58. Способ сложения и вычитания или способ уравнения коэффициентов . Решим совместно следующие 2 уравнения:
7x + 5y = 47 и 7x – 5y = 9 (1)
Мы видим, что в левой части одного уравнения входит член +5y, а в левой части другого - член –5y. Если бы пришлось эти части сложить между собою, то эти члены уничтожились бы. И этого достигнуть легко: из данных двух уравнений составим вытекающее из них новое, для чего сложим и левые части обоих уравнений между собою, и правые части между собою – результаты этих сложений, очевидно, должны быть равны между собою, т. е. получим:
(члены +5y и –5y взаимно уничтожились). Отсюда получим x = 4. Умножим затем обе части второго уравнения на –1; получим:
7x + 5y = 47
–7x + 5y = –9
и теперь опять сложим левые части между собою и правые между собою (говорят: сложим эти 2 уравнения по частям). Получим, так как члены +7x и –7x взаимно уничтожаются:
10y = 38, откуда y = 3,8
Мы могли бы взамен этого сделать и так: вернемся к уравнениям (1) и вычтем по частям (т. е. из левой части левую часть и из правой части правую часть) из первого уравнения второе. Тогда надо у всех членов 2-го уравнения переменить знаки - результат получится тот же самый.
В разобранном примере абсолютные величины коэффициентов при каждом неизвестном в каждом уравнении были равны; рассмотрим теперь пример, когда абсолютные величины этих коэффициентов неравны.
3x + 4y = 23 и 9x + 10y = 65.
Рассматривая эти уравнения, мы видим, что коэффициенты при x не равны, но что их легко сделать равными, если обе части первого уравнения умножим на 3. Сделав это, получим:
9x + 12y = 69
9x + 10y = 65
Теперь вычтем по частям из первого уравнения второе (надо у всех членов 2-го уравнения переменить знаки). Получим:
2y = 4, откуда y = 2.
Рассматривая данные уравнения, мы теперь приходим к возможности уравнять коэффициенты при y, для чего можно поступить по разному: 1) обе части 1-го уравнения умножить на 2 ½ - тогда получим:
7 ½ x + 10y = 57 ½
9x + 10y = 65
Вычтем теперь из 2-го уравнения по частям 1-е, для чего переменим знаки у всех членов 1-го уравнения (мы вычитаем из 2-го первое, а не наоборот, только для того, чтобы в левой части коэффициент при x получился положительный), получим:
1 ½ x = 7 ½, откуда x = 7 ½: 1 ½ = 5.
2) Обе части 2-го уравнения умножим на 2/5, - получим:
3x + 4y = 23 (первое оставляем без изменения).
3 3/5 x + 4y = 26
Вычитая по частям из 2-го уравнения первое, получим:
3/5 x = 3, откуда x = 3: 3/5 = 5.
3) Если не желаем иметь дело с дробными коэффициентами, то найдем общее наименьшее кратное для коэффициентов при y, т. е. для чисел 4 и 10 – оно есть 20 и, умножением обеих частей 1-го уравнения и обеих частей 2-го, сведем дело к тому, чтобы в каждом уравнении коэффициентом при y служило это общее наименьшее кратное. В нашем примере для этого умножим обе части 1-го уравнения на 5 и обе части 2-го уравнения на 2. Получим:
15x + 20y = 115
18x + 20y = 130.
Опять вычтем по частям из 2-го уравнения первое, - получим:
3x = 15, откуда x = 5.
Заметим еще, что когда одно неизвестное определено, можно подстановкою получить другое. Так, мы сначала нашли y = 2. Подставим это значение в 1-ое уравнение:
3x + 4 · 2 = 23
3x = 23 – 8 = 15, откуда x = 5.
Коротко выполним еще один пример:
6x – 15y = 32 | · 3 | · 2
4x + 9y = 34 | · 5 | · 3
Сбоку мы отметили, что надо обе части 1-го уравнения умножить на 3 и обе части 2-го на 5 - мы имеем в виду уравнять абсолютные величины коэффициентов при y. Получим:
18x – 45y = 96.
20x + 45y = 170.
Сложим эти уравнения по частям, получим:
38x = 266 и x = 7.
Теперь умножим обе части 1-го уравнения на 2 и обе части второго на 3 (отмечено сбоку). Получим:
12x – 30y = 64
12x + 27y = 102.
Вычтем по частям из 2-го уравнения первое; получим:
57y = 38 и y = 38/57 = 2/3.
Примем этот способ к решению двух уравнений с двумя неизвестными в общем виде:
ax + by = m | · d | · c
cx + dy = n | · b | · a
Сначала умножим, как отмечено, обе части 1-го уравнения на d и обе части 2-го на b. Получим:
adx + bdy = md
cbx + =bdy = nb.
Вычтем по частям из 1-го уравнения второе, получим:
adx – cbx = md – nb.
Вынесем в левой части x за скобки, получим:
(ad – cb)x = md – nb,
x = (md – nb) / (ad – cb).
Уравняем теперь коэффициенты при x, для чего обе части 1-го уравнения умножим на c и обе части второго на a. Получим:
Вычтем по частям из 2-го уравнения первое, получим:
ady – bcy = na – mc,
(ad – bc) y = na – mc
y = (na – mc) / (ad – bc).
Мы вычитали здесь из 2-го уравнения первое, а не наоборот, с целью получить тот же знаменатель ad – bc, какой получился при определении x – a.
§2. Задачи на исследование решений линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными
Пример 1 . Определить, при каких значениях параметра m система уравнений
имеет единственное решение.
Решение
Система имеет единственное решение, если отношение коэффициентов при х неравно отношению коэффициентов при у:
.
Перейдем от сравнения отношений к сравнению произведений. Тогда в рассмотрение включаются и нулевые значения коэффициентов, зависящих от параметре m .
Решая полученное безразличное неравенство, найдем
3 + 8m + 4m 2 ≠ 4 + 5m ; 4m 2 + 3m – 1 ≠ 0.
Если m 1 и m 2 корни многочлена 4m 2 + 3m – 1 ≠ 0, то
m
1 = – 1; m
2 = position:absolute;z-index:1;left:0px;margin-left:11px;margin-top:2px; width:14px;height:74px">
m ≠
или в виде объединения промежутков:
m (– ∞; – 1) (– 1; )(;+∞).
Еще раз отметим, что при m = –EN-US">m = – или при m = –EN-US">m , так же как и при бесчисленном множестве других, удовлетворяющих полученному числовому множеству, данная система будет иметь единственное решение.
Ответ : Система имеет единственное решение, если
m (– ∞; – 1) (– 1; 0,25)EN-US">m и n система уравнений
имеет бесчисленное множество решений.
Решение
Система имеет бесчисленное множество решений, если отношение коэффициентов при х равно отношению коэффициентов при у и равно отношению свободных членов, то есть
Заменим полученную цепочку равенств системой уравнений
Переходя от дробных уравнений к целым. Включаем в рассмотрение и нулевые значения коэффициентов данной системы. (Следует отметить, что не все коэффициенты данной системы могут обращаться в нуль. Один из них EN-US">n ≠ 0. Очевидно, что искомый ответ должен этому условию удовлетворять.)
EN-US">n 2 + n – 6 = 0,
n (n 2 + m ) = 10.
Разрешая относительно и m 1-е и 2-е уравнения системы, получим
n 1 = – 3; n 2 = 2,
m = – n 2.
Откуда
Если n 1 = – 3; Если n 2 = 2,
то m 1 = –– 9 = –; то m 2 = EN-US">m и n в алфавитном порядке, имеем
Ответ: {(–; –3); (1; 2)}
Пример3 . Определить при каких значениях параметра m система уравнений
(2m – 3)x – my = 3m – 2,
(2m + 3)y – 5x + 5 = 0
не имеет решений.
Решение
Система уравнений не имеет решений, если отношение коэффициентов при х равно отношению коэффициентов при у, но неравно отношению свободных членов. Это правило, как и предыдущие, предлагает, что в записи данных уравнений неизвестные находятся в одной (например левой) части равенств и чередуются одинаково. Предполагается так же, что и свободные члены находятся в одной (например правой) части равенств. Удовлетворяя эти требования
(2m – х)x – my = 3m – 2,
– 5x + (2m + 3)у = – 5
и используя признак несовместимости системы, получим
Система удовлетворяется при m = EN-US">m = 2,25.
Упражнения
1. Определить, при каких значениях параметра m система уравнений
2х + my =5
имеет единственное решение.
Ответ: m (– ∞; – 1,5) position:absolute;z-index:9;left:0px;margin-left:59px;margin-top:23px; width:14px;height:62px"> При каких значениях параметра m система уравнений
(2m + 1)x +7y = 2m ,
Рассматриваются линейные системы нормального вида где а{- - любые числа, а /,(*) - известные функции. В векторной записи неизвестная, а /(*) - известная вектор-функции, А - любая постоянная матрица. Такие системы часто встречаются и в теории дифференциальных уравнений, и в приложениях. Общее решение такой системы в случае f(t) = 0 всегда выражается через элементарные функции. Поэтому такие системы часто применяются для исследования более сложных систем вблизи положения равновесия. В приложениях они появляются, например, при изучении движений в механических системах с несколькими степенями свободы и при описании токов в разветвленных электрических цепях. Путем исключения неизвестных систему можно свести к одному или нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом. Для этого из какого-либо уравнения выражаем одно неизвестное через остальные и подставляем в остальные уравнения системы. Получаем систему с меньшим числом неизвестных. С ней можно поступить аналогично. Этот способ удобен для решения лишь несложных систем. Линейные системы с постоянными коэффициентами I Пример 20. Решить систему Решение примера. Исключаем у. Из первого уравнения имеем у = х" - t. Подставляя во второе уравнение, получаем. Решаем это уравнение методом § 11. Находим. Значит, 1 2. | Решение системы х" = Ах (х 6 Rn) в случае, когда матрица А порядка п имеет п линейно независимых собственных векторов. Так будет в случаях, когда или уравнение det (А-ХЕ) = 0 не имеет кратных корней А, или для каждого кратного корня Л ранг г матрицы А - \Е равен п - к, где к - кратность этого корня (так как уравнение (А - XE)v = 0 для собственных векторов v имеет п - г линейно независимых решений). Пусть А - собственное значение, a v - собственный вектор матрицы А. Тогда х = eMv - частное решение уравнения х1 = Аху так как. Если собственные векторы Vх,..., vn линейно независимы, то имеем решения. Они линейно независимы, так как их вронскиан W Ф 0 при t = 0 (его столбцы vl,..., vn линейно независимы). Следовательно, общее решение системы х* = Ах имеет вид - произвольные постоянные. Лемма 9. Если А{ = а + pi (fi Ф 0) - собственное значение вещественной матрицы A, a vl = (»{,... - собственный вектор для А1# то Aj = Х{ = а - pi - собственное значение, a v2 = v1 = (v},..., - собственный вектор для А2. Для вещественных Хр собственный вектор можно взять вещественным. Доказательство. Имеем Av{ = А^1. Равенство не нарушится, есдй в нем Х{ и координаты вектора v1 заменить сопряженными: Avl = Ajt;1, то есть Для вещественного Хр координаты собственного вектора определяются из системы и вещественными коэффициентами, поэтому вектор v можно взять вещественным Общее решение системы х" = Ах с вещественной матрицей А можно выразить через вещественные функции. Для этого надо взять такие собственные векторы, как в лемме 9, и затем заменить каждую пару комплексных сопряженных решений х1 = eAlV, х2 = eXltv2 парой вещественных решений как в. Получим вещественную фундаментальную систему решений и через нее выразим общее рёшение. I Пример 21. Решить систему Решение примера. Составляем и решаем характеристическое уравнение Линейные системы с постоянными коэффициентами Для находим собственный вектор (^j Можно взять Получаем частное решение Решениями данной системы являются вещественная и мнимая части этого частного решения: J Решение в общем случае. Упростим систему, приведя матрицу А к простейшей форме - жордановой. Известно, что для любой квадратной матрицы А существует такая неособая матрица С, что матрица В = С~[ АС - жорданова, то есть Клетки Ki могут быть любых размеров; в каждой клетке на всей диагонали стоит одно и то же число Af , а в разных клетках А(могут быть различны или одинаковы. Так как Поэтому матрицы С"1 АС и Л имеют одно и то же характеристическое уравнение, значит, одни и те же корни А^ с теми же кратностями. К системе ж" = Ах применяем линейное преобразование координат х = Су у то есть где матрица С та же, что выше. Получаем Умножая слева на С"1, имеем, то есть где матрица Б - жорданова. Если первая клетка имеет размер к х к, вторая - 1x1 и т.д., то в первые к уравнений системы у" = By входят только неизвестные у р..., у*, в следующие I уравнений - только неизвестные yt+1,..., ук+1, и т.д. Значит, система распадается на подсистемы, каждую из которых можно решать отдельно. Первая подсистема имеет вид (где А = Х{) Другие подсистемы отличаются только числами X и к. Сделав в замену, получаем Решая эту систему, начиная с последнего уравнения, находим Умножая на ex,t, получаем решение первой подсистемы Это решение - общее, так как получается из уравнений (73) с помощью тождественных преобразований. Решения других подсистем имеют подобный же вид, лишь числа к = к- и произвольные постоянные cf- будут другими (Лу - число А в j-ft клетке, к - ее размер). Собрав вместе решения всех подсистем, получаем общее решение всей системы у" = By. Возвращаясь от у к ж в силу (72) получаем такой результат. Теорема 16* Общее решение системы х" = Ах есть вектор-функция; у которой каждая координата xi имеет вид где Ар .., Ат - различные собственные значения матрицы А, - алгебраический многочлен, степень которого на 1 меньше размера наибольшей из жордановых клеток, содержащих А;. Коэффициенты многочленов ^(t) (» = 1,..., n; j = 1,..., m) зависят от n произвольных постоянных. Решение конкретной системы х" = Ах можно получить и без приведения матрицы А к жордановой форме. Для этого надо найти все собственные значения Л матрицы А из уравнения det (А - АЕ) - 0. Для каждого А надо найти число т линейно независимых собственных векторов по формуле т = п - г, где п - порядок матрицы А - ХЕ9 г - ее ранг. В случае т = ку где к - кратность корня А, этому корню соответствует решение где Ь!,...,Ь* - линейно независимые собственные векторы. Если матрица А - вещественная, то надо воспользоваться леммой 9 и сказанным после нее. В случае т надо искать решение х = (жр..., хп)Т в виде где 8 = к - пг. Подставляя эти выражения с буквенными коэффициентами а, Ь,... в данную систему, сокращая на е^ и приравнивая коэффициенты при подобных членах, получаем систему линейных алгебраических уравнений для отыскания чисел а, Ь,.... Надо найти общее решение этой системы, зависящее от к произвольных постоянных. (Заметим, что в случае к ^ 4 все старшие коэффициенты в многочленах иногда оказываются равными нулю, но это не мешает найти решение.) Проделав это для каждого А и сложив найденные решения, получим общее решение системы. Если матрица А вещественная, то достаточно проделать описанное только для вещественных корней и для одного из каждой пары комплексных сопряженных корней А = а ± pi {РФ 0), и от полученного решения взять вещественную и мнимую части. Например, из решения х1 = (cj +C2t)elt получаются два решения: u1 = Re хх - (cj + cjt) cos t и u2 = (C3 + cAt) sin t с новыми постоянными Cj,c4. (Обоснование такого метода требует детального анализа и изложено в , § 34.) I Пример 22. Решить систему Решение примера. Составляем и решаем характеристическое урав- нение Для простого корня А = -2 находим собственный вектор (а, р,7) Можно взять а = р = 2, 7 = -2. Имеем частное решение Для кратного корня Л2 3 = 1 находим ранг матрицы А - ХЕ, число m собственньЯТ векторов и степень в многочлена: Ищем решение в виде Подставляем это в данную систему и сокращаем на е*. Приравниваем коэффициенты при подобных членах, начиная со старших: Надо найти общее решение этой системы. Кратность корня Л = 1 равна 2, поэтому все неизвестные а,Ь,... должны выразиться через два из них (пока не знаем, через какие). Из первых трех уравнений имеем Ь = д = 2d. Подставляя в остальные уравнения, получаем Все неизвестные можно выразить через end. Имеем. Полагая d = Cj, с = Cj, получаем. Подставляя это в (77) и прибавляя частное решение (76), умноженное на су получаем общее решение системы: Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами. Решение такой системы всегда можно получить методом вариации постоянных (п. 5 §9). При этом используется интегрирование. Однако в случае, когда неоднородности f{(t) в системе (70) выражаются только через суммы и произведения функций atm, е7*, cos/3*, sin fit, частное решение системы можно найти без интегрирования - методом неопределенных коэффициентов, как показывается ниже. Так как решение системы х" = Ах + fl(t) +... + fr(t) равно сумме решений систем (xj)" = Axj + fj(t) (j = 1,..., г), а синусы и косинусы по формулам Эйлера выражаются через показательные функции, то достаточно указать вид частного решения системы х" = Ах + рфе7*, где p(t) - amtm + am_xtm~x +... + а0; ао» »ат - векторы. Сделав с этой системой те же преобразования, что в п. 3 с системой х1 = Ах, получаем вместо (74) систему где р*(£) - многочлены степени не выше т. Из этой сибтемы последовательно находим zk, zk_v..., zx. Возможны два случая. Если 7 - А Ф 0, то Jpl(t)eb-»dt = q где ql(t) - многочлен той же степени, что Здесь и далее постоянные интегрирования полагаем равными нулю, так как ищется частное решение. Аналогично отыскиваются zk_v... ,z{. Получаем * где q*(t) - многочлены степени не выше т. Если же 7 - Л = 0, то £ 1, и каждый раз интегрируется только многочлен. От этого его степень повышается на 1. После к интегрирований степень повышается на к. Значит, в этом случае где q*(t) - многочлены степени не выше т + к. Возвращаясь от функций z- к у(и затем к х-, получаем, что система имеет частное решение вида где q^t) - многочлен степени не выше т, если 7 не совпадает ни с одним из корней и степени не выше m + fy, если 7 совпадает с корнем А^.; число к-, равно размеру наибольшей из жордановых клеток, содержащих А;. Следовательно, kj на 1 больше наибольшей степени многочленов, умножаемых на ех"г в общем решении однородной системы. I Пример 23. Решить систему I L Решение примера. Общее решение однородной системы получено в примере 21, здесь А. 2 = 2 ± i. Для неоднородностей 4еи cos* числа 7 = 2и7 = 2 +t различны, поэтому надо решить две системы Для системы (79) 7 = 2^ А;, поэтому частное решение. Подставляя в (79), находим a = Ь = с = 1, d = 0. Значит В системе (80) заменяем 4e2*cos$ на 4е*2+|^. Число 4 рассматриваем как многочлен степени 0. Так как 7 = 2 + i = А, к = 1, то степень многочлена увеличивается на 1 и Подставляя в систему с отброшенным Re получаем Уравнения зависимы, решений много. Берем частное решение, например Общее решение системы х = х0 + х{ + ж2, у = у0 + у! + у2* где ж0, у0 - решение однородной системы (пример 21), а х{, у, х2, у2 найдены здесь. Задачи для упражнений: Линейные системы с постоянными коэффициентами I Системы уравнений, не приведенные к нормальному виду обладают свойствами, отличными от свойств систем вида (70). Согласно , § 11 все решения являются линейными комбинациями решений вида х = r(t)ext, у = s(f)eM, где Л - любой корень характеристического уравнения - многочлены, степень которых меньше кратности к корня А (если Л=1,тоги* - числа), Многочлены могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов. Аналогично решаются системы трех и более уравнений. См. задачи в , § 14, б» Известно много способов решения линейных систем с постоянными коэффициентами. Если известны не только числа А, но и базис, в котором матрица А имеет жорданову форму, то решение системы х" = Ах пишется в явном виде (, теорема 11; , § 14, п.З). Операционный метод решения линейных уравнений и систем с постоянными коэффициентами изложен в , §24. Известны условия существования периодического решения системы х1 = Ах 4- f{t) с периодической вектор-функцией f(t) (, гл. 4, §7, п.З).
1. Системы линейных уравнений с параметром
Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.
Пример 1.
Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.
{х + (а 2 – 3)у = а,
{х + у = 2.
Решение.
Рассмотрим несколько способов решения данного задания.
1 способ . Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тогда имеем:
1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему
{а 2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.
Из первого уравнения а 2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.
Ответ: а = -2.
2 способ . Решаем методом подстановки.
{2 – у + (а 2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,
{(а 2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.
После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:
{(а 2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.
Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть
{а 2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.
Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.
Ответ: а = -2.
Пример 2.
Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.
{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.
Решение.
По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.
Ответ: а = 4.
2. Системы рациональных уравнений с параметром
Пример 3.
{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.
Решение.
Умножим первое уравнение системы на 2:
{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.
Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).
Ответ: а = 4.
Пример 4.
Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.
{х + у = а,
{у – х 2 = 1.
Решение.
Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1)
. Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:
1,25 = 0,5 + а;
Ответ: а = 0,75.
Пример 5.
Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.
{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.
Решение.
Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:
{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.
Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:
ах + а 2 х – а 2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;
а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.
Квадратный трехчлен а 2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок
(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:
(а 2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).
Очевидно, что а 2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,
а 2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.
Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.
Пример 6.
Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.
{х 2 + у 2 = 9,
{у – |х| = а.
Решение.
Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы
х 2 + у 2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2
рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.
Ответ: а = 3.
Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Относительные величины бывают четырех видов: интенсивные, экстенсивные, показатели соотношения, показатели наглядности.
Интенсивные показатели - показывают частоту явления в среде. В качестве среды обычно выступает некая совокупность объектов (населения, пациентов, случаев), у части которых происходит какое-то явление. Рассчитывается по следующей формуле:
И.п. = явление/среда*коэффициент.
Коэффициент используется для удобства представления показателя, представляет собой различные степени числа 10 и обычно принимает значения 100, 1000, 10 000, 100 000. Его величина зависит от частоты встречаемости явления: чем реже встречается, тем больше коэффициент. Так, показатели рождаемости, смертности, общей заболеваемости населения обычно рассчитываются на 1000 человек. При расчете материнской смертности, как значительно более редкого события, используется коэффициент 100 000. Наоборот, частота такого распространенного явления, как случай временной утраты трудоспособности, рассчитывается на 100 работающих.
Пример расчета интенсивного показателя:
За год в больнице Н. было выполнено 360 хирургических операций. В 54 случаях в послеоперационном периоде наблюдались различные осложнения. Найти частоту послеоперационных осложнений из расчета на 100 операций.
Решение: Частота послеоперационных осложнений - это интенсивный показатель, который может быть рассчитан как отношение явления к среде. Средой выступает совокупность выполненных операций (360), из числа которых в 54 случаях, как следует из условия задачи, происходило явление - отмечались послеоперационные осложнения. Таким образом:
Частота послеоперационных осложнений = (Число случаев послеоперационных осложнений) / (Число выполненных операций) * 100 = (54 / 360) * 100 = 15.
Значение коэффициента принято равным 100, так как в условии задачи спрашивается частота, рассчитанная на 100 выполненных операций.
Ответ: Частота послеоперационных осложнений в больнице Н. за год составила 15 случаев на 100 выполненных операций.
Экстенсивные показатели - характеризуют структуру явления, измеряются в процентах, реже - в промилле или долях единицы. Экстенсивные величины показывают, какую часть составляет отдельная группа единиц в структуре всей совокупности. Рассчитываются по формуле:
Э.п. = часть/целое*100%.
Пример расчета экстенсивного показателя:
В исследовании эффективности лечения пневмонии с использованием нового антибиотика приняли участие 200 пациентов, из них 90 - мужчины. Необходимо определить долю мужчин среди исследуемых, результат выразить в %.
Решение: Пациенты мужского пола представляют собой часть от всей совокупности исследуемых. Следовательно, мы должны воспользоваться формулой для расчета экстенсивных показателей:
Доля пациентов мужского пола среди всех исследуемых = (число мужчин) / (число всех пациентов) * 100% = (90 / 200) * 100% = 45%.
Ответ: Доля пациентов в структуре исследуемых составляет 45%.
Показатели соотношения - характеризуют отношение двух не связанных между собой совокупностей. Данные совокупности могут измеряться в одних величинах, главное условие, что их изменения должны происходить независимо друг от друга. Обычно в таком виде представляются различные индексы, коэффициенты, показатели обеспеченности населения. Рассчитываются по следующей формуле:
П.с. = (первая совокупность) / (вторая совокупность)*коэффициент
Коэффициент обычно принимает значения 1 (для индексов) или 10 000 (для показателей обеспеченности населения).
Пример расчета показателя соотношения:
В одном из районов Республики Татарстан проживает 40 000 населения. В лечебно-профилактических учреждениях данного района развернуты 384 стационарные койки. Какова обеспеченность населения койками в районе?
Решение: Мы имеем две совокупности: население и стационарные койки. Изменения числа населения не зависят от изменений числа стационарных коек и наоборот, в связи с чем делаем вывод о том, что представленные совокупности не связаны между собой. Рассчитаем показатель обеспеченности населения стационарными койками:
Обеспеченность населения койками = (число коек) / (численность населения) *10 000 = (384 / 40 000) * 10 000 = 96.
Ответ: Обеспеченность населения стационарными койками составляет 96 на 10 000 населения.
