклада орбит-партнеров, которое тем не менее удалось произвести аналитически. В результате как при наличии, так и в отсутствие обращения времени воспроизводится результат RMT для ; в частности, в унитарном случае выживает лишь вклад диагональных пар, а суммарный вклад всех пар из нетождественных орбит сокращается.

Расчет формфактора для был произведен в самое последнее время (2007). Первичным объектом расчета при этом являлясь двухточечная корреляционная функция, для которой было использовано квазиклассическое представление, отличающееся от общепринятого. Результат снова сводится к суммированию по парам орбит-партнеров, получаемых переключениями внутри сближений; интересно, что вклад вносят не только пары орбит, но и псевдоорбит.

Разработанная методика оказывается полезной не только в задачах спектральной статистики, но и в т.н. баллистических транспортных задачах физики твердого тела. Грубой моделью может служить прохождение слабого электронного пучка через полость достаточно сложной формы, снабженной несколькими небольшими отверстиями; электроны влетают в полость по одному через входное отверстие, странствуют внутри нее, упруго отражаясь от стенок, а затем вылетают через другое либо то же самое отверстие. Рассчитываемой величиной является проводимость (какой процент электронов вылетает через выходное отверстие, а какой обратно через вход); флюктуации проводимости при изменении скорости электронов и при включении внешнего магнитного поля; дробовой шум (временные флюктуации электронного тока) и т.д. Все эти величины могут быть представлены в виде суммы вкладов пар (или четверок) классических траекторий; существенного вклада можно ожидать в случаях, когда разность действий компонент пар (или четверок) имеет порядок или меньше. Результат получается суммированиям по парам (четверкам) незамкнутых траекторий-партнеров, соединяющих входное и выходное отверстия и различающихся пересоединениями частей траектории внутри сближений.

Теория квантового хаоса еще далека до завершения. Кажется вероятным, что помимо сближений, существует другой, еще неизвестный, механизм корреляции действий периодических орбит, учет которого позволил бы получить формфактор для всех времен непосредственно из квазиклассического представления Берри (мы сейчас умеем это делать сложным окольным методом). На эту мысль наталкивает ситуация с нулями дзета-функции Римана, мнимая часть которых почему-то подчиняется той же статистике, что и уровни энергии унитарного класса; роль периодических орбит в этом случае играют простые целые числа, а указанная корреляция известна и составляет содержание т.н. гипотезы Харди-Литтлвуда в теории чисел. Обнаружение такого механизма в физических задачах хаотической динамики явилось бы большим достижением. Менее масштабным, но тем не менее интересным было бы исследование спектральной статистики в системах с т.н. арифметическим хаосом; не вдаваясь в детали, укажем, что для таких систем характерно вырождение действия периодических орбит, что должно приводить к переформулировке диагонального приближения и понятия партнерства. В транспортных задачах не вполне ясно, как физика задачи зависит от типичной ширины отверстий ; ключевым параметром при этом является соотношение между и где L - размер полости, - длина волны Де Бройля.

Активные исследования по теории квантового хаоса ведутся на кафедре

Исследования продемонстрировали фундаментально новые свойства - что называется хаотическим поведением в квантовой системе - в магнитных ‘спинах’ ядер или центрах атомов замороженного ксенона, который в обычном состоянии является газом.

Руководитель исследования Брайан Саам, адъюнкт-профессор физики и декан Научного колледжа Университета Юты.

Квантовая механика - которая описывает поведение молекул, атомов электронов и других субатомных частиц - играет ключевую роль в понимании того, как работает электроника, как ведут себя все виды интересных материалов, как ведёт себя свет при взаимодействии с оптическим волокном.

Хаотический танец вращающихся ядер

Так же как атомные ядра и движущиеся по их орбите электроны могут иметь электрические заряды, они имеют ещё одно свойство, называющееся ‘спин’. Спин в пределах атомного ядра или электрона подобен вращающемуся стержневому магниту, который направлен либо вверх, либо вниз.

Саам и аспирант Стивен Морган поместили атомы ксенона под действие мощного магнитного поля, лазерного луча и пульсации радиоволн, так, чтобы спины были установлены в четырёх разных конфигурациях в четырёх образцах замороженного ксенона, каждый из которых состоял из 100 миллиардов миллиардов томов [дважды миллиард верно].

Несмотря на разные изначальные конфигурации, "танцы" ксеноновых спинов развивались таким образом, что в конечном итоге становились синхронными друг с другом, как показал ядерный магнитный резонанс или NMR. На это ушло несколько тысяч секунд - что физики всерьёз называют "продолжительным поведением".

В качестве аналогии, представьте миллиарды людей в огромном незнакомом городе. Они начинают ходить туда и обратно в разных направлениях, почти не разговаривая друг с другом. И вот, в конечном итоге они идут в одном направлении.

Такое поведение в ядерных спинах было предсказано в 2005 третьим автором данных исследований, физиком Борисом Файном из Университета Гейдельберга в Германии. Файн основывал свои прогнозы на адаптации теории хаоса и квантовой теории.

Порядок из хаоса

Преобразование беспорядка в порядок ядерными спинами атомов ксенона указывает на теорию хаоса, которая, несмотря на общепринятое понятие, не подразумевает полное разупорядочение. Напротив, теория хаоса описывает, как погода, определённые химические реакции, планетарные орбиты, субатомные частицы и другие динамические системы изменяются со временем, при этом изменения высокочувствительны к начальным условиям. Другими словами, если есть [хаотическая] система, характеризующаяся крайней беспорядочностью, она парадоксально демонстрирует упорядоченное поведение после определённого количества времени. Саам своим экспериментом доказал это на практике.

Чувствительность к начальным условиям широко известна как ‘эффект бабочки’, основанный на выдуманном примере того, как взмах крыльев бабочки в Южной Америке вызывает незначительные атмосферные изменения, которые в итоге преобразовываются в торнадо в Техасе.

Саам утверждает, что теория хаоса способна делать прогнозы об очень сложных движениях множества взаимодействующих между собой частиц. Математическое определение хаоса было впервые описано в 1890-х. теория хаоса была разработана в 1960-х, на основе классической физики, описанной в конце 1600-х Сэром Исааком Ньютоном. Согласно классической физике, можно точно определить движение, скорость и местоположение любой частицы в любое время.

Напротив, квантовая механика придерживается иной позиции: когда вещи принимают масштабы атомов, наши заявления о способности поместить определённую частицу в определённое место с определённой скоростью в определённое время становятся расплывчатыми. Таким образом, скорость и местоположение частицы - вопрос вероятности, а "вероятность - это реальность", - считает Саам.

Насыпав песок на колеблющуюся упругую пластинку, можно увидеть формирование фигур Хладни . Они часто служат примером «естественной красоты» физических явлений, хотя за ними стоит довольно простая физика резонансного возбуждения стоячих волн. И мало кто обращает внимание на любопытную особенность этих фигур: линии на них избегают пересечений, будто их отталкивает некая сила. Давайте попробуем понять, какая же физика скрывается за этим отталкиванием и как она связана с квантовой теорией хаоса.

Стоячие волны

Как мы знаем, упругие тела могут совершать довольно сложные колебания, при которых они сжимаются, растягиваются, изгибаются и скручиваются. Тем не менее, колебания любого упругого тела можно представить как комбинацию накладывающихся друг на друга более простых нормальных колебаний . Вот так выглядят несколько нормальных колебаний простейшего упругого тела – одномерной натянутой струны.

Каждое нормальное колебание представляется стоячей волной , которая, в отличие от бегущей волны, стоит на месте и обладает своим рисунком распределения амплитуд колебаний по пространству. На этом рисунке можно выделить пучности – точки, где амплитуда колебаний достигает максимумов, и узлы – неподвижные точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю. Кроме того, каждая такая волна колеблется со своей собственной частотой . В случае струны, как можно заметить, частота колебаний стоячей волны увеличивается с ростом числа узлов и пучностей.

Посмотрим теперь на двумерную систему, примером которой может служить тонкая упругая мембрана, натянутая на жесткую рамку. Нормальные колебания круглой мембраны выглядят сложнее, чем в случае струны, а вместо отдельных точек-узлов имеются узловые линии , вдоль которых мембрана неподвижна.

Нормальные колебания круглой мембраны с закрепленными краями. .

Зеленым цветом показаны узловые линии.

У круглой мембраны узловые линии, представляющие собой окружности и отрезки вдоль радиусов, могут пересекаться под прямыми углами. Если же края мембраны имеют произвольную форму, нахождение частот нормальных колебаний и картин их узлов и пучностей превращаются в задачу, решаемую только с помощью компьютера.

Профили амплитуды колебаний стоячих волн на мембранах в форме квадрата с отверстием , снежинки Коха и поверхности котенка .

Уравнения, описывающие колебания тонкой упругой пластинки, отличаются от уравнений колебания мембраны, поскольку пластинка обладает собственной жесткостью, в то время как мембрана мягкая и пружинит лишь за счет натяжения внешними силами. Однако здесь тоже существуют наборы нормальных колебаний, рисунки которых существенным образом зависят от формы границ.

Фигуры Хладни

Как было сказано выше, в общем случае колебания тела представляют собой комбинацию целого набора возбужденных в нем нормальных колебаний. Явление резонанса позволяет выборочно возбудить какое-то одно нужное нам нормальное колебание – для этого следует раскачивать тело при помощи внешней силы с частотой, равной собственной частоте нормального колебания.

На двух видео ниже показана типичная схема получения фигур Хладни: упругая пластинка прикрепляется в центре к генератору механических колебаний, частоту которых плавно увеличивают. Нормальные колебания пластинки со своими картинами узлов и пучностей возбуждаются при резонансном совпадении частоты генератора с собственными частотами этих колебаний (собственные частоты показаны на видео в левом нижнем углу).

Еще пример нормальных волн – это стоячие волны на поверхности воды. Они описываются уравнением, отличающимся от уравнений колебания пластинок и мембран, но следуют таким же качественным закономерностям, и с их помощью можно получать аналоги фигур Хладни.

Микрочастицы на поверхности воды в сосудах разной формы. Черная линия показывает масштаб 2 миллиметра. .

Классический хаос

Итак, мы видели, что в случае круглой мембраны узловые линии – теоретически! – замечательно пересекаются, в то же время на фигурах Хладни на квадратных или более сложных пластинках узловые линии избегают пересечений. Чтобы понять причину этих закономерностей, нам придется сделать небольшой экскурс в теорию хаоса.

Явление хаоса было открыто и популяризовано метеорологом и математиком Эдвардом Лоренцем , обнаружившим, что два расчета прогноза погоды, начинающиеся с очень близких начальных условий, сначала почти неотличимы друг от друга, но с какого-то момента начинают кардинально расходиться.

Два расчета Эдварда Лоренца, исходящие из близких начальных значений 0.506 и 0.506127. .

Простейшими системами, на примере которых удобно изучать хаос, являются бильярды – участки плоской поверхности, по которым без трения может катиться шарик, абсолютно упруго отскакивающий от жестких стенок. В хаотических бильярдах траектории движения шарика, имеющие незначительные отличия в самом начале, в дальнейшем существенно расходятся. Пример хаотического бильярда – изображенный ниже бильярд Синая , представляющий собой прямоугольный бильярд с круговым препятствием в центре. Как мы увидим, именно за счет этого препятствия бильярд становится хаотическим.

Две экспоненциально расходящиеся траектории шарика в бильярде Синая. .

Интегрируемые и хаотические системы

Механические системы, не являющиеся хаотическими, называются интегрируемыми , и на примере бильярдов можно наглядно увидеть разницу между интегрируемыми и хаотическими системами.

Прямоугольный и круглый бильярды являются интегрируемыми благодаря своей симметричной форме(***) . Движение шарика в таких бильярдах – это просто комбинация двух независимых периодических движений. В прямоугольном бильярде это движения с отскоками от стенок по горизонтали и по вертикали, а круглом это движение вдоль радиуса и угловое движение по окружности вокруг центра. Такое движение легко просчитываемо и не показывает хаотического поведения.

Траектории движения шарика в интегрируемых бильярдах.

Бильярды более сложной формы, не обладающие столь высокой симметрией, как у круга или прямоугольника, являются хаотическими(****) . Один из них мы видели выше – это бильярд Синая, в котором симметрия прямоугольника разрушается круговым включением в центре. Также часто рассматриваются бильярд «стадион» и бильярд в форме улитки Паскаля. Движение шарика в хаотических бильярдах происходит по весьма запутанным траекториям и не раскладывается на более простые периодические движения.

Траектории движения шарика в хаотических бильярдах «стадион» и «улитка Паскаля».

Здесь можно уже догадаться, что наличие пересечений между линиями на фигурах Хладни определяется тем, имеет ли пластинка форму интегрируемого или хаотического бильярда. Это наглядно видно на фотографиях ниже.

Круглые пластинки Хладни, демонстрирующие свойства интегрируемых бильярдов. .

Демонстрирующие свойства хаотических бильярдов пластинки Хладни в форме бильярда «стадион», корпуса скрипки и квадрата, симметрия которого нарушена круглым креплением в центре (аналог бильярда Синая). .

Квантовый хаос

Как же понять, почему наличие пересечений между узловыми линиями обусловлено интегрируемостью бильярда? Для этого нужно обратиться к квантовой теории хаоса , объединяющей теорию хаоса с механикой колебаний и волн. Если в классической механике шарик в бильярде описывается в виде материальной точки, движущейся вдоль определенной траектории, то в квантовой механике его движение описывается как распространение волны, подчиняющейся уравнению Шредингера и отражающейся от стенок бильярда.

Этапы распространения волны в квантовом бильярде. Изначально волна сконцентрирована в импульсе круглой формы и движется слева направо, затем она расплывается и многократно переотражается от стенок. .

То же самое в виде анимации, но с немного другими начальными условиями.

Как и в случае колебаний мембран и пластинок, описывающее квантовый бильярд уравнение Шредингера позволяет найти нормальные колебания в виде стоячих волн, обладающие характерным рисунком узловых линий и пучностей, индивидуальным для каждого колебания и зависящим от формы границ.

Примеры профилей амплитуд колебаний в стоячих волнах в хаотических квантовых бильярдах «улитка Паскаля » и «стадион ».

Рисунки стоячих волн в интегрируемых и хаотических квантовых бильярдах качественно отличаются: интегрируемые бильярды показывают симметричные, упорядоченные картины стоячих волн, в то время как в хаотических бильярдах рисунки стоячих волн весьма запутанные и не показывают никаких видимых закономерностей (в конце статьи будет показано, что некоторые интересные закономерности там все-таки существуют).

Амплитуды колебаний в стоячих волнах интегрируемого круглого бильярда (верхний ряд) и хаотического бильярда в форме улитки Паскаля (нижний ряд). .

Причудливые картины нормальных колебаний в хаотических бильярдах иногда служат предметом отдельного исследования. .

Качественное отличие видно и в картинах узловых линий: в случае интегрируемого квантового бильярда мы видим упорядоченные семейства взаимно пересекающихся линий, а в хаотических бильярдах эти линии, как правило, не пересекаются .

Вверху: узловые линии (черные линии между синими и красными областями) стоячих волн интегрируемых – круглого и прямоугольного – бильярдов. Внизу: узловые линии одной из стоячих волн в хаотическом бильярде – четверти бильярда «стадион» .

Пересекаться или не пересекаться?

Почему же узловые линии в хаотических бильярдах не пересекаются? В 1976 году математик Карен Уленбек доказала теорему , согласно которой узловые линии стоячих волн квантовых бильярдов, вообще говоря, и не должны пересекаться.

В классической теории хаоса этому вопросу посвящена знаменитая теория Колмогорова-Арнольда-Мозера . Она говорит о том, что если слегка нарушить симметрию интегрируемой системы, то она не станет сразу же проявлять хаотическое поведение, а, по большей части, сохранит свое свойство предсказуемости движения. На уровне квантовой теории хаоса и фигур Хладни это проявляется в том, что в некоторых местах пересечения узловых линий сохраняются. Это происходит либо в особо симметричных точках бильярда, либо далеко от источника возмущения, нарушающего симметрию интегрируемой системы.

Что еще?

Чем еще интересна квантовая теория хаоса? Для заинтересованного читателя упомяну о трех дополнительных вопросах, уже не связанных непосредственно с фигурами Хладни.

1) Важное явление, изучаемое этой теорией – универсальность хаотических систем. Подавляющее большинство систем, в которых могут возникать нормальные колебания, являются хаотическими, и все они – независимо от своей физической природы! – подчиняются одинаковым закономерностям. Феномен универсальности, при котором совершенно разные системы описываются одними и теми же формулами, сам по себе очень красив и служит нам напоминанием о математическом единстве физического мира.

Статистика расстояний между соседними частотами нормальных колебаний в хаотических системах разной физической природы, везде описываемая одной и той же универсальной формулой Вигнера-Дайсона. .

2) Рисунки нормальных колебаний хаотических бильярдов обладают интересной особенностью, называемой «квантовыми шрамами» . Мы видели, что траектории движения шарика в хаотическом бильярде обычно выглядит весьма запутанными. Но есть и исключения – это периодические орбиты , достаточно простые и короткие замкнутые траектории, вдоль которых шарик совершает периодическое движение. Квантовыми шрамами называются резкие сгущения стоячих волн вдоль периодических орбит.

Квантовые шрамы в бильярде «стадион», идущие вдоль периодических орбит, показанных красными и зелеными линиями. .

3) До сих пор мы говорили о двумерных системах. Если же рассматривать распространение волн в трехмерном пространстве, то здесь тоже могут возникать узловые линии, вдоль которых амплитуда колебаний равна нулю. Особенно важно это при изучении бозе-конденсации и сверхтекучести, где тысячи атомов движутся как единые «волны материи ». Анализ структуры узловых линий волн материи в трехмерном пространстве необходим, например, для понимания того, как возникает и развивается квантовая турбулентность в сверхтекучих системах.

Запутанные трехмерные структуры узловых линий стоячих «волн материи» в бозе-конденсате. .

(**) Хотя на обывательском уровне слова «хаотичный» и «случайный» часто используются как синонимы, на уровне физики эти понятия существенно отличаются: хаотические системы являются детерминированными – это системы, движение которых описывается строго определенными уравнениями, не подвержено воздействию случайных факторов и потому предопределено начальными условиями. Однако трудность предсказания движения хаотических систем делает их на практике похожими на случайные.

(***) Еще один пример интегрируемого бильярда – это бильярд в форме эллипса. В этом случае симметрия, делающая его интегрируемым, уже не столь очевидна, как в случае круга и прямоугольника.

(****) Если выражаться более точно, то принадлежность бильярда к интегрируемым или хаотическим зависит от числа независимых интегралов движения – сохраняющихся с течением времени величин. Интегрируемые бильярды обладают двумя интегралами движения, в двумерной системе этого достаточно для точного аналитического решения уравнений движения. Хаотический бильярд имеет только один интеграл движения – кинетическую энергию шарика.

Насыпав песок на колеблющуюся упругую пластинку, можно увидеть формирование фигур Хладни . Они часто служат примером «естественной красоты» физических явлений, хотя за ними стоит довольно простая физика резонансного возбуждения стоячих волн. И мало кто обращает внимание на любопытную особенность этих фигур: линии на них избегают пересечений, будто их отталкивает некая сила. Давайте попробуем понять, какая же физика скрывается за этим отталкиванием и как она связана с квантовой теорией хаоса.

Стоячие волны

Как мы знаем, упругие тела могут совершать довольно сложные колебания, при которых они сжимаются, растягиваются, изгибаются и скручиваются. Тем не менее, колебания любого упругого тела можно представить как комбинацию накладывающихся друг на друга более простых нормальных колебаний . Вот так выглядят несколько нормальных колебаний простейшего упругого тела – одномерной натянутой струны.

Каждое нормальное колебание представляется стоячей волной , которая, в отличие от бегущей волны, стоит на месте и обладает своим рисунком распределения амплитуд колебаний по пространству. На этом рисунке можно выделить пучности – точки, где амплитуда колебаний достигает максимумов, и узлы – неподвижные точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю. Кроме того, каждая такая волна колеблется со своей собственной частотой . В случае струны, как можно заметить, частота колебаний стоячей волны увеличивается с ростом числа узлов и пучностей.

Посмотрим теперь на двумерную систему, примером которой может служить тонкая упругая мембрана, натянутая на жесткую рамку. Нормальные колебания круглой мембраны выглядят сложнее, чем в случае струны, а вместо отдельных точек-узлов имеются узловые линии , вдоль которых мембрана неподвижна.

Нормальные колебания круглой мембраны с закрепленными краями. .

Зеленым цветом показаны узловые линии.

У круглой мембраны узловые линии, представляющие собой окружности и отрезки вдоль радиусов, могут пересекаться под прямыми углами. Если же края мембраны имеют произвольную форму, нахождение частот нормальных колебаний и картин их узлов и пучностей превращаются в задачу, решаемую только с помощью компьютера.

Профили амплитуды колебаний стоячих волн на мембранах в форме квадрата с отверстием , снежинки Коха и поверхности котенка .

Уравнения, описывающие колебания тонкой упругой пластинки, отличаются от уравнений колебания мембраны, поскольку пластинка обладает собственной жесткостью, в то время как мембрана мягкая и пружинит лишь за счет натяжения внешними силами. Однако здесь тоже существуют наборы нормальных колебаний, рисунки которых существенным образом зависят от формы границ.

Фигуры Хладни

Как было сказано выше, в общем случае колебания тела представляют собой комбинацию целого набора возбужденных в нем нормальных колебаний. Явление резонанса позволяет выборочно возбудить какое-то одно нужное нам нормальное колебание – для этого следует раскачивать тело при помощи внешней силы с частотой, равной собственной частоте нормального колебания.

На двух видео ниже показана типичная схема получения фигур Хладни: упругая пластинка прикрепляется в центре к генератору механических колебаний, частоту которых плавно увеличивают. Нормальные колебания пластинки со своими картинами узлов и пучностей возбуждаются при резонансном совпадении частоты генератора с собственными частотами этих колебаний (собственные частоты показаны на видео в левом нижнем углу).

Еще пример нормальных волн – это стоячие волны на поверхности воды. Они описываются уравнением, отличающимся от уравнений колебания пластинок и мембран, но следуют таким же качественным закономерностям, и с их помощью можно получать аналоги фигур Хладни.

Микрочастицы на поверхности воды в сосудах разной формы. Черная линия показывает масштаб 2 миллиметра. .

Классический хаос

Итак, мы видели, что в случае круглой мембраны узловые линии – теоретически! – замечательно пересекаются, в то же время на фигурах Хладни на квадратных или более сложных пластинках узловые линии избегают пересечений. Чтобы понять причину этих закономерностей, нам придется сделать небольшой экскурс в теорию хаоса.

Явление хаоса было открыто и популяризовано метеорологом и математиком Эдвардом Лоренцем , обнаружившим, что два расчета прогноза погоды, начинающиеся с очень близких начальных условий, сначала почти неотличимы друг от друга, но с какого-то момента начинают кардинально расходиться.

Два расчета Эдварда Лоренца, исходящие из близких начальных значений 0.506 и 0.506127. .

Простейшими системами, на примере которых удобно изучать хаос, являются бильярды – участки плоской поверхности, по которым без трения может катиться шарик, абсолютно упруго отскакивающий от жестких стенок. В хаотических бильярдах траектории движения шарика, имеющие незначительные отличия в самом начале, в дальнейшем существенно расходятся. Пример хаотического бильярда – изображенный ниже бильярд Синая , представляющий собой прямоугольный бильярд с круговым препятствием в центре. Как мы увидим, именно за счет этого препятствия бильярд становится хаотическим.

Две экспоненциально расходящиеся траектории шарика в бильярде Синая. .

Интегрируемые и хаотические системы

Механические системы, не являющиеся хаотическими, называются интегрируемыми , и на примере бильярдов можно наглядно увидеть разницу между интегрируемыми и хаотическими системами.

Прямоугольный и круглый бильярды являются интегрируемыми благодаря своей симметричной форме . Движение шарика в таких бильярдах – это просто комбинация двух независимых периодических движений. В прямоугольном бильярде это движения с отскоками от стенок по горизонтали и по вертикали, а круглом это движение вдоль радиуса и угловое движение по окружности вокруг центра. Такое движение легко просчитываемо и не показывает хаотического поведения.

Траектории движения шарика в интегрируемых бильярдах.

Бильярды более сложной формы, не обладающие столь высокой симметрией, как у круга или прямоугольника, являются хаотическими . Один из них мы видели выше – это бильярд Синая, в котором симметрия прямоугольника разрушается круговым включением в центре. Также часто рассматриваются бильярд «стадион» и бильярд в форме улитки Паскаля. Движение шарика в хаотических бильярдах происходит по весьма запутанным траекториям и не раскладывается на более простые периодические движения.

Траектории движения шарика в хаотических бильярдах «стадион» и «улитка Паскаля».

Здесь можно уже догадаться, что наличие пересечений между линиями на фигурах Хладни определяется тем, имеет ли пластинка форму интегрируемого или хаотического бильярда. Это наглядно видно на фотографиях ниже.

Круглые пластинки Хладни, демонстрирующие свойства интегрируемых бильярдов. .

Демонстрирующие свойства хаотических бильярдов пластинки Хладни в форме бильярда «стадион», корпуса скрипки и квадрата, симметрия которого нарушена круглым креплением в центре (аналог бильярда Синая). .

Квантовый хаос

Как же понять, почему наличие пересечений между узловыми линиями обусловлено интегрируемостью бильярда? Для этого нужно обратиться к квантовой теории хаоса , объединяющей теорию хаоса с механикой колебаний и волн. Если в классической механике шарик в бильярде описывается в виде материальной точки, движущейся вдоль определенной траектории, то в квантовой механике его движение описывается как распространение волны, подчиняющейся уравнению Шредингера и отражающейся от стенок бильярда.

Этапы распространения волны в квантовом бильярде. Изначально волна сконцентрирована в импульсе круглой формы и движется слева направо, затем она расплывается и многократно переотражается от стенок. .

То же самое в виде анимации, но с немного другими начальными условиями.

Как и в случае колебаний мембран и пластинок, описывающее квантовый бильярд уравнение Шредингера позволяет найти нормальные колебания в виде стоячих волн, обладающие характерным рисунком узловых линий и пучностей, индивидуальным для каждого колебания и зависящим от формы границ.

Примеры профилей амплитуд колебаний в стоячих волнах в хаотических квантовых бильярдах «улитка Паскаля » и «стадион ».

Рисунки стоячих волн в интегрируемых и хаотических квантовых бильярдах качественно отличаются: интегрируемые бильярды показывают симметричные, упорядоченные картины стоячих волн, в то время как в хаотических бильярдах рисунки стоячих волн весьма запутанные и не показывают никаких видимых закономерностей (в конце статьи будет показано, что некоторые интересные закономерности там все-таки существуют).

Амплитуды колебаний в стоячих волнах интегрируемого круглого бильярда (верхний ряд) и хаотического бильярда в форме улитки Паскаля (нижний ряд). .

Причудливые картины нормальных колебаний в хаотических бильярдах иногда служат предметом отдельного исследования. .

Качественное отличие видно и в картинах узловых линий: в случае интегрируемого квантового бильярда мы видим упорядоченные семейства взаимно пересекающихся линий, а в хаотических бильярдах эти линии, как правило, не пересекаются .

Вверху: узловые линии (черные линии между синими и красными областями) стоячих волн интегрируемых – круглого и прямоугольного – бильярдов. Внизу: узловые линии одной из стоячих волн в хаотическом бильярде – четверти бильярда «стадион» .

Пересекаться или не пересекаться?

Почему же узловые линии в хаотических бильярдах не пересекаются? В 1976 году математик Карен Уленбек доказал теорему , согласно которой узловые линии стоячих волн квантовых бильярдов, вообще говоря, и не должны пересекаться.

В классической теории хаоса этому вопросу посвящена знаменитая теория Колмогорова-Арнольда-Мозера . Она говорит о том, что если слегка нарушить симметрию интегрируемой системы, то она не станет сразу же проявлять хаотическое поведение, а, по большей части, сохранит свое свойство предсказуемости движения. На уровне квантовой теории хаоса и фигур Хладни это проявляется в том, что в некоторых местах пересечения узловых линий сохраняются. Это происходит либо в особо симметричных точках бильярда, либо далеко от источника возмущения, нарушающего симметрию интегрируемой системы.

Что еще?

Чем еще интересна квантовая теория хаоса? Для заинтересованного читателя упомяну о трех дополнительных вопросах, уже не связанных непосредственно с фигурами Хладни.

1) Важное явление, изучаемое этой теорией – универсальность хаотических систем. Подавляющее большинство систем, в которых могут возникать нормальные колебания, являются хаотическими, и все они – независимо от своей физической природы! – подчиняются одинаковым закономерностям. Феномен универсальности, при котором совершенно разные системы описываются одними и теми же формулами, сам по себе очень красив и служит нам напоминанием о математическом единстве физического мира.

Статистика расстояний между соседними частотами нормальных колебаний в хаотических системах разной физической природы, везде описываемая одной и той же универсальной формулой Вигнера-Дайсона. .

2) Рисунки нормальных колебаний хаотических бильярдов обладают интересной особенностью, называемой «квантовыми шрамами» . Мы видели, что траектории движения шарика в хаотическом бильярде обычно выглядит весьма запутанными. Но есть и исключения – это периодические орбиты , достаточно простые и короткие замкнутые траектории, вдоль которых шарик совершает периодическое движение. Квантовыми шрамами называются резкие сгущения стоячих волн вдоль периодических орбит.

Квантовые шрамы в бильярде «стадион», идущие вдоль периодических орбит, показанных красными и зелеными линиями. .

3) До сих пор мы говорили о двумерных системах. Если же рассматривать распространение волн в трехмерном пространстве, то здесь тоже могут возникать узловые линии, вдоль которых амплитуда колебаний равна нулю. Особенно важно это при изучении бозе-конденсации и сверхтекучести, где тысячи атомов движутся как единые «волны материи ». Анализ структуры узловых линий волн материи в трехмерном пространстве необходим, например, для понимания того, как возникает и развивается квантовая турбулентность в сверхтекучих системах.

Запутанные трехмерные структуры узловых линий стоячих «волн материи» в бозе-конденсате. .